De ángulos e senos

No último exame de Matemáticas I puxen este exercicio:

Demostrar que a expresión $cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta $ non depende do valor de $\beta$

Habitualmente, cando poño cuestións de identidades trigonométricas en exames, tento que haxa varios camiños para atopar a demostración, para evitar frustracións alén das ordinarias. E este é un bo exemplo, pois é factible desenvolver todo o desenvolvible:

$$cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta=$$

$$(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)cos\beta+(sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen \beta) sen \beta=$$ 

$$ cos\alpha cos^2 \beta- sen\alpha sen\beta cos\beta+sen\alpha cos\beta sen \beta+cos\alpha sen^2 \beta= $$

$$\\ cos\alpha cos^2 \beta+cos\alpha sen^2 \beta=cos\alpha(cos^2 \beta+ sen^2 \beta)=cos \alpha$$

que non depende de $\beta$, q.e.d.

Aínda que un profesor con algo de experiencia ou intuición saberá que o final da demostración dos alumnos vai ser algo distinta, utilizando a fórmula fundamental para substituír unha das razóns.

Mais tamén, como adiviñaría o avezado lector, hai unha proba nunha liña:

$$cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta=cos(\alpha+\beta-cos\beta)=cos\alpha$$

Que é máis complicado de ver por un alumno pola dependencia nos símbolos. Comprensible.

Buscando inspiración para o exame no libro Trigonometry de Gelfand & Saul, que é unha xoia, atopei este exercicio, que xa coñecía dalgunha outra fonte (pode que fose nun libro de texto antigo) pero esquecera. E tivo a consecuencia indesexada de facerme rememorar vellas ideas da carreira, en concreto a materia Elementos de Variable Complexa de 3º. A estrutura da expresión levoume á breve demostración que se vía aló das fórmulas para o seno e o coseno da suma e da resta de ángulos.

Pero antes, lembremos as demostracións habituais:

Seguramente a que aparece na maioría dos libros de texto se basee na figura seguinte:

   

É posible que a figura non apareza na circunferencia trigonométrica, o que supón un pequeno obstáculo adicional. E é ben coñecido que esta proba só demostra directamente o caso no que a suma dos ángulos é un ángulo agudo, para ángulos maiores hai que utilizar outro argumento, relacionado coa redución ao 1º cuadrante.

Neste blog apareceu outra demostración elemental que só utiliza a expresión da área dun triángulo en función do seno dun dos ángulos, na entrada O seno da suma (cunhas poucas palabras), e que se sintetiza na seguinte imaxe:

   

Subindo un chisco o nivel de coñecementos, a representación das rotacións mediante matrices fai que a demostración sexa un mero trámite, pois o produto das matrices representa a composición das rotacións:

$$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} cos\beta & -sen\beta \\ sen\beta & cos\beta\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta & -(cos\alpha sen\beta + sen\alpha cos \beta) \\ sen\alpha cos\beta + cos\alpha sen \beta & -sen\alpha sen\beta+cos\alpha cos\beta\end{pmatrix}=\\  \begin{pmatrix} cos(\alpha+\beta) & -sen(\alpha+\beta) \\ sen(\alpha+\beta) & cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix}$$

O lector hardcore deste blog lembrará que esta idea, formalmente, xa fixera aparición hai dez anos na entrada Matrices e Pitágoras?.

E aínda podemos exprimir máis o conto:

$$e^{i \alpha}\cdot e^{i \beta}=e^{i (\alpha+\beta)}$$

Utilizamos a fórmula de Euler e temos outra demostración ultrarrápida das fórmulas de adición.

Porén, o episodio que veu á miña memoria poñendo o exame non foi isto, senón a demostración que aparecía nun libro de texto da bibliografía de Elementos de Variable Complexa, que basicamente consistía no seguinte:

Consideremos $\omega \in \mathbb{C}$ e a función $f(z)=cosz cos(\omega -z)-senz sen(\omega - z)$

Calculamos a súa derivada:

$f'(z)=-senz cos(\omega-z)+cosz \cdot (-1) \cdot[-sen(\omega -z)]-cosz sen(\omega-z)- \\ senz \cdot (-1)cos(\omega -z)=-senz cos(\omega-z)+cosz sen(\omega -z)-cosz sen(\omega-z)+\\senz  cos(\omega -z)=0$

Polo que a función é constante, e como $f(0)=cos\omega$, temos que: $$cosz cos(\omega -z)-senz sen(\omega - z)=cos \omega, \forall z \in \mathcal{C}$$, que é un xeito alternativo de escribir a fórmula para o coseno da suma de ángulos.

Un aspecto que distingue as diferentes probas é se son demostracións de comprobación ou de descubrimento. A última que amosei, alén de usar unha idea potente, só comproba algo xa coñecido, i.e., non serve para atopar a expresión; mentres que nas outras podemos atopar a expresión sen coñecela previamente. 

Por outra banda, lembrades a demostración habitual da derivada do seno? Utiliza dúas cousas: o límite $\lim \limits_{x \to0}\frac{senx}{x}=1$ e, precisamente, o seno da suma na forma $sen(x+h)$. Sempre hai que ter coidado e traballar con xeito, non vaiamos demostrar o Teorema de Pitágoras vía o Teorema do Coseno. 

Problemas elementais variados

 

Nos últimos días fun recollendo de diversas fontes problemas para os que non é necesaria a utilización de técnicas nin ferramentas sofisticadas, o cal non garante en absoluto que vaian resultar sinxelos.

Nun cuadrilátero ABCD marcamos os puntos medios dos lados BC e AD, M e N. Unimos M con A e D e N con B e C, e chamamos P á intersección dos segmentos AM e BN e Q á de MD e CN. O debuxo explica todo rapidamente:

Intúese o que hai que amosar?

Nestas condicións, probar que a área do cuadrilátero azul coincide coa suma das áreas dos triángulos maxenta e laranxa.

Por certo, estou case convencido de que compartín unha figura dun cuadrilátero moi semellante á anterior. Pero facendo as pescudas evidentes non a dou atopado no arquivo do blog, e mirar as case oitocentas cincuenta entradas...

Agora un de números:

Atopar dous números naturais distintos x e y que cumpran que $x+n$ é divisor de $y+n$ para $n=0,1,\dots,10$

Aviso: este problema reformula unha cuestión tan coñecida dos números naturais que xa practicamente é un tópico en divulgación, libros de problemas, etc. Pero hai que darlle unhas voltas á cabeza para ver por onde vai. 

Veña, o seguinte é axeitado para preguntar nunha aula:

Amosar que se dous segmentos que miden o mesmo se intersecan xusto no punto medio, os 4 extremos son os vértices dun rectángulo.

      

Agora a típica tarefa cunha calculadora escarallada:

Imaxinade que nunha calculadora as únicas operacións dispoñibles son +, – e ²

Como argallaríades para atopar o produto de dous números, x e y?

Reparade en que non hai ningunha tecla para dividir entre dous.

E para rematar, un problema clásico que admite un feixe de aproximacións distintas na aula:

Atopa a suma dos ángulos internos dunha estrela de cinco puntas. Hai moitos xeitos distintos de atopala, a ver cantos dás feito.

    

Xa tedes abondo para pensar nas avaliacións cando non funcione o xade. 

Un xogo 3D de verdade

 

Unha das miñas vellas teimas consiste en anoxarme cando alguén fala de visión espacial cando realmente o único implicado na situación é a visión plana. Sendo consciente de que espacial pode referirse tamén ao plano, isto é algo superior a min. E esta teima esténdese ao ensino cando en actividades que supostamente avalían a visión espacial, o único razoamento imprescindible ten lugar no plano. E por último, tamén é habitual que no ámbito dos videoxogos tenten coar por xenuinamente 3D mecánicas que só utilizan vistas 3D, pero nas que o esencial, unha vez máis, é 2D.

Por iso levei unha grata sorpresa ao coñecer este xoguiño, Which Way Round?, no que a captura xa vos dará unha boa intuición da mecánica:

   

A figura superior é xirada no plano paralelo ao chan, é introducida na caixa de tal xeito que deixa de verse, a caixa xira no espazo, e o xogador ten que escoller cal das opcións inferiores corresponde á nova orientación da figura. O xogo comeza sendo ben sinxelo, pero despois, ao compoñer varios xiros, estou certo de que vai poñer a proba a vosa memoria operativa, e, neste caso si que se cumpre, a vosa visión espacial. Probádeo e veredes.

Un problema inclasificable

 Quen tiña unha hora libre e pensou "veña, vou mirar algún problema do Torneo das Cidades"?

Efectivamente, o voso amigo, que parece novato. Catorce anos pasaron desde a entrada Primeiro Problema dun Libro, dous desde Un Problema do Tournament of the Towns, un feixe desde que sei dos problemas para nenos de Vladimir I. Arnold, e nada, aínda non aprendín que achegarse de xeito inocente a problemas de competicións ou libros rusos nunca sae como un espera inicialmente.

En troques de compartir o problema co seu enunciado orixinal, fagamos unhas cantas liñas.

Partimos dunha circunferencia, que dividimos en oitavos do xeito habitual:

   

Deses 8 sectores, pintemos 4 de azul e 4 de vermello do xeito que nos pete

   

E agora aparecen os números: comezando cun sector azul calquera, numeremos de 1 a 4 os sectores azuis no sentido das agullas do reloxo, e despois, comezando cun sector vermello calquera, numeremos tamén os sectores vermellos, mais neste caso, no sentido contrario ás agullas do reloxo. Un exemplo sería este:

   

E agora, a punchline: dá igual como fagamos o proceso anterior, SEMPRE vai haber un semicírculo(e por tanto, dous) no que atopemos os números do 1 ao 4. No caso anterior, marquemos o diámetro que delimita as semicircunferencias cos 4 números:

Prometo que foi ao chou que saíse o diámetro vertical
(total, só había 4 opcións)

Probemos con outra numeración dos mesmos sectores:

  

Podedes probar vós con calquera outra coloración e calquera outro xeito de numerar os sectores seguindo esas regras. Sempre ides obter dous semicírculos cos números do 1 ao 4.

Pero xa imaxinaredes que esta non é unha propiedade peculiar do 4. Podemos dividir o círculo en 16 sectores, e veremos que sucede o mesmo co número 8. Poñamos novamente un exemplo:

   

Por se queredes probar vós, déixovos o modelo para 16 sectores, para que quede bonito e teñades unha iluminación máis rapidamente.

   

Aínda que o conto é entretido, sospeito que non ten moito interese didáctico. Porque pintar de cores os sectores e logo escoller os xeitos de numeralos, como actividade, non ten nada de matemático. Mais pensar por que sucede sempre o que sucede, si. 

Uns problemas interesantes

 

Este comezo de curso vou a razón de 2 fichas novas por día de clase en 2º de ESO, co cal non tiven tempo para compartir as cousas interesantes que lin ultimamente. Aproveito esta véspera da ponte*, que pasarei cubrindo burocracia docente, para ordenar estas cuestións e problemas.

Comecemos por un problema que se presta a varios ataques, que vin nun libro de Alfred Posamentier. Sen dicir nada, xa o ides entender:

   

O segundo problema vén do American Mathematical Monthly de 1950(vol. 57), confeso que me colleu de improviso:

Amosar que calquera triángulo pode ser diseccionado mediante 4 cortes rectos en 4 pezas que poden ser recompostas para formar dous triángulos semellantes ao triángulo dado.

Recoñezo que lin unha solución antes de pensar moito na cuestión, polo que a miña opinión xa ten un nesgo claro, mais coido que é aconsellable dar unha pista: SPOILER

unha das pezas xa é un triángulo semellante ao dado. Con esta pista, só tedes que argallar como facer as outras tres. De nada.

Xa está ben de xeometría, veña un de sucesións, tirado da Olimpíada Austríaca de 2013:

Se a e b son números reais non negativos, chamamos A(a,b) e X(a,b) ás súas medias aritmética e xeométrica, respectivamente. É dicir, $A(a,b)= \frac{a+b}{2}$ e $X(a,b)=\sqrt{a b}$-

Consideramos a sucesión $a_n$ definida por $a_0=0, a_1=1$ e $a_{n+1}=A(A(a_{n-1},a_n), X(a_{n-1},a_n))$ .

a) Amosar que $\forall n, a_n=b_n^2$, sendo $b_n \in \mathbb{Q}$

b) Amosar que $\forall n >0, \left|b_n-\frac{2}{3}\right|< \frac{1}{2^n}$

Agora un da sección de resposta múltiple da Olimpíada Chinesa de 1990/91:

Sexa $\alpha \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$. Cal das seguintes afirmacións é certa?

a) $cos\alpha ^{cos \alpha} < sen\alpha ^{cos \alpha}<cos\alpha ^{sen \alpha}$

b) $cos\alpha ^{cos \alpha} < cos\alpha ^{sen \alpha}<sen\alpha ^{cos \alpha}$

c) $sen\alpha ^{cos \alpha} < cos\alpha ^{cos \alpha}<cos\alpha ^{sen \alpha}$

d) $cos\alpha ^{sen \alpha} < cos\alpha ^{cos \alpha}<sen\alpha ^{cos \alpha}$

Rematemos cun antigo da Olimpíada de Maio, de 2003:

Atopa todos os números naturais a e b que cumpren que $a$ é divisor de $8b+1$ e $b$ é divisor de $8a+1$ 

Xa tedes para pasar a ponte.

*Ao final levoume ata a mañá do festivo.