De ángulos e senos

No último exame de Matemáticas I puxen este exercicio:

Demostrar que a expresión $cos(\alpha +\beta )cos\beta +sen(\alpha +\beta )sen\beta$ non depende do valor de $\beta$

Habitualmente, cando poño cuestións de identidades trigonométricas en exames, tento que haxa varios camiños para atopar a demostración, para evitar frustracións alén das ordinarias. E este é un bo exemplo, pois é factible desenvolver todo o desenvolvible:

$$cos(\alpha +\beta )cos\beta +sen(\alpha +\beta )sen\beta =$$

$$(cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta )cos\beta +(sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta )sen\beta =$$ 

$$cos\alpha co{s}^2\beta -sen\alpha sen\beta cos\beta +sen\alpha cos\beta sen\beta +cos\alpha se{n}^2\beta =$$

$$cos\alpha co{s}^2\beta +cos\alpha se{n}^2\beta =cos\alpha (co{s}^2\beta +se{n}^2\beta )=cos\alpha$$

que non depende de $\beta$, q.e.d.

Aínda que un profesor con algo de experiencia ou intuición saberá que o final da demostración dos alumnos vai ser algo distinta, utilizando a fórmula fundamental para substituír unha das razóns.

Mais tamén, como adiviñaría o avezado lector, hai unha proba nunha liña:

$$cos(\alpha +\beta )cos\beta +sen(\alpha +\beta )sen\beta =cos(\alpha +\beta -\beta )=cos\alpha$$

Que é máis complicado de ver por un alumno pola dependencia nos símbolos. Comprensible.

Buscando inspiración para o exame no libro Trigonometry de Gelfand & Saul, que é unha xoia, atopei este exercicio, que xa coñecía dalgunha outra fonte (pode que fose nun libro de texto antigo) pero esquecera. E tivo a consecuencia indesexada de facerme rememorar vellas ideas da carreira, en concreto a materia Elementos de Variable Complexa de 3º. A estrutura da expresión levoume á breve demostración que se vía aló das fórmulas para o seno e o coseno da suma e da resta de ángulos.

Pero antes, lembremos as demostracións habituais:

Seguramente a que aparece na maioría dos libros de texto se basee na figura seguinte:

   

É posible que a figura non apareza na circunferencia trigonométrica, o que supón un pequeno obstáculo adicional. E é ben coñecido que esta proba só demostra directamente o caso no que a suma dos ángulos é un ángulo agudo, para ángulos maiores hai que utilizar outro argumento, relacionado coa redución ao 1º cuadrante.

Neste blog apareceu outra demostración elemental que só utiliza a expresión da área dun triángulo en función do seno dun dos ángulos, na entrada O seno da suma (cunhas poucas palabras), e que se sintetiza na seguinte imaxe:

   

Subindo un chisco o nivel de coñecementos, a representación das rotacións mediante matrices fai que a demostración sexa un mero trámite, pois o produto das matrices representa a composición das rotacións:

$$\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sen\beta \\ sen\beta & cos\beta \end{array}\right)$$

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cc}cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta & -(cos\alpha sen\beta +sen\alpha cos\beta )\\ sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta & -sen\alpha sen\beta +cos\alpha cos\beta \end{array}\right)= \\ \left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sen(\alpha +\beta )\\ sen(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right) \end{gathered}$$

O lector hardcore deste blog lembrará que esta idea, formalmente, xa fixera aparición hai dez anos na entrada Matrices e Pitágoras?.

E aínda podemos exprimir máis o conto:

$$e^{i\alpha }\cdot e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}$$

Utilizamos a fórmula de Euler e temos outra demostración ultrarrápida das fórmulas de adición.

Porén, o episodio que veu á miña memoria poñendo o exame non foi isto, senón a demostración que aparecía nun libro de texto da bibliografía de Elementos de Variable Complexa, que basicamente consistía no seguinte:

Consideremos $\omega \in \mathbb{C}$ e a función $f(z)=coszcos(\omega -z)-senzsen(\omega -z)$

Calculamos a súa derivada:

$$\begin{gathered} f^{\prime }(z)=-senzcos(\omega -z)+cosz\cdot (-1)\cdot [-sen(\omega -z)]-coszsen(\omega -z)- \\ senz\cdot (-1)cos(\omega -z)=-senzcos(\omega -z)+coszsen(\omega -z)-coszsen(\omega -z)+ \\ senzcos(\omega -z)=0 \end{gathered}$$

Polo que a función é constante, e como $f(0)=cos\omega$, temos que: $$coszcos(\omega -z)-senzsen(\omega -z)=cos\omega ,\mathrm{\forall }z\in \mathcal{C}$$, que é un xeito alternativo de escribir a fórmula para o coseno da suma de ángulos.

Un aspecto que distingue as diferentes probas é se son demostracións de comprobación ou de descubrimento. A última que amosei, alén de usar unha idea potente, só comproba algo xa coñecido, i.e., non serve para atopar a expresión; mentres que nas outras podemos atopar a expresión sen coñecela previamente. 

Por outra banda, lembrades a demostración habitual da derivada do seno? Utiliza dúas cousas: o límite $\underset{x\to 0}{lim}\frac{senx}{x}=1$ e, precisamente, o seno da suma na forma $sen(x+h)$. Sempre hai que ter coidado e traballar con xeito, non vaiamos demostrar o Teorema de Pitágoras vía o Teorema do Coseno.