Matrices e Pitágoras?

Hai anos estaba a ler un libro de historia da Teoría de Números e no epígrafe sobre o problema dos números que poden ser expresados como suma de dous cadrados dei co coñecido resultado:

"Se dous números poden expresarse como suma de dous cadrados entón o seu produto tamén pode ser expresado dese xeito"

Vexamos un caso particular:
$$\small{\begin{cases} 13=3^2+2^2 \\ 17=4^2+1^2 \end{cases}\rightarrow 221=13\cdot17=14^2+5^2}$$
Habitualmente este resultado aparece demostrado utilizando igualdades polinómicas, técnica na que Euler destacou coa súa vista proverbial¹. Pero aquel día non sei que tería eu rondando polo miolo, que atopei varios xeitos "naturais" de amosar o devandito resultado.
Enfocando o problema: tentei amosar que, se multiplicamos dous números expresables como suma de dous cadrados, $\small{P=a^2+b^2}$ e $\small{Q=c^2+d^2}$, obtemos outro número PQ, tamén expresable $\small{PQ=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}$

Ao ver a suma de dous cadrados pensei automaticamente nos números complexos, quizais (non o lembro con exactitude) porque pasara pouco tempo desde que factorizara algún polinomio no corpo complexo. E rapidamente apareceu a proba:
$$\small{PQ=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=}$$
$$\small{(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)=[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)-(ad+bc)i]}$$
$$\small{=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}$$

Se tentades traducir esta fórmula ao caso particular de antes, cos números 13 e 17, veredes que obtedes a expresión $\small{221=10^2+(-5)^2=10^2+5^2}$. Para obter a que escribín no exemplo hai que intercambiar os valores de a e b.

Como aquel día estaba con forzas e en Matemáticas unhas ideas conectan axiña con outras, levei isto a outro contexto, o dos determinantes:

Observando que a expresión $\small{a^2+b^2}$ pode tamén escribirse $\small{ \left|  \begin{array}{ccc}
 a & -b \\
 b & a \\
\end{array} \right|} $, xa é directo:

$$\small{ \left|  \begin{array}{ccc}
 a & -b \\
 b & a \\
\end{array} \right| \cdot  \left|  \begin{array}{ccc}
 c & -d \\
 d & c \\
\end{array} \right| =  \left| \left( \begin{array}{ccc}
 a & -b \\
 b & a \\
\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc}
 c & -d \\
 d & c \\
\end{array}\right) \right|= \left| \left( \begin{array}{ccc}
 ac-bd & -(ad+bc) \\
 ad+bc & ac-bd \\
\end{array}\right) \right| }$$

Sospeito que esta ponte entre os complexos e os determinantes debeu de construírse aproximadamente por este camiño: complexos-forma exponencial dos complexos-forma trigonométrica dos complexos- matrices de xiro-determinantes, mais recoñezo que dou paus de cego, pois xa pasaron máis de dez anos. A proba é breve, pero porque oculta o paso esencial que, alén de decatarse da expresión como determinante de a²+b², consiste en utilizar que a aplicación determinante de matrices se comporta ben co produto de matrices (para o connossieur, o determinante é un homomorfismo de grupos entre $\small{M_{n \times n}} $ e $\small{(\mathbb{R},\cdot)} $)

Agora sei que o camiño de utilizar matrices para amosar cuestións de Teoría de Números é certamente natural. Daquela aínda non lera sobre o xeito de expresar recorrencias como a da sucesión de Fibonacci mediante produto de matrices, cousa que agora está "de moda" debido a que aparece en libros de texto do bacharelato, xunto á potenciación de matrices. O método vén sendo:

$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_2  \\
 F_1  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc}
 F_1  \\
 F_0  \\
\end{array}\right) $$
Reiterando a expresión:
$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_3  \\
 F_2  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc}
 F_2  \\
 F_1  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)^2 \left( \begin{array}{ccc}
 F_1  \\
 F_0  \\
\end{array}\right) $$

En xeral, e tendo en conta que $\small{F_1=1}$e que $\small{ F_0=0}$ chegamos a que:

$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_{n+1}  \\
 F_n  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)^n \left( \begin{array}{ccc}
 1  \\
 0  \\
\end{array}\right) $$

O que leva tamén a que
$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_{n+1} & F_n  \\
 F_n  & F_{n-1}\\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)^n  $$

Como propina, se calculamos os determinantes dos dous membros da igualdade anterior obteremos a famosa identidade de Cassini:
$$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$$

Tamén, como a matriz $\small{A=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)}$ cumpre obviamente que $\small{A^{m+n}=A^m \cdot A^n}$, obtemos rapidamente que:
$$F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n=F_{m+n}$$
e a súa consecuencia, da que xa falei por acó (xunta o meu pseudo-descubrimento):
$$F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2$$

E o lector que non estea xa mareado a estas alturas de post preguntará "E Pitágoras onde vai?". Vai na continuación deste longo post, permanezan ante os seus aparatos.

---

1 O de Euler é sobrenatural. Ollade para a identidade que atopou, 200 anos antes dos ordenadores: $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2+$$ $$(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2$$ ^↩