23.2.21

Cousas curiosas dos números-3

Se levas anos abondo dando clase, saberás ben que o que fas na aula só o sabes ti e máis os teus alumnos, aínda que nalgúns días baixos pode dar a impresión de que algúns dos teus alumnos tampouco. Quizais tiveches algunha vez un alumno de prácticas do CAP/Máster de Profesorado de Secundaria, ou, coma min hai máis de 10 anos, tiveches un PT 1dentro da túa aula con algún grupo. Ou, no peor dos casos e tamén o máis improbable, recibiches a visita dun inspector de educación.

Se ademais tes presenza en redes sociais, terás a sospeita de que o que fan(facemos) os profesores nas aulas non se corresponde demasiado ben co que amosan(amosamos) nas redes.

En conclusión, e como xa indiquei nesta entrada, é case imposible saber que fai un profesor dentro da súa clase.

Hoxe veño contar máis curiosidades numéricas que adoito contar nas miñas clases, de xeito improvisado pero consistente ao longo dos anos. Quizais algunha mostra deste folklore matemático non sexa coñecida por todos os lectores, e sirva para algo fóra da miña clase.

  • Nalgún momento vai aparecer en clase algo do tipo $(x^2)^2$, momento que aproveito para comentar que nunca xamais poría nun exame algo así. Normalmente chegado ese punto, grazas ao teatro que lle boto, xa están maduros para que alguén conteste a pregunta conseguinte: Por que nunca poría algo así nun exame?Efectivamente, porque un alumno podería contestar ben aínda que estivese trabucado, o erro habitual neste contexto é confundir a potencia dunha potencia co produto de potencias da mesma base, e o número 2, o maldito, é a única solución positiva a $x^2=2x$, a outra obviamente é 0. E agora poño un caso máis xeral: Cando pode suceder que $$(x^a)^b=x^a \cdot x^b$$ Obviando que x sexa 1 (ou -1 nalgúns casos), ten que suceder que $$ab=a+b \rightarrow ab-a-b=0 \rightarrow ab-a-b+1=1 \rightarrow (a-1)(b-1)=1$$ De onde deducimos que só pode suceder cando a=2=b ou cando a=0=b, é dicir, non hai máis solucións que as xa comentadas.
  • Nesta solución utilizamos tacitamente que os expoñentes son naturais. Habería máis solucións se os expoñentes fosen enteiros? E racionais? Dependendo do curso onde xurda esta cuestión, podemos ir ampliando o contexto.
  • Relacionado co anterior, outra pregunta recorrente é se hai algunha parella de números distintos a e b que cumpran $$a^b=b^a$$ No feixe de anos que levo facendo a pregunta, sempre sucede que a primeira resposta do alumnado inclúe dous números iguais, supoño que son demasiadas condicións para xestionar simultaneamente. Unha vez aclarado que ese exemplo non serve, por trivial, normalmente alguén atopa o único exemplo natural: $$2^4=4^2$$ A ampliación posterior coido que a comentei só unha vez na miña carreira profesional: Se deixamos que $a, b \in \mathbb{Q}$, entón hai infinitas solucións á ecuación $a^b=b^a$, coa fermosa estrutura seguinte: $$a=\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n , b=\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^{n+1} $$ que nos lembra automaticamente á sucesión que define o número e.
  • O seguinte feito vouno poñer en forma de aritgrama. Xa sabedes, cada letra representa unha cifra distinta:

Pero non o comento deste xeito en clase, senón falando do único número con dúas cifras iguais que elevado ao cadrado dá un número de 4 cifras, iguais as dúas primeiras e iguais as dúas últimas.

  • O único número natural que está entre un cadrado perfecto e un cubo perfecto é o 26, xusto entre 5² e 3³. Se sabedes un chisco de dominios de factorización única, na rede atopei este artigo cunha demostración intelixible.

  • A coñecida como conxectura de Catalan, aínda que agora en realidade é o Teorema de Mihăilescu: as únicas potencias non triviais que son números naturais consecutivos son 2³ e 3². É dicir, a única solución non trivial da ecuación $x^a-y^b=1$ é x=3, a=2, y=2, b=3

  • Se sumas dúas fraccións irredutibles positivas e con distinto denominador, nunca vas obter un número enteiro. Formalmente, se $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ cumpren que $b \neq d$ e $(a,b)=1=(c,d)$, entón $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \notin \mathbb{Z}$

  • Todos os anos teñen polo menos un venres 13 pero nunca máis de 3. E se un ano ten ese máximo de 3 venres 13, podemos saber en que día da semana cae Aninovo: xoves nun ano normal, domingo nun bisesto.

  • É imposible atopar tres números racionais cuxa suma e produto sexa 1. Se estades moi interesados, este problema foi publicado por Sierpinski, que o atribuíu a Werner Mnich, e na rede está a demostración de Sansone e Cassels

Haberá que ir parando, que non me van quedar cousas que contar nunha eventual 4ª entrada desta serie.




1 A mellor experiencia docente que tiven ocorreu o último ano en Oleiros, cando tiven dentro da aula a unha compañeira de Matemáticas facendo de PT

11.2.21

Unha familia de sucesións

Acompañádeme na construción dunha familia de sucesións. Axiña intuiredes onde imos chegar.

Partimos das potencias de 2, pero tomando cada potencia dúas veces (inciso: cal é o termo xeral desa sucesión? Podemos atopar varias expresións distintas para ese termo xeral?)



Poñendo os números deste xeito, imaxinades que imos facer? En efecto, sumar cada dous termos consecutivos, e iterar o proceso:


Aí só incluín a 1ª sucesión ata $2^6$, veredes que para o meu propósito abonda.

Agora imos calcular a razón entre os dous primeiros termos de cada sucesión (ringleira):



Salta á vista xa, non si? Esta sucesión de razóns tende á nosa amiga, $\sqrt{2}$

Sabido isto, de onde sae a sucesión primixenia, 1, 1, 2, 2, 4, 4, etc.? É dicir, que relación ten con $\sqrt{2}$? Pois se consideramos as potencias de expoñente natural de $\sqrt{2}$, obtemos:

$$1, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, 8, 8\sqrt{2}, 16, 16\sqrt{2}, \dots $$

Consideremos unha aproximación barateira da raíz, $\sqrt{2} \approx 1$; a nosa sucesión orixinal cobra significado agora. Funcionará con calquera outra aproximación da raíz?

E máis interesante, funcionará este procedemento con outras raíces? $\sqrt{3}$? Raíces doutros índices? $\sqrt[3]{2}$? ...?


24.1.21

Outra propiedade elemental do triángulo equilátero

Lendo etiquetas do blog de John Baez vin un pequeno problema, que tamén me levou a (re-)descubrir o libro online Mysteries of the equilateral triangle, de Brian McCartin. Hai un feixe de matemáticas nese libriño, seguro que atopades algún feito que non coñecíades.

Pode que incluso sexa descoñecido o devandito problema que traio hoxe:


Teño que mellorar a miña escolla cromática, seino

Cal é maior, a área verde ou a maxenta?

E aínda mellor:

De cantos xeitos distintos dades demostrado o resultado?

 

6.1.21

Doce

Hai doce anos vivía eu na Coruña, polo menos as fins de semana. Por semana estaba na Rúa de Valdeorras, o meu primeiro destino definitivo, onde tiña tanto tempo libre que ademais de meterme na EOI sen ter moito interese, abrín este blog. E sucumbín ao folklore matemático, poñendo na primeira entrada un vídeo de fractais. Como xa dixen noutras ocasións, ter  alumnas(principalmente) ás que lles gustaba resolver problemas fóra do puramente curricular, supuxo un pulo á creación do blog. Eu xa pensara en montar un cando daba clase en Oleiros, pero a verdade é que non tiña moi claro que fose ter aceptación, e o chisco de narcisismo que temos todos os que facemos cousas de xeito público( na miña opinión) provocou que desbotase a idea. Tacitamente, pensaba que sería un choio inútil(non como agora, que cada entrada que fago sae en reddit/hot :/ )

Doce é un número natural dos famosos. Non só debe de ser dos que máis aparecen na aritmética elemental en Primaria e 1º e 2º de ESO, por iso de ser $12=2^2 \cdot 3$, senón que a ducia segue a ser unha medida estándar; os escolares británicos aprenden a táboa de multiplicar ata 12x12, aínda que agora xa non utilicen o sistema imperial de medidas e ademais un chelín xa non teña 12 peniques(desde o Decimal Day); 12 é o terceiro número pentagonal, $p_3$; é o menor número abundante; tamén aparece na famosa anécdota de Ramanujan e Hardy, $1^3+12^3=9^3+10^3$; o número ideal de cidadáns da República de Platón, 5040=7!, tamén ten unha relación forte co 12; a teoría máis estendida sobre o sistema sesaxesimal está entroncada co 12, etc.

Porén, imos ver unha propiedade non tan coñecida. Síganme, mozos.

Collamos o dodecágono regular, 

Un polígono regular calquera, vaia. Tracemos as súas diagonais,
Para ver algo aí, habería que saber que pretendemos ver a priori. Podería avanzar que ten que ver con tétrades de diagonais, pero aínda quedaría lonxe. Concretemos,

As diagonais $A_1A_9, A_3A_{10},A_6A_{11},A_8A_{12}$ córtanse no mesmo punto. Iso só xa tería interese per se, pero é que este feito está relacionado cun problema elemental, pero difícil, que seguro que xa vistes nun feixe de fontes distintas, que pide demostrar que se colles un punto dentro dun cadrado ABCD de tal xeito que $\angle PCD =15º$, entón $\triangle ABP$ é equilátero(en realidade é unha condición necesaria e suficiente).

En troques de facer eu malamente a figura con geogebra, collín como fonte a formidable Geometry from the Land of the Incas, onde as figuras dos problemas están especialmente coidadas:


Collido de Go Geometry             



Pois doce anos van, exactamente 4383 días, nos que escribín, con esta, 744 entradas. Vexamos se queda carrete.

E coido que nunca vos agradecín estar aí, de xeito silencioso, pero aí. Grazas a todos.

5.1.21

Dúas diseccións

 

3-4-5

Unha das igualdades numéricas non triviais máis coñecidas é

$$3^2+4^2=5^2$$

, que aparece de xeito natural no contexto do Teorema de Pitágoras, no primeiro triángulo rectángulo con lonxitudes naturais que se ve nas aulas.

A estas alturas todo o mundo saberá que o devandito teorema alude tanto a lonxitudes como a áreas, como vemos na imaxe máis icónica do triángulo, na cabeceira da entrada.


A disección sinxela que propoño hoxe consiste no seguinte:

Divide os dous cadrados pequenos utilizando as liñas da grella no menor número posible de pezas de tal xeito que poidas recompoñer tales pezas no cadrado grande.

Nota: pódese facer con 4 pezas. Con 25 sería sinxelo, non?

E agora a disección difícil, en 3D, parte tamén dunha coñecida igualdade numérica:
$$3^3+4^3+5^3=6^3$$

Divide os cubos de arestas 3, 4 e 5 utilizando as liñas da grella no menor número posible de pezas de tal xeito que poidas recompoñer tales pezas para formar o cubo de aresta 6. 

Como axuda, póñovos os 3 cubos pequenos coa grella xa trazada:

Unha axuda fake...


Como axuda de verdade, pódese facer rompendo só en 8 pezas, e aínda máis, non é necesario romper o cubo de aresta 3. Curiosamente, a disección sinxela pode executarse deixando tranquilo o cadrado de lado 4, e partindo o cadrado de ladro 3 en 3 pezas, sumando un total de 4 pezas, i.e., a metade que na disección difícil.

Se alguén tivese 216 cubiños unitarios...