Preguntas sinxelas en Xeometría

 Hai unhas cantas cuestións xeométricas que nunca utilicei nas aulas debido a que non sei aínda como dar forma ás actividades de introdución. Vexamos de que estou a falar:

• Pode que lembredes unha aplicación/xogo que apareceu hai anos na que había que debuxar a pulso unha circunferencia co rato. Cando un remataba, a aplicación dicíalle como de boa era a tentativa. Compartín o xogo e o meu debuxo nesta entrada de hai 8 anos. Confeso que tardei un anaco en lembrar a app que era, pois buscando en google saen varias agora:

Draw a circle

Circular

E, finalmente, a que compartira daquela:

Circle Drawing

Xa comentara naquela entrada o xeito que tiña o gatiño ese de avaliar como de boa era a circunferencia: mediante a desigualdade isoperimétrica. Draw a circle só proporciona a %, sen indicar en que se basea, pero facendo probas intúo que fai o mesmo que Circle Drawing.

En troques, Circular utiliza varios factores: número de puntos trazados(non sei se aí inflúe máis o rato que o teu pulso), radio da circunferencia, suma de erros, erro/punto e desequilibrio. Este xeito de avaliar presenta unha dificultade obvia: como calcula o centro da circunferencia/radio, para despois calcular o erro en cada punto trazado respecto ao punto ideal? Resumindo, como determinar a "circularidade" dunha (tentativa de) circunferencia?

Todo isto lévame a pensar que quizais, este exemplo ben fermoso non é máis axeitado para unha clase de xeometría elemental. E por iso pensei en rectificar a figura tratada, e ir complicando o asunto:

Comecemos polo máis sinxelo, como de cadrado é un rectángulo calquera? Claro abondo, non si? Que sexa un rectángulo implica que os ángulos xa son os correctos, só hai que centrarse nos lados, e son os dous enfrontados iguais, co cal podemos intuír a resposta máis previsible: canto menor sexa a diferenza entre (en valor absoluto?) entre os dous lados iguais, máis cadrado será o rectángulo. Pero ademais desta resposta simple e efectiva, haberá algunha resposta alternativa? Algo relacionado coa circunferencia circunscrita? E coas diagonais, tanto coa súa lonxitude como co ángulo formado cos lados? Quizais son optimista de máis? 

Máis complicado, máis factores: como determinar como de cadrado é un paralelogramo? Aquí o obstáculo é obvio, por un lado hai que endereitar o lado/achegar a 90º un ángulo(os dous), por outro hai que igualar os lados. Se é demasiado evidente como actuar neste caso, podemos choutar a como determinar como de cadrado é un cuadrilátero? En caso de bloqueo, parar en etapas intermedias do estilo como determinar como de cadrado é un rombo, como de rectángulo é un romboide, etc.

Pasemos á seguinte cuestión:

• Se chamamos "sumar" dúas figuras planas a pegalas por un lado ou un vértice (aínda que os lados escollidos non sexan iguais), cales das figuras elementais "se reproducen" sumándoas? Por exemplo, dá igual como poñamos dous cadrados (sempre que non os superpoñamos se fosen iguais), a súa suma non vai ser un cadrado. Mentres que dous rectángulos si poden sumar un rectángulo, dous romboides un romboide, etc. Que tipo de figuras elementais son "reproducibles"? Teñen algo en común? Podes atopar algunha figura cóncava reproducible?

A seguinte cuestión asaltoume un día que coloquei unha pota na vitrocerámica sen que compartise centro co fogón:

• Se temos unha circunferencia que deixa visible un arco dunha curva por embaixo, como podemos saber se ese arco pertence a unha circunferencia tamén? Achega información que coñezamos que a curva completa sexa unha circunferencia? Ou tanto ten, e chega co arco só? Aínda máis: como contestaríamos a pregunta de se 4 puntos soamente están na mesma circunferencia?

Pareidolia minimalista

E agora, preguntas inocentes que non o son en absoluto, pero que sempre quixen compartir por aquí:

• Se che dan as dimensións de dous rectángulos, como saber se un cabe dentro do outro? Cabe un rectángulo 6x5 nun rectángulo 8x4? É suficiente, por tanto, que o rectángulo que queremos meter no outro teña menor área? Se xogamos con rectángulos grandes pero con altura pequena, veremos que non. Déixovos ligazón a un fermoso artigo do Mathematics Magazine, Rectangles in Rectangles, onde dan condicións necesarias e suficientes. Velaquí o comezo: 

Pinta de sinxelo non ten

De onde saíu este problema? Pois do análogo para o sospeitoso habitual da xeometría plana, o triángulo, do fabuloso One Hundred Problems in Elementary Mathematics(1964), de Hugo Steinhaus:

• Se che dan as dimensións de dous triángulos, como saber se un cabe dentro do outro?

 Este problema foi resolto en 1993 por K.A.Post nun artigo en Geometriae Dedicata. Cal é a vosa intuición: será máis sinxela a solución para rectángulos ou para triángulos? Que inofensivos se ven agora os cadrados e os círculos, non si?

Do artigo de Post

Como colofón, é ben curioso que soubese destes problemas bidimensionais moito tempo despois de coñecer que un cubo pode pasar por un furado practicado nun cubo do mesmo tamaño. Das tapas rectangulares dos sumidoiros supoño que xa saberedes, non?