25.9.19

A proxección estereográfica


Un dos temas elementais que aparecen en varias materias dos primeiros cursos da carreira de Matemáticas é a proxección estereográfica(outro é a desigualdade de Cauchy-Schwarz-etc.). Se non lembro mal, vina por primeira vez en Topoloxía dos Espazos Euclidianos, como exemplo de homeomorfismo entre a circunferencia agás o polo norte e a recta:

   
O mecanismo queda claro na imaxe: dado un punto P na circunferencia, unímolo co polo norte, N, e prolongamos a recta ata que corte ao eixe de abscisas nun punto P'. Vemos que deste xeito, todos os puntos da circunferencia agás o propio polo norte están asociados a un único punto do eixe. Isto resúmese elegantemente dicindo que a recta é unha circunferencia á que lle quitamos un punto.
Hai moito que roer nesta idea aparentemente sinxela, moitas puramente xeométricas e topolóxicas; porén, a miña preferida é a parametrización racional da circunferencia, que proporciona un xeito de atopar as ternas pitagóricas. Brevemente, se queremos atopar as ternas de números enteiros (a,b,c) que cumpren a ecuación diofántica $a^2+b^2=c^2$, dividindo entre $c^2$, o choio é equivalente a atopar os puntos con coordenadas racionais que cumpren $\left( \frac{a}{c} \right)^2+\left( \frac{b}{c} \right)^2=1$, i.e., os puntos racionais na circunferencia $x^2+y^2=1$ Se collemos un punto racional no eixe de abscisas, $\left(\frac{p}{q},0 \right)$, unímolo co polo norte e intersecamos coa circunferencia unidade:

$$\frac{x-0}{\frac{p}{q}-0}=\frac{y-1}{0-1} \rightarrow y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}}$$
$$ \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}} \end {cases}$$
Where the magic happens...
$$(x,y)=\left( \frac{2pq}{p^2+q^2},\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2} \right)$$
E as ternas pitagóricas primitivas (a,b,c) teñen o aspecto $a=2pq, b=p^2-q^2, c=p^2+q^2$

Unha marabilla da que nunca fartarei.

Nota autobiográfica: a primeira vez que vin a expresión das ternas pitagóricas primitivas non apareceu no transcurso dun razoamento xeométrico como este, senón coa dedución aritmético-alxébrica estándar.  O que provocou unha sorpresa maior no mozo que eu era, ao ver que as expresións coincidían coas dun cambio de variable para o cálculo de integrais trigonométricas, o ubicuo $tan \frac{x}{2}=t$

Desde o punto de vista xeométrico, resulta aínda máis interesante analizar o que sucede se subimos a dimensión 3, identificando a esfera agás un punto co plano. Por exemplo, a dimensión extra permite xogar a adiviñar o efecto que ten a proxección estereográfica sobre curvas planas, i.e., cal é a imaxe dentro da esfera dunha familia uniparamétrica de puntos. O caso máis sinxelo é o das liñas rectas, que se non coñecedes, podedes adiviñar; nesta figura aparece a recta $y=1- \frac{5x}{2}$

   


Isto non é máis que o comezo. De que curva procede esta imaxe?

   Tede en conta que a imaxe está elaborada co trazo dun punto e o discreto en realidade é continuo

As posibilidades son innumerables, déixovos aquí un simple applet para que investiguedes. Se utilizades a caixa de entrada da xanela superior, só poderedes introducir funcións nunha variable; para introducir curvas que non sexa gráficas de funcións dunha variable teredes que machacar directamente a expresión da función f na xanela alxébrica(por iso está visible):




Todas as ferramentas que se poden incluír están ao servizo de que poidades mover e escalar ao voso gusto a figura. Así que veña, a fedellar.


Agardo ter contribuído un chisco a que a proxección estereográfica vos pareza tan fermosa como a min. Tanto como ao J dos 18 anos sería excesivo. 

8.9.19

Adiviña para comezar o curso


Metidos xa no comezo do curso cos seus claustros, reunións de departamento, consellos escolares, etc., comparto esta críptica imaxe para que adiviñedes de que se trata:


    
Por se fose necesario, achego unha pista:


SPOILER
Ten que ver cos anos completos que levo na docencia


6.8.19

Ideas simples mais difíciles

Simple pero difícil


Cando un dá clase na ESO e bacharelato acaba observando dificultades recorrentes, ano tras ano, nos alumnos. Non estou a falar do que poderíamos denominar, parafraseando o vocabulario de continuidade, dificultades "evitables", i.e., dúbidas comprensibles que agroman ao traballar un algoritmo, un procedemento de resolución ou ao presentar un concepto por primeira vez. Un exemplo destas dificultades evitables podería ser a confusión entre a frase "a terceira parte dun número é 15" e "canto é a terceira parte de 15?", tema do que xa falei hai (horreur!) 10 anos por acó. Calquera profesor que dese clase en 1º de ESO sabe que este obstáculo aparece todos os anos, postos a elucubrar, quizais sexa un exemplo do 1º dos dous sistemas de pensamento dos que fala Daniel Kahneman.

Hoxe quero reparar en ideas que sendo simples resultan difíciles de asimilar polos alumnos. Ás veces esas ideas son tan esenciais que nin sequera son explicitadas nas clases. Para que vaiades albiscando noutro contexto o tema que nos ocupa, pensade neste exemplo: imaxinade que tedes dous exames, ponderados nunha nota final de avaliación 40%/60%. Non é evidente que para facer a media ponderada a operación que hai que facer é $\frac{40}{100} \cdot a_1+\frac{60}{100} \cdot a_2$? A que é automático? Pero ese cálculo non é facerlle o 40% á primeira nota e o 60% á segunda nota? É igual de evidente que facer esas porcentaxes ás notas equivale a que cada nota teña ese peso sobre a nota final? Pensástelo deste xeito algunha vez?

Pero vaiamos ao tema da entrada. A seguinte é unha lista breve de certas ideas que, despois de escaravellar na aula preguntando aos alumnos, teño atopado no fondo dos seus obstáculos. Sen dúbida coñezo


  • Se dous obxectos matemáticos son iguais(quizais habería que concretar ese "iguais"), podemos substituír un polo outro en calquera situación. Vou poñer un exemplo algo avanzado onde agroma esta dificultade. Observade o típico sistema de ecuacións que se traballa entre 4º de ESO e 1º de bacharelato, onde as ecuacións non son lineais: $$ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy} \\  xy=1 \end{cases}$$ Aínda que non é necesario para resolver o sistema, e de feito non é o xeito "estándar" que seguen os alumnos, un xeito cómodo é utilizar que xy=1 e substituílo cada vez que apareza. Fixestes isto na aula? Vivistes o pequeno motín posterior? Curioso que suceda no contexto precisamente onde hai un método chamado de "substitución" e outro de "igualación", non si? Os alumnos aceptan a substitución $y=\frac{1}{x}$, mais non $xy=1$
  • Relacionado co anterior, previamente na ESO observamos atrancos no uso das variables, usualmente entre alumnado que quedou coa interpretación das variables exclusivamente como un xeito de incluír todos os números(sexa un número o que for). Daquela terán dificultades para cambiar a por 3a-2b en (a+b)² ou calquera troco semellante.
  • (Este sorprenderá a quen nunca dese clase de Matemáticas) Resumindo, a regra do produto en combinatoria. Polo miúdo, un exemplo fará soar a campá: se teño 3 saias distintas e 4 blusas distintas, cantas combinacións distintas poderei vestir? Na solución utilizades sumas de sumandos iguais? Ese é o paso intermedio cara á idea do produto. E non admite xeralización automática a outros conxuntos de núneros que non están pensados para contar, de aí o obstáculo coas operacións con irracionais como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$
  • Unha fracción é un número, non dous. Se preferides, unha fracción é unha cantidade, non dúas. Isto é tan evidente para quen o sabe que é moi habitual pasalo por alto. De feito é co tempo utilizado coas fraccións que os alumnos van afacéndose a esta idea, ratificando o aforismo de Von Neumann: "En Matemáticas non entendes as cousas, simplemente afaste a elas"
  • De novo relacionado co previo: Para comparar o tamaño de dúas magnitudes, alén de saber cal delas é maior, o axeitado é dividilas, non restalas. Este mesmo ano, ao comezo da unidade de Proporcionalidade en 1º de ESO, houbo varios alumnos dos que seguían perfectamente o curso(e que viñan dun historial de éxito académico dos seus colexios) que discutiron varias veces esta idea. Houbo varios contextos nos que xurdiu a discusión, un deles foi ao comparar aulas con distinta proporción de alumnos varóns. Discutíronme de xeito vehemente que se nunha clase había 15 alumnos varóns dun total de 30, era a mesma situación que noutra na que había 35 alumnos varóns dun total de 50. Nos dous casos as mulleres eran 15, polo que viña ser o mesmo. Non caeron do guindo en contextos cercanos, comezaron a ver o conto ao levar o exemplo ao absurdo dunha clase con 1000 alumnos; finalmente tiven que poñer un exemplo con mililitros de pintura azul e amarela para que acordasen comigo que o verde resultante non era o mesmo. Será que o caso continuo é máis visual que o discreto?

Como conclusión, resolver como profesor dificultades deste tipo é moito máis afanoso que apuntar erros na execución dun algoritmo, seguramente debido ao carácter esencial daquelas. Ás veces resulta un traballo colosal tentar resolvelas no medio dunha aula con máis de vinte alumnos.

Vós tedes algún exemplo destas ideas simples enganosas?

16.7.19

Despois das JAEM: The State of the Art

Van pasando os anos, pero algo non cambia:
nin idea do que fago

En contra do que fixeron algúns compañeiros, que é comentar polo miúdo a súa participación nas JAEM a través das conferencias, comunicacións e obradoiros aos que asistiron, eu vou simplemente enumerar varios eixes nos que vin preferencias claras, explícitas ou implícitas, eses catro días. Se tentase facer o que fixeron os compañeiros, coñecéndome, estou seguro de que me levaría unha entrada cada obradoiro no que puiden participar. Por isto e porque se non o fago así íame proer, vou facer de avogado do demo, como tentei na quenda de preguntas da conferencia de Maite Navarro sobre a resolución de problemas ao mencionar o artigo de Kirschner, Sweller e Clark(aínda que sen moito éxito no meu propósito, segundo me dixeron despois)

Antes de debullar os diversos temas polémicos nos que me vou meter, haberá que deixar claro o que para min é obvio: as JAEM supoñen unha experiencia singular na vida dun profesor de Matemáticas. Ademais dos feixes de actividades, propostas, ideas, etc. expostas por compañeiros, o mero feito de entrar en contacto con outros individuos interesados na educación matemática xa é valioso. A única experiencia semellante á que asistira eu con anterioridade fora o congreso de Agapema do 2014, que xa supuxera un pulo importante na miña formación, que tendo en conta o desleixo da Consellería de Educación, Universidade e Formación Profesional para a que traballo, é por completo autodidacta. Por isto, non teño outras JAEM para comparar con estas, porén, coido que podo afirmar que a organización foi excelente. Só teño unha suxestión moi persoal, que farei ao final da enumeración de ideas.


Imos aló. Estades avisados de que isto é unha reflexión persoal, sen datos na maioría dos casos, pois moitos son datos que non se poden obter.


O primeiro que hai que entender ao analizarmos as ideas dunhas xornadas deste estilo é que a mostra de profesorado que asiste(~550) seguramente non sexa representativa do total do profesorado, a varios niveis(p.ex. un dato interesante que non se pode obter é a % de profesores de Matemáticas con twitter vs. % de asistentes ás JAEM con twitter). Aínda non habendo esoterismo pretendido ningún, pode notarse certa sensación de que os asistentes son "iniciados", o que resulta recorrente en comentarios de autoafirmación lanzados por relatores. Non lle dou máis importancia, ocupar 4 días do comezo de xullo en asistir todo o día a conferencias e obradoiros probablemente signifique algo. Pois ben, esta falta de representatividade da mostra provoca certa desviación nos temas seguintes, sempre baixo a miña opinión, e non necesariamente cohesionados nin coherentes:
  • Traballo conceptual > Explicación de algoritmos
  • Traballo manipulativo > Traballo puramente abstracto
  • Resolución de problemas > Exercicios mecánicos
  • Algoritmos baseados en números > Algoritmos baseados en cifras
  • Introdución de multimedia > Libros de texto
  • Aprendizade mediante descubrimento > Instrución directa
  • Actividades matemáticas realistas > Actividades sen contexto
  • Uso da calculadora > Cálculo con lapis e papel
Non quero que isto pareza unha caricatura, pois eu mesmo presento esas desviacións: é obvio que os membros das desigualdades son extremos, e que o habitual é que ninguén os entenda como estáticos ou excluíntes. Para comprender o que quero transmitir, as desigualdades amosan desviación cara á esquerda neses eixes. Deixei unha sen poñer porque non sei como simplificala deste xeito: tamén notei certa tendencia a identificar a beleza matemática como a utilidade das Matemáticas para ver a beleza noutros campos, usualmente na arte. Con isto estou especialmente en desacordo. Na miña opinión, quizais un pouco ao estilo de Hardy, as Matemáticas teñen unha beleza intrínseca, e o que as distingue (por desgraza, pode ser) da beleza en campos non científicos é que non podemos atopar un instrumentista que as interprete para nós. A miña reacción é comparable á que me producen as imaxes na rede que mostran un obxecto sólido(p.ex, unha montaña) coa gráfica dunha función modelando a súa pendente, pervertindo o significado de función.
Lendo o que escribo, estou empezando a pensar que igual son eu que son un pouco teso.

Velaquí a suxestión: sería útil para clarificar estes presupostos que nas xornadas houbese tempo para a discusión das ideas, xa sexa en mesas redondas ou en debates cun moderador. Porque haberá quen se mergulle de súpeto nun mundo tan alleo ás súas propias clases que deixe de ver a conexión que fai posible a transferencia das ideas das xornadas ás aulas. Algo como disonancia cognitiva, en termos de moda.


Son alucinacións miñas ou vós tamén vedes estes nesgos? Tédelos vós? Credes que son temas superados pero que non chegan ás aulas? Ou nalgún tema credes que hai marxe para a disensión?

29.6.19

Antes de ir ás JAEM...


Entre os trillóns de identidades máis ou menos coñecidas pasóuseme esta:

$$1=1$$
$$1-4=-(1+2)$$
$$1-4+9=1+2+3$$
$$1-4+9-16=-(1+2+3+4)$$
$$1-4+9-16+25=1+2+3+4+5$$
$$\cdots$$

Hai varias cuestións interesantes, dependendo de quen se poña diante da identidade:

  • Como escribir en xeral a identidade? Que é un bo exercicio de uso do símbolo sumatorio con sumas alternadas
  • Como demostrala? Exercicio estándar de inducción
  • Como entender por que é certa?

En moitas ocasións un pode demostrar por inducción identidades aritméticas... e quedarse como estaba (previously neste blog), non experimentar o momento a-há que debería aparecer ao final dunha demostración ou cando se percibe o esencial nun problema. As demostracións visuais axudan a aprehender a razón pola que os feitos matemáticos son certos e non quedar só coa comprobación. Polo que tamén sería unha tarefa frutífera argallar unha visualización xeométrica.



Aposto que esta identidade é ben coñecida, pois fora incluída no 1º volume das Proofs without words de Roger B. Nelsen(Alternating Sums of Squares, 1). Seguramente pasaría por riba dela sen darlle máis crédito, hai demasiadas ideas fermosas no libro para non quedar saturado. Reparei nela esta semana botando un ollo ao tamén famoso The Stanford Mathematics Problems Book de Polya e Kilpatrick(problema 50.1).

Como apunta o título, a semana que vén asistirei ás JAEM(Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas) que se celebran na Coruña. É a primeira vez que vou, estou desexando traer ideas para as miñas aulas, e de paso coñecer en persoa a compañeiros cos que levo interactuando xa anos nas redes. Ah, e por fin son membro de Agapema! Non era sen tempo...