Dúas diseccións

 

3-4-5

Unha das igualdades numéricas non triviais máis coñecidas é

$$3^2+4^2=5^2$$

, que aparece de xeito natural no contexto do Teorema de Pitágoras, no primeiro triángulo rectángulo con lonxitudes naturais que se ve nas aulas.

A estas alturas todo o mundo saberá que o devandito teorema alude tanto a lonxitudes como a áreas, como vemos na imaxe máis icónica do triángulo, na cabeceira da entrada.

A disección sinxela que propoño hoxe consiste no seguinte:

Divide os dous cadrados pequenos utilizando as liñas da grella no menor número posible de pezas de tal xeito que poidas recompoñer tales pezas no cadrado grande.

Nota: pódese facer con 4 pezas. Con 25 sería sinxelo, non?

E agora a disección difícil, en 3D, parte tamén dunha coñecida igualdade numérica:

$$3^3+4^3+5^3=6^3$$

Divide os cubos de arestas 3, 4 e 5 utilizando as liñas da grella no menor número posible de pezas de tal xeito que poidas recompoñer tales pezas para formar o cubo de aresta 6. 

Como axuda, póñovos os 3 cubos pequenos coa grella xa trazada:

Unha axuda fake...

Como axuda de verdade, pódese facer rompendo só en 8 pezas, e aínda máis, non é necesario romper o cubo de aresta 3. Curiosamente, a disección sinxela pode executarse deixando tranquilo o cadrado de lado 4, e partindo o cadrado de ladro 3 en 3 pezas, sumando un total de 4 pezas, i.e., a metade que na disección difícil.

Se alguén tivese 216 cubiños unitarios...

Divertimento xeométrico(5)

Collede papel e tesoiras, que hoxe toca xogar.

Pero antes, un comentario á entrada anterior, Un teorema ben raro: ese feito xeométrico chámase Teorema de Urquhart polo matemático de Tasmania que botou luz sobre el, mentres estudaba a Teoría Especial da Relatividade. Sendo un resultado claramente elemental no seu aspecto, non debería resultar estraño que o teorema xa aparecese máis dun século antes nos papeis do grande Augustus de Morgan. En Cut the Knot hai unha demostración totalmente sintética, que utiliza circunferencias ex-inscritas e propiedades de circunferencias e cuadriláteros cíclicos, non vai ás elipses que debuxara no Spoiler: Urquhart's Theorem-An Elementary Synthetic Solution

Ás tesoiras:

Debuxade dúas rectas secantes (r e s, de abaixo a arriba) que non se corten no voso papel. Desde un punto máis ou menos centrado na liña inferior(chamémolo O), trazade 3 rectas que formen ángulos de 45º coa recta r. Nomeade A, B e C de esquerda a dereita os puntos de corte con s. Desde A e C trazade perpendiculares a s e marcade onde cortan a r. Deste xeito veredes 4 triángulos, con cadanseu ángulo de 45º. Algo así:

   

Onde collín a actividade, no blogue Numberplay do New York Times, comezan por indicar que a figura ten 1 grao de liberdade, o ángulo que se forma á dereita de B, $\small{\alpha}$. Incluíno na figura para suxerir outras actividades asociadas á que aquí traio, quizais unha achega analítica, por exemplo. 

Pois ben, feita a figura anterior, tedes que duplicala. Recortade os 8 triángulos con ángulos de 45º resultantes, que ides xogar con eles:

1. Cos 8 devanditos triángulos tedes que formar un único cadrado.
2. Cos 4 triángulos grandes (2 parellas de triángulos como os $\small{\triangle{DOA}}$ e $\small{\triangle{AOB}}$), tedes que construír un cadrado. O mesmo cos 4 triángulos pequenos (2 parellas como $\small{\triangle{BOC}}$ e $\small{\triangle{COE}}$).

En caso de forza maior, no blogue Sine of the Times colgaron as solucións modeladas en Sketchpad en A Double Dissection from the New York Times

Divertimento xeométrico(2)

Van máis de dous anos desde que publicara por aquí un divertimento xeométrico. Para rematar o ano, se tedes folgos para pensar un anaco, velaquí tedes un problemiña ben simpático.

A figura foi creada por Bruno Ernst, matemático e artista neerlandés que é coñecido por crear ilusións ópticas ademais de divulgar a obra de M.C. Escher. O título que lle deu, moi acaído, é "Pitágoras en triángulos regulares".

Collede un triángulo calquera e un punto no seu interior. Trazade as perpendiculares aos lados desde ese punto. Con base os seis segmentos que se determinan nos lados, erguede seis cadrados, e pintádeos alternativamente de gris e negro. Sucede que a área total gris e a área total negra son iguais.

Mirade o debuxo, que é máis sinxelo:

Se fose o circuncentro non había moito que pensar...

Déixovos co problema, vémonos seguramente o ano que vén.

Aproveitando a marea

A banda de enriba atopeina nunha web de Matemáticas, Matemàtiques i altres sensibilitats, en concreto aquí.

Pero hoxe estou de bo humor grazas á sorpresa (para ben) que me deron os resultados do exame de funcións e porcentaxes de 1º A, así que a viñeta (polo menos hoxe) non responde á realidade.

Botádelle unha ollada a este xogo que enlazaron a semana pasada os microsiervos. Tedes que mover o cabalo negro ata a estrela seguindo as normas básicas do xadrez. Non é como o Troyis, no que o máis importante era a velocidade (de mente e co rato), senón que tedes que pensar ben os movementos. O único que conta é o número total de movementos que facedes.

E xa que estamos a ver un pouco de Xeometría en 2º de E.S.O., aí vai un problema con circunferencias.

Na situación seguinte, canto mide o radio da circunferencia pequena?

Digo eu que o radio da circunferencia grande é evidente, non?