Un problema xeométrico do GCSE 2023

 

O de ter twitter provoca que, de vez en cando, saia algún hashtag á dereita que me chame a atención. Ultimamente vexo #maths con certa frecuencia, e cando dou no link, o habitual é que aparezan exercicios aritméticos e alxébricos do estilo dos de 3º de ESO. Pero tamén problemas tipo Sangaku, que se tes un anaco, adoitan ser ben divertidos.

Estes días non só andan os alumnos españois coa ABAU, tamén no Reino Unido están a celebrar o seu GCSE, e eu levo xa uns lustros remexendo en probas estandarizadas doutros países, é como un pracer culpable(aínda que a verdade é que teño tirado ideas de aí). E como sempre, comezan a aparecer queixas pola dificultade ou rareza dalgún exercicio. O deste ano, este problema co que seguramente os examinados non contaban:

    

Se o lado de cada octógono regular mide a, atopa a área da figura sombreada na forma $p(2+\sqrt{2})a^2$

Se tentades resolvelo, axiña veredes que é moito máis sinxelo do que temían os rapaces.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-5

Chegamos ao derradeiro problema desta olimpíada, o único de xeometría:

Problema 5

 Considera un hexágono regular de 4cm de lado. Unimos os puntos medios dos seus lados alternativamente tal como se indica na figura:

   

1. Cal é o perímetro do triángulo?
2. Que proporción da área del é a área do triángulo?

    

Agora unimos os puntos medios dos lados e o centro do hexágono como na figura seguinte:

3. Cal é o perímetro desta outra figura?
4. Que proporción do hexágono é a área da figura?
   

Como moitos problemas fermosos de xeometría, é susceptible de ser resolto mediante varias estratexias distintas. Xa sabedes que son lacazán para escribir solucións, déixovos só con esta imaxe:

   

Deica o ano que vén.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-4

 O cuarto problema, de combinatoria enumerativa:

Problema 4

O centurión Cayo Matemarius tiña ao seu cargo un grande número dos membros do exército lexionario de infantería de Gallaecia. Como era moi excéntrico, decidiu, para levar un control deles, asignarlle a cada un número capicúa. Averigua:

1. Cantos capicúas hai de 2 cifras?
2. Cantos capicúas hai de 3 cifras?
3. Cantos capicúas hai de 4 cifras?
4. Se en total hai 10.000 membros do exército en Gallaecia, cal é o maior capicúa que se utilizará?

Nota: Un número capicúa é aquel que se le igual de dereita a esquerda que de esquerda a dereita, sen contar os que comecen por cero.

Os tres primeiros apartados son os típicos que uso nas aulas de 1º de ESO cando traballamos o sistema de numeración, para ir metendo algo de razoamento. O cuarto apartado xa é máis bonito e requira un chisco máis de reflexión.

Porén, considero que nesta fase final houbo demasiados problemas "de números". Como é tradicional, o 5º problema non vai ser deste estilo.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-3

 O terceiro problema desta fase final é un coñecido exercicio de matemáticas recreativas, o de atopar un número autodescritivo:

Problema 3

Ada é unha rapaza moi organizada e sempre que ten que inventar un contrasinal para unha nova aplicación escribe un número que sexa doado de recordar por ela, seguindo algunha propiedade interesante. Neste caso, o contrasinal que utilizou para a aula virtual deste curso ten as seguintes características: 

• É un número de dez díxitos.
• O primeiro díxito é igual á cantidade de ceros do contrasinal.
• O segundo díxito é igual á cantidade de uns.
• O terceiro revela a cantidade de douses.
• E así sucesivamente, ata o décimo díxito, que indica a cantidade de noves.

Saberías obter o contrasinal de Ada?

É unha verdadeira mágoa coñecer o problema xa e non poder desfrutar de atopar a solución.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-2

Imos co 2º problema desta fase final.

Un exercicio previo podería ser adiviñar que hai que facer coa táboa de abaixo sen ler o enunciado. Premio á perspicacia a quen dea feito.

Problema 2

Na Casa dos Mosaicos atópase o mosaico da figura. A arqueóloga do Concello estima que se trata do código de entrada a unha irmandade segreda, forofa do número 126. Cre que se debería poder completar obtendo os divisores do dito número e, posteriormente, completando os ocos de forma que sumen o que indica cada fila e columna. Podes axudarlle?

    

Para resolver este problema eu fun sistemático, é dicir, atopei os 12 divisores de 126, calculei a súa suma(312), atopei a suma dos 9 números que hai que usar(48+22+131=201), atopei a única combinación de 3 divisores de 126 cuxa suma coincide co desfase entre eses dous números(312-201=111=63+42+6), e fun vendo condicións obvias sobre columnas e ringleiras(a máis evidente, que 126 ten que estar na esquina inferior dereita). Teño a dúbida de se o problema pode ser resolto sendo menos sistemático, i.e., probando con máis ou menos xeito, que imaxino sería o que farían algúns participantes.

En calquera caso, o problema é dos que permite fedellar, que sempre está ben que haxa algún deste tipo en cada quenda.