Un xogo con sucesións(curtas) de Fibonacci

 

   

A sucesión de Fibonacci probablemente sexa a sucesión máis famosa que é chamada sucesión de xeito común. Porque en realidade os números naturais, os pares ou os impares, os números primos, etc., son ben máis coñecidas, pero é raro que se lles adhira o termo sucesión, polo menos en niveis elementais.

Fartos estaredes de ver os primeiros termos,

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \dots$$

E aínda máis de recuncar na lei de recorrencia dos termos da sucesión: cada termo é a suma dos dous anteriorezzz...

Por traer algo menos universalmente coñecido, se revisades os termos $F_n$ que son primos,

$$F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_7=13, F_{11}=89, F_{13}=233, \dots$$

veredes que, agás para n=4, os demais termos primos están nunha posición que é tamén un número primo(non tiredes conclusións rápidas, $F_{19}=4181=37 \cdot 113$).

Que só teñamos que buscar, a partir de $F_5$, números primos na sucesión de Fibonacci entre os que teñen os aspecto $F_p$, con p primo, é elemental se un sabe que a sucesión cumpre a seguinte condición:

Se a|b, entón $F_a|F_b$

(A demostración déixase como exercicio para o amable lector, e este feito ten nome)

Aproveito para lembrar que hai unha adiviña no blog desde hai 8 anos, De tres en tres, e dar unha pista: a solución que tiña eu en mente cando a escribín está relacionado cos números de Fibonacci tamén.

E por que escribo (por quinta vez) sobre os números de Fibonacci se é tan notorio que non é o meu tema preferido?

Exacto: porque vin onte un novo xogo, como xa intuístes coa imaxe da cabeceira da entrada.

O xogo chámase Knotilus, e consiste en que:

1º) Atopes cinco sucesións tipo Fibonacci de lonxitude 4 entre os 11 números propostos(esta é a parte sinxela, só hai que achar o molde a,b,a+b,a+2b entre os números)

e 

2º) Escollas entre as sucesións atopadas as tres que cumpren as condicións "só comparten un número(the knot)", "os demais números nas 3 sucesións só aparecen nunha delas"

Podedes ir directamente a xogar ou podedes analizar a solución do xogo sinxelo de hoxe:

    

Veña, que non vai ser todo ler a cantidade desorbitada de libros que teredes na cola de lectura.

Solución do problema 8 do nadal

Animado polas dúas entradas que dedicou Cibrán ao oitavo problema que publiquei en nadal(Prólogo, Solución), vou traer a solución que atopara eu hai cousa de 15 anos. A que achega Cibrán é moito máis informativa e algo máis sofisticada; esta, en troques, é susceptible de ser atopada sabendo menos cousas.

Lembremos o problema:

A sucesión real $x_1,x_2, x_3, \dots$ é definida mediante $x_0=1$, $$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}$$

Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.

A estratexia vai consistir en buscar unha recorrencia máis sinxela para a sucesión, na que non apareza a raíz cadrada nin a fracción. Imos:

$$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2} \Longrightarrow 2x_{n+1}-3x_n=\sqrt{5x_n^2-4}$$
$$(2x_{n+1}-3x_n)^2=5x_n^2-4 \Longrightarrow 4x^2_{n+1}-12x_{n+1}x_n+9x_n^2=5x_n^2-4 $$
$$4x^2_{n+1}-12x_{n+1}x_n+4x_n^2=4 \Longrightarrow x^2_{n+1}-3x_{n+1}x_n+x_n^2=-1$$

Escribindo a anterior igualdade para n-1:

$$x^2_n-3x_nx_{n-1}+x_{n-1}^2=-1$$

Restamos as dúas igualdades:

$$x^2_{n+1}-x_n^2 -3x_{n+1}x_n+3x_nx_{n-1}+x_n^2-x_{n-1}^2=-1+1$$
$$x^2_{n+1}-x_{n-1}^2-3x_{n+1}x_n+3x_nx_{n-1}=0$$
$$(x_{n+1}+x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n-1})-3x_n(x_{n+1}-x_{n-1})=0$$
$$(x_{n+1}+x_{n-1}-3x_n)(x_{n+1}-x_{n-1})=0$$
O segundo factor, $x_{n+1}-x_{n-1}$, non pode ser nulo, pois
$$x_{n+1} \geq \frac{3x_n}{2} > x_n \geq \frac{3x_{n-1}}{2} > x_{n-1}$$
Polo que a sucesión cumpre
$$x_{n+1}+x_{n-1}-3x_n=0 \Longrightarrow x_{n+1}=3x_n-x_{n-1}$$

Como nesta condición de recorrencia só interveñen produtos e restas, e os dous primeiros termos da sucesión son enteiros, todos os termos son enteiros, q.e.d.

Como apunta Cibrán, en realidade non é que sexan enteiros, é que $x_n=F_{2n+1}$, mais iso queda fóra do alcance desta solución.

Editado o 14/2/18: puxen ben o signo do 1 na igualdade á que cheguei. Non inflúe na solución, pois o esencial é que os dous membros da esquerda coincidan.

Por pura lóxica...-2

Hoxe quero presentarvos a Linda. Linda ten 31 anos, está solteira, é franca e moi intelixente. Licenciouse en Filosofía. Cando estudaba a carreira estaba comprometida cos temas de discriminación e xustiza social, e participou en manifestacións anti-nucleares.

Como ordenarías as seguintes afirmacións segundo a súa probabilidade, sendo 1 a máis probable e 8 a menos probable?

• Linda é mestra nun colexio.
• Linda traballa nunha libraría e vai a clases de Ioga.
• Linda é activista no movemento feminista.
• Linda é unha traballadora social en psiquiatría.
• Linda é membro da Liga Sufraxista (para o voto feminino).
• Linda é caixeira nun banco.
• Linda é vendedora de seguros.
• Linda é caixeira nun banco e activista no movemento feminista.

Como imaxino que a tarefa de ordenar as 8 afirmacións é longa e pesada, propoño unha máis breve: ordenar de máis probable a menos probable soamente a 6ª e a última. Déixovos cun vídeo para que pensedes.

Tivestes tempo abondo?

É máis probable que sexa caixeira de banco soamente ou que sexa caixeira de banco e simultaneamente feminista?

Se contestades a segunda opción, estades caendo na falacia de conxunción: se un suceso A está contido noutro suceso B, entón $\small{P(A) \leq P(B)}$, neste caso a situación precisa é $\small{P(X \cap Y) \leq P(X)}$ Pensar o contrario é incumprir unha regra elemental do razoamento.

Pero entón: que hai nesas afirmacións que, aínda coñecendo o feito anterior, tendemos a crer que é máis probable que sexa feminista ademais de caixeira? Pois, como estudaron Amos Tversky e Daniel Kahneman no seu libro Judgment under uncertainty: Heuristics and biases e despois no artigo The conjunction fallacy in probability judgment, resulta que o parágrafo no que presentamos a Linda fai que apareza como representante da categoría "feministas" e como non-representante da categoría "caixeiras de banco". Despois desa categorización, simplemente tentamos axustar as probabilidades ás nosas categorías en troques de utilizar as regras probabilísticas (ou conxuntistas, se preferides).

Coñezo esta falacia quizais desde hai máis de 20 anos, cando a atopei no libro Introducción a la Psicología Cognitiva do catedrático Manuel de Vega, mais esquecéraa totalmente ata que nesta época do pdf e o djvu volvín dar con ela en Thinking and Reasoning de Ken Manktelow e de novo en Thinking, Fast and Slow, do propio Kahneman. Daniel Kahneman e o devandito libro forman parte xa da cultura non científica, probablemente o feito de gañar o Nobel de Economía no 2002 sendo psicólogo axudou a consagralo, e a facer do libro un superventas. O libro está cheo de explicacións que podemos entender os profanos, quizais outro día comente outra falacia do razoamento.

Outra sorpresa no Triángulo de Pascal

Un nunca sabe onde e cando vai atopar algo interesante en Matemáticas. Facendo probas de impresión nunha fotocopiadora en rede (creo que nunca falei no blogue da miña identidade secreta como coordinador) mandei imprimir unhas páxinas ao chou dun libro, The (Fabulous) Fibonacci Numbers, de Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann. Escollín as páxinas cun criterio científico preciso: que tivesen debuxos ou gráficos. E cando lin de verdade as impresións vin isto (en realidade esta figura é miña, é obvio pola escasa calidade gráfica):

Triángulo de Pascal e Potencias de 2

Ben, nada novo nesta figura. A relación entre as ringleiras do Triángulo de Pascal e as potencias de 2 é arquicoñecida. Pode que faga unha entrada de Probas rápidas arredor da idea. Mais agora xiremos as liñas de suma a ver que máis atopamos:

Como non, aparece a Sucesión de Fibonacci

Pero a sorpresa non é grande, verdade? Como o Triángulo de Pascal é construído mediante unha recorrencia onde utilizamos dous termos previos, tampouco é abraiante que apareza Fibonacci a pouco que fedellemos. Mais se escribimos o resultado en forma de sumatorio darémoslle certa escuridade:

$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}\binom{n-k}{k}=F_{n+1}$$

Chegamos por fin ao obxectivo deste post. Imos poñer unha barreira no triángulo e sumar en horizontal só os números á dereita dela:

Non seguía 32, 64, 128...?

Da sucesión que aparece na columna da dereita xa teño falado neste blogue, concretamente en xuño do 2009 no post Un pouco de melancolía (cando aínda propoñía problemas aos alumnos, melancolía sobre melancolía...). Alá aparece a seguinte figura:

32?

Ao que aluden os números de enriba é á cantidade de rexións determinadas polos segmentos que unen os puntos na circunferencia. Contra todo pronóstico, o seguinte número non é 32:

Xa non sabemos nin duplicar un número?

A relación entre o número máximo de rexións determinadas nun círculo unindo n puntos e a suma dos últimos 5 números (se houberen) da ringleira enésima do Triángulo de Pascal é, a priori, pura maxia. Se queredes saber a explicación e moitas outras aparicións estrañas, déixovos aquí a ligazón á páxina na On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

Un novo teorema da sucesión de Fibonacci

Hai un par de séculos, cando estudaba sobrevivía os primeiros cursos da carreira de Matemáticas, pasei unha época na que lin unha morea de libros de Matemáticas Recreativas das bibliotecas. Daquela rematei a sección da Biblioteca Pública de Ferrol, que estaba chea dos libros de Martin Gardner (lembro tamén unha edición española da Matemática Demente de Lewis Carroll, traducida por Leopoldo M. Panero), e mergulleime na extensa e (na miña opinón) pouco coñecida colección de libros "lúdicos" da Biblioteca da Facultade de Matemáticas da USC.

Un dos temas recorrentes das Matemáticas Recreativas é, como xa comentei algunha vez, o da Sucesión de Fibonacci, que ten unha auréola de misticismo moi axeitada para as ensoñacións dos magufos.

Lendo un destes libros lúdicos atopei a devandita sucesión, que xa coñecía desde os tempos do instituto. E como non podía ser doutro xeito, púxenme a fedellar cos elementos. Para os que non coñezades aínda a sucesión, os dous primeiros elementos son iguais a 1, e os posteriores cumpren a condición (de recorrencia) de coincidiren coa suma dos dous anteriores. É dicir

$$F_1=1$$

$$F_2=1$$

$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$

De tal xeito que:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8$$

...

Chegando á famosa sucesión que comeza:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...

Inxenuo como era eu, non puiden evitar pensar que atopara un novo teorema na sucesión de Fibonacci cando observei o seguinte:

Se calculas os cadrados de cada dous termos consecutivos e despois os sumas:

$$F_1^2+F_2^2=1^2+1^2=1+1=2$$

$$F_2^2+F_3^2=1^2+2^2=1+4=5$$

$$F_3^2+F_4^2=2^2+3^2=4+9=13$$

$$F_4^2+F_5^2=3^2+5^2=9+25=34$$

$$F_5^2+F_6^2=5^2+8^2=25+64=89$$

Está claro xa?

A ver... non soa a nada a columna da dereita?

En efecto, está tamén na sucesión de Fibonacci, só que un pouco máis á dereita.

En concreto:

$$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$$

Pouco dura a felicidade na casa do pobre... O feito era certo, a demostración non me levou moito, mais novo, o que se di novo, o teorema non era. Unhas páxinas máis adiante atopei a seguinte fórmula:

$$F_{n+k}=F_k \cdot F_{n+1}+F_{k-1} \cdot F_n$$

Da que inmediatamente obtemos o meu "novo" teorema collendo k = n+1

Visto en retrospectiva, que indicios podía ter eu para poder ter adiviñado que ese teorema non ía ser novo en absoluto?

• Primeiro, moi evidente: eu, que non me chamo Gauss nin Euler, puiden observar o feito en cuestión despois de fedellar uns minutos cos números.
• Segundo, relacionado co contido: non esperes atopar un feito descoñecido calculando cadrados nunha sucesión.
• Terceiro, un pouco de picardía: a sucesión de Fibonacci é dos obxectos matemáticos máis coñecidos, incluso para os non matemáticos. Un feito aritmético dese calibre puido ser observado por calquera; o que implica case con seguridade que en efecto foi observado.

Aínda así, a sensación de ter atopado unha regularidade matemática por un mesmo, sen necesidade de que o profesor ou un libro te dirixan, é unha das razóns que fan singulares ás Matemáticas. Xunto coa de resolver un problema despois de moito pelexar, converten á experiencia matemática en irrepetible.