Avaliación de final de etapa

 

Perdida no pandemonium que é habitualmente o navegador do meu ordenador estaba unha lapela da web da Generalitat de Catalunya, que xa esquecera. Fun mirar, e resultou ser a páxina da Agència d'Avaluació i Prospectiva de l'Educació, que organiza aló as avaliacións de diagnóstico como as de 2º de ESO e 4º de EP que prescribe a LOMLOE. Mais esta lapela non falaba destas avaliacións, senón da Avaluació de final d’etapa ESO. Por que gardara ese separador no navegador? Foi mirar o 1º ítem e acordar rapidamente. Xa veredes vós tamén.

Tede en mente todo o tempo que esta proba se fai en 4º de ESO a comezos de abril, pouco antes que o diagnóstico de 2º ou de 4º de EP, co cal o alumnado xa está no 3º trimestre do curso, polo que no peor dos casos imaxinables, xa deu a metade dos contidos de 4º(peor dos casos=que lles dese eu clase).

Brace yourselves. The winter of our discontent is coming.

   

Baixo esta gráfica hai 4 cuestións con 4 opcións de resposta:

1. Cantas veces lle tomaron a temperatura?
2. Cantas veces tivo 39ºC ou máis?
3. Os pais levan ao cativo o luns ás 15:00 ao médico. Cantas horas pasaron desde que detectaron que tiña febre?
4. Se o cativo ten que toma un xarope cada 8 horas durante 3 días, cantas veces tomará o xarope?

A 4ª cuestión chegoume á alma aínda máis que as anteriores. Espero que a tomen como un captcha, para saber se teñen un humano diante ou algo así. As opcións de resposta que dan consisten en se os alumnos restan 8 e 3, se os multiplican, se os suman e a opción correcta. 

Dentro desta mesma actividade, incluén un novo recadro, ao que seguen outras catro cuestións:

   

5. Cal das afirmacións seguintes é falsa? Canto máis pese o enfermo, máis medicamento toma/Canto menos pese, menos toma/Canto máis pese, menos medicamento toma/A cantidade de medicamento é directamente proporcional ao peso
6. Canto pesa unha persoa que ten que tomar 32 ml de xarope diariamente?
   
7. Nesta cuestión inclúen unha táboa coa cantidade aproximada de xarope que hai que tomar dependendo do rango de peso no que se encontre
   
   Se Mario pesa 22 kg e os pais seguen as indicacións da táboa, cantos ml de diferenza haberá co que debería tomar segundo a fórmula?
8. Cada 5 ml de medicamento conteñen 105 mg de principio activo. Cantos mg de principio activo conteñen 16 ml de medicamento? 

1º de ESO vibes.

Vén a 2ª actividade, seguro que cambia o conto.

Ben, non exactamente...

    

9. Cada escalón terá 15 cm de altura e 20 cm de ancho. Cal será o ancho da escaleira?(E poñen nunha imaxe a interrogación no que están preguntando) 

   

10. Tamén van construír unha rampla de acceso. A porcentaxe de desnivel dunha rampla calcúlase coa fórmula % de desnivel=$\frac{altura}{lonxitudehorizontal}\cdot 100$ Se a rampla que constrúen ten un desnivel do 10%, que lonxitude horizontal terá que ter a rampla para superar a altura de 1,05 m?

11. Para remodelar o tellado do mercado, necesitas coñecer a súa superficie. O mercado ten unha planta rectangular de 30 m x 100 m, e a diferenza de altura entre os puntos máis alto e máis baixo do seu tellado é de 3 m. Cal é a superficie do tellado? (O tellado ten dous lados inclinados pintados de gris na imaxe.)

  

Neste caso é interesante ver as opcións que dan de resposta, pois deixa intuír cales son as dificultades desexables que prevé o deseñador da proba: $100\cdot \sqrt{3^2+{15}^2}$, $100\cdot \sqrt{3^2+{30}^2}$, $2\cdot 100\cdot \sqrt{3^2+{15}^2}$, $2\cdot 100\cdot \sqrt{3^2+{30}^2}$

Veña, outro recadro:

   

12. O logotipo ten un só eixe de simetría, pero que pasaría se fose un H?
     

    

      

    A seguinte cuestión non esaxero se afirmo que se pode facer en 6º de EP:
    
13. Se a placa cadrada na que imprimen o M mide 1 metro de lado, cal é a área da letra M?

    

       

    
    
14. Van colocar réplicas do logotipo polo mercado pero en placas cadradas de 25 cm de lado. Que fracción respecto á do logotipo da entrada supón a área destas réplicas?

    

    Con isto aprendín que setzena significa dezaseisava



Outra imaxe, neste caso un gráfico estatístico:

   

15. Cantas persoas menores de 30 anos participaron na enquisa?
16. Que porcentaxe de enquisados vai dúas veces por semana ao mercado?
17. De media, cantos días van ao mercado por semana os enquisados maiores de 50 anos?
18. Van sortear un curso de cociña entre os enquisados. Que probabilidade ten cada enquisado de gañar o premio? As opcións de resposta neste ítem son $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{100},\frac{1}{250}$

Nova actividade, novo recadro

   

19. Nunha partida, despois de repartir as cartas, hai un xogador cunha carta máis que o resto. Cal é número mínimo de xogadores da partida? 4, 5, 6 ou 7
20. Noutra partida, xa repartidas as cartas, deciden que comenzará a partida quen teña o único comodín da baralla. Que afirmación é falsa? Se hai 2 xogadores, todos teñen a mesma probabilidade de comezar/Se hai 4 xogadores, todos teñen a mesma probabilidade de comezar/Se hai 6 xogadores, .../Se hai 8 xogadores, ...

   

21. Nunha partida con 2 xogadores, entre os dous fixeron 120 puntos e o gañador fixo 32 puntos máis que o outro. Se x = puntuación do xogador gañador, cal das ecuacións seguintes permite atopar o valor de x? E as opcións son $x-32=120$, $x-(x+32)=120$, $x+(x-32)=120$, $x+(32-x)=120$

Por se chegastes aquí e o esquecestes xa, É UNHA AVALIACIÓN PARA 4º DE ESO. Imos coa penúltima actividade. Notastes que faltaba algo? Efectivamente, cartos:

   

22. Se alugamos un parasol 6 horas, canto pagaremos?
23. Se ás 17:00 devolvemos un parasol e pagamos 6€, a que hora o alugaramos?
24. Cal das gráficas seguintes representa a relación entre as horas de alugueiro e o prezo?

   

25. Alugamos un parasol máis de 3 horas. Se T é o número de horas de alugueiro, cal dos cálculos seguintes dá o prezo? As opcións: $1,5+3\cdot (T-3)$, $3+1,5\cdot (T-3)$,$1,5-3\cdot (T-3)$,$3-1,5\cdot (T-3)$

   

26. Os octógonos regulares poden dividirse en 8 triángulos iguais. Canto miden os ángulos A, B e C destes triángulos?

   

As opcións: (20º, 80º, 80º), (45º, 60º, 70º), (45º, 67,5º, 67,5º), (50º, 65º, 65º)

Son eu que son un hater, ou non só no contido está mal deseñada a proba para este nivel? Por que pos na mesma opción 2 cousas absurdas, a saber, que non sexa isóscele o triángulo e que non sumen 180º os ángulos?

27. Para saber a cantidade de tela que ten o parasol, podemos aproximar a súa superficie pola dun círculo de 0,75 m de radio. Con esta aproximación, que superficie ten o parasol?

 

28. Nun momento do día, unha persoa que mide 1,6 m proxecta unha sombra de 1,8 m. Se o parasol proxecta unha sombra 2 m, que altura ten aproximadamente?



  

E chegamos á última actividade desta apaixonante viaxe polas matemáticas ata 2º de ESO cunha...

  

29. Cal dos diagramas de sectores (argh) representa os votos que obtivo cada destino?

Outro fallo de deseño de respostas?

O de contestar nun ítem o estritamente anterior está de
moda, pasou na nosa de 2º de ESO

30. Sabemos que na segunda votación todo o alumnado volverá votar e que o alumnado que votou polo destino 1 ou o destino 2 na primeira votación manterá o seu voto. Dos 16 estudantes que votaron polo destino 3 na primeira votación, cantos deben votar polo destino 2 polo menos para que este sexa o destino máis votado na segunda votación? (Non se pode votar en branco.)

  

31. Se venden todas as papeletas, cantos cartos recadarán?
32. Da recadación, destinarán 250€ a pagar o premio do sorteo, e o resto, a financiar a viaxe. Se venden a metade das papeletas, que fracción da recadación dedicarán a pagar o premio?
33. Finalmente logran vender 1500 papeletas. Tendo en conta que o premio se sorteará entre as papeletas vendidas, que probabilidade terá de gañar o premio un alumno supersticioso que mercou as papeletas 0007, 0077 e 0777?

Sede sinceros: é cousa miña ou isto é unha marcianada destinada a que calquera alumno poida rebentar a proba? Cousa que non sucederá porque sempre hai certa fracción de alumnos que van pasar olimpicamente da proba.

De que serve esta proba a un profesor de Matemáticas de 4º de ESO, dá igual que dea as A ou as B? Imaxinade que estivesen obrigados a actuar en función dos resultados destas probas, deixarían de traballar o que prescribe a lei? E aínda obviando a lexislación, deberían deixar de preparar ao alumnado para o que veña despois?

Reviso esta proba e quedo pampo, amigos. Quedo pampo.

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local-5

 

Chegamos ao último problema desta quenda, un ben fermoso e axeitado para esta idade:

Problema 5

Unha cabra está atada a un poste no exterior dunha finca pechada por un muro rectangular de 10m x 6m, cunha corda que mide 11m de largo. Se o poste está situado nun dos currunchos da finca, cal é a área no exterior da finca na que pode pacer a cabra?

Na folla do problema non viña ningunha figura, o que formaba parte da dificultade, só a imaxe dunha hierática cabra mirando ao malfadado concursante.

   

Eu recoñezo que, intuíndo o que ía pasar, quizais acompañaría o texto dunha figura como a seguinte:

  

Que tampouco é moita axuda, pero a algún seguro que lle axudaría a entender simplemente o lugar polo que se move a cabra, sen meterse no miolo do asunto, é dicir, no momento no que a corda está pegada a unha das paredes.

Porque, como xa intuídes, o que pasou foi que a maioría non entendeu como era posible que a cabra pacese no exterior da finca, quizais porque leron finca e deron por feito que é dentro da finca onde tería que comer. Dos que si entenderon a papatoria exterior, houbo algúns que non chegaron a visualizar o que sucedía no caso no que a corda chegaba ao final indo pegada ás paredes.

Os que deades clase en 2º de ESO seguramente tamén usmedes que a área do círculo e as subdivisións que aparecen neste contexto provocarían dificultades, dado que tradicionalmente a Xeometría vai despois da Aritmética e a Álxebra, e neste curso hai moitos contidos destes dous bloques. Pero iso vaticino que ningún corrector da olimpíada valoraría moito: o razoamento estaba en observar os anacos circulares, non en saber se era $\pi r^2$ ou que.

Resumindo: esta fase local tivo problemas ben fermosos e simultaneamente houbo cousiñas para que non se frustrase ninguén por completo. Por pedir, quizais incluiría algún problema no que houbese que facer un razoamento combinatorio, polo menos multiplicativo.

A ver con que nos sorprende a organización na fase final, que sempre é un evento xenial para olímpicos e acompañantes.

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local-4

 

O problema número 4 deste ano, se facemos caso ao articulado da lei educativa vixente, é un problema académico. Porén, eu teño as miñas dúbidas, pois a maioría dos libros de texto segue sen incluír este tipo de actividades de xeito ordinario; como moito, nas páxinas finais das unidades, como exercicios "competenciais" ou a palabra que lles dea por poñer. Lembraredes que falei destas tarefas previamente, e dunha obxección que lles poño eu(unha das que lles poño, pois teño unha sospeita máis preocupante da que aínda non escribín nunca por aquí), en Pensamento xeométrico vs. pensamento aritmético.

Problema 4

Nun xacemento romano atopouse o seguinte patrón. Espérase que sexa unha pauta de construción para as columnas das vivendas. Desexariamos analizar a secuencia:

   

a) Que forma tería a figura 4?

b) Cantas estrelas habería no paso 4? E no 5?

c) Que pasaría no paso 78?

d) Cal sería o patrón para un paso xenérico n?

E hai outro indicio de que non debe estar xeralizada a súa inclusión nas aulas: houbo moitos alumnos que preguntaron que significaba "paso xenérico", que había que facer cando preguntaban polo paso n, etc.

Imaxinades que outras cuestións xurdiron na sesión?

"J, yo la forma que veo es como la de una..."

"J, ¿qué es el paso?"

"En el paso 78 pasa que sigue lo mismo"

E coitados os que efectivamente debuxaron as 133 estreliñas que había na figura 4...

Ah, unha cousa que me gustou foi que houbo distintos xeitos de contar as estrelas no paso n, dando lugar a 33n+1 nuns casos e a 33(n-1)+34 noutros.

Como último comentario de vello rosmón, no aspecto lingüístico, o termo axeitado para o que sucede aquí é "padrón", que fai referencia a calquera modelo, etc. Mais é normal que se use patrón, tendo en conta que aparece no Decreto 156/2022, no que se establece a ordenación e curriculum da ESO(e eu mesmo cometo o erro adoito)

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local-3

 

Chegamos ao terceiro problema, na miña opinión o máis polémico:

Temos unha diana cuadriculada de 8x5, na que están sinalados os puntos A e B, como se ve na imaxe. Se tiramos varios dardos de maneira aleatoria:

a) Sabendo que caeron 12 dardos máis preto de B, dá unha estimación do número de dardos que caeron máis preto de A.

   

b) Considera agora esta posición dos puntos A e B. Sabendo que caeron 55 dardos máis preto de A, cantos dirías que se lanzaron en total?

Vedes por que o considero polémico?

É evidente que o enunciado busca que os rapaces conecten a condición probabilística coa situación xeométrica, e vexan que a razón entre o número de dardos que caen máis preto de B e o número de dardos que caen máis preto de A é a mesma que a razón entre ma área da zona do rectángulo máis preto de B que de A e a área da zona do rectángulo máis preto de A que de B (é moito máis sinxelo pensalo que escribilo). Isto, que para nós é inmediato, non o é para os alumnos, é dicir, non para todos. Polo que vin eu, son maioría os que non o entenderon.

Se nos poñemos estupendos: Está claro que lanzando un número tan pequeno de dardos, vai manterse a proporción coas áreas? Con 12 dardos na zona máis preto de B? Lei dos moi moi moi pequenos números?

Por outra banda, houbo cativos que, entendendo que o conto ía de comparar áreas, non fixeron ben as figuras. Máis no 2º caso, claro, onde a mediatriz é oblicua. E, inesperadamente para min, a cuadrícula axudou a que algúns o fixesen mal, pois entenderon que se trataba de utilizar a métrica do taxi, comprensible tratándose da zona de Ferrol.

E aínda máis: houbo participantes(lembremos: están entre os mellores na materia nos seus centros) que entenderon máis preto de B non como máis preto de B que de A, senón máis preto de B que do bordo do rectángulo, complicando moito as cousas con círculos arredor dos puntos.

En realidade a idea do problema encántame, só creo que o enunciado debería evitar eses obstáculos. Porén, non sei ben como sen facer demasiado sinxelo o problema.  

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local-2

 

O segundo problema era dos de fedellar. Como matemático (máis ou menos), un tenta resolvelo de xeito secuencial, con pasos necesarios no sentido lóxico; os cativos, en troques, van probar a sorte en canto haxa bifurcacións. E quizais sexa máis eficaz esa estratexia. Xulgade vós:

Problema 2:

Completa os 12 cadrados baleiros, explicando o procedemento seguido, con números que sexan múltiplos de 3, non maiores de 18, de xeito que sexan correctas as operacións en horizontal e en vertical:

   

Varias cuestións saltan á vista, alén da verbosidade de "non maiores de 18", sexa ou non inmediata a resposta:

• Podemos usar números negativos? Cousa que preguntou un participante na zona de Ferrol
• Aparecerá o 0?
• Repítense números? Supoñendo que sexan non negativos, a resposta é obvia, o que non é óbice para que o dubide algún participante.

Tentastes resolvelo? Alén dos dous primeiros pasos, probastes ou deducistes?

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local

 

Seguro que xa notabades unha perturbación na forza: Como, o pesado este non escribe a perentoria publicación sobre a olimpíada de 2º de ESO de abril?

A explicación é sinxela: alguén tiña que facer uns calendarios de exames para o seu centro, e aínda non estivera cinco minutos totalmente ceibo de choio.

Comezo logo a miña crítica anual dos problemas propostos, pero desta volta non teño a habitual queixa coa dificultade do primeiro problema. Era sinxelo, o cal penso que é bo para animar aos rapaces, pois nunha proporción abafante comezan polo 1º problema.

Problema 1

1000 barcos navegan polo delta representado na figura. Unha cuarta parte van cara a D, unha quinta parte cara a E e o resto cara a B. No punto D, $\frac{2}{5}$ dos barcos diríxense cara a A e o resto cara a B. No punto E, $\frac{3}{4}$ dos barcos van cara a C, e o resto cara a B. Cantos barcos chegan a B?

O que non sei moi ben é que representan eses cepillos boca abaixo   

Sinxeliño para alumnos de 2º, non? A ver se cando remata o proceso hai maneira de estimar cantos o fixeron perfectamente. Eu aposto que máis do 90%.

O único obstáculo seguro que xa o vistes automaticamente: cativos que esquezan ou ben os barcos que van directamente a B ou ben os barcos que van a B desde D ou E. Nada máis. Porque todos os que se presenten á olimpíada van dominar as fraccións, obviamente. Non é mal exercicio incluso para unha aula ordinaria de 1º de ESO, na miña opinión.

Mapmatics

Non quedou tan mal, comparado co atlas da miña infancia

Isto si que é sorprendente. Vou escribir sobre un libro.

Aínda que a etiqueta Libros ten 35 entradas antes desta, iso non implica que fixese comentarios en 35 entradas sobre libros, senón máis ben que apareceu, pode que de pasada, algún libro nelas. Certo é que si hai entradas nas que fixen comentarios específicos, a última Uns problemas para rematar xullo, de 2020, ou unha entrada basicamente enumerativa, Libros, de 2017, na que comento de xeito sucinto cada un; mais a última vez que comentei polo miúdo un libro pode que fose Twenty years before the blackboard, nesta entrada de 2014. E iso que algunha vez si teño anunciado que vou ler un libro. O feito de que non volva saír o título por aquí é consecuencia de que non me gusta facer reseñas negativas(quizais unido a que pasei tempo facendo comentarios breves en twitter, e desde que lisquei de alá, en bluesky). Polo que, aínda non sendo sempre por iso, certa probabilidade hai de que sexa un síntoma de que non teño moito bo que dicir. O certo é que antes de comezalos, tiña pensado dedicar entradas a The Maths of Life and Death, de Kit Yates, Thinking Better. The Art of the Shortcut, de Marcus du Satoy, Humble Pi. A Comedy of Math Errors(que é o mellor desta xeira), ou El Infinito Placer de las Matemáticas, de Sandro Maccarrone, pero por diversas razóns despois de ler os libros, pedín papas. Se alguén está interesado, que non dubide en preguntar. Que hoxe vou falar dun que si me prestou.

Souben de Mapmatics, de Paulina Rowińska, nunha reseña na web Aperiodical (feed que recollín hai moitos anos, xa non sei de onde). É xa un tópico que os matemáticos están interesados tamén pola xeografía (non sei se ao nivel dos matemáticos de calibre mundial e o alpinismo), e eu caio plenamente nel. Das primeiras cousas que lembro de neno(5/6 anos) é andar fedellando no atlas histórico-xeográfico de edicións Salma que había na casa. Aínda hoxe, máis de corenta anos despois, non podo evitar un sorriso lembrando aqueles mapas históricos(en amarelo, ?!), a parte que viña do Sistema Solar, o apartado no que falaba das proxeccións ou o anaco no que explicaban as morenas ou os circos glaciares. E os simples mapas tamén, claro, o groso do volume. Hai que recoñecer que aquel atlas, que moitos mercamos no antigo SIMAGO, era ben completo.

No libro a autora comeza lembrando a súa experiencia persoal de nena co globo terráqueo e os mapas. Ademais desa introdución e un epílogo, o libro artéllase en oito capítulos, nos que, sen pretender ser exhaustivo, trata desde os problemas esenciais de levar o globo ao plano(coido que xa falei de que iso se estudaba en Teoría Global de Superficies cando era eu estudante, e a profesora era Elena Vázquez Abal), a integral da secante e a súa relación cos erros na navegación, a medición da costa e a súa natureza inevitablemente fractal, os mapas topolóxicos como o do metro de Londres ou o da nación Catawba, as distintas métricas (isto levoume de cabeza a 1º de carreira, coa métrica do taxi), tamén a distancia de Hamming e os códigos detectores e correctores de erros, os comezos da topoloxía e a teoría de grafos e o omnipresente Euler, o problema das 4(ou 5)cores, o problema do viaxante, as matemáticas das votacións, o gerrymandering e a segregación urbana e escolar, os inicios da epidemioloxía co famoso (e agora sei que controvertido) uso dos mapas por John Snow para atopar a orixe do gromo de cólera de 1854, e finalmente, a difícil cartografía dos fondos oceánicos. Todo isto en ~300 páxinas, seguidas dunha sección final de lecturas posteriores por capítulo cunha chea de referencias.

O distrito das orelleiras, unha das moitas cousas que aprendín léndoo

A sensación xeral do libro é moi positiva, mais confeso que empeza mellor do que acaba, na miña opinión moi persoal: eu espero dun libro de divulgación matemática que haxa matemáticas explícitas, alén de historia e anécdotas(que tamén me prestan); e matemáticas explícitas hai nos primeiros capítulos, mais van sendo máis escasas a medida que avanzamos no texto. Realmente é ben curioso, pois seguindo o que dicía Stephen Hawking na súa Breve Historia do Tempo(i.e., cada fórmula matemática incluída nun libro divide por 2 o número de lectores), se alguén colle o libro nunha libraría pensando en mercalo, e comeza polo principio, vai atopar máis obstáculos que se colle o último capítulo, que falando de cartografía dos océanos, confeso que me deixou coa sensación de que estaba lendo un artigo xornalístico longo.

Como anécdota, lograr que volva ler sobre o problema das pontes de Königsberg ou o gerrymandering e que me resulte entretido, despois de ver estas cousas en tantos libros e artigos, ten que servir como proba de que o libro está ben escrito.

Se hai alguén que lea este blog sen ter formación matemática alén da secundaria, ten que saber que o libro é perfectamente comprensible e moi aproveitable. Seguramente pasará por riba das poucas expresións alxébricas do comezo, e seguirá entendendo a meirande parte.

Disclaimer: non levo comisión.

Un pequeno atraco

 

Nos 16 anos deste blog puxen unha morea de problemas que eu non resolvera previamente, imaxino que é evidente para os lectores. Porén, coido que todos os problemas que trouxen ocuparon algo da miña mente, polo menos para sopesar a súa dificultade. Iso non evita que me trabucase unhas cantas veces, sobre todo ao principio, cando propoñía moitos problemiñas recreativos; nalgunha ocasión apareceu un sen solución, descuberto grazas a comentaristas anónimos.

O preámbulo avanza que non pensei no seguinte problema, só teño o pálpito de que é interesante e difícil(que adoitan ser características concomitantes). Oxalá non me trabuque.

A imaxe explícase soa, pero haberá que concretar as preguntas, digo eu:

Comezamos un camiño de segmentos unitarios na orixe de coordenadas da cuadrícula enteira, polo 1º cuadrante. Observamos que o camiño pasa por todos os puntos de coordenadas enteiras non negativas.

• Cales son as coordenadas do n-ésimo punto do camiño?

Por poñer un exemplo, o 12º punto é o punto (3, 2)

E teño menos confianza aínda en que sexa sinxelo contestar á seguinte cuestión:

• Cal é posición no camiño do punto (a, b) da cuadrícula?

Por exemplo, o punto (1, 1) é o terceiro punto do camiño, e o (5, 6) ocupa a posición 42ª.
 

Intrigante, non si? A ver se teño tempo eu para fracasar tentando resolvelo.

Editado o 30/03/25(o día seguinte, vaia): A senectude, a présa, a cólera do heroe, ou outra cousa, provocaron que esquecera compartir a fonte do problema, que é Recreational Mathematics de Paul Yiu, fonte formidable de problemas que leva vinte anos arrolando pola rede. Seleccionade o texto e dádelle a buscar, sairá un feixe de opcións para atopalo. Unha marabilla. 

A ecuación de 2º grao, xeometricamente(pero sen completar cadrados)

 

No título xa aviso, pois pensar xeometricamente a ecuación de 2º grao a estas alturas xa é un lugar común. Por moito que algúns fagan coma quen que o redescobren para o gran público de cando en vez.

Antonte dei por casualidade co artigo de King-Shun Leung Dividing a right-angled trapezium into two similar quadrilaterals, en The Mathematical Gazette, pero como me adoita suceder, reparei nun detalle accesorio no artigo, que é do que veño falar: a representación analítica das solucións da ecuación de 2º grao. Ademais, xa coñecía esta representación, mais quedara algo esquecida na miña memoria. Por outra banda, é posible que Cibrán xa a incluíse nalgunha das súas entradas sobre historia da Álxebra. 

Partimos da ecuación na forma $x^2+bx+c=0$ con $bc\ne 0$ (lembremos que dividindo todos os coeficientes entre o coeficiente principal $a\ne 0$, obtemos sempre un polinomio mónico como o desexado). Marcamos no plano os puntos $A(0,-1),B(0,0),C(-b,0),D(-b,-c)$. A idea esencial do método consiste en trazar a circunferencia con diámetro o segmento AD. Se o discriminante $\mathrm{\Delta }=b^2-4c>0$, a circunferencia corta ao eixe X en dous puntos $P(\alpha ,0),A(\beta ,0)$, con $\alpha >\beta$.

   

E eses números $\alpha ,\beta$ son as solucións da ecuación orixinal. Vexamos por que no caso do punto P:

O punto P$(\alpha ,0)$ é solución $$\begin{gathered} ⟺{\alpha }^2+b\cdot \alpha +c=0⟺c=-\alpha \cdot (\alpha +b)⟺ \\ \frac{1}{\alpha }\cdot \frac{c}{\alpha +b}=-1 \end{gathered}$$

E aquí vén o salto, a igualdade anterior pode escribirse:

$$\frac{0-(-1)}{\alpha -0}\cdot \frac{0-(-c)}{\alpha -(-b)}=-1⟺PA\perp PD$$

que, de novo, é equivalente a que o punto P pertenza á circunferencia de diámetro AD.

E aínda van quedar deberes para o amable lector: coa pista do trapecio que resaltei na figura, tócavos amosar que uso lle dá para atopar os dous trapecios semellantes que promete o título do artigo.

O concurso Georg Mohr 2025-2

 Continuemos con esta marabilla de concurso. Na anterior entrada non aclarei que as primeiras dez cuestións son de resposta múltiple, a escoller entre 5 opcións, mentres que as dez últimas son "problemas de resposta". Para o total de 20 cuestións do exame, os alumnos dispoñen de 90 minutos, que non me parece moito, a verdade, para todo o que hai que roer.

Imos coa segunda xeira:

7) Sábese que os catro números a, b, c e d cumpren que $a<b<c<d$ e $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<\frac{1}{d}$. Cantos dos catro números son negativos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) non pode ser determinado

Este tipo de problemas puramente técnicos e abstractos encántanme. Cun nivel máis axeitado, teño posto algún en probas, tanto na ESO como en bacharelato, aínda que en bacharelato como bonus.

8) Nun lado dunha estrada infinitamente longa hai casas numeradas $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$

Todas as casas son vermellas ou azuis. Unha casa é azul se as súas dúas veciñas teñen diferentes cores, en caso contrario, é vermella. A casa co número 492 é azul. Que pode afirmarse con certeza?

a) A casa 2024 é vermella b) A casa 2024 é azul c) A casa 2025 é vermella d) A casa 2025 é azul e) non se pode asegurar ningunha das opcións anteriores

Unha cuestión de lóxica con requisitos mínimos aritméticos sempre é benvida.

9) Temos que colocar os números do 1 ao 9 nas celas do seguinte cadrado. Os números da ringleira superior suman 19, e os números da ringleira inferior suman 15. Os números da columna esquerda suman 7, e os da columna dereita suman 14. Que número ten que colocarse na cela coa interrogación?

É poñer unha figura destas e oír sudoku na clase instantaneamente.

a) Un número impar b) 4 c) 6 d) 8 e) Non pode determinarse

Este ten a súa dificultade por cuestións de tempo. Un pode ser sistemático, e sae, pero leva o seu tempo; ou notar certos feitos e facelo rapidamente.

10) Unha urna contén dous caramelos negros e un caramenlo branco. Georg mete caramelos na urna seguindo esta regra: colle un caramelo ao chou da urna, e pon ese caramelo e outro da mesma cor na urna de novo. Fai este proceso 3 veces de tal xeito que reamta con 6 caramelos na urna. Cal é a probabilidade de que remate con 3 caramelos de cada cor?

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{4}$ d) $\frac{1}{5}$ e) $\frac{1}{6}$

Este si que me parece un chisco máis rutineiro, só ten a dificultade de que hai que ser meticuloso e que o alumnado sabe (en proporción) resolver peor problemas de probabilidade que de case calquera outro bloque.

Aquí rematan os multiple choice problems, e comezan os answer problems: 

11) Dunha lista das 100 palabras máis usadas en certa linguaxe, hai 70 palabras que conteñen a letra A e 60 palabras que conteñen a letra U, mentres que 20 das palabras non conteñen nin A nin U. Cantas das palabras conteñen tanto o A como o U?

Sempre que vexo un problema deste tipo penso en como será atacalo sen saber diagramas de Venn. Para os da miña xeración, que vimos diagramas de Venn no comezo da EXB é unha ferramenta tan natural que resulta case imposible pensar en non coñecela.

12) Georg escolle un natural de 2 cifras n. Cando divide 1010 entre n obtén resto 2. Que resto obterá ao dividir 2025 entre n?

Non sendo rutineiro para o alumnado, o certo é que é un problema clásico. Que sucedería se n tivese 1 cifra? Que o problema non tería solución única.

13) Paula ten unha bolsa que contén 3 E's, 3 G's, 3 H's, 3 M's, 3 O's e 3 R's. Extrae letras da bolsa, unha cada vez, sen mirar. Cantas letras ten que extraer como mínimo para estar segura de que pode escribir GEORG MOHR usando as letras extraídas?

Unha cuestión aritmética básica algo distinta á habitual dos calcetíns de dúas cores nun caixón. É tan elemental que seguramente (deste non tiven feedback na devandita recuperación) dará lugar ao fenómeno de distinguir entre as persoas que ven a dificultade instantaneamente e as que poden non chegar a vela.

14) Aisha está xogando ao billar nunha mesa de 282 cm de lonxitude e 155 cm de anchura. A bóla está á mesma distancia das dúas bandas e a 96 cm do fondo BC. Quere embocar a bóla na troneira en A golpeándoa contra a banda CD no punto P, como amosa a figura. Cal debe ser a distancia entre D e P se Aisha quere embocala en A?

   

Neste hai o obstáculo do feito, por outra parte ben coñecido, de que os alumnos saiban que o ángulo de incidencia e o ángulo de reflexión coinciden. Logo hai que facer unha conta.

15) Nun sistema de coordenadas un rectángulo cos vértices (0,0), (10,0), (10,5) e (0,5) é dividido en 50 cadrados unitarios. Para cada un dos cadrados o valor é definido como a suma das dúas coordenadas dos seus 4 vértices. Así, p.ex., o cadrado unitario con vértices (3,2), (4,2), (4,3) e (3,3) ten valor 3+2+4+2+4+3+3+3=24. Cantos valores distintos aparecen en total?

   

Este é máis sinxelo que a media do concurso, é inmediato decatarse de que sucede entre dous cadrados contiguos.

16) Determina o valor de $$\frac{{20202}^2\cdot {80808}^2}{{40404}^4}$$
Sabendo que é unha parvada, este tipo de exercicios encántame.

17)  Os números do 1 ao 2025 son escritos en fila nunha orde aleatoria. Randi engade 1000 números, un a un, ao final da ringleira deste xeito: mira aos últimos 2025 números da ringleira e engade a mediana deses 2025 números. Repite este proceso 1000 veces. Cal é a máxima cantidade de números distintos que pode haber entre os 1000 números que engade? 

Quizais sexa este o problema máis difícil desta xeira? Quizais. Hai que pararse para entender o que pregunta, hai que pararse para entender que non é tan difícil como parece nun 1º momento, e logo decatarse de que non é tan sinxelo como parece nun 2º momento.

18) Os tres parrulos Zip, Zap e Zup teñen cada un un número favorito, que é un natura maior que 1. Os tres números favoritos son distintos. Os parrulos din consecutivamente números, e se o seu número favorito é divisor do número pronunciado, teñen que erguer unha á. Zip di 20, e dúas ás son levantadas. Zap di 21, e unha á é levantada. Zup di 70, e os tres erguen unha á. Cal é a maior suma posible dos 3 números favoritos?

Este confeso que non me gusta tanto. Paréceme que ten un texto algo abstruso para a idea que encobre.

19) Dentro dun cadrado de lado 10 debuxamos un semicírculo, un cuarto de círculo e unha diagonal. Cal é a área da rexión gris?

Ás veces vexo o Pelegrín   

A quen non lle vai gustar un cálculo sintético de áreas entre circunferencias e rectas? A QUEN?

20) Dos naturais A e B sábese que a suma dos díxitos de A é 2025, e a suma dos díxitos de B é 60. Cal é o valor mínimo da suma das cifras de A+B?

Rápido, cal é o voso pálpito para o derradeiro problema? Veña, agora a demostralo.

Oxalá tivese eu a inventiva necesaria para crear problemas elementais tan divertidos. Que marabilla.

O concurso Georg Mohr 2025

 

En xaneiro tiven a recuperación da 1ª avaliación de Matemáticas I, e como é habitual, houbo alumnos que aprobaran e que non querían subir a súa nota, polo que busquei unha olimpíada recente entre as fontes que levo usando anos: O Torneo Harvard-MIT, as competicións da Universidade de Waterloo, a OBMEP, ...

Pero esta vez o gañador resultou ser a primeira rolda da competición Georg Mohr, da que xa teño collido problemas ben fermosos en moitas ocasións semellantes. A razón foi que lin o 1º ítem, gustoume, mirei por riba os demais, e apostei que ía estar ben. Logo, durante a recuperación, os alumnos que estaban coa competición preguntaron algunha cousa e descubrín que había moitas xoias ocultas neste concurso. Ata o punto de que é difícil escoller algunha, que era o que pensaba que ía facer despois no blog. En conclusión, de vinte problemas, hainos bos e hainos moi bos. Comezando polo primeiro, unha alfaia abstracta sen números:

 1) As 4 figuras amosan o mesmo rectángulo e o mesmo círculo, pero colocados de xeito distinto

En que figura a diferenza entre a área raiada e a área gris é maior?

a) A

b) B

c) C

d) D

e) É igual nas 4 figuras

Este problema paréceme fermosísimo por varias razóns, a primeira xa mencionada: non require(non pode) usar números, só razoar en abstracto. En segundo lugar, a nosa mente rápida quere crer que os tamaños relativos das dúas figuras e da súa intersección inflúen na resposta e tamén quere que intuamos (incorrectamente) que a parte branca está relacionada coa diferenza solicitada no enunciado. Unha marabilla para comezar.

2) Gerth quere construír un modelo de vía férrea. Ten un feixe de pezas de vía de lonxitudes 7 cm e 11 cm. Cal é o mínimo número de pezas necesarias para construír unha vía que mida exactamente 200 cm?

 a)  18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

O connoisseur recoñecerá instantaneamente a ecuación diofántica lineal subxacente, que non é estritamente necesario resolver, observando simplemente que a vía terá menos pezas cantas máis teña de lonxitude 11. E os colegas seguidores do blog lembrarán que un problema análogo xa aparecera aquí no contexto da fase local da Olimpíada Matemática Galega de 2015 (onde tamén poderán comprobar que a aparición dunha ecuación diofántica dispara o meu uso da palabra connoisseur)

3) Os números 1, 2, ..., 9 están escritos nun encerado. Níkolaj ponlle un 0 á dereita a un número e un 1 á esquerda a dous números. A suma dos números do encerado agora é 119. Cal dos números orixinais é o que ten o 0 á dereita?

a)  3  b) 6 c) 7 d) 8 e) Non pode ser determinado

 

Outra cuestión elemental que é un bo exercicio para o alumnado.

4) A figura amosa o plano dun parque de xogos onde instalaron barras estreitas para practicar equilibrio andando o camiño PQRSP. Os cadrados do plano teñen lonxitude 1 metro. Os círculos son plataformas, dous de raio 1 metro e dous de raio 2 metros. Cal é a lonxitude total da parte do camiño que circula fóra das plataformas?

   

  a)  16 m b) 18 m c) 20 m d) 24 m e) 26 m

Seguramente xa vistes esta idea nalgún concurso de resposta múltiple.

5) Alma lanza un dado co 8 caras cos números do 1 ao 8, e Bertha tira un dado con 20 caras cos números do 1 ao 20. Cal é a probabilidade de que obteñan o mesmo número?

 a)  $\frac{1}{8}$ b) $\frac{8}{20}$ c) $\frac{1}{12}$ d) $\frac{1}{20}$ e) $\frac{1}{28}$

Vouno deixar no 6º problema, probablemente un dos meus preferidos desta fase:

6) Un taboleiro rectangular de dimensións 2x2025 ten que ser cuberto con pezas coa forma

Os triminós sonvos un pouco sosos

De cantos xeitos podemos facelo se as pezas non se solapan?

 a)  1 b) 2025 c) 2·3·2025 d) 2025² e) $2^{\frac{2025}{3}}$

Non sei se me gustou máis porque no momento no que me preguntaron por esta cuestión no exame, a miña primeira intuición foi errónea. Se sodes dos que chegades a combinatoria en 4º de ESO, paréceme un bo problema fóra do estándar da aula, como enriquecemento é factible.

Olimpíada Matemática Española 2024-25, Fase Local

 

Pequena adiviña non-relacionada-coas-matemáticas
que deixo (axiña aparece a razón)

A fin de semana pasada tivo lugar a fase local da OME deste curso, un colega mandoume o mesmo día foto da folla da sesión matinal e automaticamente quedei abraiado porque vin un problema que recoñecín como parte do folklore. E como ninguén me deu a razón, quedei pensando se sería un falso recordo. 

Polo que traio ese problema e a solución que practicamente non tiven que pensar, razón que apoia a miña postura: se non formase parte do folklore, probablemente eu non o daría resolto, e menos tan rápido. E de paso tamén comparto o primeiro problema, que tamén resultou sinxeliño. A ver que opinades.

O problema que eu considero ben coñecido era o 2:

Sexa $q(x)$ un polinomio de grao 2023 que cumpre $q(n)=\frac{1}{n}$ para todo $n=1,2,\dots ,2024$. Atopa o valor de $q(2025)$

Dúas liñas máis abaixo comeza o meu comentario e posterior solución. Avisados estades.

O primeiro que pensa un vendo ese enunciado é que un polinomio de grao 2024 queda determinado por 2025 valores, e aquí temos 2024 valores, polo que o mellor que podemos acadar é deixar un parámetro bailando. Se coñecedes algo do polinomio de interpolación e do determinante de Vandermonde saberedes o obstáculo que hai, que vén xeneralizar o feito ben coñecido de que unha recta(grao 1) queda determinada por 2 puntos, unha parábola(grao 2) por 3, etc. Na práctica, non parece factible meternos a calcular un polinomio de grao 2023. O que si sería máis manexable sería determinar o polinomio a partir das súas raíces, co pequeno obstáculo de que non sabemos as raíces de q. Polo que a estratexia vai ser atopar un polinomio relacionado con q do que si saibamos as raíces. E isto é cuestión de vista: Se $q(n)=\frac{1}{n}$, entón $n\cdot q(n)=1$, ou o que é o mesmo, $n\cdot q(n)-1=0$.

Así que o polinomio que vai facer o choio é $p(x)=xq(x)-1$, que ten 2024 raíces coñecidas, $n=1,2,\dots ,2024$. En consecuencia, $p(x)=\lambda \cdot (x-1)(x-2)\dots (x-2024)$, con $\lambda$, o coeficiente principal, por determinar.

Agora usamos que o valor no 0 é sinxelo de obter, e pouco quedará:

$$p(0)=0\cdot q(0)-1=-1$$ 

Pero tamén:

$$p(0)=\lambda \cdot (0-1)(0-2)\dots (0-2024)=\lambda \cdot 2024!$$

Igualando, $$-1=\lambda \cdot 2024!\to \lambda =\frac{-1}{2024!}$$

E $p(2025)=\frac{-1}{2024!}\cdot (2025-1)(2025-2)\dots (2025-2024)=\frac{-1}{2024!}\cdot 2024!=-1$

De onde $-1=p(2025)=2025\cdot q(2025)-1$, polo que $q(2025)=0$

Como detalle curioso, o conto cambiaría moito se estivésemos en 2024 ou 2026. Observade o gif que fixen, de 1 ata 20, como varía dependendo da paridade:

Non sei vós, eu oio o son de lategazos a través da pantalla

E, como dixen, o primeiro problema, gratis:

Sexa ABCD un paralelogramo e sexa M un punto na diagonal BD que cumpre $MD=2BM$. As rectas AM e BC córtanse nun punto N. Cal é o cociente entre a área do triángulo MND e a área do paralelogramo ABCD?

Como sempre, o debuxo explica mellor o asunto:

   

Neste problema hai unha única liña que revela o esencial, e non é moi esotérica, pois é a outra diagonal:

   

Como as diagonais sempre se cortan no punto medio(E nesta figura), e ademais $MD=2BM$, temos que $BM=2ME$ e $MD=\frac{2}{3}BD$. Sendo E o punto medio do lado AC do triángulo ABC, BE é a mediana correspondente a ese lado, e M ten que ser o baricentro, que é o único punto nunha mediana que a divide na razón 2:1.

Por tanto, AN ten que ser outra mediana, polo que N é o punto medio do lado BC, e podemos xa ir calculando razóns entre áreas de polígonos:

$$\frac{(MND)}{(BND)}=\frac{MD}{BD}=\frac{2}{3}$$

$$\frac{(BND)}{(BCD)}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{(BCD)}{(ABCD)}=\frac{1}{2}$$

Xuntando estas 3 razóns, $$\frac{(MND)}{(ABCD)}=\frac{1}{6}$$

O dito: o primeiro problema é tradicional? Resolvestes o do paralelogramo doutro xeito?

Un problema elemental que (non) resolvín

 

A semana pasada entrei nun grupo de Facebook no que son membro, "Oposiciones Matemáticas Secundaria- Problemas y Ejercicios", e vin este problema compartido por un membro anónimo(ata que entrei neste grupo non sabía que existían):

    

Na figura aparece un cadrado e as áreas de dous triángulos no seu interior. Demostrar que a área do triángulo azul é 77 e que a área do triángulo gris é 49,5.

Anímovos a que o pensedes antes de que se desate o maelström.

Nada máis velo recoñecín a situación habitual en moitos problemas, e confeso que pensei que ía ser sinxelo, que utilizando que triángulos coa mesma base e altura teñen a mesma área ou, como moito, o Teorema das Alfombras, sairía fácil. E púxenme ao choio, seguindo esta consideración previa:

   Cal será a orde que seguen as letras? 

E fun vendo as consecuencias máis inmediatas na configuración:

$$C=A+D=B+E+80=F+52,5$$

sendo eses 4 valores iguais á cuarta parte da área do cadrado.

Sen botar contas, xa se ve que con esas igualdades non vas a ningures, polo que pensei un chisco máis e vin os triángulos que van do chan ao teito, é dicir, estes dous da dereita,

 

e viceversa, i.e., estes dous da esquerda

De onde deducimos

$$F+52,5+C=C+52,5+A+E\to F=E+A$$

e

$$B+E+52,5=B+D\to E+52,5=D$$

Aí comecei a sospeitar que estaba dando voltas, que había igualdades que eran equivalentes a outras, e por tanto, non achegaban nova información.

$$\begin{gathered} C=A+D=B+E+80=F+52,5 \\ F=E+A \\ E+52,5=D \end{gathered}$$O máis lóxico, supoño, sería tentar seguir onde me levasen esas igualdades, p.ex.:

$$\{\begin{array}{l}B+E+80=F+52,5\\ F=E+A\end{array}\Rightarrow B+E+80=E+A+52,5\to B+27,5=A$$

O que vai ben no camiño de ver o que nos pide o exercicio (lembremos: B=49,5, A=77)

Pero como comentei arriba, eu xa notara que o asunto era laido, co cal probei outra cousa para chegar ao mesmo. Digamos que pedín papas coa estratexia de comparar áreas sen máis, e puxen nome a lonxitudes de arriba:

   

Para que? Pois para comparar áreas, claro:

$$\frac{80+F}{B+E+52,5}=\frac{x}{y}=\frac{80+E+A}{B+D}$$

E como todas as áreas estaban relacionadas con C, a cuarta parte do cadrado, pois tentei ir cara C:

$$\frac{C+27,5}{C-27,5}=\frac{x}{y}=\frac{C-B+A}{C-A+B}$$ (1)
Onde notei:

$$\frac{C+27,5}{C-27,5}=\frac{x}{y}=\frac{C+A-B}{C-(A-B)}$$

Que intuitivamente, sen botar contas, implica que $A-B=27,5$. Rigorosamente, podemos multiplicar en cruz, ou, xa que estamos matando moscas cunha bomba H, observar que a función $f(t)=\frac{c+t}{c-t}$ é inxectiva, sempre que $c\ne 0$.

De calquera xeito, non dei deducido nada máis de aí. Polo que pasei a comparar áreas de de triángulos que non compartisen base senón forma:

$$\frac{80}{C+52,5}={\left(\frac{x}{x+y}\right)}^2$$

e

$$\frac{B}{A+C}={\left(\frac{y}{x+y}\right)}^2$$ (2)

Con estas igualdades dei unhas cantas voltas, non cheguei a ningures agás a uns sistemas non lineais horripilantes en x e y, polo que volvín á figura e agora reparei nestes dous triángulos:

Non quero saber canto tempo da miña vida paso
escollendo cores para polígonos

Que son obviamente semellantes pois teñen os ángulos iguais, polo que os lados correspondentes son proporcionais, o que non serve de moito aparentemente sen meter máis variables. Mais tamén deducimos que a razón das súas áreas é o cadrado da razón de semellanza, é dicir, a razón entre dous lados correspondentes calquera, por exemplo os resaltados, que xa teñen etiqueta:

$$\frac{C+52,5}{80}={\left(\frac{x+y}{x}\right)}^2$$

E chegado este punto, veu a psicodelia:

$$\frac{C+52,5}{80}={(1+\frac{y}{x})}^2$$

Usando a primeira parte de (1) agora, 

$$\frac{C+52,5}{80}={(1+\frac{C-27,5}{C+27,5})}^2={\left(\frac{2C}{C+27,5}\right)}^2=\frac{4C^2}{(C+27,5{)}^2}$$

Afórrovos contas, a cousa queda así ao final:

$$C^3-212,5C^2+3643,75C+39703,125=0$$

Que ten 3 solucións racionais relativamente sinxelas para a pinta que ten, $C_1=-7,5,C_2=27,5,C_3=192,5$, e pola figura, deducimos que ten que ser $C_3$ 

Sucede que botando as contas metín a zoca no medio da psicodelia, invertendo os termos dunha fracción, polo que obtiven unha ecuación con coeficientes racionais pero solucións irracionais ben bravas. 

Na versión non analóxica de enriba cambiei
á fracción inversa pero xa non trabuquei

O curioso do asunto é que me decatei do erro polo medio desta entrada, antes pensaba que simplemente chegara a unha ecuación que non se podía resolver de xeito exacto. Que tivese grao 3 non axudou tampouco.

Volvendo á solución, se $C=192,5$, como é a cuarta parte da área do cadrado, esta é 770, e o lado do cadrado, $x+y=\sqrt{770}$, e p.ex. utilizando (1) outra vez, $\frac{192,5+27,5}{192,5-27,5}=\frac{x}{y}$, de onde $\frac{220}{165}=\frac{x}{y}\Rightarrow \frac{4}{3}=\frac{x}{y}$, polo que $x=\frac{4\sqrt{770}}{7}$ e $y=\frac{3\sqrt{770}}{7}$

E agora usando (2), 

$$\frac{B}{A+C}={\left(\frac{y}{x+y}\right)}^2\Rightarrow \frac{B}{B+27,5+192,5}={\left(\frac{3}{7}\right)}^2\to \frac{B}{B+220}=\frac{9}{49}\to 49B=9B+1980\to B=49,5$$

E por fin, $A=77$. Non era sen tempo.

Como dixen antes, isto non foi o que sucedeu nun primeiro momento.

O que sucedeu, en troques, foi que desfalecín, mirei o día de publicación do problema no grupo e comprobei a miña sospeita, que fora o 28 de decembro. E fun preguntar se era unha inocentada. E claro, non era, e o membro anónimo compartiu unha solución, que non mirei ata darlle outra volta infrutífera ao problema.

E volvín ao grupo, e mirei a solución compartida sen enfocar (así de ridículo son, en efecto), e vin algo semellante a isto:

   

E, obviamente, volvín ao problema sabendo que funcionaría dividir o lado superior do cadrado nos 4 cachos que se albiscan na imaxe borrosa. É dicir,

   

Pero p e q están relacionados con m e n respectivamente pola semellanza que se observa:

$$\frac{p}{p+m}=\frac{m}{l}\Rightarrow p=\frac{m^2}{l-m}$$

e

$$\frac{q}{q+n}=\frac{n}{l}\Rightarrow q=\frac{n^2}{l-n}$$

Con isto xa vai:

$$\{\begin{array}{l}(m+\frac{m^2}{l-m})\cdot \frac{m}{2}=80\\ \frac{l^2}{4}-\frac{l\cdot m}{2}=52,5\end{array}$$

E recoñezo que tampouco confiaba moito en que este sistema fose facilmente resoluble. Porén...

$$\{\begin{array}{l}\frac{l\cdot m^2}{l-m}=160\to l{m}^2=160(l-m)\\ l^2-2lm=210\to m=\frac{l^2-210}{2l}=\frac{l}{2}-\frac{105}{l}\end{array}\Rightarrow$$

$$l{(\frac{l}{2}-\frac{105}{l})}^2=160(l-\frac{l}{2}+\frac{105}{l})=160(\frac{l}{2}+\frac{105}{l})$$

$$l(\frac{l^2}{4}-105+\frac{{105}^2}{l^2})=80l+\frac{160\cdot 105}{l}$$

$$\frac{l^3}{4}-105l+\frac{{105}^2}{l}=80l+\frac{160\cdot 105}{l}$$

Aquí a sensación que tiven é que non ía dar saído(outra vez), mais...

$$l^4-420l^2+44100=320l^2+67200\to l^4-740l^2-23100=0$$

Unha bicadrada, quen contaba?! 

Aforrando o procedemento estándar, obtemos $l=\sqrt{770}$, e de aí, $m=\frac{\sqrt{770}}{2}-\frac{105}{\sqrt{770}}=\frac{4\sqrt{770}}{11}$ e $p=\frac{16\sqrt{770}}{77}$. E agora podemos razoar como o membro anónimo, e atopar o valor de n (a ese chamámolo igual, casualmente) mediante semellanza, ou usar que o lado do cadrado é a suma dos 4 segmentos m, p, q e n, e que p depende de m, xa coñecido, e q de n. En concreto:

$$q+n=\frac{n^2}{l-n}+n=\frac{ln}{l-n}=l-m-p=\frac{3\sqrt{770}}{7}\Rightarrow \frac{n\sqrt{770}}{\sqrt{770}-n}=\frac{3\sqrt{770}}{7}$$

Que dá $n=\frac{3\sqrt{770}}{10}$

E, POR FIN, podemos calcular as áreas solicitadas, 

$$B=\frac{(n+q)n}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{770}}{7}\cdot \frac{3\sqrt{770}}{10}}{2}=\frac{9\cdot 770}{70\cdot 2}=49,5$$

E A vale 27,5 máis, como xa falamos hai 5112 caracteres (aaarggg).

Sabedes o máis inquietante? Que nin comentei cando perdín a confianza no que estaba facendo e puxen un sistema de referencia e coordenadas a todos os puntos que había...

Entenderedes que nun tempo non haxa outra entrada onde volva escribir tantos símbolos matemáticos, non si?