27.6.20

A selectividade do 79


O outro día, nunha conversa no grupo de whatsapp do departamento do meu anterior instituto (en efecto, isto existe, e de feito para min é algo moi positivo), a miña xefa de departamento aló compartiu imaxes dun vello libro de exames de selectividade baixo a Ley Villar-Palasí. E saíron á palestra exemplos ben interesantes, como este do 78/79:


Selectividade Matemáticas 78/79
A xeometría non euclidiana da foto non é como a das que
mandaban os alumnos no confinamento, que isto é un libro

Varias cousas chaman a atención:
  1. O exame é breve. Moi breve comparado co actual. Non sei canto tempo lles darían aos mozos para facelo.
  2. Non hai Probabilidade nin Estatística. Nin os malditos sistemas de ecuacións dependendo dun parámetro. Nin ecuacións matriciais.
  3. A teoría da opción A non podería caer hoxe en día, pois as preguntas que poden caer están restrinxidas a catro teoremas. Entre eles, está o de Rolle, que aparece na opción B. Por certo, a distancia dun punto a un plano é unha cuestión moi axeitada... se requerise razoar por un mesmo a fórmula final. Como todos sabemos, se estaba incluída nunha lista de posibles cuestións teóricas, pasaría a ser simplemente un ítem que "chaparse".
  4. A pregunta 2 da opción A, sobre aplicacións lineais e a súa representación matricial, xa non podería aparecer cando fixen eu a selectividade, no 95, e hoxe é propia dun 1º curso de calquera grao de ciencias/tecnoloxía. Non é evidente que os dous subespacios teñen dimensión 1?
  5. A pregunta 3 tampouco podería caer agora, e de novo é propia dun 1º curso de grao. Gústame a parte na que fala da pendente da tanxente, polo de preguntar por algo coñecido expresándoo dun xeito alternativo.
  6. A cuestión 2 da opción B deixa claro que querían que os alumnos soubesen acotar integrais co ben coñecido $m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq M(b-a)$
  7. E coido que actualmente a primeira parte da cuestión 3-B resultaría estándar, mais a segunda, na que pide unha familia de planos, quizais presentaría máis dificultades que o exercicio tipo de Xeometría da ABAU. 
Cando teña tempo hei revisar outros vellos exames de selectividade. Ver exames, mellor se son doutros países, e se pode ser antigos, é un pasatempo freak que manteño. 

8.6.20

Cúbicas bonitas


Unha das directrices obvias que adoitamos seguir os profesores de Matemáticas consiste en comezar poñendo exemplos con números "sinxelos", en calquera ámbito no que nos adentremos coas clases. A razón é previsible: non queremos distraer aos alumnos do obxecto do exemplo. A teoría da carga cognitiva apoia esta intuición dos docentes: se os alumnos teñen que pelexar cun número do tipo $\frac{0,5\widehat{43}-\sqrt[3]{25}}{\sqrt{34}}$ polo medio de tentar aprehender un concepto novo, a súa memoria operativa vai pedir papas, o que provocará que non quede ren para o obxectivo esencial, que é a comprensión do novo concepto.

Por desgraza, hai casos nos que non temos nada que facer. O máis inmediato é o dos cadrados con dimensións naturais: se o lado é natural, a diagonal vai ter un $\sqrt{2}$ bailando, se a diagonal é natural, será o lado o que teña $\sqrt{2}$ polo medio(e un 2 no denominador se a diagonal é impar). Máis adiante na secuencia de contidos que van aparecendo pola asignatura hai unha situación na que tentamos poñer exemplos limpos, a da representación gráfica de funcións, e ás veces iso implica utilizar unha cantidade de tempo considerable buscando. Atopar unha función con raíces sinxelas non ten máis misterio que coller os números que queiramos, $a_1, a_2, a_3, \dots , a_n$ e construír a función polinómica $f(x)=\prod\limits_{k=1}^{n} (x-a_k)=(x-a_1)(x-a_2) \dots (x-a_n)$. Pero isto non garante que os puntos críticos da función sexan sinxelos tamén. Unha función tan inofensiva como $f(x)=x(x+1)(x-3)=x^3-2x^2-3x$ ten puntos críticos $x=\frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$, que bonitos non son, a verdade.

Pois ben, centrémonos nas funcións cúbicas, suficientemente interesantes para amosar xa dous puntos críticos e un punto de inflexión, pero non demasiado difíciles para que as contas sexan excesivas ou impracticables. Partamos dunha función cúbica con 3 raíces, 0, a e b, cousa que podemos facer simplemente transladando as raíces para que unha pase a ser 0. Por tanto, $f(x)=x(x-a)(x-b)=x^3-(a+b)x^2+ab$, e vexamos que condicións imos ter que impór nos enteiros a e b para que f teña puntos críticos e punto de inflexión manexables, o que vou traducir como enteiros.
Se usamos forza bruta para atopar as raíces da derivada,$f'(x)=3x^2-2(a+b)x+ab$, teríamos que pelexar simultaneamente con dous obstáculos, a racionalidade do discriminante e que o denominador divida ao numerador da fórmula. Podemos evitar un deses problemas impoñendo que f'(x) teña o aspecto $f'(x)=3(x-c)(x-d)=3x^2-3(c+d)x+3cd$, sendo c e d as abscisas sinxelas para os puntos críticos que estamos a buscar. Álxebra, come softly...

$$\begin{cases} 2(a+b)=3(c+d) \\ ab=3cd \end{cases}$$
Da 2ª ecuación deducimos que a ou b son múltiplos de 3, pero a 1ª ecuación fai que se un é múltiplo de 3, o outro tamén, polo que os dous teñen que ser múltiplos de 3, e podemos escribir $a=3m, b=3n$,  e reescribir todo:
$$\begin{cases} 2(m+n)=c+d \\ 3mn=cd \end{cases}$$
e agora podemos deducir que 3 é divisor de c ou de d, dada a simetría do choio, supoñamos que é c, e escribamos $c=3e$:
$$\begin{cases} 2(m+n)=3e+d \\ mn=ed \end{cases}$$
Eliminemos m:
$$2(m+n)n=(3e+d)n \rightarrow 2ed+2n^2=(3e+d)n \rightarrow 2n^2-(3e+d)n+2ed=0$$
Como tantas veces, para que esta ecuación en n teña raíces enteiras, é necesario que o discriminante da ecuación sexa un cadrado perfecto:
$$\Delta=(3e+d)^2-16ed=f^2 \rightarrow 9e^2+6ed+d^2-16ed=f^2 \rightarrow 9e^2-10ed+d^2=f^2$$
E agora que? Mirar moito e ter sorte:
$$d^2-10ed+25e^2-25e^2+9e^2=f^2 \rightarrow (d-5e)^2=f^2+(4e)^2$$
O que nos leva á ecuación diofántica máis coñecida, a pitagórica. Tendo en conta a paridade de 2e, a solución xeral é:
$$\begin{cases} d-5e=k(r^2+s^2) \\ f=k(r^2-s^2) \\ 4e=2krs \end{cases}$$
sendo, como é usual, k un natural calquera e r e s coprimos e de paridade oposta. Atopemos os valores de n e m:
$$n=\frac{3e+d \pm \sqrt{\Delta}}{4} $$
Usamos agora que $3e+d=d-5e+2 \cdot 4e=k(r^2+s^2)+4krs=k(r^2+s^2+4rs)$, e vou eliminar o $\pm$, pois as dúas posibilidades son os valores de n e m, precisamente:
$$n=\frac{k(r^2+s^2+4rs) + k(r^2-s^2)}{4}=\frac{k(2r^2+4rs)}{4}=\frac{kr(r+2s)}{2}$$
E $$m=\frac{ks(s+2r)}{2}$$
Para que n e m sexan naturais, ten que suceder que k sexa un número par, $k=2t$
$$\begin{cases} m= ts(s+2r) \\ n= tr(r+2s) \end{cases}$$
Lembrando que $a=3m, b=3n, c=3e$,
$$\begin{cases} a= 3ts(s+2r) \\ b= 3tr(r+2s) \\  c=3trs \\ d=2t(r^2+s^2)+5trs=t(2r+s)(r+2s) \end{cases}$$
Velaquí a parametrización que buscabamos, coas restricións comentadas, r e s son números coprimos e de paridade oposta. Para listar as funcións "bonitas" estas restricións van supoñer un obstáculo.
Pois ben, como aproximación a unha representación mellor pensada para esta listaxe, velaquí un applet en geogebra onde ademais da parametrización obtida, permito transladar a cúbica para que non sexa obrigado que pase pola orixe:





Nesta entrada seguín varios artigos, pois o asunto "escolar" de dispoñer de funcións sinxelas semella que hai anos que é unha teima dos profesores. Entre eses artigos, teño que salientar:
  • Jim Buddenhagen, Charles Ford e Mike May, Nice Cubic Polynomials, Pythagorean Triples, and the Law of Cosines, Math. Mag. 65 (1992) pp. 244-249
  • Jean-Claude Evard, Polynomials whose roots and critical points are integers, arXiv (2004)
  • T. Bruggeman and T. Gush, Nice cubic polynomials for curve sketching, Math. Mag. 53 (1980), pp. 233-234
  • R. H. Buchholz and J. A. MacDougall When Newton met Diophantus: A Study of Rational-Derived Polynomials and Their Extension to Quadratic Fields, J. Number Th. 81 (2000) pp. 210-233

16.5.20

Límites e a ecuación de 2º grao


Estaba a escoitar de fondo o podcast de Craig Barton, concretamente o episodio no que entrevista a Anne Watson e John Mason(se non sabes quen son estes dous expertos, fai unha pescuda e prepárate para mergullar en reflexións sobre educación matemática da máis alta calidade), cando apareceu o tema das ecuacións de 2º grao e como introducilas na aula. E isto fixo que viñese á memoria un aspecto da ecuación de 2º grao que coñezo desde antes de ser profesor e que sinceramente, non sei como é de coñecido entre os compañeiros. Pode ser que sexa ben coñecido, e que veña ata en libros de texto, e eu aquí facendo unha entrada sobre o tema, todo inocente. Sede xenerosos e comentade se o coñecíades unha vez leades a entrada.

Partamos da ecuación de 2º grao en forma xeral, $ax^2+bx+c=0$, e a consabida fórmula da solución, $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Fixemos os coeficientes b e c, e xoguemos co coeficiente cuadrático, a, que é o que lle confire o carácter cuadrático á ecuación (e a concavidade...), en concreto fagamos que a tenda a cero. Que sucede na fórmula se b e c permanecen fixos pero a tende a 0? Se queres pensalo, demora a lectura do que vén... Para evitar que leas sen querer a resposta, comparto este φ-fail:


Que conste que vén sendo tan rigorosa como
outras aparicións de φ que se ven por aí...

Imos aló. Restrinxiremos o noso choio á primeira solución, na que collemos o valor positivo da raíz cadrada(a función, vaia).

O primeiro que se ve no límite é que, se aplicamos a aritmética elemental de límites, chegamos a unha indeterminación $\frac{0}{0}$:
$$\lim_{a\to 0} \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+b}{0}=\frac{0}{0}$$

O xeito estándar de resolver esta complicación é puro traballo da aula de 1º de bacharelato(ou de 2º de BUP, se vas tendo unha idade):
$$\lim_{a\to 0} \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\lim_{a\to 0} \frac{ \left(-b + \sqrt{b^2-4ac} \right) \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=$$ $$ \lim_{a\to 0} \frac{(-b)^2-\left( \sqrt{b^2-4ac}\right)^2}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)} =\lim_{a\to 0} \frac{4ac}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=$$ $$\lim_{a\to 0} \frac{2c}{\left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=\frac{2c}{-2b}=-\frac{c}{b}$$

E que significado ten este valor que atopamos, $-\frac{c}{b}$?

Pois, se por un momento, permitimos alegremente facer tender a 0 o coeficiente a na ecuación orixinal, $ax^2+bx+c=0$, que lle sucede á ecuación? Obviamente, que deixa de ser unha ecuación de 2º grao e se converte en $bx+c=0$. E cal é a solución desta ecuación? $-\frac{c}{b}$ (BOOM)

Coñecíades este pequeno feito? Funcionará do mesmo xeito o caso cúbico?(temos o pequeno obstáculo previo de que normalmente sempre comezamos resolvendo a ecuación normalizada $x^3+px=q$ ou similares). E que pasa coa solución coa raíz negativa?

Este feito ten pouca entidade, aínda así confeso que ten un aquel que me presta.

6.5.20

Máis problemas doutros países


Non é a primeira vez que comento exames de acceso doutros países. Hai menos dun ano compartín parte do Bac francés no blog, e en twitter xa teño falado das probas portuguesas.
Pois evitando o abafante traballo que temos os profesores no confinamento, deume por revisar revistas pola rede, e dei cun artigo en Mathematics in School sobre probas da antiga URSS. Os lectores máis antigos xa saberán o medo cerval respecto que lles teño aos problemas que propoñían na época soviética, os máis recentes da miña lexión de seguidores poden comprobar do que falo en Primeiro Problema dun libro(case once anos van no lombo). Observade estes problemas de reválida e ás idades ás que ían dirixidos, e xulgade vós se non son para terlles un chisco de respecto:

Grao 8 (~2º de ESO):

  • Resolve o sistema de ecuacións $\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ x^7+y^7=x^3 y^4+1 \end{cases}$
  • En 99 cartas están escritos os números 1, 2, 3, ..., 99. Barallamos e espallamos as cartas, deixando o dorso, en branco, á vista. Escribimos os números 1,2,3, .., 99 nos dorsos. Para cada carta, sumamos os dous números que ten escritos, e multiplicamos as 99 sumas obtidas. Demostra que o resultado final deste procedemento ten que ser un número par.

Grao 9(~3º de ESO):

  • Debuxamos 3 circunferencias, cada unha delas pasa por 2 vértices duhn triángulo acutángulo e polo ortocentro do triángulo. Amosar que as tres circunferencias teñen o mesmo diámetro.
  • Atopar todos os números primos p e q que cumpren a ecuación $p^2-2q^2=1$
  • Unha táboa rectangular contén un número diferente en cada cela, e ten a propiedade de que cada cela que non está no bordo da táboa contén un número que é a media aritmética dos seus 4 veciños(en horizontal e vertical). Demostrar que a cela que contén o máximo dos números da táboa ten que estar no bordo da táboa.
E o meu preferido, tamén para grao 9, pero como problema avanzado, non de reválida:

  • Atopar todos os números naturais (x, y, u, v) que cumpren $\begin{cases} x+y=uv \\ u+v=xy \end{cases}$
 

Deixando a un lado a discusión sobre o apropiados que (non) son para esas idades estes problemas, non son unha marabilla?

13.4.20

Un ítem famoso


O mundo dos exames estandarizados ten o seu propio folklore. Nos países anglosaxóns, que levan décadas publicando as cuestións das probas, é habitual atopar novas sobre exames máis difíciles do esperado/esperable, probas con erros, etc. Neste blog xa compartín algunha vez ítems que se fixeron famosos nos últimos anos, ou ben no SAT americano, ou ben no GCSE británico, ou ben nos semellantes que hai en Australia, Nova Zelandia, etc.
Como mostras: 1, 2, 3, 4

En troques, os exemplos de probas externas de España que compartín nesta entrada daban máis risa ou vergonza allea que outra cousa.

Outro mundo totalmente distinto é o das competicións e olimpíadas matemáticas, nos que o feito de que apareza un problema especialmente difícil ou que requira unha dose inusual de creatividade é visto como algo positivo. É ben coñecida a lenda da imposible cuestión número 6 dunha olimpíada matemática internacional, e é moi instrutivo o vídeo que lle dedicaron en Numberphile.


Pois ben, probablemente o ítem máis coñecido dun exame estandarizado é o que apareceu no PSAT(Preliminary Scholar Aptitude Test) de 1980, que dicía o seguinte:


Nas pirámides ABCD e EFGHI que se amosan na figura, todas as caras agás FGHI son triángulos equiláteros co mesmo lado. Se a cara ABC é colocada sobre a cara EFG de tal xeito que os vértices dos triángulos coinciden, cantas caras á vista tería o sólido resultante?

a) 5                 b) 6                 c) 7                 d) 8                 e) 9




Por que é tan famoso este ítem? 

Porque, como conta Howard Eves no seu libro Return to Mathematical Circles, o comité que creara o ítem deu por boa unha resposta incorrecta. E isto non se soubo ata que un rapaz de 17 anos, Daniel Lowen, atopou a resposta correcta e foi teimudo abondo para non admitir que lle desen por mal a súa resposta. Ata que o seu pai se puxo en contacto co Educational Testing Service

O voso choio consiste en dúas tarefas: 1º) atopar a resposta correcta e 2º) adiviñar cal era a resposta incorrecta que o comité dera por válida, e por que.