Solución a Como ides de intuición(estocástica)?

 

Dado que unha multitude (só direi que hai que usar o plural) me pediu que compartise a solución do problema da entrada anterior, decidín coller a solución que escribín en 2008 e traela aquí. Como vexo un pandemonium de factoriais e números combinatorios, contade con que cometa algún erro, agardemos que só sexan erratas. Ah, e non ides ver ningunha gran intuición, só un traballo de libro.

Lembremos o problema: se temos nunha urna 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis, e imos extraendo unha a unha, cal é o número esperado de bólas verdes que quedan na urna cando extraemos a última bóla azul?

En primeiro lugar, as bólas azuis poden desaparecer, como moi cedo, na 8ª extracción, e como moi tarde, na 80ª. Se desaparecen na k-ésima extracción, quedarán 80-k bólas verdes. Só hai que calcular a probabilidade de que as bólas azuis desaparezan na extracción k-ésima e multiplicar por 80-k(e sumar, claro).

Chamándolle $A_k=$ "as bólas azuis desaparecen na k-ésima extracción", temos:

$$P(A_1)=P(A_2)= \dots P(A_7)=0$$

$$P(A_8)=\frac{8}{80}\cdot \frac{7}{79}\dots \frac{2}{74}\cdot \frac{1}{73}=\frac{8! 72!}{80!}=\frac{1}{\binom{80}{8}}$$

(Número final que podía verse desde o comezo, pero é a miña natureza sobreexplicar, polo menos no primeiro exemplo)

$$P(A_9)=\frac{\binom{8}{1}}{\binom{80}{8}}$$

pois hai 8 lugares onde colocar a bóla verde.

E sucesivamente

$$P(A_{10})=\frac{\binom{9}{2}}{\binom{80}{8}}$$

$$\dots $$$$P(A_k)=\frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}}$$

Logo o número esperado de bólas verdes que quedarán é:

$$\sum_{k=8}^{80} (80-k) \frac{\binom{k-1}{k-8}}{\binom{80}{8}} \overset{\mathrm{l=k-8}}{=}\sum_{l=0}^{72} (72-l) \frac{\binom{l+7}{l}}{\binom{80}{8}}=\frac{1}{\binom{80}{8}} \sum_{l=0}^{72} (72-l) \binom{l+7}{7} $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \sum_{l=0}^{72} \binom{l+7}{7} - \sum_{l=0}^{72} l \binom{l+7}{7} \right]=\frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \cdot \binom{80}{8} - \sum_{l=0}^{72} 8 \binom{l+7}{8} \right]= $$ $$ \frac{1}{\binom{80}{8}} \left[ 72 \binom{80}{8}-8 \binom{80}{9}\right]=\frac{\binom{80}{9}}{\binom{80}{8}}=8$$

Onde utilicei que $72 \binom{80}{8}=9 \binom{80}{9}$, pois ambos os dous coinciden con $80 \binom{79}{8}$

En conclusión, o número esperado de bólas verdes cando non queden bólas azuis é 8. Que, resulta intuitivo? Esperabades máis bólas verdes?

Como ides de intuición (estocástica)?

The Bent, símbolo da sociedade, vén sendo
unha peza do cabalete dunha ponte

 Revisando o meu vello arquivo de problemas, sección Escila (de xeito nada rimbombante tampouco, a outra sección é Caribdis, obviamente), atopei este problema da columna Brain Ticklers na revista The Bent da asociación de enxeñería (ou algo así) Tau Beta Pi. Problema que xa apareceu por aquí, oculto con outros moitos, na macroentrada Problems for the Million, pero como ninguén lle prestou atención ningunha, cando eu creo que é ben fermoso, e dado que o balón é meu e marcho para casa con el se me dá por aí, velaquí:

Unha urna contén 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis. As bólas son extraídas ao chou sen reemprazamento ata que sacamos todas as bólas azuis. Cal é o número esperado de bólas que quedarán na urna nese momento?

(Nunca vos pasou estar nunha conversa con moita xente, soltar unha brincadeira, e que ninguén a oia? Pois eu son dos que repiten a brincadeira, pero máis alto)

Como dato histórico, o problema ten autor, William Allen Whitworth, matemático inglés do que eu non sabía nada, quen o publicou en 1901. Lendo a súa páxina da wikipedia, achei que Whitworth foi realmente o primeiro que publicou o fermoso Bertrand's Ballot Theorem (non estou seguro de como traducilo, se votación ou elección): Se nunha elección o candidato A obtén p votos e o candidato B obtén q votos, con p>q, cal é a probabilidade de que o candidato A fose sempre por diante de B no escrutinio? A resposta é unha marabilla, $\frac{p-q}{p+q}$

Antes de que tentedes resolvelo, o máis interesante na miña opinión: cantas bólas estimades que quedarán cando extraiamos todas as azuis? Aposto a que probablemente (no pun intended) ides levar unha sorpresa.

Unha adiviña moi circular

 

Máis dun mes despois volvo por aquí para publicar unha adiviña. Teño varias entradas recentes que probablemente nunca saian do borrador porque, como moitos saberedes, a xefatura de estudos que me encomendou a Providencia, máis ou menos, non me deixa ter a paz mental necesaria para poñerme a organizar ideas. En consecuencia, escollo ocupar o meu ocio lendo ou vendo cousas, non escribindo eu aquí. E esas entradas quizais sexan demasiado ambiciosas para o meu estilo habitual.

A adiviña de hoxe pode que sexa sinxela para algúns dos lectores do blog, que son cultos de máis. Por iso vou darlle o formato máis difícil que se me ocorre: non explicar (case*) nada 

   

*Case, que non son un salvaxe: partimos dunha circunferencia calquera de centro O que pasa por un punto A, e todas as circunferencias e arcos que aparecen na construción teñen o mesmo raio que a primeira. Pintei de azul os centros desas circunferencias e arcos para axudar un chisco á vista.

A adiviña: que ten de interesante o segmento vermello?

A quen non lle vai gustar unha demostración do coseno da suma?

 

Procrastinando entre pdfs e djvus Aprendendo unha morea como cada día na docencia e preparando novas actividades no American Mathematical Monthly, atopei esta nova (para min) demostración da fórmula do coseno da suma de ángulos, que parte dunha situación que xa aparecera por este blog hai anos nesta entrada, na que se demostraba precisamente o seno da suma. Lembremos a situación de partida:

   

A idea era debuxar os ángulos α e β de xeito consecutivo, e prolongar os lados dos ángulos de tal xeito que o lado común forme unha perpendicular coa unión das extensións dos outros dous. Máis sinxelo velo que dicilo, como podedes comprobar. Despois había que utilizar a expresión das áreas dos 3 triángulos da figura en función do seno dos 3 ángulos implicados, e o chisco inevitable de álxebra et voilà.

Para reutilizar a figura temos que poñer tres novas etiquetas:

Creo que é digno de mención que atopase
o ggb nun disco duro

Comezamos apelando ao Teorema do Coseno no triángulo grande:

$$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Por outra banda, 

$$c=m+n \Longrightarrow c^2=m^2+2mn+n^2$$

E usando o Teorema de Pitágoras nos dous triángulos pequenos e substituíndo na igualdade anterior,

$$\begin{cases} n^2=a^2-h^2 \\ m^2=b^2-h^2\end{cases} \Longrightarrow c^2 = b^2+2mn+a^2-2h^2$$

Igualando as dúas expresións para a medida $c^2$:

$$ b^2+2mn+a^2-2h^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Cancelamos:

$$2mn-2h^2=-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Dividindo os dous membros entre $-2ab$:

$$cos(\alpha+\beta)=\frac{h}{a}\cdot \frac{h}{b}-\frac{n}{a} \cdot \frac{m}{b}$$

é dicir, 

$$cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta - sen \alpha \cdot sen\beta$$

q.e.d.

Non sei que pensaredes, a min sempre me prestan as demostracións nas que atopas por camiños distintos dúas expresións diferentes para a mesma cousa. Xa temos outro exemplo no arquivo.

Escribindo unha entrada como se fose 2010

 

Nunha crise existencial causada polo claustro de comezo de curso, os meus ósos deron no Facebook¹ coa publicación dunha profesora da facultade, na que había un vídeo recoñecible dentro dunha serie ben famosa cando comezaba este blog, Animation vs Animator (que podedes atopar na etiqueta animación, ao final dunhas cantas entradas). Mirade se pasaron anos, que a web que compartira do animador, Alan Becker, xa non está operativa(sería interesante saber que porcentaxe de webs .net desapareceron nestes anos).

O autor leva un ano creando vídeos dentro da lista de reprodución Animation vs Education, o que vin antes é o 3º da xeira, Animation vs Geometry:

Confeso que non coñecía o vídeo da Física, e que non rematei de ver o das Matemáticas, así que empecei a ver o novo(só de hai 2 meses!) con receo. E non axudou a estrela invitada que aparece aos dous minutos do vídeo, certamente. Teimas dun que xa vai vello.

Aínda así, continuei véndoo(axuda que dure menos de 10 minutos, non como os outros dous), e hai algunha cousiña que me sacou un sorriso, polo que o rematei con vistas a, quizais, poñelo algún día en clase.  

---

1 Efectivamente, ademais fago outras cousas modernas, como ver o teletexto para saber que películas ir coller ao videoclub^↩