Pensamento xeométrico vs. pensamento aritmético

Co cambio de ano comezamos o bloque de Álxebra en 2º de ESO(5ª unidade didáctica do curso). Xa comentei que en 1º aproveitara a web Visual Patterns para introducir o estudo elemental das variables. É unha sorte que teñamos dispoñibles webs como esta, hai menos dunha década nin pensabamos na posibilidade, certamente.

Póñovos unha actividade desa web para que vexades de que estou a falar:

Pattern #14, from Katie, Squares in step 43 = 259

Cada viñeta da web contén os primeiros pasos dun patrón xeométrico, e o subtítulo inclúe o número da actividade, ás veces o autor e a resposta á pregunta implícita no patrón para o paso 43; neste caso, o número de cadrados que ten a figura n-ésima.

Neste exemplo, o razoamento parece claro: cada figura contén tantas ringleiras de 6 cadrados como o número do paso, máis un cadrado extra enriba. Por isto a fórmula que dá o número de cadrados no paso n é inmediata: 6n+1. A web proporciona o valor numérico para n=43 coa intención de que o alumno poida comprobar se a fórmula atopada funciona para un caso suficientemente grande para evitar o fenómeno da lei forte dos pequenos números.

A miña teima é que é habitual que os cativos non tenten razoar de xeito xeométrico. Probablemente sexa máis culpa miña debido a como introduzo as actividades que ás actividades per se, aínda así, coido que é comprensible que se dea este fenómeno. Cando un alumno observa un patrón, a tendencia natural fai que vexa algo así:

Paso	Nº de cadrados
1	7
2	13
3	19
4	25
...	...
n	?

E se o alumno ten boa base da aritmética de Primaria, pode chegar a ver que os números da columna da dereita non son máis que unha unidade por riba dos séxtuplos dos correspondentes da columna esquerda. A este pensamento é ao que me refería ao comezo co apelativo de aritmético, unha vez que se contan os cadrados das primeiras 4 figuras, un pode esquecer o patrón xeométrico e simplemente razoar sobre a secuencia numérica que obtivo.

Outro obstáculo é ben coñecido para os profesores de 3º de ESO: é moito máis sinxelo atopar a relación dunha figura do patrón coa figura anterior que a súa relación co lugar que ocupa no patrón, i.e, o paso. Na unidade de Progresións de 3º adoita suceder que os alumnos vexan rapidamente a diferenza das progresións aritméticas e máis adiante a relación de recorrencia, mais tarden en ver o termo xeral. Aínda por riba, a notación axeitada para as sucesións resulta difícil de dominar nesa etapa da aprendizaxe.


Vexamos outro exemplo desta mesma semana:

Pattern #3, Squares in step 43 = 990

Resulta obvio que este patrón é máis difícil, non si? O feito de que responda a unha progresión aritmética de orde 2, que no paso n o número de cadrados estea relacionado directamente con n+1  en troques de n e, por se fose pouco, que na fórmula haxa un denominador 2, complican a obtención da fórmula.

O bo que ten ser máis difícil é que non é inmediato recorrer ao razoamento puramente aritmético, pois en cada paso que avanzamos, a diferenza non é constante:

Paso	Nº de cadrados
1	3
2	6
3	10
4	15
...	...
n	?

Neste patrón tiven que axudar no encerado, resulta moi duro aínda traballando varios compañeiros xuntos. A axuda consistiu en mover as mans facendo espaventos para finalmente engadir uns cadrados difusos para o paso 2, como nesta imaxe:

   

Como contrapartida, é complicado chegar a atopar a fórmula sen razoar sobre a figura, que agora é máis claro que ten a metade de cadrados ca un rectángulo de base n+1 e altura n+2.

Seguirei utilizando este tipo de actividades, sen dúbida, mais non teño claro como facilitar o razoamento xeométrico sen que os patróns se pasen de dificultade. Tendo en conta ademais de que eu mesmo vexo antes habitualmente a fórmula a partir dos números(polo menos ata progresións aritméticas de orde 3) que a partir das figuras.

E vós que, traballades os visual patterns? Notastes este fenómeno ou é outra teima miña, outra para a colección?