Innumeracy, 30 anos despois

  

 

Sen buscalo atopei pola casa El hombre anumérico. El analfabetismo matemático y sus consecuencias, do afamado matemático John Allen Paulos. Nin sabía que andaba por aquí, ou quizais si, pero é habitual non prestar moita atención a libros que liches hai tempo, se non son de consulta frecuente(penso no Boyer ou o Grimal). E resulta que este foi o primeiro libro de divulgación matemática que lin na carreira, grazas a unha compañeira(profesora de secundaria tamén, daquela era o que queríamos moitos) que o tiña na pensión. E deume por pensar que só lembraba o concepto mais nada en realidade do contido do libro. E tiven que relelo.

O que pasou despois non vos sorprenderá.

Cando o lin por primeira vez, antes dos 20 anos, eu entraba no público obxectivo deste libro. Agora, con case 50, xa non.

O libro segue destilando sentido do humor, pon exemplos acertados, ten anécdotas curiosas e, obviamente , apunta a un problema serio da sociedade, o anumerismo. E inclúe mencións a traballos de Tversky e Kahneman, que ata esta semana eu xuraría que non coñecera ata 2006 (máis ou menos), e resulta que xa lera sobre eles hai 30 anos, a desmemoria vaime alcanzando.

Entón, que ten o libro para que quedases murcho, J?

Vexamos o que fai o autor: en exemplos de anumerismo utiliza probabilidade elemental (e combinatoria enumerativa cando é necesario) para amosar que fenómenos que algunha xente ve como excepcionais son en realidade bastante probables. Paréceme o camiño evidente que hai que seguir, aí non teño obxeccións. O libro ten cinco capítulos: un introdutorio con moitos exemplos liviáns, que a estas alturas xa son ben coñecidos(pensemos que o libro se publicou dez anos antes da xeneralización de internet, habería que dirimir se a fonte deses exemplos é esta obra ou xa eran coñecidos con anterioridade), o 2º dedicado á probabilidade e coincidencia(aínda que no 1º xa se introducira), o 3º á pseudociencia; o 4º ás fontes do anumerismo; o 5º á estatística en xeral, que presenta unha zarangallada de ideas, desde o consabido correlación/causalidade aos nesgos ante a toma de decisións, pasando polo dilema do prisioneiro.

Aínda que o 5º capítulo semella un engadido para rematar o libro sen moita conexión cos anteriores, e o capítulo da pseudociencia vén sendo unha enumeración de anécdotas, é o dedicado ás fontes do anumerismo o que me pareceu o máis frouxiño. Visto en 2026 resulta unha colección de opinións máis ou menos fundadas, algunhas un chisco resesas.

Recomendaría este libro a alguén que me preguntase en persoa?

Depende de quen me preguntase. Para alguén que non lese moita divulgación de matemáticas/estatística/lóxica, seguramente si.

Non me podo subtraer a compartir unha anécdota que, dado o protagonista, aínda é máis hilarante. No capítulo 3, sobre a pseudociencia, o autor menciona a orixe do estudo dos biorritmos: un médico amigo de Freud, Wilhem Fliess, inventou que existen uns ciclos periódicos que determinan moitos aspectos das nosas vidas desde o nacemento. Aínda máis: inventou tamén que os números 23 e 28 eran  supostamente os períodos duns certos ciclos metafísicos, masculino e feminino respectivamente. E que tiñan a propiedade de que, sumando e restando múltiplos de 23 e 28, podes acadar calquera número.

É dicir: podes atopar unha solución en números enteiros x e y á ecuación $23x+28y=N$, sendo N calquera número que penses.

Tremendo, eh?(inseride aquí gif do nacho dos aliens do canal Historia)

Se non fose porque 23 e 28 non teñen ningunha propiedade excepcional, estas ecuacións case aleatorias que vou poñer tamén teñen solución para calquera N:

$25x+28y=N$

$23x+22y=N$

$2x+y=N$

$5001x+500y=N$

$10x+21y=N$

Pois serve calquera parella de números coprimos. Cousa que sabemos desde hai centos de anos, pois o arquicoñecido algoritmo de Euclides proporciona as solucións da ecuación diofántica lineal.

Freud, non contento con papar enteiro o asunto dos biorritmos, chegou a pensar que ía morrer con 51 anos, pois 51=23+28. Sorprendentemente (supoño) para el, durou 32 anos máis. Quen sabe se cando cumpriu os 52 non actualizou a profecía a morrer con 644=23·28.

Animará esta entrada a que algún humano lea o libro? Algún bot?

Un xogo recursivo

Síntome compelido a facer esta entrada, e iso que este mesmo ano xa compartín un xogo baseado supostamente no traballo de Escher. Ao xogo de hoxe, Print Gallery Of An Artist, cheguei vía kottke, onde efectivamente menciona a inspiración na obra do pintor neerlandés, favorito do gremio de estudantes universitarios de matemáticas do mundo. Logo, se ides á páxina do xogo, realmente o que di, xa no subtítulo, é A brief exploration of recursive spaces. E iso resulta máis acaído, como podedes comprobar se xogades un chisco ou se simplemente mirades a imaxe que incrustei abaixo.

 

   

De feito o autor do xogo, Daniel Linssen, aclara que a inspiración do xogo é un vídeo de 3Blue1Brown (que non vin), baseado á súa vez en Escher. En concreto, no estudo do efecto Droste por parte de Escher, plasmado na ben coñecida litografía Prentententoonstelling, esta de aquí:

Da wikipedia

(Se queredes ler unha análise da estrutura matemática desta obra, velaquí)

Recoméndovos o xogo, eu polo menos pasei un bo cacho toleando coa espiral infinita.

P.S.: notei despois de xogar máis que se tarda un pouco en ver normal de todo. Avisados quedades.

Unha idea non tan peregrina

 

   

Estaba pensando nunha función con dominio nos números naturais que se me ocorrera, e a mente choutou á sucesión que comeza deste xeito:

1, 3, 5, 7, 9...

Os impares? A gran cousa...

Non, non, non sexades impacientes, observade uns termos máis:

1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99,...

Todo cheo do meu achádego, deume por mirar en OEIS, e claro, aló andaba.

Polo que, se non queredes estragar a diversión, non vaiades.

Ah, e a imaxe da cabeceira non dá pista ningunha, só amosa a colocación dos elementos da sucesión na estrutura da espiral de Ulam(o 1 está no centro). Por que está, logo? Porque me pareceu bonita.

Outra vez, outro problema do mesmo tipo

 

I may be paranoid but not an android

Os catro lectores humanos que quedan e máis os catrocentos bots que me len diariamente (un saúdo ao Mossad) xa saberán que hai certas teimas que me acompañan hai anos. Unha, que deu lugar a unha serie de entradas, é a pescuda de problemas xenuínos de álxebra nos que non interveñan ecuacións, senón o uso de variables(preferiblemente que tampouco traten da observación de padróns, pois o razoamento implicado non adoita caer no alxébrico senón no xeométrico). Outra teima é a da falta de recursos do docente cando resulta imposible facer que o alumno entenda un concepto, sen edulcoralo e sen caer no unicamente instrumental, cousa da que coido que falei por primeira vez hai case dazasete anos por aquí(e xubilarei sen atopar solución). E por último teño certa tendencia cara aos problemas elementais de carreiras nas que se coñecen as relacións entre tempos ou velocidades, con pistas circulares aínda mellor. Podedes atopar ese tipo de problemas aquí:

Non te deixes levar

De (5º) aniversario + 1 día

Desconfía dos enunciados sinxelos

Seguramente haberá máis entradas con enunciados similares, con esas facedes unha idea. Lembro que hai unha sección de Ants, Bikes and Clocks, libro que mencionei en varias ocasións, na que aparecen moitos, polo que é probable que haxa máis.

Pois limpando libros do cartafol Descargas atopei un, Mathematical Challenges. Selected Problems from the Mathematics Student Journal(vista moi limitada), de Mannis Charosh, no que vin este enunciado:

Se Bob pode gañarlle a Jim por un décimo de milla nunha carreira de 2 millas, e Jim pode gañarlle a Henry por un quinto de milla nunha carreira de 2 millas, por que distancia lle gañaría Bob a Henry nunha carreira de 2 millas?

Confeso que resolvín o problema metendo todas as variables imaxinables, cheguei ao resultado, que é $\frac{29}{100}$ de milla, e como non fun moi pulcro na resolución, non tiña nin idea de que relación había entre os números do enunciado, i.e., 2, $\frac{1}{10}, \frac{1}{5}$ e o resultado final, $\frac{29}{100}$. Polo que resolvín de novo o problema, esta vez obviando os números e poñendo letras en todos os valores dados. E daquela vin.

E logo volvín ao libro, e o problema seguinte dicía:

Nunha carreira de d iardas, A gaña a B por p iardas, B gaña a C por q iardas, e A gaña a C por r iardas. Expresa d en función de p, q e r.

E daquela vin mellor.

Non vai ser a última vez na que traia algún problemiña destes, estou certo.

Un "paradoxo" alxébrico-xeométrico

 

Por unha vez, imos ver algo de historia.

Pero hai que establecer uns cantos feitos previamente, que isto non vai de lercheos entre persoeiros.

Coñecedes o Teorema de Bezout? Igual pensades nun teorema sobre números, en concreto, se a e b son números enteiros e d é o seu máximo común divisor, entón existen enteiros m e n tales que  $d=ma+nb$, pero non, non é ese (que é unha fermosura, que conste en acta), senón un teorema xeométrico que eu vin por primeira vez en Curvas Alxébricas en 5º de carreira, pero que ten unha historia moito máis elemental. O enunciado vén dicindo:

Se temos dúas curvas alxébricas $f(x,y)=0$ e $g(x,y)=0$, f de grao m e g de grao n, entón a intersección de f e g consta de m·n puntos.

Se non coñecíades o teorema, seguramente pensedes que ten algo raro. E ten, claro que ten. Esa intersección de $m·n$ puntos só se cumpre se contamos ben as interseccións: por unha banda hai que considerar a multiplicidade dos puntos de intersección (puntos de tanxencia, triples, etc.), por outra hai que considerar o corpo dos números complexos, e nin así teríamos garantido o número m·n, pois faltaría traballar de xeito proxectivo, e contar os puntos no infinito tamén. Se non, botade contas das interseccións de dúas circunferencias, que son curvas de grao 2, e á vista podemos ter 0 interseccións, 2 ou 1. Nunha imaxe, todas as posibilidades:

Insira aquí unha brincadeira dos 80 pouco étnica-friendly 

Consecuencia inmediata do Teorema de Bezout é que, se as dúas curvas teñen grao n, a súa intersección (ben contada) consta de $n^2$ puntos.

Por outra banda, un polinomio de grao n ten c coeficientes. Vexamos o caso concreto das cúbicas, a xeneralización é inmediata:

$$p(x)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2+fxy+gy^2+hx+iy+j$$

Contamos 4 coeficientes de monomios cúbicos, 3 cuadráticos, 2 lineais e 1 independente, en total $4+3+2+1=\binom{5}{2}$. E xa vedes por onde vai o conto.

O que sucede é que multiplicar por calquera número real o polinomio determina a mesma curva, polo que podemos facer que o polinomio sempre teña un coeficiente unitario, e só $\binom{n+2}{2}-1=\frac{n(n+3)}{2}$ coeficientes variables. E para atopar $\frac{n(n+3)}{2}$ números chega a mesma cantidade de ecuacións, que virán determinadas pola mesma cantidade de puntos polos que pasa a curva.

Ata aquí o preámbulo, malditas matemáticas, que sempre precisan que teñas asimilados tantos feitos previos.

O asunto que viña contar hoxe(en realidade hai 4 anos, que a perspectiva de redactar o preámbulo fixo que esta entrada quedase en borradores) é o seguinte:

Como $\frac{n(n+3)}{2}$ puntos determinan unha única curva de grao n, e dúas curvas distintas de grao n se intersecan en $n^2$ puntos, se $\frac{n(n+3)}{2} \leq n^2$, non parece suceder que entón $\frac{n(n+3)}{2}$ puntos non son suficientes para determinar de xeito único a curva?

A resposta non é tan evidente, pois deu lugar* en 1744 a unha carta de Cramer (si, o da afamada regra de 2º de BAC) a Euler, onde pregunta polo caso $n=3$, que é o primeiro grao no que $\frac{n(n+3)}{2} \leq n^2$. Neste caso $\frac{3 \cdot (3+3)}{2}=9$ puntos deberían abondar para determinar a cúbica, pero dúas cúbicas distintas poden intersecarse neses $3^2=9$ puntos.

*En realidade Maclaurin publicara en 1720 o aparente paradoxo

Que está pasando aquí? A glitch in the Matrix?

O bo de Gauss non ten nada que ver coa historia,
que eu saiba, pero como este gif é a miña segunda 
creación(a 1ª é esta), déixoa por aquí 

O lector moderno pode usmar o quid da cuestión. 

$\frac{n(n+3)}{2}$ puntos, seguro?

Dá igual como sexan eses puntos? Vexamos uns casos inmediatos:

Este exemplo é o orixinal da carta de Cramer

Neste exemplo podedes argumentar que esas cúbicas están un pouco, digamos, rechumidas, aínda que a palabra técnica é dexeneradas, que certamente soa peor. Poñamos outro exemplo que evite esa eiva:

Xoguei cos coeficientes ata que atopei esta especie alieníxena baseada no allo.
Tedes outro exemplo na wikipedia

Invoquemos ao lector moderno outra vez: pensade que Euler viviu e traballou no século XVIII, antes da fundación da álxebra lineal, en particular, antes da invención(ou descubrimento, como queirades) do concepto de rango, que hoxe estudamos daquela maneira en 2º de BAC. Pero o que si tiña Euler era unha intuición sobrenatural, e decatouse de que se dúas cúbicas se intersecan en 9 puntos, o que sucede con eses 9 puntos é que non son "xenéricos", o que agora traduciriamos como que as ecuacións determinadas sobre os 9 coeficientes (cargámonos un dos 10 coeficientes mediante división, lembrade) da cúbica non son linealmente independentes. Por exemplo, os 9 puntos intersección en cuadrícula do exemplo "dexenerado", despois de ver que o termo independente ten que ser nulo, pois un dos puntos é o $(0,0)$, dan lugar a esta matriz 8x8 do sistema :

, que ten rango 7, igual que a matriz ampliada, mentres que o número de incógnitas é 8, polo que o sistema é compatible indeterminado.

E xa podedes intuír a xeneralización, o esencial está todo no caso cúbico.

O que máis me abraia deste conto é que Euler viu a razón do aparente paradoxo sen ter a linguaxe necesaria para expresalo con rigor. Un xenio absoluto.

Escribindo esta entrada vin que o formidable arquivo How Euler Did It, de Ed Sandifer, xa non está dispoñible en liña. Eu teño todos (coido) os artigos en pdf nun disco duro, se alguén precisa, que me avise. En calquera caso, podedes atopalos en The Wayback Machine, por exemplo Cramer's Paradox, que foi o lugar no que souben por primeira vez desta vella historia.

E se queredes ir ás fontes orixinais, a entrada da wikipedia en inglés ten as ligazóns ao final:

Cramer's Paradox