6.8.19

Ideas simples mais difíciles

Simple pero difícil


Cando un dá clase na ESO e bacharelato acaba observando dificultades recorrentes, ano tras ano, nos alumnos. Non estou a falar do que poderíamos denominar, parafraseando o vocabulario de continuidade, dificultades "evitables", i.e., dúbidas comprensibles que agroman ao traballar un algoritmo, un procedemento de resolución ou ao presentar un concepto por primeira vez. Un exemplo destas dificultades evitables podería ser a confusión entre a frase "a terceira parte dun número é 15" e "canto é a terceira parte de 15?", tema do que xa falei hai (horreur!) 10 anos por acó. Calquera profesor que dese clase en 1º de ESO sabe que este obstáculo aparece todos os anos, postos a elucubrar, quizais sexa un exemplo do 1º dos dous sistemas de pensamento dos que fala Daniel Kahneman.

Hoxe quero reparar en ideas que sendo simples resultan difíciles de asimilar polos alumnos. Ás veces esas ideas son tan esenciais que nin sequera son explicitadas nas clases. Para que vaiades albiscando noutro contexto o tema que nos ocupa, pensade neste exemplo: imaxinade que tedes dous exames, ponderados nunha nota final de avaliación 40%/60%. Non é evidente que para facer a media ponderada a operación que hai que facer é $\frac{40}{100} \cdot a_1+\frac{60}{100} \cdot a_2$? A que é automático? Pero ese cálculo non é facerlle o 40% á primeira nota e o 60% á segunda nota? É igual de evidente que facer esas porcentaxes ás notas equivale a que cada nota teña ese peso sobre a nota final? Pensástelo deste xeito algunha vez?

Pero vaiamos ao tema da entrada. A seguinte é unha lista breve de certas ideas que, despois de escaravellar na aula preguntando aos alumnos, teño atopado no fondo dos seus obstáculos. Sen dúbida coñezo


  • Se dous obxectos matemáticos son iguais(quizais habería que concretar ese "iguais"), podemos substituír un polo outro en calquera situación. Vou poñer un exemplo algo avanzado onde agroma esta dificultade. Observade o típico sistema de ecuacións que se traballa entre 4º de ESO e 1º de bacharelato, onde as ecuacións non son lineais: $$ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy} \\  xy=1 \end{cases}$$ Aínda que non é necesario para resolver o sistema, e de feito non é o xeito "estándar" que seguen os alumnos, un xeito cómodo é utilizar que xy=1 e substituílo cada vez que apareza. Fixestes isto na aula? Vivistes o pequeno motín posterior? Curioso que suceda no contexto precisamente onde hai un método chamado de "substitución" e outro de "igualación", non si? Os alumnos aceptan a substitución $y=\frac{1}{x}$, mais non $xy=1$
  • Relacionado co anterior, previamente na ESO observamos atrancos no uso das variables, usualmente entre alumnado que quedou coa interpretación das variables exclusivamente como un xeito de incluír todos os números(sexa un número o que for). Daquela terán dificultades para cambiar a por 3a-2b en (a+b)² ou calquera troco semellante.
  • (Este sorprenderá a quen nunca dese clase de Matemáticas) Resumindo, a regra do produto en combinatoria. Polo miúdo, un exemplo fará soar a campá: se teño 3 saias distintas e 4 blusas distintas, cantas combinacións distintas poderei vestir? Na solución utilizades sumas de sumandos iguais? Ese é o paso intermedio cara á idea do produto. E non admite xeralización automática a outros conxuntos de núneros que non están pensados para contar, de aí o obstáculo coas operacións con irracionais como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$
  • Unha fracción é un número, non dous. Se preferides, unha fracción é unha cantidade, non dúas. Isto é tan evidente para quen o sabe que é moi habitual pasalo por alto. De feito é co tempo utilizado coas fraccións que os alumnos van afacéndose a esta idea, ratificando o aforismo de Von Neumann: "En Matemáticas non entendes as cousas, simplemente afaste a elas"
  • De novo relacionado co previo: Para comparar o tamaño de dúas magnitudes, alén de saber cal delas é maior, o axeitado é dividilas, non restalas. Este mesmo ano, ao comezo da unidade de Proporcionalidade en 1º de ESO, houbo varios alumnos dos que seguían perfectamente o curso(e que viñan dun historial de éxito académico dos seus colexios) que discutiron varias veces esta idea. Houbo varios contextos nos que xurdiu a discusión, un deles foi ao comparar aulas con distinta proporción de alumnos varóns. Discutíronme de xeito vehemente que se nunha clase había 15 alumnos varóns dun total de 30, era a mesma situación que noutra na que había 35 alumnos varóns dun total de 50. Nos dous casos as mulleres eran 15, polo que viña ser o mesmo. Non caeron do guindo en contextos cercanos, comezaron a ver o conto ao levar o exemplo ao absurdo dunha clase con 1000 alumnos; finalmente tiven que poñer un exemplo con mililitros de pintura azul e amarela para que acordasen comigo que o verde resultante non era o mesmo. Será que o caso continuo é máis visual que o discreto?

Como conclusión, resolver como profesor dificultades deste tipo é moito máis afanoso que apuntar erros na execución dun algoritmo, seguramente debido ao carácter esencial daquelas. Ás veces resulta un traballo colosal tentar resolvelas no medio dunha aula con máis de vinte alumnos.

Vós tedes algún exemplo destas ideas simples enganosas?

16.7.19

Despois das JAEM: The State of the Art

Van pasando os anos, pero algo non cambia:
nin idea do que fago

En contra do que fixeron algúns compañeiros, que é comentar polo miúdo a súa participación nas JAEM a través das conferencias, comunicacións e obradoiros aos que asistiron, eu vou simplemente enumerar varios eixes nos que vin preferencias claras, explícitas ou implícitas, eses catro días. Se tentase facer o que fixeron os compañeiros, coñecéndome, estou seguro de que me levaría unha entrada cada obradoiro no que puiden participar. Por isto e porque se non o fago así íame proer, vou facer de avogado do demo, como tentei na quenda de preguntas da conferencia de Maite Navarro sobre a resolución de problemas ao mencionar o artigo de Kirschner, Sweller e Clark(aínda que sen moito éxito no meu propósito, segundo me dixeron despois)

Antes de debullar os diversos temas polémicos nos que me vou meter, haberá que deixar claro o que para min é obvio: as JAEM supoñen unha experiencia singular na vida dun profesor de Matemáticas. Ademais dos feixes de actividades, propostas, ideas, etc. expostas por compañeiros, o mero feito de entrar en contacto con outros individuos interesados na educación matemática xa é valioso. A única experiencia semellante á que asistira eu con anterioridade fora o congreso de Agapema do 2014, que xa supuxera un pulo importante na miña formación, que tendo en conta o desleixo da Consellería de Educación, Universidade e Formación Profesional para a que traballo, é por completo autodidacta. Por isto, non teño outras JAEM para comparar con estas, porén, coido que podo afirmar que a organización foi excelente. Só teño unha suxestión moi persoal, que farei ao final da enumeración de ideas.


Imos aló. Estades avisados de que isto é unha reflexión persoal, sen datos na maioría dos casos, pois moitos son datos que non se poden obter.


O primeiro que hai que entender ao analizarmos as ideas dunhas xornadas deste estilo é que a mostra de profesorado que asiste(~550) seguramente non sexa representativa do total do profesorado, a varios niveis(p.ex. un dato interesante que non se pode obter é a % de profesores de Matemáticas con twitter vs. % de asistentes ás JAEM con twitter). Aínda non habendo esoterismo pretendido ningún, pode notarse certa sensación de que os asistentes son "iniciados", o que resulta recorrente en comentarios de autoafirmación lanzados por relatores. Non lle dou máis importancia, ocupar 4 días do comezo de xullo en asistir todo o día a conferencias e obradoiros probablemente signifique algo. Pois ben, esta falta de representatividade da mostra provoca certa desviación nos temas seguintes, sempre baixo a miña opinión, e non necesariamente cohesionados nin coherentes:
  • Traballo conceptual > Explicación de algoritmos
  • Traballo manipulativo > Traballo puramente abstracto
  • Resolución de problemas > Exercicios mecánicos
  • Algoritmos baseados en números > Algoritmos baseados en cifras
  • Introdución de multimedia > Libros de texto
  • Aprendizade mediante descubrimento > Instrución directa
  • Actividades matemáticas realistas > Actividades sen contexto
  • Uso da calculadora > Cálculo con lapis e papel
Non quero que isto pareza unha caricatura, pois eu mesmo presento esas desviacións: é obvio que os membros das desigualdades son extremos, e que o habitual é que ninguén os entenda como estáticos ou excluíntes. Para comprender o que quero transmitir, as desigualdades amosan desviación cara á esquerda neses eixes. Deixei unha sen poñer porque non sei como simplificala deste xeito: tamén notei certa tendencia a identificar a beleza matemática como a utilidade das Matemáticas para ver a beleza noutros campos, usualmente na arte. Con isto estou especialmente en desacordo. Na miña opinión, quizais un pouco ao estilo de Hardy, as Matemáticas teñen unha beleza intrínseca, e o que as distingue (por desgraza, pode ser) da beleza en campos non científicos é que non podemos atopar un instrumentista que as interprete para nós. A miña reacción é comparable á que me producen as imaxes na rede que mostran un obxecto sólido(p.ex, unha montaña) coa gráfica dunha función modelando a súa pendente, pervertindo o significado de función.
Lendo o que escribo, estou empezando a pensar que igual son eu que son un pouco teso.

Velaquí a suxestión: sería útil para clarificar estes presupostos que nas xornadas houbese tempo para a discusión das ideas, xa sexa en mesas redondas ou en debates cun moderador. Porque haberá quen se mergulle de súpeto nun mundo tan alleo ás súas propias clases que deixe de ver a conexión que fai posible a transferencia das ideas das xornadas ás aulas. Algo como disonancia cognitiva, en termos de moda.


Son alucinacións miñas ou vós tamén vedes estes nesgos? Tédelos vós? Credes que son temas superados pero que non chegan ás aulas? Ou nalgún tema credes que hai marxe para a disensión?

29.6.19

Antes de ir ás JAEM...


Entre os trillóns de identidades máis ou menos coñecidas pasóuseme esta:

$$1=1$$
$$1-4=-(1+2)$$
$$1-4+9=1+2+3$$
$$1-4+9-16=-(1+2+3+4)$$
$$1-4+9-16+25=1+2+3+4+5$$
$$\cdots$$

Hai varias cuestións interesantes, dependendo de quen se poña diante da identidade:

  • Como escribir en xeral a identidade? Que é un bo exercicio de uso do símbolo sumatorio con sumas alternadas
  • Como demostrala? Exercicio estándar de inducción
  • Como entender por que é certa?

En moitas ocasións un pode demostrar por inducción identidades aritméticas... e quedarse como estaba (previously neste blog), non experimentar o momento a-há que debería aparecer ao final dunha demostración ou cando se percibe o esencial nun problema. As demostracións visuais axudan a aprehender a razón pola que os feitos matemáticos son certos e non quedar só coa comprobación. Polo que tamén sería unha tarefa frutífera argallar unha visualización xeométrica.



Aposto que esta identidade é ben coñecida, pois fora incluída no 1º volume das Proofs without words de Roger B. Nelsen(Alternating Sums of Squares, 1). Seguramente pasaría por riba dela sen darlle máis crédito, hai demasiadas ideas fermosas no libro para non quedar saturado. Reparei nela esta semana botando un ollo ao tamén famoso The Stanford Mathematics Problems Book de Polya e Kilpatrick(problema 50.1).

Como apunta o título, a semana que vén asistirei ás JAEM(Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas) que se celebran na Coruña. É a primeira vez que vou, estou desexando traer ideas para as miñas aulas, e de paso coñecer en persoa a compañeiros cos que levo interactuando xa anos nas redes. Ah, e por fin son membro de Agapema! Non era sen tempo...

23.6.19

Un problema do Baccalauréat général

É ben sabido que o exame de Matemáticas II da ABAU é, e foi sempre, un exame tipo. Entre as dúas ocpións atopamos sempre un exercicio técnico de matrices cunha ecuación matricial, a discusión dun sistema lineal con 3 ecuacións e 3 incógnitas, o comportamento dunha función, o estudo da derivabilidade/continuidade dunha función, o cálculo da área baixo unha curva, un problema de optimización, un exercicio de puntos simétricos, planos e rectas perpendiculares, e coa LOMCE, un exercicio de cálculo aritmético de probabilidades (onde aparezan probabilidades condicionadas, intersección e unión de sucesos) e un de cálculo de distribución binomial/normal.

Cada vez que nun exercicio cae algo que se escapa minimamente do esperado, notamos unha perturbación na Forza. Sabedes por que? Porque, en contra do que din moitos, as Matemáticas son difíciles, e ensinar Matemáticas a grupos heteróxeneos, tamén. Se tentas ensinar aos alumnos as ideas que aparecen no curriculum de bacharelato e despois avalías esas ideas xunto aos procedementos, vas ter todo tipo de obstáculos. Para ter éxito nesa intención, vas ter que apoiarte nun traballo por parte dos alumnos que obvia que teñen, como mínimo, outras 9 materias en 1º de bacharelato e outras 7 en 2º.

Isto vén a conto de que hai moitos profesores, sobre todo de universidade, pedindo que cambie o tipo de cuestións que se avalían no exame de Matemáticas da ABAU. Por isto estiven a pescudar un chisco pola rede os equivalentes á nosa ABAU noutros países europeos. Salvando as distancias, pois non sei se o sistema segregador de Alemaña pode compararse co noso (segregador tamén, pero distinto: funciona de facto por clase social), fun buscar o Abitur alemán e o Baccalauréat francés, que aparecían xunto ao Maturitá italiano no único artigo español que vin sobre o tema, ¿Qué se pregunta en Europa en las matemáticas de selectividad?, na revista SUMA. E atopei varias cousas curiosas polo distintas que resultan. Observade esta xeira de cuestións do exercicio 3 do Baccalauréat deste mes:

1. No conxunto $\mathbb{C}$ dos números complexos, consideramos a ecuación $$(E):z^2-2 \sqrt{3}z+4=0$$
Chamemos A e B aos puntos do plano que son os afixos das raíces da ecuación (E)
Afirmación 1: O triángulo OAB é equilátero.

2. Chamemos u ao número complexo $u=\sqrt{3}+i$ e $\overline{u}$ o seu conxugado.
Afirmación 2: $u^{2019}+\overline{u}^{2019}=2^{2019}$

3. Sexa n un enteiro natural non nulo. Consideremos a función $f_n$ definida no intervalo $[0,+\infty)$ por $f_n(x)=x e^{-nx+1}$
Afirmación 3: Para todo enteiro natural $n \geq 1$, a función $f_n$ admite un máximo.

4. Chamemos C á gráfica da función f definida en $\mathbb{R}$ por $f(x)=cos(x) e^{-x}$
Afirmación 4: A curva C admite unha asíntota en $+\infty$

5. Sexa A un número real estrictamente positivo. Consideremos o algoritmo seguinte

$I \leftarrow 0 \\ Mentres\ 2^I \leq A \\ I  \leftarrow I+1  \\ Fin \ do \ bucle $
Afirmación 5: $15 ln2 \leq lnA \leq 16 ln 2$


A primeira vista, non é como ver a selectividade dunha civilización alieníxena?

26.5.19

Voronoi e a escola pública


Souben dos diagramas de Voronoi relativamente tarde. Non os descubrín ata anos despois de rematar a carreira de Matemáticas, cando xa levaba uns lustros dando clase. E xuraría que a primeira vez que lles prestei atención foi nun artigo de Clara Grima, pode que neste ou neste, que recomendo como todos os seus. Pouco despois lin o artigo Voronoi no Courel, que publicou o compañeiro Manuel na revista Gamma de Agapema. Alí veñen varios exemplos de utilización dos diagramas, o insinuado no título moi ben detallado, pero tamén varios referentes ao territorio galego.

Por se alguén pensa que Voronoi era un xogador de xadrez coetáneo a Fischer ou un membro do Politburo da URSS, expliquémolo: un diagrama de Voronoi determinado por puntos $P_1,P_2, \dots, P_n$ no plano é a descomposición en rexións $R_1,R_2, \dots, R_n$, onde $R_k$ a zona do plano composta polos puntos que están máis preto de $P_k$ que de calquera dos outros puntos $P_i$

Volveume á memoria o artigo de Manuel cando tiven que ocuparme, como xefe de estudos do meu instituto, das zonas de influencia dos centros educativos en Ferrol, pois outro exemplo no seu artigo estudaba as zonas escolares na cidade de Lugo. Pescudando na rede, i.e., chegando á segunda páxina de resultados en google, tamén vin este diagrama das zonas escolares de Melbourne(que tamén está na wikipedia, vaia)



No primeiro que pensei foi na distribución dos colexios públicos e dos concertados, que é un problema serio nas zonas urbanas. Observade no mapa de Ferrol os CEIP(públicos, en verde) e os CPR(privados concertados, en azul). A simple vista percibimos que agás 2 centros, o resto está amoreado en zona urbana. Mirando máis polo miúdo, vemos que no barrio de Ferrol Vello non hai ningún colexio público. 

Reparemos no diagrama de Voronoi determinado polos centros públicos:

Doniños, San Xurxo, Esmelle, Covas, Brión, O Pieiro, A Graña... O Oeste
Notades algo? Nas celas de Voronoi dos tres centros públicos no rural non atopamos ningún centro concertado. En troques, na cela do CEIP Cruceiro de Canido amoréanse ata 4 centros concertados, e na do CEIP Recimil outros 3 concertados. En Caranza hai dous centros concertados e un público, e na zona de Ultramar-ensanche B, un de cada. O único centro concertado que está no arrabaldo da zona urbana é o CPR Valle Inclán, na estrada de Xoane, non moi preto do CEIP San Xoán de Filgueira.


Liberdade de elección, non era? Para as familias da zona urbana, debe de ser. 


Deixo para unha entrada posterior a análise das zonas educativas dos institutos de secundaria, que é realmente sorprendente.