Un xogo con sucesións(curtas) de Fibonacci

 

   

A sucesión de Fibonacci probablemente sexa a sucesión máis famosa que é chamada sucesión de xeito común. Porque en realidade os números naturais, os pares ou os impares, os números primos, etc., son ben máis coñecidas, pero é raro que se lles adhira o termo sucesión, polo menos en niveis elementais.

Fartos estaredes de ver os primeiros termos,

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \dots$$

E aínda máis de recuncar na lei de recorrencia dos termos da sucesión: cada termo é a suma dos dous anteriorezzz...

Por traer algo menos universalmente coñecido, se revisades os termos $F_n$ que son primos,

$$F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_7=13, F_{11}=89, F_{13}=233, \dots$$

veredes que, agás para n=4, os demais termos primos están nunha posición que é tamén un número primo(non tiredes conclusións rápidas, $F_{19}=4181=37 \cdot 113$).

Que só teñamos que buscar, a partir de $F_5$, números primos na sucesión de Fibonacci entre os que teñen os aspecto $F_p$, con p primo, é elemental se un sabe que a sucesión cumpre a seguinte condición:

Se a|b, entón $F_a|F_b$

(A demostración déixase como exercicio para o amable lector, e este feito ten nome)

Aproveito para lembrar que hai unha adiviña no blog desde hai 8 anos, De tres en tres, e dar unha pista: a solución que tiña eu en mente cando a escribín está relacionado cos números de Fibonacci tamén.

E por que escribo (por quinta vez) sobre os números de Fibonacci se é tan notorio que non é o meu tema preferido?

Exacto: porque vin onte un novo xogo, como xa intuístes coa imaxe da cabeceira da entrada.

O xogo chámase Knotilus, e consiste en que:

1º) Atopes cinco sucesións tipo Fibonacci de lonxitude 4 entre os 11 números propostos(esta é a parte sinxela, só hai que achar o molde a,b,a+b,a+2b entre os números)

e 

2º) Escollas entre as sucesións atopadas as tres que cumpren as condicións "só comparten un número(the knot)", "os demais números nas 3 sucesións só aparecen nunha delas"

Podedes ir directamente a xogar ou podedes analizar a solución do xogo sinxelo de hoxe:

    

Veña, que non vai ser todo ler a cantidade desorbitada de libros que teredes na cola de lectura.

Unha caracterización dos números compostos

 

Todo o mundo sabe que son os números compostos, a definición é ben simple e é introducida moi cedo na educación dos cativos. Ademais, pódese visualizar xeometricamente, aínda que non estou seguro de que iso axude á maioría da xente que teña dificultades de comprensión, pois a miña experiencia di que os que teñen dificultades cun concepto, tamén lles vai resultar un obstáculo(ás veces formidable) tentar conectar con outra representación/caracaterización do concepto. De aí as protestas habituais do alumnado ante varias explicacións/presentacións da mesma idea.

Por se hai alguén despistado, lembremos que un número n é composto se pode ser expresado como produto de dous números menores que n. Formalmente, $\exists \ a, b \in \mathbb{N}, \ 1<a,b<n  \mid n=a \cdot b $

E a representación xeométrica habitual consiste en debuxar tantos puntos como indica o número, dispoñéndoos en cuadrículas que non teñan nin altura nin ancho 1. É dicir: 

O 12, cantas veces será factorizado en 1º e 2º de ESO?

Utilizamos a representación rectangular porque é a natural na aprendizaxe desde o comezo da nosa aprendizaxe, pero como vimos hai ben tempo cos diagramas animados de Data Pointed, tamén serve calquera representación que resalte os grupos iguais:

30=5·3·2

Porén, hai moreas de resultados que caracterizan os números compostos, ou, o que é equivalente, que caracterizan os números primos. Persoalmente, lembro aprender o Teorema de Wilson na carreira e pensar, candidamente, que nese curto enunciado estaba o segredo dos números primos, etc. Xulgade vós a miña candidez:

Se p é un número primo, entón $(p-1)!\equiv -1 (mod p)$

Se non estades familiarizados* coa linguaxe de congruencias, o que quere dicir é  que (p-1)! deixa resto p-1 ao dividilo entre p. Por exemplo, se p=7, (7-1)!=6!=720, que dividido entre 7 dá obviamente resto 6(pois $721=\dot 7$). Para comprender por que digo que eu era un inocente, podedes ver a entrada da wikipedia sobre os Tests de Primalidade.

*Por sorte iso ten fácil solución, non tedes máis que ler o último capítulo dos Bocados Matemáticos do compañeiro Paulo Ogando, "A aritmética do reloxo", onde mediante exemplos da vida moderna ides entender esta xoia que nos legou Gauss.

Aproveito para compartir aquí a Gauss fibrilando ante o pampo que era eu en 1º de carreira:

A miña magna obra, o meu legado para a posteridade: os gifs 

Agora que xa todos sabemos (frase que adoita ser falsa nas clases) o que son os números compostos, imos co motivo real desta entrada.

Hai dúas entradas aludín ao arquivo que gardo de problemas desde hai 20 anos, arquivo que non revisito adoito porque cada vez que collo unha páxina, acabo perdendo media tarde. Pero esta xoia, tirada  da Olimpíada de Estonia de 1997(que non está na web, curiosamente, a saber onde a vira eu), e que esquecera completamente, merecía tamén ser comentada:

Demostrar que n é composto se e só se existen $x, y, a, b\in \mathbb{N}$ tales que

$$\begin{cases}\large{a+b=n} \\ \large{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1} \end{cases}$$

E que significará xeometricamente esta condición, que aos máis vellos do lugar nos traerá á memoria a ecuación segmentaria da recta?

Solución a Como ides de intuición(estocástica)?

 

Dado que unha multitude (só direi que hai que usar o plural) me pediu que compartise a solución do problema da entrada anterior, decidín coller a solución que escribín en 2008 e traela aquí. Como vexo un pandemonium de factoriais e números combinatorios, contade con que cometa algún erro, agardemos que só sexan erratas. Ah, e non ides ver ningunha gran intuición, só un traballo de libro.

Lembremos o problema: se temos nunha urna 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis, e imos extraendo unha a unha, cal é o número esperado de bólas verdes que quedan na urna cando extraemos a última bóla azul?

En primeiro lugar, as bólas azuis poden desaparecer, como moi cedo, na 8ª extracción, e como moi tarde, na 80ª. Se desaparecen na k-ésima extracción, quedarán 80-k bólas verdes. Só hai que calcular a probabilidade de que as bólas azuis desaparezan na extracción k-ésima e multiplicar por 80-k(e sumar, claro).

Chamándolle $A_k=$ "as bólas azuis desaparecen na k-ésima extracción", temos:

$$P(A_1)=P(A_2)= \dots P(A_7)=0$$

$$P(A_8)=\frac{8}{80}\cdot \frac{7}{79}\dots \frac{2}{74}\cdot \frac{1}{73}=\frac{8! 72!}{80!}=\frac{1}{\binom{80}{8}}$$

(Número final que podía verse desde o comezo, pero é a miña natureza sobreexplicar, polo menos no primeiro exemplo)

$$P(A_9)=\frac{\binom{8}{1}}{\binom{80}{8}}$$

pois hai 8 lugares onde colocar a bóla verde.

E sucesivamente

$$P(A_{10})=\frac{\binom{9}{2}}{\binom{80}{8}}$$

$$\dots $$$$P(A_k)=\frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}}$$

Logo o número esperado de bólas verdes que quedarán é:

$$\sum_{k=8}^{80} (80-k) \frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}} \overset{\mathrm{l=k-8}}{=}\sum_{l=0}^{72} (72-l) \frac{\binom{l+7}{l}}{\binom{80}{8}}=\frac{1}{\binom{80}{8}} \sum_{l=0}^{72} (72-l) \binom{l+7}{7} $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \sum_{l=0}^{72} \binom{l+7}{7} - \sum_{l=0}^{72} l \binom{l+7}{7} \right]=\frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \cdot \binom{80}{8} - \sum_{l=0}^{72} 8 \binom{l+7}{8} \right]= $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \binom{80}{8}-8 \binom{80}{9}\right]=\frac{\binom{80}{9}}{\binom{80}{8}}=8$$

Onde utilicei que $72 \binom{80}{8}=9 \binom{80}{9}$, pois ambos os dous coinciden con $80 \binom{79}{8}$

En conclusión, o número esperado de bólas verdes cando non queden bólas azuis é 8. Que, resulta intuitivo? Esperabades máis bólas verdes?

Como ides de intuición (estocástica)?

The Bent, símbolo da sociedade, vén sendo
unha peza do cabalete dunha ponte

 Revisando o meu vello arquivo de problemas, sección Escila (de xeito nada rimbombante tampouco, a outra sección é Caribdis, obviamente), atopei este problema da columna Brain Ticklers na revista The Bent da asociación de enxeñería (ou algo así) Tau Beta Pi. Problema que xa apareceu por aquí, oculto con outros moitos, na macroentrada Problems for the Million, pero como ninguén lle prestou atención ningunha, cando eu creo que é ben fermoso, e dado que o balón é meu e marcho para casa con el se me dá por aí, velaquí:

Unha urna contén 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis. As bólas son extraídas ao chou sen reemprazamento ata que sacamos todas as bólas azuis. Cal é o número esperado de bólas que quedarán na urna nese momento?

(Nunca vos pasou estar nunha conversa con moita xente, soltar unha brincadeira, e que ninguén a oia? Pois eu son dos que repiten a brincadeira, pero máis alto)

Como dato histórico, o problema ten autor, William Allen Whitworth, matemático inglés do que eu non sabía nada, quen o publicou en 1901. Lendo a súa páxina da wikipedia, achei que Whitworth foi realmente o primeiro que publicou o fermoso Bertrand's Ballot Theorem (non estou seguro de como traducilo, se votación ou elección): Se nunha elección o candidato A obtén p votos e o candidato B obtén q votos, con p>q, cal é a probabilidade de que o candidato A fose sempre por diante de B no escrutinio? A resposta é unha marabilla, $\frac{p-q}{p+q}$

Antes de que tentedes resolvelo, o máis interesante na miña opinión: cantas bólas estimades que quedarán cando extraiamos todas as azuis? Aposto a que probablemente (no pun intended) ides levar unha sorpresa.

Unha adiviña moi circular

 

Máis dun mes despois volvo por aquí para publicar unha adiviña. Teño varias entradas recentes que probablemente nunca saian do borrador porque, como moitos saberedes, a xefatura de estudos que me encomendou a Providencia, máis ou menos, non me deixa ter a paz mental necesaria para poñerme a organizar ideas. En consecuencia, escollo ocupar o meu ocio lendo ou vendo cousas, non escribindo eu aquí. E esas entradas quizais sexan demasiado ambiciosas para o meu estilo habitual.

A adiviña de hoxe pode que sexa sinxela para algúns dos lectores do blog, que son cultos de máis. Por iso vou darlle o formato máis difícil que se me ocorre: non explicar (case*) nada 

   

*Case, que non son un salvaxe: partimos dunha circunferencia calquera de centro O que pasa por un punto A, e todas as circunferencias e arcos que aparecen na construción teñen o mesmo raio que a primeira. Pintei de azul os centros desas circunferencias e arcos para axudar un chisco á vista.

A adiviña: que ten de interesante o segmento vermello?

A quen non lle vai gustar unha demostración do coseno da suma?

 

Procrastinando entre pdfs e djvus Aprendendo unha morea como cada día na docencia e preparando novas actividades no American Mathematical Monthly, atopei esta nova (para min) demostración da fórmula do coseno da suma de ángulos, que parte dunha situación que xa aparecera por este blog hai anos nesta entrada, na que se demostraba precisamente o seno da suma. Lembremos a situación de partida:

   

A idea era debuxar os ángulos α e β de xeito consecutivo, e prolongar os lados dos ángulos de tal xeito que o lado común forme unha perpendicular coa unión das extensións dos outros dous. Máis sinxelo velo que dicilo, como podedes comprobar. Despois había que utilizar a expresión das áreas dos 3 triángulos da figura en función do seno dos 3 ángulos implicados, e o chisco inevitable de álxebra et voilà.

Para reutilizar a figura temos que poñer tres novas etiquetas:

Creo que é digno de mención que atopase
o ggb nun disco duro

Comezamos apelando ao Teorema do Coseno no triángulo grande:

$$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Por outra banda, 

$$c=m+n \Longrightarrow c^2=m^2+2mn+n^2$$

E usando o Teorema de Pitágoras nos dous triángulos pequenos e substituíndo na igualdade anterior,

$$\begin{cases} n^2=a^2-h^2 \\ m^2=b^2-h^2\end{cases} \Longrightarrow c^2 = b^2+2mn+a^2-2h^2$$

Igualando as dúas expresións para a medida $c^2$:

$$ b^2+2mn+a^2-2h^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Cancelamos:

$$2mn-2h^2=-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Dividindo os dous membros entre $-2ab$:

$$cos(\alpha+\beta)=\frac{h}{a}\cdot \frac{h}{b}-\frac{n}{a} \cdot \frac{m}{b}$$

é dicir, 

$$cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta - sen \alpha \cdot sen\beta$$

q.e.d.

Non sei que pensaredes, a min sempre me prestan as demostracións nas que atopas por camiños distintos dúas expresións diferentes para a mesma cousa. Xa temos outro exemplo no arquivo.

Escribindo unha entrada como se fose 2010

 

Nunha crise existencial causada polo claustro de comezo de curso, os meus ósos deron no Facebook¹ coa publicación dunha profesora da facultade, na que había un vídeo recoñecible dentro dunha serie ben famosa cando comezaba este blog, Animation vs Animator (que podedes atopar na etiqueta animación, ao final dunhas cantas entradas). Mirade se pasaron anos, que a web que compartira do animador, Alan Becker, xa non está operativa(sería interesante saber que porcentaxe de webs .net desapareceron nestes anos).

O autor leva un ano creando vídeos dentro da lista de reprodución Animation vs Education, o que vin antes é o 3º da xeira, Animation vs Geometry:

Confeso que non coñecía o vídeo da Física, e que non rematei de ver o das Matemáticas, así que empecei a ver o novo(só de hai 2 meses!) con receo. E non axudou a estrela invitada que aparece aos dous minutos do vídeo, certamente. Teimas dun que xa vai vello.

Aínda así, continuei véndoo(axuda que dure menos de 10 minutos, non como os outros dous), e hai algunha cousiña que me sacou un sorriso, polo que o rematei con vistas a, quizais, poñelo algún día en clase.  

---

1 Efectivamente, ademais fago outras cousas modernas, como ver o teletexto para saber que películas ir coller ao videoclub^↩

Un día tiven unha idea totalmente ordinaria

 

Nestes quince anos coido que xa amosei unhas cantas veces que teño certa tendencia natural a facer mal as cousas, deixádeme por unha vez que amose un chisco de orgullo aínda que sexa por algo anódino que pouco mérito ten.

O meu último ano en Compostela, facendo o CAP e dando clases nunha academia, debería estar preparando as oposicións de secundaria. Polo que sexa, resumamos en que non foi así. Unha noite volvendo no IASA a Ferrol coincidín cun compañeiro de carreira que estaba apuntado a unha academia de preparación de oposicións(daquela eran Ágora e Esquío as que dominaban o mercado). Pregunteille que facían na academia, explicoume que para o práctico lles daban un compendio de teoría sucinta e métodos para aplicar, e boletíns por bloques: Números, Álxebra, Análise, etc. E comentoume un exercicio do último boletín que lles deran: Amosar que $e^{\pi}>\pi ^e$

Eu daquela nunca oíra falar dese problema, agora sei que é clásico. E non sei como, no marco incomparable da parte traseira do IASA, pensei automaticamente en "baixar" os expoñentes co logaritmo neperiano, é dicir, comparar $\pi$ con $e \cdot ln \pi$, dado que o logaritmo é unha función crecente, e dada a molestia visual que supón ese factor antes do logaritmo, comparar $\frac{ \pi}{e}$ con $ln \pi$.

Pensando un anaco máis, definín a función $f(x)=\frac{x}{e}-ln x$ co obxectivo de estudar o seu crecemento:

$f'(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}$, que é positivo se x>e e negativo se x<e; i.e., f é decrecente antes de e e crecente despois, de onde deducimos que en x=3 ten un mínimo. Dando a volta ao razoamento que nos trouxo a esa función, $$f(e)<f(\pi) \Rightarrow 0<\frac{\pi}{e}-ln \pi \Rightarrow \pi >e \cdot ln \pi \Rightarrow e^{\pi}>\pi ^e $$ q.e.d.  

Supoño que lembro isto con certo orgullo inane porque agora mesmo xa non sería quen de argallar un argumento así de memoria. E iso que o esencial é ben simple: manipular as expresións ata atopar unha manexable co cálculo dunha variable.

Por moito narcisismo que poida padecer, o obxecto desta entrada non é que me adoredes por resolver un problema que calquera cuns coñecementos de cálculo elemental podería resolver tamén, senón presentar dous argumentos máis fermosos có meu, que atopei lendo por riba números do Pi Mu Epsilon Journal. Procedamos:

O primeiro que atopei, e segundo cronoloxicamente(outono de 1986), é obra de Alan C. Benander, quen reduce a desigualdade a amosar que  $\pi > e \cdot ln \pi$, como fixen eu. E aquí remata o parecido, porque entón fai o seguinte:

$$e \cdot ln \pi=e \int_1^\pi \frac{1}{t} dt=\int_1^\pi \frac{e}{t} dt$$

Que graficamente é a área da zona verde desta figura:

   

Por outra banda, $\pi$ coincide coa área do rectángulo laranxa, e a área da zona verde por riba da recta $y=1$ é 

$$\int_1^e \left( \frac{e}{t}-1\right)dt =e ln(e)-(e-1)=1$$

é dicir, coincide coa área do cadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), polo que a área verde é menor que a área do rectángulo laranxa, é dicir,

$$e \cdot ln \pi<\pi \Rightarrow e^{\pi}>\pi^e$$

No artigo Benander afirma que un argumento anterior (en primavera) de Norman Schaumberger é máis elegante. Xulgade vós:

Schaumberger comeza invocando o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral,

$$\int_e^ \pi \frac{dx}{x}=\frac{1}{c} (\pi-e)$$, con $e<c<\pi$

Polo que $$ln \pi-ln e<\frac{\pi-e}{e}=\frac{\pi}{e}-ln e $$

De onde $e ln \pi < \pi ln e$ e o resto é igual que antes.

E para rematar, en 1987 Fouad Nakhli publicou a seguinte demostración sen palabras no Mathematics Magazine. Aviso de que ás veces as demostracións sen palabras requiren de que o lector encha unhas cantas lagoas:

Escala totalmente forzada para que se vexa algo

Vedes? Se tivese unha idea no IASA como a destas tres demostracións, aínda tería sentido que fose levitando no mundo das ideas. Pero non é o caso.

Tropos en Matemáticas

 

No dicionario da RAG

Supoño que o amable lector saberá dos seus tempos de educación primaria e secundaria o que é un tropo. Eu estudei os recursos estilísticos en 7º de EXB, clasificados en semánticos, morfosintácticos e fonéticos, e dentro dos semánticos, que o profesor de Castelán comentase que a metáfora, a metonimia e a sinécdoque eran tropos. E lembro pensar como se parecía ao que contaban en Naturais dos fototropismos , xeotropismos e hidrotropismos(o gusto polas clasificacións será común en todos os sistemas educativos do mundo?) Estrañamente, non dixen nada en clase, a explicación máis probable é que estaría falando con alguén.

Mais na linguaxe cinematográfica en inglés hai un termo, movie trope, que parece facer referencia a estes tropos da literatura mais en realidade ten un significado máis próximo a tópico, tema ou motivo recorrente, ou incluso cliché ou estereotipo. Cuns exemplos entenderedes perfectamente de que estamos a falar:

Cantas veces vistes unha escena na que un personaxe esperta de ter un pesadelo e incorpórase case sen folgos?

Un protagonista metendo a zoca falando mal doutro personaxe, que está xusto detrás do primeiro?

Un vilán que ten deformidades faciais?

O policía que é moi eficiente pero ten problemas coa autoridade e con cumprir coas leis/dereitos humanos?

Deixando a un lado o oportuno destes temas recorrentes ou o preguiceiro que resulta o estilo, o certo é que supoñen atallos na narrativa. No momento que aparece unha escena, situación ou personaxe con estas características, todos os afeitos á linguaxe cinematográfica recoñece dunha ollada o que quere transmitir. 

A este significado quería referirme co título da entrada, i.e., cantas imaxes, exemplos, etc., son facilmente recoñecibles se as vemos nun encerado dunha aula de Matemáticas?

Vou poñer algúns das miñas propias clases e algúns que vin en innumerables ocasións en libros ou documentos pola rede. Estou certo de que ides recoñecer todos instantaneamente:

Depende de se están marcados os ángulos ou non, pensamos
 en algo que aparece en 1º ou en 2º de ESO

Outra, habitual en números racionais en 3º:

   

Un exemplo da aritmética/álxebra:

   

Recoñezo que a imaxe anterior, sorprendentemente, a utilicei desde o meu primeiro ano de traballo, mentres que as seguintes, que ilustran propiedades máis elementais, tardei uns anos en ver a necesidade:

  

Nesta tiven que facer trampa. Na aula non amoso un gif, senón que debuxo só a cuadrícula da esquerda e fago que todos os cativos xiren 90º a cabeza para ver o rectángulo con base e altura intercambiados. Coido que xa o contara por aquí.

 E aínda máis elemental, aínda máis recente a incorporación ás miñas aulas,

   

Neste caso o que fago é poñerme á esquerda e mirar desde aló á secuencia de puntos e logo moverme á dereita e mirar no sentido contrario.

Pero quizais estas últimas imaxes non sexan tan habituais das aulas en xeral, volvamos a algo recoñecible como estándar.

É unha verdade universalmente recoñecida que cando os triángulos
rectángulos están pousados na hipotenusa, vas aviado

Cúbicas bonitas, claro

E a imaxe anterior admite variacións para converterse nunha das imaxes máis típicas:

Cando animo os puntos no geogebra fago ruidiños polo baixo,
simulando un one button game dos tempos do Flash

 

E que dicir desta?

 

Aposto a que a anterior aparece moito máis que este outro caso, por que será, eh?

  

Outro clásico:

   

Agora mesmo xa só veñen exemplos rebuscados á memoria. Imos deixar que repouse e quizais volva con outra entrada. Podedes mandar as vosas suxestións, serán benvidas.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 5

Rematamos os problemas deste ano da olimpíada matemática galega cun de combinatoria enumerativa:

Se cambiamos as letras da palabra BARCO de todas as formas posibles podemos formar moitas palabras, con ou sen sentido. Ordenándoas alfabeticamente, en que posto aparece a temida COBRA?

Cambiei de opinión: probablemente esta fose a cuestión máis sinxela da olimpíada. Para o tipo de alumnado que chega a estes niveis, a dificultade que presenta non vai ser tal. E se algún tivo clases de combinatoria en ESTALMAT, xa non digamos.

O problema ten un aquel ao que se facía en 1º de BUP hai moitos anos, cando había que indicar a orde dun número concreto creado con certas cifras dadas, problema que adoitaba rematar pedindo a suma de todos os números dese xeito, etc. 

Neste caso, para nós é evidente que hai 5!=120 palabras con esas letras, 4!=24 comezando por cada letra, co cal hai que ir ás que comezan por C e ver cantas comezan por O, ...

Se me preguntades a min, sempre me parece ben poñer algún razoamento enumerativo deste tipo. Curioso que fose o último, non sei se influiría no desempeño isto, que os cativos normalmente van por orde.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 4

 

Recapitulemos o que vai desta olimpíada ata agora: o 1º problema, aritmético(factores), o 2º, xeométrico(circunferencias), o 3º, xeométrico-aritmético(rectángulos e razóns). 

De que irá o 4º?

Pois si, de xeometría:

Lucas e Ana dividiron un cadrado de lado 60 cm en cinco partes de igual área como o que che mostramos. Cantos centímetros mide o segmento AB?

   

Aínda que é sinxelo, na miña opinión tamén é fermoso: non é inmediato, e hai que ter claro que é o esencial na área dun triángulo máis que a fórmula crúa.

Sen ter nin idea, teño a impresión de que puido ser o problema con máis solucións correctas. Hei preguntar.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 3

Chegamos ao 3º problema desta fase final, este xeométrico, pero tamén aritmético. Velaquí: 

Temos 1000 pezas para construir un crebacabezas rectangular como o da figura co logotipo das Olimpíadas Matemáticas. Queremos que se axuste o máximo posible á proporción DIN, a que seguen os folios, cuxa razón entre alto e ancho é a raíz cadrada de 2. O fabricante só nos deixa quitar ou engadir un máximo de 3 pezas. Cantas pezas terá de alto e de ancho o crebacabezas que mellor se axusta á norma DIN?

Este non o tentei emular, fixen cap 

Confeso que me encantan os problemas nos que se relaciona a forma co número, que por moitas matemáticas que saiba, non deixa de supoñer un arcano(tanto ten que falemos de semellanza que do xénero dunha superficie). Non hai moito propuxen este problema nº 2 nunha ficha en 1º de ESO, que facía referencia á foto da dereita:

Daquela saíu o tema de que o número de pezas que indican os puzzles non sempre é exacto, asunto ao que dedicou un vídeo Matt Parker:

E á cuestión inmediata, cando é un rectángulo o máis cadrado posible? E cuestións máis avanzadas, como as que enumeraba na entrada Preguntas sinxelas en Xeometría.

Vedes a relación co problema da Olimpíada? Como determinar que o rectángulo escollido está máis preto do estándar DIN? Será inmediato para os cativos que é máis útil elevar ao cadrado a razón entre ancho e alto e ver o preto que está de 2?

Un bo problema para esta fase, se teño que resumir.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final - 2

 

Imos co 2º problema da fase final deste ano, este xeométrico:

No próximo Arde Lucus haberá un circo romano no que se realizarán espectáculos e loitas de gladiadores. A forma do circo será un tanto inhabitual, trátase, como se amosa na figura, de dous círculos superpostos de radio 136,64 metros:

a) Cal será o perímetro do circo?

b) Que porcentaxe da área do círculo da esquerda se solapa coa do círculo da dereita?

Cantos logotipos se basearán nesta figura?

O problema é tradicional, ao punto de que é habitual velo de vez en cando en libros e na rede, pero como os cativos que van á OMG non están sobreadestrados(ou iso quero crer), seguramente non o coñecesen, e tivesen que partir de cero para resolvelo.

Quizais só teña unha péga que poñerlle: non son redundantes os dous apartados? Unha vez resolves o a), vendo o ángulo, que resta para responder o b)?

Como curiosidade, os meus alumnos de 2º de ESO probablemente non saberían facelo. A estas alturas non traballamos áreas aínda.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Final

 

Crédito a DiegoAS

Onte celebrouse a fase final da Olimpíada Galega en Lugo, como é tradición xa. Este ano pasou a fase local un alumno meu de 2º de ESO, cousa que non sucedía desde que daba clase en Cedeira, hai dez anos. Unha das cousas que resultan evidentes dando clase na ESO é que hai alumnos cun talento natural para a resolución de problemas e para traballar con abstraccións. Esta afirmación, coa que aposto que estaría de acordo a maioría de compañeiros de Matemáticas, hoxe en día é algo démodé, quizais polas "evidencias" que propoñen os defensores do growth mindsetgrowth mindset. E poño "evidencias" porque lembremos que os seus defensores chegaron, de xeito como mínimo alegre, a dicir que cando un comete erros fai crecer o seu cerebro, aínda que non sexa consciente de que está a cometer erros. E cales son as evidencias? Pois basicamente o resultado de facer fMRI. Nestas andamos no século XXI.

Sirva todo o anterior como circunloquio para introducir que o meu alumno é un caso claro de talento para as matemáticas, e que nun caso así ao que hai que aspirar é a non limitar a súa capacidade de aprendizaxe. 

Como teño amigos no staff, xa puiden ver onte pola tarde os problemas que caeron. E haberá que seguir a tradición tamén de compartilos por acó.

O primeiro pareceume bonito e bastante difícil para ser o primeiro. Xulgade vós:

Obtén todas as parellas x,y de números naturais tales que $$x^2 \cdot y^3 = 6^{12}$$

Poñédevos no lugar dun cativo de 2º de ESO, que non ve instantaneamente, coma nós, que é esencial descompoñer o 6, nin sabe probablemente que os cadrados perfectos se caracterizan porque os expoñentes dos factores primos que teñen sempre son pares, e analogamente, os cubos porque os expoñentes son múltiplos de tres. Nese caso o problema resulta formidable, e aínda salvando eses obstáculos, aínda hai que ter unha boa dose de meticulosidade para enumerar todos os pares.

O dito: fermoso, pero difícil.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-5

 

Xa chegamos ao último problema desta fase local:

O Club Baloncesto Ensino precisa unha nova xogadora para o equipo e contan coas seguintes candidatas, para as que anotaron estes datos incompletos:

XOGADORA A

   

XOGADORA B

   

a) Sabendo que a Xogadora A anotou 27 puntos no partido 4, calcula cantas canastras de 2 anotou.

b) Sabendo que a Xogadora B promediou 15,2 puntos nos 5 partidos, calcula cantas triplas anotou no partido 4.

c) Xustifica cal das dúas sería a mellor fichaxe para o Ensino.

Este problema lembroume aos que comezaron a meter as editoriais maioritariamente coa LOE, ao final das unidades, baixo epígrafes titulados "Competencia Matemática" ou algo similar. Na miña organización ideal da aprendizaxe (que nunca cheguei a verbalizar claramente), este tipo de problemas deberían ser habituais en 6º de Educación Primaria. Para esta olimpíada non o vexo moi axeitado, non vai servir para dirimir a competición en absoluto. Reparade en que a idea matemática do a) é entender o peso de cada tipo de canastra, e no b), o mesmo engadindo o concepto de media aritmética, que resulta un obstáculo máis semántico que matemático. O c) entraría no que deron en chamar modelización matemática, neste caso espérase que o alumno observe que o número absoluto de puntos só non dá toda a información necesaria. Claro que o feito de que non se usase a columna de tempo de xogo no a) e no b) tamén servía como pista.

En conclusión, coido que esta fase foi máis sinxela do habitual, eu botei en falta un chisco de razoamento combinatorio elemental ou de xeometría non dirixida estritamente á medida, e por outra banda, houbo varios problemas con escaso razoamento puramente matemático(pode que estea sensible despois de ver/padecer tamén a avaliación diagnóstico). Pero vaia, que isto o escribo eu desde Ferrol, como quen lle berra ao presentador do telexornal.

Como sempre, a ver se hai sorte e tamén podo comentar os problemas da fase final do mes que vén.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-4

Un problema de temática artística

 

Imos co cuarto problema desta fase:

A célebre parella formada por David e Victoria Beckham ten 4 fillos e fillas.

• O maior ten a metade dos anos do seu pai.
• A máis pequena, a cuarta parte.
• A suma das idades dos dous fillos medianos, que se levan dous anos, é a mesma que a idade do pai hai 10 anos.
• O número de anos que ten a filla pequena é o primeiro número de dúas cifras con 6 divisores.
• Victoria lévalle un ano a David.

Deduce cantos anos ten cada membro da familia.

O problema ten basicamente dúas dificultades: o obstáculo de que ata a cuarta condición non se pode empezar a pensar con números concretos, e o feito de que esta cuarta condición non é inmediata. Que conste que probando un a un, chegamos ao 12=2²·3 axiña, pero hai que ter certa destreza para estar seguro do que fai un e continuar con garantías.

Non vos vai dando a impresión de que este ano os problemas eran asequibles?

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-3

 

O problema 3 da fase local deste ano dicía así:

Para as vindeiras festas de San Froilán, Anxo está pensando en traer un novo carrusel e xa está no proceso de deseño.

Despois de falar co concello e coa empresa que lle constrúe a atracción, déronlle os seguintes datos:

• Na feira conta cunha parcela cadrada de 400 m².
• A base do carrusel é un círculo perfecto, que ocupará a porción máxima da parcela.
• Terá dúas filas de cabaliños(circulares), separadas entre elas 3 m.
• A distancia da fila exterior de cabaliños co exterior do carrusel tamén son 3 m.
• Cada cabaliño mide 1,5 m de largo.
• A separación entre cabaliños ten que ser de 1 m.

Cantos cabaliños pode ter, como máximo, o carrusel de Anxo?

Cabaliño tirado de Icon Scout

Outro problema de desenlear a maraña de frases e datos. Nese sentido, lembra un chisco a cuestións liberadas de PISA. Tamén en que a solución non remata cunha división exacta que vaia dar o número de cabaliños en cada fila, como podemos saber a priori pola medida natural que ocupa cada cabaliño, fronte á medida irracional das filas, inducida esta pola medida dos radios.

En moitos casos, a estas alturas de 2º de ESO haberá alumnos que non visen aínda xeometría métrica do plano na clase de Matemáticas. Pode ser perfectamente o problema no que menos éxito vaian ter os participantes. 

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-2

 

Imos co segundo problema da fase local deste ano.

a) Cal é o número máis grande de tres cifras que verifique os criterios de divisibilidade do 4 e do 11?

b) Cal é o número máis pequeno de catro cifras divisible por 6 e por 7?

c) Cal é o número máis pequeno de cinco cifras divisible por 6 e por 9?

Estou certo de que os rapaces participantes recoñeceron este problema como familiar. E aínda que ningún profesor sabe que fan os seus compañeiros nas súas aulas, todos temos unha opinión. Eu, por exemplo, coido que este tipo de tarefa se fai nas aulas de 1º e pode que de 2º tamén, extrapolando do que fago eu e de ver cousas similares en libros de texto. Observade este exercicio dun exame meu de 1º de ESO de hai dous anos:

   

Veña, poño outro exercicio daquel exame, con datos que inventei totalmente cando daba clase en Oleiros:

Con eses ritmos, todos os barcos ían dar contra o Seixo Branco ou A Marola

Ese exercicio 7 que puxen tiña unha diferenza con respecto aos da olimpíada, alén de que desde o punto de vista do cálculo sexa máis sinxelo: non lles deixaba usar calculadora nese exame, polo que a estratexia "ir mirando número a número ata que un funcione" levaría máis, ata o punto de ser impracticable.

Por outra banda, non entendo moi ben a elección das palabras no apartado a). Pretendían que os alumnos pensasen realmente nos criterios de divisibilidade(que aquí molestan máis que axudan)? Pretendían que os alumnos traducisen o enunciado de un xeito máis amigable, que a fin de contas, é o que poñen o b) e o c)?

A resolución, como é un exercicio estándar, podemos intuír por onde vai: no a) observamos que un múltiplo de 4 e de 11 ten que ser múltiplo de 44. Dividimos 1000 entre 44, obtemos resto 32, co cal 1000-32=968 é o número buscado. Pero hai estratexias alternativas: 990 é obviamente múltiplo de 11, pero non de 4, restando 22 directamente (non 11, porque non sería par) obtemos 968. Ata pode que algún alumno vexa rápido ou saiba de antemán que 1001 é múltiplo de 11 (lembrade o efecto dos números co aspeco abcabc).  

Pero como os cativos podían utilizar calculadora, tamén podían simplemente probar. Podemos supoñer que os participantes teñen habilidades por riba da media, así que moito non lles levaría atopar o 968.

Tampouco entendín a redundancia nos apartados, a única diferenza entre o b) e o c) é que 6 e 7 son coprimos pero 6 e 9 non, sorprenderíame que algún dos participantes pensase que tiña que buscar múltiplos de 54 no segundo caso. Sempre é máis sinxelo criticar os problemas que inventalos/propoñelos un mesmo, eu intúo que poría, en troques de 3 apartados tan similares, un deses e outro no que tivesen que atopar números múltiplos comúns de dous que non fosen múltiplos doutro relacionado(p.ex. 6, 15 e 60 ou 90)

E os que temos certa experiencia cos primeiros cursos da ESO sabemos que, por moito que se lles diga que se valora a explicación das respostas, vai haber unha morea de respostas lacónicas

a) 968

b) 1008

c) 10008

   Sería interesante ter datos sobre este particular.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local

 

A edición deste ano da Fase Local da Olimpíada Matemática Galega de 2º de ESO celebrouse onte, 25 de abril, coincidindo co 50 aniversario da Revolución dos Caraveis. Outra gran experiencia para os alumnos e espero que tamén para o profesorado acompañante que veu ao IES Canido. Para min, desde logo, sempre é agradable ter visitantes no meu instituto.

Como (case) todos os anos, procedo a compartir os problemas desta fase. Imos co primeiro:

Cinco localidades A, B, C, D e E, encóntranse situadas ao longo dunha estrada, aínda que non necesariamente nesta orde. As distancias entre elas, en quilómetros, veñen reflectidas na seguinte táboa:

     

a) Xustifica en que orde se encontran estas localidades ao longo da estrada.

b) Elabora unha táboa de distancias como a do enunciado anterior, pero esta vez ordenada, entre as localidades de Lugo, Palas, Melide, Arzúa e Santiago sabendo que se atopan por esta orde ao longo da N-547 e que as distancias de Lugo ao resto de localidades son 37 km, 51 km, 66 km e 100 km respectivamente.

Para comezar, un problema "dos de fedellar". É probable que os alumnos nunca visen datos representados nunha táboa de dobre entrada antes de afrontar esta proba. Quizais viron as táboas de multiplicar, non sei como de estándar será en España esa visualización (nesta entrada combinábase cun mapa térmico para amosar información moi interesante para os mestres de Primaria de xeito ben elegante). Probablemente haxa algún alumno que asuma que a primeira cidade teña que ser A por estar ao comezo, ter un 0 ao lado... Calquera profesor que dese en 1º ou 2º de ESO sabe que pode suceder.

Non é un mal problema para comezar a proba, todos os alumnos poden implicarse na resolución e entrar "in the zone", ese momento no que flúen as ideas.

Como sempre, o amable lector pode compartir a súa opinión nos comentarios.

Que avalía a Avaliación Diagnóstico? (again)

Hans Freudenthal looking right into your soul

 

Dez anos despois da entrada que dediquei aos contidos da avaliación diagnóstico, probas que daquela seguían os preceptos da LOE, volven estas probas. Mirade se pasaron anos, que ademais de que neste intervalo xa padecemos unha lei que marchou felizmente e outra que chegou desgrazadamente, o termo Wordle non evocaba un xogo de palabras ao estilo do aforcado, senón unha nube de palabras. Sic transit gloria mundi.

Mellorando as cantigas de amigo gratuitamente.
De nada, Galiza

O motivo de que volvan de xeito universal a 4º de Educación Primaria e a 2º de ESO é que están prescritas no artigo 144 da LOMLOE. Por que levamos tanto tempo sen probas deste tipo? Pois porque a LOMCE estaba máis enfocada a facer reválidas, que tamén foron un fracaso e non se levaron a cabo.

E de súpeto temos que ocupar dous días nos institutos en que os alumnos de 2º de ESO fagan probas de Castelán, Galego, Inglés e Matemáticas. Setenta minutos para contestar uns cuestionarios cun feixe de texto, moito irrelevante, posto para facer que os alumnos teñan que pescudar o imporante. E logo os profesores que non dan clase neses niveis teñen que volcar os datos dos cuestionarios, que maioritariamente teñen items de resposta múltiple, nunha plataforma da administración. É dicir, eses profesores van ter que picar en menús nunha web. Estupenda utilización dos docentes. Nas materias lingüísticas si hai moito que roer, polo que me contaran unhas compañeiras, e a rúbrica que teñen que aplicar para volcar logo as respostas é kafkiana.

Ben, antes de entrar nos contidos da proba de Matemáticas, procedo a contar o que fixen eu con estes alumnos en 1º e 2º(cos cambios de grupo, deilles clase a máis do 75%). Son especialmente lento dando clase, o que contrasta con que falo especialmente rápido. Pero globalmente, son lento. En 1º pasei un mes revisando a aritmética elemental, propoñendo distintos contextos, algúns lixeiramente relacionados coa combinatoria, para afondar na comprensión(iso pretendía eu) da multiplicación e a división. Isto provocou un atraso que aínda inflúe no que damos. Despois o habitual de Aritmética: Divisibilidade, Enteiros, Fraccións, Decimais, Proporcionalidade, e Potencias de xeito máis ou menos transversal. De aí cambiamos á introdución á Álxebra, que comecei, como fago hai máis de dez anos, traballando o concepto de variable a partir da identificación e construción de patróns xeométricos(e en menor medida, aritméticos), traballando inicialmente os monomios como na Álxebra Xeométrica de Euclides. Logo ecuacións e problemas susceptibles de ser resoltos alxebricamente. E xa deu tempo nada máis a iniciar a Xeometría, lonxe do que se fai nos libros de texto, insistindo nos razoamentos, aínda que fose humildemente, facendo caza de ángulos, razoando as propiedades elementais das figuras. E acabou o curso estudando un chisco as propiedades métricas das figuras planas. Con respecto ao programado, que correspondía coa lei loxicamente, non vimos nada da introdución ás Funcións nin á Estatística. E quedaron cousas de Xeometría. En 2º no que vai de curso, afondamos na Aritmética de 1º, e contidos novos de Álxebra só chegamos a ver Polinomios e Ecuacións de 2º grao. No que queda de curso veremos Sistemas de Ecuacións e as cuestións fundamentais da Xeometría do Triángulo. Pois aínda queda máis de mes e medio de traballo ordinario. Xa contei algunha vez, por aquí ou por twitter, que no meu centro decidimos, dada a magnitude do curriculum e o traballo de unidades 0 en 1º de ESO, comezar 3º de ESO polo bloque de Estatística e Probabilidade, para logo continuar por Funcións. Os que levamos anos traballando xuntos pensamos que é impracticable traballar ben todo todos os anos.

Pero que saberemos nós.

Dito isto,  que entrou na avaliación diagnóstico? Velaquí unha explicación sucinta de cada ítem

• P1: mandaba identificar a representación axeitada para unha táboa de datos.
• P2: pedía que tomasen unha decisión nunha votación obtendo porcentaxes.
• P3: o mesmo que a P2 despois dun cambio nos datos da votación.
• P4: usar unha escala nun mapa.
• P5: identificar unha cantidade expresada en notación científica.
• P6: decidir como aloxar uns peregrinos nun hotel que ten cuartos dobres e triples.
• P7: na situación anterior, botar contas sobre o orzamento que teñen para aloxarse noutro hotel.
• P8: decidir que dimensións son necesarias para saber cantas tendas de campaña caberían nun galpón, sen operacións.
• P9: comparar o número de mochilas que caben nunha cesta da que se coñecen as dimensións sabendo cantas caben noutra da que tamén coñecemos todo.
• P10: decidir entre dous modelos de cestas de base cadrada cal habería que usar para levar unha mochila, da que se coñecen as tres dimensións.
• P11: decidir cal de 4 expresións radicais é a axeitada para calcular a diagonal especial dun ortoedro.
• P12: identificar cantas racións de torta venderon 3 rapaces sabendo cantas venderon en total e cantos cartos gañou cada un, e dicir se son V ou F tres enunciados.
• P13: ter en conta un feixe de cantidades de cartos(prezo dun bus, transporte de equipaxe, aloxamento, etc.) para determinar  cantos cartos pagará cada alumno e distribuílos en cotas mensuais.

Observades a (non) sofisticación? Tendo en conta que na pregunta da notación científica só había unha das opcións na que a cantidade estivese expresada en notación científica, que na P10 había que identificar unha raíz cadrada(este vai ter poucas respostas correctas porque cadrada estaba oculto entre moito texto), e sobre todo, que en toda a proba o único uso explícito da álxebra aparece no contexto do Teorema de Pitágoras (e para nada, ademais, era cousa de identificar soamente $\small{D=\sqrt{60^2+d^2}}$). Se fixesen esta proba en 3º ou 4º, estou certo de que si habería máis álxebra, pero só como escusa para que tivesen que chantar números en fórmulas, como en certos exemplos infames liberados de PISA, como

M047

ou

M124

Se queredes ver as fontes, velaquí.

A primeira reacción quizais sexa pensar que un profesor de aula podería guindar ao lixo o curriculum e centrarse en facer actividades con moito texto, nas que haxa que facer sumas, restas, multiplicacións, divisións, e pode ser, algunha raíz cadrada. Pero ademais de que, como amosa o feito de que os alumnos que mellor contestan os items de PISA son os que teñen unha formación máis técnica(non son preparados explicitamente con tarefas como pide PISA ou esta avaliación), como profesor, responsable dos seus alumnos, un ten que saber que restrinxindo o ensino das Matemáticas a esta visión timorata faría un fraco favor aos seus alumnos. Se o que se pretende que saiban ao rematar 2º de ESO é aritmética moi elemental e pelexar con textos innecesariamente abstrusos, afirmo rotundamente que non van poder continuar con estudos máis avanzados.

Claro que pode ser que quen deseña esta avaliación non teña en conta esa eventualidade.

Procurando Bonus

 

Con tanto esvarador, para facer o gif tiven que recorrer a capturar a pantalla

Falei por aquí algunha vez dos bonus nos meus exames? Supoño que algo diría, pero indo case por 850 entradas, nin google atopa de xeito rigoroso os termos, polo que haberá que explicar minimamente o que son:

Non sei exactamente cando, dando clase en Cedeira pensei que sería boa idea engadir ao final dos exames un problema baixo o título de Bonus. Tal problema é voluntario, en consecuencia non conta na cualificación do exame, e ten que ser algo difícil, un chisco alternativo, aínda que nestas característica recoñezo que son moi laxo. A función orixinal do Bonus era valorar que algún alumno resolvese problemas fóra dos mínimos habituais; simultaneamente cumpre a función de ter entretidos aos alumnos que acaban cedo os exames(aínda que veño notando que cada vez hai menos).

De onde saen os Bonus? Maioritariamente das miñas fontes habituais, que xa comentei por aquí: do concurso Log1 de Mu Alpha Theta, da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, dos concursos da University of Waterloo, algunha vez do Canguro Matemático. E a estas alturas da partida, tamén de cousas que se me ocorren a min lin nalgún sitio que xa non lembro. Velaquí uns exemplos ao chou, capturados de exames(como se fosen in game):

Este caeu a 1ª vez en Matemáticas I en Cedeira, collino no Log1, e hai uns
anos en Canido deu lugar a dúas solucións distintas ben fermosas

Esta preciosidade, en 1º de ESO en Canido en 2019

Matemáticas I, Canido 2022, inventado por min(o que non ten moito mérito)

Canido, 3º de ESO, 2019. Orixe tradicional

Podedes intuír que un problema sirva como Bonus ou non depende de varios factores, sendo un dos máis relevantes o momento do proceso de aprendizaxe no que estean os alumnos. Un problema auténtico a comezos de 1º de ESO pode ser un exercicio mecánico dous meses despois, por exemplo.

Co terceiro trimestre comezamos o bloque de Funcións, que vai desde os rudimentos ata a Derivada e as súas aplicacións. Os contidos que hai que tratar son ben coñecidos por calquera profesor que estea na aula(sobre a opinión dos lexisladores habería moito que roer), o tempo é limitado para o denso que é o que hai que asimilar, co cal hai certos procesos polos que hai que pasar en voo rasante. No mellor dos casos.

E dei en pensar que podería incluir o recoñecemento de funcións como bonus ou como exercicios algo fóra do habitual nun boletín ordinario, aínda non sei que farei. Déixovos por aquí varias ideas, todas no formato de "Atopa a expresión alxébrica das funcións que teñen estas gráficas":

Está claro por onde hai que mirar, pero hai que axustar ben a orde. 

E cando un ve esta outra, é máis sinxelo distinguir o que sucede na anterior

Pero vaia, que se as dúas primeiras quizais son demasiado enleadas para comezar, podemos introducir antes estas:

     

É interesante relacionar estas dúas coas dúas previas

A relación e diferenza entre esta e a seguinte encántanme

 Non diredes que non prestan, eh?   

E agora, cambiando a función que aparece nas anteriores todo o tempo,

    Como canas dobrando ao vento

Son o único que lle pon son aos anacos da gráfica, algo como "IIIIIEEEEEEHHH"?
(Si, seguramente é tara miña)

É ou non é a composición de funcións un rebumbio fenomenal?

Aínda que ningún exemplo dos anteriores vai substituír o exemplo da non conmutatividade ao poñer os calcetíns e os zapatos, ou os calzóns e os pantalóns, que nun caso define á xente normal, e no outro, aos superheroes.