23.9.12

Teorema das alfombras

Hoxe traio outro teorema "con nome" do que non sabía nada ata esta semana.

Estaba a buscar anécdotas, teoremas, problemas,... para os meus alumnos deste ano que acaba de comezar cando, no libro Mathematical Olympiad Treasures, de Titu Andreescu e Bogdan Enescu, atopei este epígrafe, The "carpets" theorem.

Loxicamente tiña que ir ver de que trataba tal feito, pois hai toda unha tradición de teoremas "con nome" que non deixan de sorprender pola tradución que adoitan ter aos obxectos cotiás (por máis abstractos que poidan ser os enunciados reais): Teorema da bóla peluda, Teorema do bocadillo de xamón, Teorema da Galería de Arte,...

Así que aló fun, e isto é o que atopei:

Imaxinade un cadrado ABCD no que marcamos os puntos medios dos lados AB e BC, M e N. Unimos estes puntos medios cos vértices opostos, obtendo na intersección dos segmentos tres puntos que chamamos P, Q e R. É dicir (exemplo de que unha imaxe vale máis que 38 palabras):

Que sucede con esta figura? Pois que a área do anaco laranxa coincide coa suma das áreas dos anacos violetas. Formalmente, 
[PQRD]=[AMP]+[MBNQ]+[RNC]

A demostración non é complicada, chega con relacionar as áreas, indicadas polos corchetes, [], con anacos coñecidos (tapar co dedo o cacho que estás a calcular dá bo resultado):

[PQRD]=[DMC]―[MQP]―[DRC]=½[ABCD]―[MQP]―[DRC]=(*)

Vexamos como escribir as áreas deses dous triángulos:

[MQP]=[ABN]―[APM]―[MBNQ]=¼[ABCD]―[APM]―[MBNQ]
[DRC]=[DNC]―[RNC]=¼[ABCD]―[RNC]

Introducindo estes cálculos en (*):

(*)=½[ABCD]―{¼[ABCD]―[APM]―[MBNQ]}―{¼[ABCD]―[RNC]}=[APM]+[MBNQ]+[RNC]
despois de cancelarmos os valores iguais de signo contrario.
A demostración que dan no libro é intencionadamente máis complexa, para salientar o que vén despois.Porque ata este momento poderiamos dicir que este feito acada o grao de correcto. Que foi o que me chamou a atención unha vez lin o epígrafe mencionado? O que segue:

Sucede que o feito de que os puntos M e N sexan os puntos medios dos lados AB e BC é irrelevante. É dicir, a conclusión sobre as áreas sombreadas tamén é certa con calquera posición de M e N, por exemplo esta:


Aínda que a miña demostración anterior tamén funciona cun cambio mínimo para calquera posición dos puntos M e N nos lados AB e BC, teño que recoñecer que é moito mellor a solución que dan os autores do libro. Unha solución que descansa sobre unha idea sinxela de entender pero difícil de atopar, que é o que se denomina Teorema das Alfombras:

Se o chan du cuarto rectangular está completamente cuberto por alfombras que non se solapan (e non nos importa a súa forma), e movemos unha das alfombras, a área que fica solapada coincide coa área que fica sen cubrir. Enleado? Mira o debuxo  e pode que o vexas máis nítido, ao observares como se move a alfombra á dereita:


E cal é a relación deste feito co noso cadrado de antes? 
Pensemos que o cadrado ABCD é o cuarto do teorema, e os triángulos AND e DCM as alfombras. Eses triángulos teñen a mesma área, que coincide coa metade da área do cadrado, polo que, se non se solapasen, ocuparían xuntos o cadrado. Cando se solapan, a zona solapada (laranxa), en virtude do Teorema das Alfombras, ten que coincidir coa zona do cuarto que deixa de ser cuberta, é dicir, a zona violeta.

Unha marabilla. Tan sinxela, pero tan sumamente elegante.



0 comentarios:

Post a Comment