16.3.24

Un(?) problema para roer

 

Un dos libros que consulto cando teño tempo para pelexar cun problema fermoso é Five Hundred Mathematical Challenges de Barbeau, Klamkin e Moser. Está pola rede en pdf, non o comparto nin poño o número de problema para que arrabeedes.


Observade a seguinte sucesión:


$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, \dots $$


Adiviñastes a lei de formación? Estou certo que si. Porén, vou engadir aquí unha animación que fixen arredor da circunferencia goniométrica, e de paso, tedes outro problema para pensar:


   
Dado o norte e un punto móbil da circunferencia goniométrica, consideramos o punto medio do segmento que forman(azul), e 3 puntos homotéticos ao devandito punto medio desde o corte das tanxentes(o gris a $\frac{9}{10}$, o vermello a $\frac{2}{3}$, o laranxa a $\frac{-3}{2}$). Observades os estrafalarios lugares xeométricos, sobre todo o do punto gris? Pois se vos prestan os problemas técnicos, ánimo.


Volvamos á sucesión.

Como xa vistes, comeza con 1, logo veñen 2 números pares, logo 3 impares, 4 pares, 5 impares... Sinxelo, non si?

 O difícil é amosar o termo xeral, que xa viñades osmando que ía pasar agora. Non vos queixedes, que vou poñer a expresión(como vén no libro), se $u_n$ é o termo xeral da sucesión,

$$u_n=2n- \left[ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{8n-7})\right]$$

onde, como é usual, os corchetes indican a función parte enteira.



2.3.24

Un problema clásico de circunferencias


Andaba argallando como debuxar circunferencias tanxentes cando pensei que esta cuestión merecía vir ao blog. Xulgade vós.


   

Na figura atopamos tres circunferencias tanxentes, as dúas pequenas exteriormente, e a grande contendo ás outras dúas. O voso traballo consiste en achar o valor do perímetro do triángulo ABC, formado polos centros das tres circunferencias.


E tedes sorte, que dunha das ferramentas máis útiles para pelexar con circunferencias e rectas tanxentes  falou hai nada Cibrán.


12.2.24

Non fagas debuxiños sen pensar

 Tomade a entrada de hoxe como un consello deste vello profesor.


O outro día fixen unha letra F en geogebra, sen pensar moito. Non sei por que, debuxeina deitada, e fixen semicircunferencias nos extremos, como podedes ver na figura:

    

E tendo a figura diante, pensei en cal sería o diámetro tal e como quedara. O diámetro, como podedes imaxinar se non o coñecedes xa, é un concepto que xeneraliza o orixinal das circunferencias: é a maior distancia entre dous puntos calesquera dunha figura. Se queredes, $diam(F)=sup \lbrace d(P,Q) / P, Q \in F \rbrace$

Se pensase neste problema hai vinte anos, o que faría sería directamente comezar a debuxar (mal) a situación en folios, de xeito caótico, utilizando varias direccións e sentidos diferentes ao escribir/debuxar. Hoxe, en troques, o primeiro que fago é abrir o geogebra e chantar a figura, e probar relativamente ao chou con ideas que van vindo. Neste caso, parece evidente que o diámetro vai alcanzarse cando os dous puntos estean xusto nos casquetes, mais non hai un candidato obvio a priori para obter o máximo.

   


Déixovos que pensedes o problemiña; confeso que en principio pedín papas cos métodos elementais e parametricei os puntos da imaxe en polares, e elevei ao cadrado a distancia entre eles. Deste xeito atopei unha función de dúas variables, os ángulos que determinan os puntos desde os centros das semicircunferencias. E fixen derivadas parciais, etc. Mecánico e realmente enleado.
Despois atopei outro xeito máis elemental de atopar os dous puntos, por pura intuición, pero sen argumentar de xeito rigoroso que fose a solución do problema. A ver se sodes máis hábiles ca min.

4.2.24

Unha adiviña nos números complexos

 


Viñeta obrigada de xkcd cada vez que aquí se fale de complexos

En xaneiro pasei unhas sesións moi frutíferas todo contento dando complexos en Matemáticas I, proporcionalidade en 2º e ecuacións en Matemáticas A. A ledicia en Matemáticas I proviña de non estar apurado ao non ir demasiado atrasado e só foi algo botada a perder por non ter máis tempo para amosar o feixe de aplicacións dos complexos dentro das propias Matemáticas.

Para resarcirme un chisco, hoxe traio unha pequena adiviña dentro do Plano de Argand. A ver se vos presta tanto como a min:


Se a, b e c son os afixos de tres números complexos, a que coñecida propiedade equivale a anulación deste determinante?

$$\begin{vmatrix} a&b&1\\ b&c&1 \\ c&a&1\end{vmatrix}=0$$ 

10.1.24

Unha pregunta recorrente na aula

 


Resultado de poñer Math Education Wars na IA de Bing.
Atención á dobre regra-transportador

Hoxe nunha aula de 2º de ESO inventei sobre a marcha este contexto sen preocuparme de que non tivese sentido ningún:

Nun instituto o 6% do alumnado ten astigmatismo. Sabendo que son 21 alumnos, atopa o número total de alumnos do centro.

(Mirei logo na casa e atopei que en España a prevalencia vén estando polo 25%)

Este tipo de problemas xa foron traballados en 1º de ESO, o que non quere dicir que todos os alumnos os saiban resolver. Para alguén cun chisco de dominio do contido, simplemente habería que dividir 21 entre 0,6, mais eu non son moi partidario de introducir en 2º os tantos por un para todo o grupo, pois a maioría simplemente aprendería de memoria o procedemento. En calquera caso, estamos comezando as porcentaxes, aínda non saberían manexalos.


Pois ben, se o problema non é nin difícil nin sequera exclusivo deste curso, que veño a comentar hoxe?


Pois algo que supoño que moitos compañeiros, senón a maioría, farán nas súas aulas(a estas alturas xa saberedes que eu non fago nada espectacular), que é, antes de resolver o problema, preguntar:

Se vos deixo cambiar un número dos que aparecen, cal escolleriades e por que outro número o substituiriades? E por que?

As respostas de hoxe foron:

  • Cambiar o 6% por un 5%, porque era máis sinxelo facer "paquetes" de alumnos a partir do 5%
  • Cambiar o 6% por un 50% ou por un 25%, que son porcentaxes sinxelas e podemos recuperar o 100% cunha conta evidente.
  • O anterior deu lugar comicamente a cambiar o 6% polo 100%, aínda tardou en saír.
  • Cambiar os 21 alumnos con astigmatismo por 6 alumnos.
  • Cambiar  6% por 7%, porque así a relación entre a % e o número absoluto era máis evidente(o 1% equivalería a 3 alumnos)
Non botades en falta ningunha escolla obvia? Efectivamente, tiven que ser eu quen apuntase que tamén sería sinxelo resolver o problema se 6 alumnos fosen o 1% do total do alumnado.

Despois desta conversa, na que non participou toda a aula, como é habitual, deixei un anaco para que resolvesen o problema orixinal. Pedín ideas pero eu no encerado amosei o xeito "canónico", o que funciona independentemente de que números estean implicados; chamando x ao número total de alumnos,

$$\frac{6}{100}=\frac{21}{x}\rightarrow x= \frac{100 \cdot 21}{6}=350$$

E finalmente indiquei a relación que hai entre o procedemento para calcular unha porcentaxe dun número e este, no que calculamos o número coñecendo unha porcentaxe. Que esencialmente é a relación que hai entre a multiplicación e a división, outra vez máis.

Esta "estratexia" de pedir que modifiquen datos dun problema ou exercicio para que resulte máis sinxelo ou inmediato é común nas miñas clases. A principal eiva que ten é a indicada previamente, depende da implicación nas conversas de aula. Non pido que o fagan en grupos por optimizar o tempo, como é común nas miñas clases. E sempre ten como obxectivo identificar as relacións entre as compoñentes do problema, e adoita rematar co xeito(ou xeitos) canónico de resolver o problema.


E o amable lector, emprega unha estratexia similar? Feel free to comment, etc.