Symmetry

 

Tranquilos, non vou comentar o clásico libro de Hermann Weyl, que sospeito que, xunto a Flatland ou O Teorema do Papagaio, forma parte desa colección de libros que naceron para encher bibliografías de traballos que ninguén leu, nin eses traballos, nin desgraciadamente, os devanditos libros.

Xa que esta entrada comeza doente, aproveito para apuntar aquí que non hai un maldito libro de divulgación no que falen de Weyl no que non digan as mesmas frases: que era discípulo de Hilbert pero que non o seguiu no formalismo, senón que evolucionou cara ao intuicionismo... Sen comentar a posterior "reconciliación", que aparece ata na wikipedia en inglés. En fin.

Non. Symmetry é o nome dun xogo dos que parecen feitos para ter de target os tarados coma min. Pois ademais de traballar o concepto de simetría axial, requiren de certa velocidade visual. O obxectivo de cada fase é detectar que cela rompe a simetría, para o cal dispós dun tempo que ao principio é máis que abondo, pero cando a cuadrícula vai incrementando o número de celas e hai máis características que ter en conta, rapidamente é insuficiente. 

Comparto a pantalla dunha fase na que hai que controlar tanto a cor das celas como o contido, e o eixe de simetría. En fases posteriores tamén hai que observar a orientación do contido, hai celas que desaparecen e logo reaparecen, as figuras teñen distintos padróns de sombreado...

Engadindo a imaxe decateime de que lembra
á portada dun libro ben bonito de Combinatoria,
Combinatorics. Ancient and Modern

Xa teño tedes outro xoguiño para eses días pampos de folga de estudantes nos que veñen dous despistados...

Dúas diseccións, unha vella e unha nova

 

Onte varios alumnos remataron un exame con bastante antelación, polo que acabei entrando aquí, na etiqueta Disección, para poñer algún problema que non precisase de moito enunciado. E a primeira entrada que sae nesa etiqueta é Catro novas diseccións, onde compartín catro problemiñas inventados por min. E pensei en crear algunha nova, polo que abrín o Polypad one more time e tardei un bo anaco en atopar algunha idea que me dese convencido. Porén, como tamén vin hai pouco unha interesante nun libro dun dos Grabarchuk, veño con dúas diseccións para engadir ao almacén. Obviamente é mellor a outra, xa podedes imaxinar, pero chanto antes a miña:

   

Dividide a figura anterior en 7 figuras co mesmo tamaño pero forma distinta.

Non fixen as variacións, mais coido que o periscopio ese pode cambiar de sitio e aínda habería problema para resolver.

   

Divide a figura anterior en tres partes congruentes.

Como son boa persoa, coméntovos que nese "congruentes" hai que entender que falamos de pezas sólidas, que podemos xirar no espazo.

Se outro día, xogando co Polypad, atopo algo potable, hei volver por aquí.

Dous problemas combinatorios

 

Había tempo que non atopaba un concurso matemático, e hoxe mesmo, remexendo na web de Art of Problem Solving na pescuda dalgunha ecuación diofántica (o que vén sendo o combustible que mantén viva esta maldade interior), dei co Concurso Madhava da India. O que non deixa de ser curioso, tendo en conta que foi fundado en 2010.

Esta competición vai dirixida a estudantes do grao de Matemáticas, o que fai que inclúa desde problemas de álxebra elemental ata ecuacións diferenciais, pasando pola combinatoria. E mirando por riba axiña achei dous curiosos dentro desta última materia. Atendede.

Este mesmo xaneiro apareceu este problema, que me sorprende que non pensara antes dado o inmediato que é:

De cantos xeitos podes escoller un número impar de obxectos dun total de n obxectos?

Inclúo as opcións que dá o concurso:

a) $2^{n-1}$ b) $2^{n}$ c) $2^{n}-1$ d) $n$ 

A solución, coido, é fácil de intuír, vendo as opcións. Antes de velas elucubrei un anaco sobre dividir a análise en dous casos, segundo se n é par ou impar. Pero é moito máis sinxelo. E susceptible de facer unha demostración puramente combinatoria e argallar varios argumentos.

E velaquí outro, este de 2015, que non sei se vai exactamente de combinatoria pero como mínimo está na fronteira:

Hai 8 equipos na liga profesional de kabaddi. Cada equipo xoga con todos os demais equipos unha soa vez. Supoñamos que non pode haber empates. Sexan $w_1, w_2, \dots , w_8$ o número de victorias e $l_1, l_2, \dots , l_8$ o número de derrotas dos equipos $T_1, T_2, \dots , T_8$. Entón

a) $w_1^2+ \dots + w_8^2=49+l_1^2+ \dots + l_8^2$

b) $w_1^2+ \dots + w_8^2=l_1^2+ \dots + l_8^2$

c) $w_1^2+ \dots + w_8^2=49-(l_1^2+ \dots + l_8^2)$

d) Ningunha das anteriores

Estou certo de que hei pasar pola web deste concurso moitas veces no futuro(de feito xa estou enleado con algún problema...)

Escher(-ish) noutro xogo

 Que tempos aqueles nos que todas as semanas saía un xogo "dos de pensar" na rede, que tempos.

Ou quizais segue a haber, o que sucede é que desde que desapareceu o Flash non hai unha contorna amigable, fóra de certos portais aparentemente máis especializados, como itch.io, ou cousas raras e infantís, como Roblox, na que velos. Ou pode que sexa eu máis vello, ou parvo, quen sabe.

 

Obviamente, se vexo que hai un novo xogo titulado Escheresque, vou probalo e raro será que non o comparta aquí. Que parece que eu son o target obxectivo dunha cousa así.

Aínda que logo, cando o probe, decida que moi Escheresque igual non é.

O xogo usa a perspectiva isométrica de moitos dos vellos xogos arcade dos 80, a mecánica inclúe cambiar entre dous mundos superpostos e isto fai que o noso ollo conxugue as imaxes dos dous mundos ata crear figuras paradoxais que non están aí. Ao contrario do Monument Valley, no que si aparecían ilusións e figuras imposibles.

Podía basearse en La Abadía del Crimen,
a verdade. Ou no Marble Madness

A principal dificultade do xogo é non ter unha visual completa do escenario, o que provoca que poidas vagar un chisco ata atopar o que hai que facer. E tendo en conta a lentitude coa que anda o nachiño, se sodes dos que vedes vídeos a 2x, non é para vós. Se sodes dos que non resolvedes un problema de todo no momento no que sabedes o que hai que facer, tampouco.

En conclusión, máis arte que xogo. Como premisa para algo máis grande si que o vexo factible.

Unha "trola" que adoito contar na aula

 

Alguén haberá que lembre unha vella entrada(de 2012!)deste blog, Mentiras que contamos os profesores de Matemáticas, na que o uso da palabra mentira quizais fose esaxerado. Por iso neste caso vou poñer trola entre vírgulas.

Xa comentei que este curso dou 1º e 3º de ESO, o que me leva, queira ou non, a ir comparando o panorama das matemáticas elementais que lles dou aos alumnos en ambos os dous cursos cando coinciden os contidos(eu négome a usar "sentido" aquí, non é funcional esa distinción). E como en 3º de ESO no meu centro comezamos polas unidades de Estatística, Combinatoria e Probabilidade, aínda estou agora na de Números Reais. Polo que a estas alturas de curso andamos cos números racionais, que implica necesariamente lembrar os rudimentos das fraccións. E este ano reparei en que unha das cousas que fago na aula, que non están programadas, pero que xa fixen moitos anos, é poñerlles diante esta cuestión:

Observando o produto de fraccións, 

$$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8}=\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 8}=\frac{15}{48}$$

e o paralelismo que hai co de naturais,

$$7 \cdot 4=28 \rightarrow 28:4=7$$

Non sería máis inmediato dividir fraccións deste xeito, moito máis natural?

$$\frac{15}{48} : \frac{3}{8}=\frac{15 : 3}{48 : 8}=\frac{5}{6}$$

Se tedes sorte e picades aos alumnos con isto, non tardará en aparecer a explicación. Eu teño este ano un 3º especialmente apático, no que cando fago preguntas no medio das explicacións, as facianas usualmente son algo así:

   

Para sermos exactos, con todo o teatro que fago eu, máis ben son así:

De Steamboat Bil, Jr.

Pois nesa aula saíu a explicación inmediatamente: Porque este algoritmo non asegura que o resultado sexa unha fracción, só funciona ben se o numerador e o denominador do dividendo son múltiplos respectivamente do numerador e o denominador do divisor. Calquera exemplo posto ao chou serve para ver o problema:

$$\frac{7}{6} : \frac{4}{15}=\frac{7:4}{6:15}=\frac{1,75}{0,4}$$

E esta non é a peor das situacións, pois as divisións dan decimais exactos, poderiamos obter unha fracción de verdade multiplicando numerador e denominador por 20. Pero, que sucede se aínda por riba, as divisións dan decimais periódicos?

Quizais pensedes que isto dá demasiado choio para o anecdótico que é. E non vos faltará parte de razón, supoño, pero eu creo que traballar cuestións deste estilo na aula vai no camiño de entender por que se definen os conceptos e se determinan os procedementos. Pola mesma razón insisto cando se amplían definicións como a de potencia en que o motivo é que a nova definición sexa coherente coa previa e máis elemental.

 E aproveitando a marea, serve para notar que o conxunto dos raciconais é pechado baixo suma, resta, multiplicación e división. Que xa sabedes o importante que é. Se ademais fose completo...