Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

29.4.25

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-2

 

O segundo problema era dos de fedellar. Como matemático (máis ou menos), un tenta resolvelo de xeito secuencial, con pasos necesarios no sentido lóxico; os cativos, en troques, van probar a sorte en canto haxa bifurcacións. E quizais sexa máis eficaz esa estratexia. Xulgade vós:

Problema 2:

Completa os 12 cadrados baleiros, explicando o procedemento seguido, con números que sexan múltiplos de 3, non maiores de 18, de xeito que sexan correctas as operacións en horizontal e en vertical:


   

Varias cuestións saltan á vista, alén da verbosidade de "non maiores de 18", sexa ou non inmediata a resposta:

  • Podemos usar números negativos? Cousa que preguntou un participante na zona de Ferrol
  • Aparecerá o 0?
  • Repítense números? Supoñendo que sexan non negativos, a resposta é obvia, o que non é óbice para que o dubide algún participante.

Tentastes resolvelo? Alén dos dous primeiros pasos, probastes ou deducistes?

27.4.25

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local

 

Seguro que xa notabades unha perturbación na forza: Como, o pesado este non escribe a perentoria publicación sobre a olimpíada de 2º de ESO de abril?

A explicación é sinxela: alguén tiña que facer uns calendarios de exames para o seu centro, e aínda non estivera cinco minutos totalmente ceibo de choio.

Comezo logo a miña crítica anual dos problemas propostos, pero desta volta non teño a habitual queixa coa dificultade do primeiro problema. Era sinxelo, o cal penso que é bo para animar aos rapaces, pois nunha proporción abafante comezan polo 1º problema.


Problema 1

1000 barcos navegan polo delta representado na figura. Unha cuarta parte van cara a D, unha quinta parte cara a E e o resto cara a B. No punto D, $\frac{2}{5}$ dos barcos diríxense cara a A e o resto cara a B. No punto E, $\frac{3}{4}$ dos barcos van cara a C, e o resto cara a B. Cantos barcos chegan a B?


O que non sei moi ben é que representan eses cepillos boca abaixo   


Sinxeliño para alumnos de 2º, non? A ver se cando remata o proceso hai maneira de estimar cantos o fixeron perfectamente. Eu aposto que máis do 90%.

O único obstáculo seguro que xa o vistes automaticamente: cativos que esquezan ou ben os barcos que van directamente a B ou ben os barcos que van a B desde D ou E. Nada máis. Porque todos os que se presenten á olimpíada van dominar as fraccións, obviamente. Non é mal exercicio incluso para unha aula ordinaria de 1º de ESO, na miña opinión.

13.4.25

Mapmatics


Non quedou tan mal, comparado co atlas da miña infancia


Isto si que é sorprendente. Vou escribir sobre un libro.


Aínda que a etiqueta Libros ten 35 entradas antes desta, iso non implica que fixese comentarios en 35 entradas sobre libros, senón máis ben que apareceu, pode que de pasada, algún libro nelas. Certo é que si hai entradas nas que fixen comentarios específicos, a última Uns problemas para rematar xullo, de 2020, ou unha entrada basicamente enumerativa, Libros, de 2017, na que comento de xeito sucinto cada un; mais a última vez que comentei polo miúdo un libro pode que fose Twenty years before the blackboard, nesta entrada de 2014. E iso que algunha vez si teño anunciado que vou ler un libro. O feito de que non volva saír o título por aquí é consecuencia de que non me gusta facer reseñas negativas(quizais unido a que pasei tempo facendo comentarios breves en twitter, e desde que lisquei de alá, en bluesky). Polo que, aínda non sendo sempre por iso, certa probabilidade hai de que sexa un síntoma de que non teño moito bo que dicir. O certo é que antes de comezalos, tiña pensado dedicar entradas a The Maths of Life and Death, de Kit Yates, Thinking Better. The Art of the Shortcut, de Marcus du Satoy, Humble Pi. A Comedy of Math Errors(que é o mellor desta xeira), ou El Infinito Placer de las Matemáticas, de Sandro Maccarrone, pero por diversas razóns despois de ler os libros, pedín papas. Se alguén está interesado, que non dubide en preguntar. Que hoxe vou falar dun que si me prestou.

Souben de Mapmatics, de Paulina Rowińska, nunha reseña na web Aperiodical (feed que recollín hai moitos anos, xa non sei de onde). É xa un tópico que os matemáticos están interesados tamén pola xeografía (non sei se ao nivel dos matemáticos de calibre mundial e o alpinismo), e eu caio plenamente nel. Das primeiras cousas que lembro de neno(5/6 anos) é andar fedellando no atlas histórico-xeográfico de edicións Salma que había na casa. Aínda hoxe, máis de corenta anos despois, non podo evitar un sorriso lembrando aqueles mapas históricos(en amarelo, ?!), a parte que viña do Sistema Solar, o apartado no que falaba das proxeccións ou o anaco no que explicaban as morenas ou os circos glaciares. E os simples mapas tamén, claro, o groso do volume. Hai que recoñecer que aquel atlas, que moitos mercamos no antigo SIMAGO, era ben completo.

No libro a autora comeza lembrando a súa experiencia persoal de nena co globo terráqueo e os mapas. Ademais desa introdución e un epílogo, o libro artéllase en oito capítulos, nos que, sen pretender ser exhaustivo, trata desde os problemas esenciais de levar o globo ao plano(coido que xa falei de que iso se estudaba en Teoría Global de Superficies cando era eu estudante, e a profesora era Elena Vázquez Abal), a integral da secante e a súa relación cos erros na navegación, a medición da costa e a súa natureza inevitablemente fractal, os mapas topolóxicos como o do metro de Londres ou o da nación Catawba, as distintas métricas (isto levoume de cabeza a 1º de carreira, coa métrica do taxi), tamén a distancia de Hamming e os códigos detectores e correctores de erros, os comezos da topoloxía e a teoría de grafos e o omnipresente Euler, o problema das 4(ou 5)cores, o problema do viaxante, as matemáticas das votacións, o gerrymandering e a segregación urbana e escolar, os inicios da epidemioloxía co famoso (e agora sei que controvertido) uso dos mapas por John Snow para atopar a orixe do gromo de cólera de 1854, e finalmente, a difícil cartografía dos fondos oceánicos. Todo isto en ~300 páxinas, seguidas dunha sección final de lecturas posteriores por capítulo cunha chea de referencias.


O distrito das orelleiras, unha das moitas cousas que aprendín léndoo

A sensación xeral do libro é moi positiva, mais confeso que empeza mellor do que acaba, na miña opinión moi persoal: eu espero dun libro de divulgación matemática que haxa matemáticas explícitas, alén de historia e anécdotas(que tamén me prestan); e matemáticas explícitas hai nos primeiros capítulos, mais van sendo máis escasas a medida que avanzamos no texto. Realmente é ben curioso, pois seguindo o que dicía Stephen Hawking na súa Breve Historia do Tempo(i.e., cada fórmula matemática incluída nun libro divide por 2 o número de lectores), se alguén colle o libro nunha libraría pensando en mercalo, e comeza polo principio, vai atopar máis obstáculos que se colle o último capítulo, que falando de cartografía dos océanos, confeso que me deixou coa sensación de que estaba lendo un artigo xornalístico longo.

Como anécdota, lograr que volva ler sobre o problema das pontes de Königsberg ou o gerrymandering e que me resulte entretido, despois de ver estas cousas en tantos libros e artigos, ten que servir como proba de que o libro está ben escrito.

Se hai alguén que lea este blog sen ter formación matemática alén da secundaria, ten que saber que o libro é perfectamente comprensible e moi aproveitable. Seguramente pasará por riba das poucas expresións alxébricas do comezo, e seguirá entendendo a meirande parte.

Disclaimer: non levo comisión.



29.3.25

Un pequeno atraco

 

Nos 16 anos deste blog puxen unha morea de problemas que eu non resolvera previamente, imaxino que é evidente para os lectores. Porén, coido que todos os problemas que trouxen ocuparon algo da miña mente, polo menos para sopesar a súa dificultade. Iso non evita que me trabucase unhas cantas veces, sobre todo ao principio, cando propoñía moitos problemiñas recreativos; nalgunha ocasión apareceu un sen solución, descuberto grazas a comentaristas anónimos.

O preámbulo avanza que non pensei no seguinte problema, só teño o pálpito de que é interesante e difícil(que adoitan ser características concomitantes). Oxalá non me trabuque.


A imaxe explícase soa, pero haberá que concretar as preguntas, digo eu:

Comezamos un camiño de segmentos unitarios na orixe de coordenadas da cuadrícula enteira, polo 1º cuadrante. Observamos que o camiño pasa por todos os puntos de coordenadas enteiras non negativas.

  • Cales son as coordenadas do n-ésimo punto do camiño?

Por poñer un exemplo, o 12º punto é o punto (3, 2)

E teño menos confianza aínda en que sexa sinxelo contestar á seguinte cuestión:

  • Cal é posición no camiño do punto (a, b) da cuadrícula?

Por exemplo, o punto (1, 1) é o terceiro punto do camiño, e o (5, 6) ocupa a posición 42ª.
 

Intrigante, non si? A ver se teño tempo eu para fracasar tentando resolvelo.

Editado o 30/03/25(o día seguinte, vaia): A senectude, a présa, a cólera do heroe, ou outra cousa, provocaron que esquecera compartir a fonte do problema, que é Recreational Mathematics de Paul Yiu, fonte formidable de problemas que leva vinte anos arrolando pola rede. Seleccionade o texto e dádelle a buscar, sairá un feixe de opcións para atopalo. Unha marabilla. 

4.3.25

A ecuación de 2º grao, xeometricamente(pero sen completar cadrados)

 

No título xa aviso, pois pensar xeometricamente a ecuación de 2º grao a estas alturas xa é un lugar común. Por moito que algúns fagan coma quen que o redescobren para o gran público de cando en vez.

Antonte dei por casualidade co artigo de King-Shun Leung Dividing a right-angled trapezium into two similar quadrilaterals, en The Mathematical Gazette, pero como me adoita suceder, reparei nun detalle accesorio no artigo, que é do que veño falar: a representación analítica das solucións da ecuación de 2º grao. Ademais, xa coñecía esta representación, mais quedara algo esquecida na miña memoria. Por outra banda, é posible que Cibrán xa a incluíse nalgunha das súas entradas sobre historia da Álxebra

Partimos da ecuación na forma $x^2+bx+c=0$ con $bc \neq0$ (lembremos que dividindo todos os coeficientes entre o coeficiente principal $a \neq 0$, obtemos sempre un polinomio mónico como o desexado). Marcamos no plano os puntos $A(0,-1), B(0,0), C(-b,0), D(-b,-c)$. A idea esencial do método consiste en trazar a circunferencia con diámetro o segmento AD. Se o discriminante $\Delta=b^2-4c>0$, a circunferencia corta ao eixe X en dous puntos $P(\alpha,0), A(\beta,0)$, con $\alpha>\beta$.

   


E eses números $\alpha, \beta$ son as solucións da ecuación orixinal. Vexamos por que no caso do punto P:

O punto P$(\alpha,0)$ é solución $\iff \alpha^2+b\cdot \alpha +c=0 \iff  c=-\alpha \cdot (\alpha +b) \iff \\ \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{c}{\alpha+b}=-1$

E aquí vén o salto, a igualdade anterior pode escribirse:

$$\frac{0-(-1)}{\alpha-0}\cdot \frac{0-(-c)}{\alpha-(-b)}=-1 \iff PA \perp PD $$

que, de novo, é equivalente a que o punto P pertenza á circunferencia de diámetro AD.


E aínda van quedar deberes para o amable lector: coa pista do trapecio que resaltei na figura, tócavos amosar que uso lle dá para atopar os dous trapecios semellantes que promete o título do artigo.