Dúas solucións para o mesmo problema de voltas

Neste post, consecuencia dunha petición á que atendo gustoso, vou resolver o último problema proposto. Que era este:

A e B están a dar voltas nunha pista circular, con velocidade uniforme, en sentido contrario e partindo de puntos diametralmente opostos. Se, partindo simultaneamente, atópanse por primeira vez despois de que B percorra 100 metros, e por segunda vez, 60 metros antes de que A complete unha volta, calcular a lonxitude da circunferencia da pista.

• 1ª Solución, dependente do debuxo:

Na figura localizamos os puntos antipodais A e B, puntos de partida dos dous corredores. O punto P representa a primeira intersección de A e B, de tal xeito que B leva 100 metros de carreira, e Q a segunda intersección, onde vemos que a A fáltanlle 60 metros para dar a volta completa. Chamándolle x á distancia percorrida por A antes de atoparse con B, observamos que B percorre x + 60 desde P ata Q. E aquí vén o esencial do problema: a distancia que percorre B no segundo treito é o dobre do percorrido no primeiro treito, pois as velocidades de A e B son uniformes e no segundo treito fan conxuntamente a volta completa, mentres que no primeiro treito fan unha metade de volta.

Así que x + 60 = 2·100, de onde x = 140, media volta mide 140 + 100 = 240 metros, e a volta completa 480 metros.

• 2ª Solución, algo máis abstracta:

Se lle chamamos 2C á lonxitude da volta completa, observamos que antes de atoparse por primeira vez, A e B percorreron, respectivamente, C — 100 e 100 metros. E cando se atopan por segunda vez levan percorridos (en total, desde o comezo) 2C — 60 e C + 60. Como as velocidades son uniformes, as distancias percorridas nos mesmos tempos teñen que ser proporcionais, así que:

\frac{C-100}{100} = \frac {2C-60}{C+60} \rightarrow C = 240

E de novo, a lonxitude da circunferencia é 480 metros.