Problems for the Million

 

O triángulo ABC é isóscele e P está na base.
Vedes algo?

Xa teño comentado en varias entradas que na época na que tiña que preparar as oposicións para acceder á docencia, hai case 20 anos, eu basicamente estaba dedicado a resolver os problemas elementais que daba atopado pola rede. Como sempre comento, o pragmatismo non é unha das miñas virtudes, aínda que esta situación tivo un xiro de guión interesante: na oposición que aprobei, caeron dous problemas de olimpíadas matemáticas. Problemas que non fixera antes, pero é de supoñer que o meu non-adestramento tivo que axudar.

Desa época gardo dous arquivos de problemas resoltos, supostamente un con problemas sinxelos e outro con problemas menos sinxelos, aínda que esa clasificación que fixera agora resulta case arbitraria. (agarrádevos: os sinxelos ocupan 200 folios e os menos sinxelos, 340) Case nunca reviso eses arquivos, hoxe ao rematar unha tarefa deume por mirar, e pensei en traer uns cantos problemas vellos para que as miñas hordas de lectores poidan divertirse como fixen eu naquel momento.

Sen un criterio claro, velaquí:

• Canadá 1985: Un triángulo ten lados 6, 8 e 10. Amosar que existe unha única recta que biseque tanto a área como o perímetro do triángulo.
• Australia 1988: Se o natural n ten k uns na súa representación binaria, entón o número $\frac{n!}{2^{n-k}}$ é un natural impar.
• Wisconsin 2006: Sexa S={2,3,22,23,32,33,222,...} o conxunto de naturais cuxas cifras son unicamente 2 e 3. Amosar que non hai 3 termos distintos en S que estean en progresión aritmética.
• Tau Beta Pi, Spring 2000: Unha urna contén 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis. Extraemos bólas ao chou, unha a unha, ata que quitarmos todas as bólas azuis da urna. Cal é o valor esperado de bólas verdes na urna nese momento?
• Mathematical Reflections J123: Resolver en números primos a ecuación $x^y+y^x=z$
• Canadá 1982: Amosar que o número de permutacións de 1,2,..., n sen puntos fixos diferénciase nunha unidade do número de permutacións con exactamente un punto fixo.
• Eire 2002: Definamos a sucesión $a_n$ mediante $a_1=a_2=a_3=1$ e $a_{n+3}=\frac{a_{n+2} a_{n+1}+2}{a_n}$. Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.

E agora algúns deses problemas que caberían ao final dun boletín do instituto:

• Michigan Autumn 1996: O coche 1 percorre 27 millas a 43 mph e logo 27 millas a 56 mph. O coche 2 circula 27 minutos a 43 mph e logo 27 minutos a 56 mph. Cal dos dous coches ten maior velocidade media?
• Argentina Intercolegial, 2006: Nun parque só hai gatos de dúas cores: brancos e negros. Os gatos machos representan o 55% do total de gatos do parque. A proporción entre machos brancos e machos negros é igual á proporción entre gatos brancos e gatos negros. Achar a proporción entre machos brancos e femias brancas.
• Memorial's Local Undergraduate Competition Winter 2001: Amosar que $\frac{\sqrt{y^2+1}+y+x}{x \sqrt{y^2+1}-xy+1}$ é independente de x, supoñendo que o denominador é non nulo.
• Croacia 1999: Partimos da terna de números $(a_1,a_2,a_3)=(3,4,12)$. Levamos a cabo o seguinte proceso un número finito de veces: escollemos dous números $x, y$ da terna e substituímolos por $0,6x-0,8y$ e $0,8x+0,6y$. É posible obter a terna $(2,8,10)$(onde podemos permutar os elementos)? 
• Kömal B 4092: Atopar naturais a, b, c e d tales que o máximo común divisor de cada parella é maior que 1 pero o máximo común divisor de cada terna é 1. É dicir, (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)>1 e (a,b,c)=(a,b,d)=(a,c,d)=(b,c,d)=1
• Niels Henrik Abel 1994-95: Se $x,y \in \mathbb{R}$ tales que $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$, entón $x+y$=0
• Problemas de práctica para a Olimpíada Española, 80: As parábolas $y=cx^2+d$ e $x=ay^2+b$, con $c,a>0$ e $b,d<0$ córtanse en 4 puntos. Amosar que estes 4 puntos están nunha mesma circunferencia.
• Canadá 1969: Determinar cal dos dous números, $\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$ e $\sqrt{c}-\sqrt{c-1}$ é maior para calquera $c \geq 1$

Intúo que xa tedes problemas abondo desta xeira.