5.5.18

O cociente de intelixencia, tuenti e A Rúa


Hai un feixe de anos, aló pola época na que abrín este blog traballando na Rúa de Valdeorras, chegábanme moitas peticións de amizade de alumnos na conta de Facebook. A todos contestáballes o mesmo: esta conta é persoal e só teño familia e amigos(e como moito, coñecidos), non vou aceptar alumnos actuais, pois non me parece apropiado. Polo que algúns do 3º de ESO que daba suxeriron que fixera unha conta en tuenti, ao que accedín finalmente pola insistencia. Daquela atopei por algures a brincadeira seguinte, que obviamente tiven que compartir en clase, para revolver:

Cada vez que un usuario pecha a súa conta en tuenti e abre conta en twitter, o CI medio das dúas redes sociais baixa.

Dez anos despois, sigo a rir con esta parvada, que considero un bo chiste matemático.


Por que lembrei esta anécdota? Pois a razón vén da entrada Estafar na estafeta, na que compartín un fermoso problema sobre tamaño de ortoedros do prolífico Peter Winkler, que tamén aparecera no Tournament of the Towns, e avancei que ía traer un problema dese concurso. Velaquí:

O cociente de intelixencia(CI) dun país defínese como a media dos cocientes de intelixencia de toda a súa poboación.
    1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B. Amosar que pode suceder que, como resultado, o CI dos dous paises se incrementase.
    2. Despois disto, un grupo de xente do país B, que pode incluír inmigrantes de B, emigra a A. Pode suceder que o CI de ambos os dous países se incremente outra vez?
  1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B, e un grupo do país B emigrou simultaneamente ao país C. Sábese que, como resultado, o CI dos tres países se incrementou. Despois disto, un grupo de C emigra a B e un grupo de B emigra a A. Pode suceder de novo que o CI dos tres países se incremente?

Para o ano hei propoñer este problema, ou polo menos o anaco sinxelo, nas miñas clases de 1º ou 2º de ESO.


22.4.18

Solución a Un rectángulo e tres inradios


Nos comentarios á entrada Un rectángulo e tres inradios contestei que a demostración que pensei cando escribín esa entrada era ben fea. Tiven un anaco e deille outra volta, e cheguei a unha proba sinxela e rápida.
O esencial da demostración é unha expresión alternativa para o inradio dun triángulo rectángulo, obtida a partir de $sr=\Delta$ e o ubicuo Teorema de Pitágoras. Vexámolo primeiro:


   
$$sr=\Delta \rightarrow \frac{a+b+c}{2} \cdot r=\frac{bc}{2} \rightarrow r= \frac{bc}{a+b+c}$$
$$r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)} \rightarrow r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c)^2-a^2}$$
$$r=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}\rightarrow r=\frac{b+c-a}{2}$$
Esta última expresión vai facilitar o choio. Vaiamos agora ao problema orixinal:

   

$$r_1+r_2+r_3=\frac{AH+DH-AD}{2}+\frac{CH+DH-CD}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}=$$
$$\frac{AH+DH-AD+CH+DH-CD+AB+BC-AC}{2}=\frac{2DH}{2}=DH$$
onde utilizamos que $AH+CH=AC$, $AD=BC$ e $CD=AB$

Aínda que non o lembro, aposto que esta foi a demostración que fixen a primeira vez que vira o problema, e non a zarangallada alxébrica que montei desta. 

14.4.18

Estafar na estafeta



Lendo a Peter Winkler, autor dos magníficos Mathematical Puzzles: a connoisseur's collection e Mathematical Mindbenders, atopei este problema:

En certas estacións de ferrocarril e oficinas de correos do mundo, o coste de enviar unha caixa (paralelepípedos rectangulares) vén determinado pola suma das súas dimensións, é dicir, a suma do seu longo, o seu largo e a súa altura. Esta suma de dimensións denomínase o tamaño da caixa.
A cuestión é obvia para todos os que teñan unha mente para o delito: é posible hackear o sistema, introducindo unha caixa dentro dunha caixa máis barata? É dicir, pode existir un ortoedro cun certo tamaño que teña un ortoedro de maior tamaño dentro?

Este curioso problema, que pode ser temperado se o levamos a dimensión 2(cun rectángulo dentro doutro rectángulo), apareceu no usualmente (moi) difícil Tournament of the Towns, no que achei outros problemas para cavilar recentemente. Outro día comparto un da categoría "problemas de Álxebra sen ecuacións", ben fermoso.

28.3.18

Un rectángulo e tres inradios



Revisando os escasos números da publicación Arbelos, de Samuel L. Greitzer(ben coñecido pola súa obra conxunta con Coxeter, Geometry Revisited), dei de novo cun vello resultado elemental:

   

Sendo ABCD un rectángulo, amosar que
$$r_1+r_2+r_3=DH$$

Como non é a primeira vez que sucede, pido desculpas se xa o compartín con anterioridade. Desde logo problemas relacionados co inradio dun triángulo rectángulo xa teño compartido.

18.3.18

Unha ecuación non polinómica



Estaba a revisar a fornada de competicións matemáticas de inverno, e dei cunha das miñas preferidas, o Torneo Harvard-MIT. Este torneo, do que xa falaría moitas veces(imaxino) ten dúas  instancias, unha en novembro en Harvard, e a outra en febreiro no MIT. Os dous torneos teñen certas diferenzas, por exemplo nas disciplinas que cobren, mais os dous teñen unha sección individual e unha sección por equipos. Na proba Xeral de novembro teño atopado problemas axeitados para facer pensar aos alumnos alén do habitual nas aulas, chegando ás veces a incluílos (fóra de cualificación) en exames. O ítem que traio hoxe apareceu na proba de Álxebra e Teoría de Números deste febreiro. Observade:


Atopa o único número real positivo que satisfai $$x^{2x^6}=3$$


Se eu dese clase en 1º de bacharelato este ano, seguramente introduciría esta inocente ecuación nalgún momento.