Que demostra isto?

   

Andaba eu a pensar como argallar unha entrada arredor dos capítulos que levo lidos de How I wish I'd taught Maths, de Craig Barton, cando dei con esta pequena marabilla. Polo que tiven que deixar a outra entrada a medio facer e compartir o meu abraio coa miña lexión de seguidores.

Como a imaxe da cabeceira é austera de máis (como de libro de Xeometría dunha materia da carreira de Matemáticas, talvez menos), déixovos por acó unha un chisco máis completa, a ver se dades atopado que demostra a imaxe e tamén como o demostra. E se vos presta tanto como a min.

Con cores e todo. Xa nin parezo de Matemáticas

Outro día tocará falar do libro.

A anos xa

You came to the wrong ε-neighbourhood
(xa usara esta imaxe, pero sempre é acaída)

Outro 6 de xaneiro, e xa van dez anos neste blog. En contra do que se podería agardar, estou satisfeito co que é agora: un lugar persoal onde colgar 1 de cada 4 cousas que me parecen susceptibles de  publicación. Como xa comentei en varias ocasións, o obxectivo principal primixenio era dispoñer dun sitio para propoñer problemas menos curriculares aos meus alumnos de (sobre todo)1º e 3º de ESO do IES Cosme López Rodríguez da Rúa de Valdeorras. Así podedes ver o ritmo vertixinoso de publicación do primeiro ano, continuado máis ou menos o 2º e o 3º. Despois dese inicio como blog "de apoio", e logo de moito cavilar, veu transformarse nunha páxina para chantar cousas que, se non as lese eu pola rede adiante ou en libros, me prestaría que alguén as colgase en galego para coñecelas. E isto salteado de comentarios sobre as experiencias na aula deste profesor random de Matemáticas.

Xa me teño laiado tamén de que en ningún momento chegamos a ter unha blogosfera matemática en galego, o intento de Manuel de sistematizala ao final do seu artigo Blogosfera Matemática no nº13 da revista Gamma choca de fronte coa realidade: dos blogs comentados, o que segue traballando a eito é  Carta Xeométrica, que todos sabedes que ten unha temática arredor da lingua e o país. Dos demais, podemos afirmar sen problemas que seguen funcionando este mesmo e os Retallos de Matemáticas, que publica menos entradas pero máis traballadas. As Dúbidas de Mates levan sen actualizar cinco anos; Dous Ferrados, que xa levaba un tempo sen actualizar, acaba de anunciar a súa xubilación(o que non quere dicir necesariamente que deixe o blog, agardo); o blog da revista do IES Monelos, Tetractis, leva descontinuo desde 2012(btw, o ano da LOMCE); o último número da revista do IES Otero Pedrayo, Mathesis, é de 2017.

Cales son as causas? Non é que eu sexa un experto, pero tampouco son difíciles de adiviñar: os autores asumen outras responsabilidades e teñen que deixar algunha: a primeira será actualizar un blog, que a fin de contas é algo voluntario; hai outros medios con comunicación máis inmediata: twitter, Facebook, quizais as aulas virtuais dos centros(se falamos de comunicación cos alumnos); a xubilación xa comentada... Tendo en conta que algo de narcisismo é necesario para crer que un ten cousas interesantes que comentar en público, o feito de que, ás veces, escribir un blog semella berrar no medio do monte non debe de animar a continuar. Para min un xeito de racionalizar esta sensación consiste en comprobar cantos comentarios teñen os blogs en inglés que sigo, blogs que obviamente teñen miles de seguidores e que teñen entradas con 2, 3 ou incluso ningún comentario(John Cook, Math Babe, Tanya Khovanova, Teaching with Problems, Craig Barton, Filling the Pail, etc., a excepción segue a ser o de Dan Meyer). Que nivel de feedback pode esperar entón un blog coma este, desenvolvido en galego normativo, co tema das Matemáticas escolares, escrito por este peculiar profesor(se serve como métrica de peculiaridade: que non adoita permanecer moito en ningún grupo de Facebook)?

Remato dicindo que espero seguir con este ritmo: aproximadamente dúas entradas ao mes non me van matar. Se queredes ler experiencias de clase sen moita orde nin moito xeito, problemas variados que poden ou non servir na aula, e calquera cousa que a este profesor lle pareza que cadra ben aquí, este é o voso blog. Non diredes que non sei vender un produto.

P.D.: Por certo, o título da entrada ten unha orixe similar á da vella brincadeira 

Por que os programadores trabucan o Samaín e o Nadal?

Unha idea que adoito utilizar en 1º de ESO

Hoxe, falando cun vello colega(máis novo ca min, pero coñecémonos desde o BUP) sobre as clases, didáctica and all that jazz, lembrei un xeito que teño de explicar o procedemento "un signo menos diante de parénteses cambia os signos de dentro", que aparece habitualmente nalgún momento en 1º de ESO. Quizais tería que concretar: non é exactamente explicar, senón máis ben facer verosímil. E desde logo, tampouco é demostrar, pois teño comprobado que demostrar rigorosamente a estes niveis é contraproducente: os alumnos non entenden as demostracións(por sinxelas e down-to-earth que sexan) e non ven por que son necesarias. Ademais: se demostras antes de practicar, seguramente vaias perder a atención dos alumnos e vas conseguir que pensen que o posterior é máis difícil do que é; se demostras despois de practicar, os alumnos non van entender cal é o propósito da demostración, e debido á falta de comprensión recibirás preguntas do estilo "pero entón como se fai?".

Unha vez claro o anterior, vaiamos ao miolo. O meu propósito é darlle un sentido a

$$a-(b-c)=a-b+c$$

Como todos sabemos, o esencial é ver que $-(b-c)=-b+c$, e isto tradúcese a que o oposto do número $b-c$ é $-b+c$. O que é totalmente inútil.

Debido ao momento de 1º de ESO no que aparece, o que acabarei facendo é algo do estilo

$$12-(8-3)=12-8+3$$

E en realidade, afinarei a un exemplo do estilo(agora veredes por que):

$$20-(10-4)=20-10+4$$

Poñédevos en situación: os alumnos están afeitos a ver procedementos claros e unívocos para executar as operacións. A estas alturas o que van ver non é estritamente necesario para calcular: traballámolo como preparación para operacións como $3x-(2-x)$. Do mesmo xeito que en Primaria non é imprescindible xogar coas igualdades, chegaría con facer sempre operacións do tipo $15-12+5=$, pero se non fan actividades como $7-\square=3$, o estudo posterior das ecuacións vai ser considerablemente máis difícil e longo.

Pois ben, para facer verosímil a regra xeral, o meu xeito consiste en darlle significado aos dous membros da igualdade, con sumas e restas dentro dos números naturais é sinxelo:

Imaxinade que ides mercar unha revista que custa 10 € a unha libraría. Levades un billete de 20€, e resulta que a revista ten un cupón de desconto de 4€ (xa todos vedes por onde vai a cousa, non si?)

• Se as cousas transcorren do xeito esperado, cando pagas, o libreiro nota o cupón ao cobrar, e fai o desconto no momento, polo que en troques de pagar 10€, pagas 10-4=6€. Neste punto pregunto aos alumnos como escribir a volta nunha soa liña, e despois dun chisco de discusión, chegamos a: $$20-6=20-(10-4)$$ O obstáculo obvio atópase en que algúns non verán a necesidade de escribir o membro con parénteses, aquí hai que insistir na historia: non custaba 6€ orixinalmente, senón que houbo que aplicar o desconto, aínda que o resultado final sexa o mesmo(de aí a igualdade)
• Se as cousas non transcorren do xeito esperado, cando pagas, o libreiro cóbrache os 10 €. Ti pagas co teu billete e devólveche 20-10=10€. Cando estás pola porta, o libreiro (ou ti mesmo) decátase do erro, chama por ti para que volvas, e que fai? Os alumnos que estean seguindo a clase contestarán "darche os 4€". Queda unha pequena discusión para chegar ao resultado final e obter o segundo membro da igualdade: $$20-10+4$$ E un chisco máis para que todos vexan que $$20-(10-4)=20-10+4$$

Uns comentarios finais:

1. Isto, de novo, non demostra nada, só dá sentido ou fai verosímil, como prefirades.
2. Nin sequera vai servir para outros casos semellantes, como $20-(10+4)$, que é máis simple, nin obviamente para $20-(-10+4)$, que xa entra na unidade de Números Enteiros. Para que servise para todos necesitaría unha demostración alxébrica GO TO 1.
3. Fanse este tipo de actividades en 5º ou 6º de Primaria? Non vexo maneira de sabelo. No curriculum deses cursos dan unidades máis avanzadas, non sei se pararán para dar sentido a cousas estudadas previamente, aposto que non por culpa das dimensións do curriculum.
4. Levo anos usando esta historia, máis ou menos, e o máis curioso do conto é que se me ocorreu unha vez improvisando na aula ante a desesperación dun alumno ante esa regra de cálculo. Non podo garantir, como sempre, que me viñese no momento ou que en realidade a tirara dalgunha fonte que non lembro. Un dano colateral producido por ler tanto: xa non me chega a memoria.

E agora estaredes pensando que este profesor comparte cousas que fan todos os compañeiros máis ou menos. Pois é probable, pero é imposible de saber. O que si é seguro é que o fago eu.