Solución a Como ides de intuición(estocástica)?

 

Dado que unha multitude (só direi que hai que usar o plural) me pediu que compartise a solución do problema da entrada anterior, decidín coller a solución que escribín en 2008 e traela aquí. Como vexo un pandemonium de factoriais e números combinatorios, contade con que cometa algún erro, agardemos que só sexan erratas. Ah, e non ides ver ningunha gran intuición, só un traballo de libro.

Lembremos o problema: se temos nunha urna 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis, e imos extraendo unha a unha, cal é o número esperado de bólas verdes que quedan na urna cando extraemos a última bóla azul?

En primeiro lugar, as bólas azuis poden desaparecer, como moi cedo, na 8ª extracción, e como moi tarde, na 80ª. Se desaparecen na k-ésima extracción, quedarán 80-k bólas verdes. Só hai que calcular a probabilidade de que as bólas azuis desaparezan na extracción k-ésima e multiplicar por 80-k(e sumar, claro).

Chamándolle $A_k=$ "as bólas azuis desaparecen na k-ésima extracción", temos:

$$P(A_1)=P(A_2)= \dots P(A_7)=0$$

$$P(A_8)=\frac{8}{80}\cdot \frac{7}{79}\dots \frac{2}{74}\cdot \frac{1}{73}=\frac{8! 72!}{80!}=\frac{1}{\binom{80}{8}}$$

(Número final que podía verse desde o comezo, pero é a miña natureza sobreexplicar, polo menos no primeiro exemplo)

$$P(A_9)=\frac{\binom{8}{1}}{\binom{80}{8}}$$

pois hai 8 lugares onde colocar a bóla verde.

E sucesivamente

$$P(A_{10})=\frac{\binom{9}{2}}{\binom{80}{8}}$$

$$\dots $$$$P(A_k)=\frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}}$$

Logo o número esperado de bólas verdes que quedarán é:

$$\sum_{k=8}^{80} (80-k) \frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}} \overset{\mathrm{l=k-8}}{=}\sum_{l=0}^{72} (72-l) \frac{\binom{l+7}{l}}{\binom{80}{8}}=\frac{1}{\binom{80}{8}} \sum_{l=0}^{72} (72-l) \binom{l+7}{7} $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \sum_{l=0}^{72} \binom{l+7}{7} - \sum_{l=0}^{72} l \binom{l+7}{7} \right]=\frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \cdot \binom{80}{8} - \sum_{l=0}^{72} 8 \binom{l+7}{8} \right]= $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \binom{80}{8}-8 \binom{80}{9}\right]=\frac{\binom{80}{9}}{\binom{80}{8}}=8$$

Onde utilicei que $72 \binom{80}{8}=9 \binom{80}{9}$, pois ambos os dous coinciden con $80 \binom{79}{8}$

En conclusión, o número esperado de bólas verdes cando non queden bólas azuis é 8. Que, resulta intuitivo? Esperabades máis bólas verdes?