11.9.20

Unha actividade (de Matemáticas) para titoría

Coconuts are so far down to the left they couldn't be fit on the chart.  Ever spent half an hour trying to open a coconut with a rock?  Fuck coconuts


A unha semana do comezo das clases máis estraño que temos visto, vou compartir unha actividade que fixen no curso 2018/19 coa miña titoría de 3º de ESO. Veredes que, en realidade, a actividade é transportable a calquera curso da ESO ou mesmo 1º de BAC, depende do titor, se quere enfatizar a análise matemática das gráficas ou o diálogo titor-clase.

Para empezar, coñecía a gráfica de xkcd de arriba, na que podemos ver a idea das coordenadas cartesianas de xeito informal. Os eixes non están numerados, non está localizada a unidade, a colocación relativa das froitas só dá unha idea difusa do sinxelo que é comela e do saborosa. Deste xeito, podemos ver que Randall cre que as uvas con sementes son máis difíciles de comer que as uvas sen sementes(aínda que seguen a ser máis sinxelas que difíciles) mais son un chisquiño máis saborosas. Para isto non é necesario indicar a unidade en cada eixe, de feito, habería que dar un significado ao 1 na magnitude "dificultade para comer a froita" E que significado tería -3? E aínda sen unidades, podemos facer preguntas (e esperar respostas coherentes) como "Que teñen en común as mazás verdes e as vermellas? En que se distinguen?"


Pois con esta gráfica na memoria, decidín probar o seguinte: amosei no EDI a imaxe, discutimos un anaco sobre as nosas opinións acerca do sabor e a dificultade(non hai nada como os gustos persoais para que a conversa sexa acalorada), e despois propuxen que cada alumno elaborase nunha cuartilla cadansúa gráfica, cos mesmos eixes que na de xkcd, sinxelo-difícil e non me gusta-gústame e coas materias de 3º de ESO en troques das froitas. Velaquí algunhas das producións:



As conclusións saltan á vista en cada gráfica, non si? O titor pode coller a gráfica dun alumno e ver moitas cousas. E tamén, de xeito colectivo, pode revisar todas as gráficas da clase e ver cousas raras. Que sucede se todos os alumnos colocan certa materia abaixo e á dereita de todo? Sucederá que moitos poñen arriba á esquerda algunha materia? Mediatiza a actividade que o titor dea Matemáticas? En xeral, cales son os cuadrantes máis poboados? (Se alguén fóra da docencia le este blog, si, efectivamente, nunha titoría os alumnos falan/quéixanse dos profesores que teñen ao seu titor, depende deste deixar que se desafoguen ou non)

Imaxino que vistes os números que hai bailando polas gráficas, moitos xa saberedes que indican as horas semanais de cada materia. Que pintan aí? Xurdiu sen pensalo previamente, cando vin algunha das gráficas e notei que quizais o número de horas semanais explicase a colocación das materias por varios alumnos. Algún alumno mercou a explicación, outros non, of course. Tamén poderíamos colocar as horas semanais nun terceiro eixe, pero feito a man pensei que non se vería ben.

Por outra banda, cabería a posibilidade de indicar a nota previa de cada alumno nas materias, pois adiviño que non reflectiría perfectamente a dificultade indicada no eixo OX: hai alumnos cuxo autoconcepto non se ve plasmado nas cualificacións, e outros amosarían que non traballan abondo en materias que a priori ven sinxelas.

Seguro que tedes máis imaxinación ca min e asáltanvos mellores ideas para poñer nuns eixes como os de xkcd que simplemente as materias de 3º de ESO. Xa tedes outra actividade para facer ese día en titoría.



24.8.20

Dúas cuestións de probabilidade


É probable que os doutos lectores deste blog xa coñezan unhas famosas e polémicas cuestións de probabilidade que tratan do sexo dos fillos dunha familia, e que tendo unha apariencia moi semellante, o procedemento para atopar a resposta e a propia solución son ben diferentes. Pois precisamente por seren tan coñecidos, non vou compartir eses problemas; se queda alguén que non os coñeza, déixovos ligazón a unha análise didáctica de expertos da Universidad de Granada:

La paradoja del niño o niña: aplicaciones para la clase de probabilidad


En troques, pelexade coas seguintes cuestións, tamén clásicas mais, coido, non tan coñecidas:


Imaxinade que temos unha baralla composta polo as de espadas, os as de copas, o dous de espadas e o dous de copas.

1ª cuestión: extraemos dúas cartas desa baralla. Cal é a probabilidade de que nesa man saian os dous ases, se sabemos que saíu polo menos un as?


2ª cuestión: extraemos dúas cartas desa baralla, one more time.  Cal é a probabilidade de que nesa man saian os dous ases, se sabemos que saíu o as de espadas?


E cando os resolvades, tedes outro choio: que diferencia esta parella de cuestións da parella de cuestións mencionada ao comezo?

27.7.20

Uns problemas para rematar xullo


Acabo de rematar o clásico contemporáneo da divulgación científica Una breve historia de casi todo, de Bill Bryson, libro que non podo deixar de recomendar. Desde a cosmoloxía ata á xenética, pasando polos movementos oceánicos ou a botánica, consegue que todos os temas que van aparecendo resulten interesantes (se estudastes, coma min, as morenas glaciares en 3º de BUP, saberedes que isto non é o habitual). Con ese libro pasoume unha cousa curiosa: tivérao nunha edición horrible pouco despois da súa publicación(2003), e non lograra rematar nin a introdución. E agora xa é un dos meus libros favoritos de divulgación científica, tendo en conta que non son un lector constante de temas científicos non matemáticos. Aínda que sigo pensando que a introdución é un pouco frouxa para o que vén despois.

E ao rematalo comecei Weapons of Math Destruction, de Cathy O'Neil, no que teño posto expectativas altas dada a alta calidade do que escribe no seu blog, mathbabe. Teño algún outro na cola, esperando, entre eles ¡Que las matemáticas te acompañen!(reseña no blog de Francis), da sempre brillante Clara Grima, e, por sorte, uns cantos libros puramente literarios, por exemplo Wise Blood, de Flannery O'Connor, a quen xa tiña ganas de ler e agardo ter tempo abondo, que ler en inglés textos literarios me leva máis que en galego ou castelán.

Mais do que xa tiña ganas era de vir polo blog e compartir uns cantos problemas para que os meus amables lectores poidan escribir na area da praia. 

Velaquí.

O primeiro, tirado da olimpíada portuguesa deste xaneiro, presenta unha estrutura combinatoris que soa coñecida, e que é susceptible de modificación para cursos baixos:

Um professor deu a alguns dos seus alunos um teste com seis questões cujas respostas eram Verdadeiro ou Falso. Quando os alunos entregaram os testes, ele reparou que cada par de alunos tinha, pelo menos, três respostas diferentes (e todos responderam às seis questões). Quantos alunos podem, no máximo, ter feito o teste?

Os dous seguintes vinos no libro de David Wells, The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles:

(Este pensádeo "en abstracto") Se lle dás a volta a unha luva da man esquerda, convértese nunha luva de man esquerda ou dereita?

Temos dous espellos que forman un ángulo fixo no vértice O. Un raio de luz paralelo ao espello inferior rebota no espello superior, é reflectido certo número de veces ata dar no espello inferior en ángulo recto no punto X, de tal xeito que sae polo camiño polo que entrara. Cal é a distancia entre o raio orixinal e o espello inferior?

Figura tirada do libro, o raio aquí só é reflectido 3 veces antes de chegar a X.
Cal sería o número mínimo de rebotes?

E finalmente, un problema dos "de voltas", dos que xa compartín exemplos neste blog desde o comezo, collido prestado do Wylie Math Tournament da Furman University:

Tres rapazas corren nunha pista circular con velocidade constante. Hannah é a máis rápida e pasa a Erin cada 10 minutos. Pero Erin non é a máis lenta, pois pasa a Jeannie cada 15 minutos. Cada canto tempo pasa Hannah a Jeannie?


Coido que xa tedes abondo para ir á praia.

27.6.20

A selectividade do 79


O outro día, nunha conversa no grupo de whatsapp do departamento do meu anterior instituto (en efecto, isto existe, e de feito para min é algo moi positivo), a miña xefa de departamento aló compartiu imaxes dun vello libro de exames de selectividade baixo a Ley Villar-Palasí. E saíron á palestra exemplos ben interesantes, como este do 78/79:


Selectividade Matemáticas 78/79
A xeometría non euclidiana da foto non é como a das que
mandaban os alumnos no confinamento, que isto é un libro

Varias cousas chaman a atención:
  1. O exame é breve. Moi breve comparado co actual. Non sei canto tempo lles darían aos mozos para facelo.
  2. Non hai Probabilidade nin Estatística. Nin os malditos sistemas de ecuacións dependendo dun parámetro. Nin ecuacións matriciais.
  3. A teoría da opción A non podería caer hoxe en día, pois as preguntas que poden caer están restrinxidas a catro teoremas. Entre eles, está o de Rolle, que aparece na opción B. Por certo, a distancia dun punto a un plano é unha cuestión moi axeitada... se requerise razoar por un mesmo a fórmula final. Como todos sabemos, se estaba incluída nunha lista de posibles cuestións teóricas, pasaría a ser simplemente un ítem que "chaparse".
  4. A pregunta 2 da opción A, sobre aplicacións lineais e a súa representación matricial, xa non podería aparecer cando fixen eu a selectividade, no 95, e hoxe é propia dun 1º curso de calquera grao de ciencias/tecnoloxía. Non é evidente que os dous subespacios teñen dimensión 1?
  5. A pregunta 3 tampouco podería caer agora, e de novo é propia dun 1º curso de grao. Gústame a parte na que fala da pendente da tanxente, polo de preguntar por algo coñecido expresándoo dun xeito alternativo.
  6. A cuestión 2 da opción B deixa claro que querían que os alumnos soubesen acotar integrais co ben coñecido $m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq M(b-a)$
  7. E coido que actualmente a primeira parte da cuestión 3-B resultaría estándar, mais a segunda, na que pide unha familia de planos, quizais presentaría máis dificultades que o exercicio tipo de Xeometría da ABAU. 
Cando teña tempo hei revisar outros vellos exames de selectividade. Ver exames, mellor se son doutros países, e se pode ser antigos, é un pasatempo freak que manteño. 

8.6.20

Cúbicas bonitas


Unha das directrices obvias que adoitamos seguir os profesores de Matemáticas consiste en comezar poñendo exemplos con números "sinxelos", en calquera ámbito no que nos adentremos coas clases. A razón é previsible: non queremos distraer aos alumnos do obxecto do exemplo. A teoría da carga cognitiva apoia esta intuición dos docentes: se os alumnos teñen que pelexar cun número do tipo $\frac{0,5\widehat{43}-\sqrt[3]{25}}{\sqrt{34}}$ polo medio de tentar aprehender un concepto novo, a súa memoria operativa vai pedir papas, o que provocará que non quede ren para o obxectivo esencial, que é a comprensión do novo concepto.

Por desgraza, hai casos nos que non temos nada que facer. O máis inmediato é o dos cadrados con dimensións naturais: se o lado é natural, a diagonal vai ter un $\sqrt{2}$ bailando, se a diagonal é natural, será o lado o que teña $\sqrt{2}$ polo medio(e un 2 no denominador se a diagonal é impar). Máis adiante na secuencia de contidos que van aparecendo pola asignatura hai unha situación na que tentamos poñer exemplos limpos, a da representación gráfica de funcións, e ás veces iso implica utilizar unha cantidade de tempo considerable buscando. Atopar unha función con raíces sinxelas non ten máis misterio que coller os números que queiramos, $a_1, a_2, a_3, \dots , a_n$ e construír a función polinómica $f(x)=\prod\limits_{k=1}^{n} (x-a_k)=(x-a_1)(x-a_2) \dots (x-a_n)$. Pero isto non garante que os puntos críticos da función sexan sinxelos tamén. Unha función tan inofensiva como $f(x)=x(x+1)(x-3)=x^3-2x^2-3x$ ten puntos críticos $x=\frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$, que bonitos non son, a verdade.

Pois ben, centrémonos nas funcións cúbicas, suficientemente interesantes para amosar xa dous puntos críticos e un punto de inflexión, pero non demasiado difíciles para que as contas sexan excesivas ou impracticables. Partamos dunha función cúbica con 3 raíces, 0, a e b, cousa que podemos facer simplemente transladando as raíces para que unha pase a ser 0. Por tanto, $f(x)=x(x-a)(x-b)=x^3-(a+b)x^2+ab$, e vexamos que condicións imos ter que impór nos enteiros a e b para que f teña puntos críticos e punto de inflexión manexables, o que vou traducir como enteiros.
Se usamos forza bruta para atopar as raíces da derivada,$f'(x)=3x^2-2(a+b)x+ab$, teríamos que pelexar simultaneamente con dous obstáculos, a racionalidade do discriminante e que o denominador divida ao numerador da fórmula. Podemos evitar un deses problemas impoñendo que f'(x) teña o aspecto $f'(x)=3(x-c)(x-d)=3x^2-3(c+d)x+3cd$, sendo c e d as abscisas sinxelas para os puntos críticos que estamos a buscar. Álxebra, come softly...

$$\begin{cases} 2(a+b)=3(c+d) \\ ab=3cd \end{cases}$$
Da 2ª ecuación deducimos que a ou b son múltiplos de 3, pero a 1ª ecuación fai que se un é múltiplo de 3, o outro tamén, polo que os dous teñen que ser múltiplos de 3, e podemos escribir $a=3m, b=3n$,  e reescribir todo:
$$\begin{cases} 2(m+n)=c+d \\ 3mn=cd \end{cases}$$
e agora podemos deducir que 3 é divisor de c ou de d, dada a simetría do choio, supoñamos que é c, e escribamos $c=3e$:
$$\begin{cases} 2(m+n)=3e+d \\ mn=ed \end{cases}$$
Eliminemos m:
$$2(m+n)n=(3e+d)n \rightarrow 2ed+2n^2=(3e+d)n \rightarrow 2n^2-(3e+d)n+2ed=0$$
Como tantas veces, para que esta ecuación en n teña raíces enteiras, é necesario que o discriminante da ecuación sexa un cadrado perfecto:
$$\Delta=(3e+d)^2-16ed=f^2 \rightarrow 9e^2+6ed+d^2-16ed=f^2 \rightarrow 9e^2-10ed+d^2=f^2$$
E agora que? Mirar moito e ter sorte:
$$d^2-10ed+25e^2-25e^2+9e^2=f^2 \rightarrow (d-5e)^2=f^2+(4e)^2$$
O que nos leva á ecuación diofántica máis coñecida, a pitagórica. Tendo en conta a paridade de 2e, a solución xeral é:
$$\begin{cases} d-5e=k(r^2+s^2) \\ f=k(r^2-s^2) \\ 4e=2krs \end{cases}$$
sendo, como é usual, k un natural calquera e r e s coprimos e de paridade oposta. Atopemos os valores de n e m:
$$n=\frac{3e+d \pm \sqrt{\Delta}}{4} $$
Usamos agora que $3e+d=d-5e+2 \cdot 4e=k(r^2+s^2)+4krs=k(r^2+s^2+4rs)$, e vou eliminar o $\pm$, pois as dúas posibilidades son os valores de n e m, precisamente:
$$n=\frac{k(r^2+s^2+4rs) + k(r^2-s^2)}{4}=\frac{k(2r^2+4rs)}{4}=\frac{kr(r+2s)}{2}$$
E $$m=\frac{ks(s+2r)}{2}$$
Para que n e m sexan naturais, ten que suceder que k sexa un número par, $k=2t$
$$\begin{cases} m= ts(s+2r) \\ n= tr(r+2s) \end{cases}$$
Lembrando que $a=3m, b=3n, c=3e$,
$$\begin{cases} a= 3ts(s+2r) \\ b= 3tr(r+2s) \\  c=3trs \\ d=2t(r^2+s^2)+5trs=t(2r+s)(r+2s) \end{cases}$$
Velaquí a parametrización que buscabamos, coas restricións comentadas, r e s son números coprimos e de paridade oposta. Para listar as funcións "bonitas" estas restricións van supoñer un obstáculo.
Pois ben, como aproximación a unha representación mellor pensada para esta listaxe, velaquí un applet en geogebra onde ademais da parametrización obtida, permito transladar a cúbica para que non sexa obrigado que pase pola orixe:





Nesta entrada seguín varios artigos, pois o asunto "escolar" de dispoñer de funcións sinxelas semella que hai anos que é unha teima dos profesores. Entre eses artigos, teño que salientar:
  • Jim Buddenhagen, Charles Ford e Mike May, Nice Cubic Polynomials, Pythagorean Triples, and the Law of Cosines, Math. Mag. 65 (1992) pp. 244-249
  • Jean-Claude Evard, Polynomials whose roots and critical points are integers, arXiv (2004)
  • T. Bruggeman and T. Gush, Nice cubic polynomials for curve sketching, Math. Mag. 53 (1980), pp. 233-234
  • R. H. Buchholz and J. A. MacDougall When Newton met Diophantus: A Study of Rational-Derived Polynomials and Their Extension to Quadratic Fields, J. Number Th. 81 (2000) pp. 210-233