26.9.21

Un xogo de puzzles 2D no espazo 3D

O título vén dado polo autor, Peter Lavigne, e na miña opinión é imposible melloralo.

O xogo chámase Orakyubu, e mestura, como facía Continuity(que quedou no limbo pola morte morrida do Flash), os puzzles dentro dunha pantalla cos crecacabezas clásicos. Mentres que en Continuity había que fedellar con pantallas bidimensionais que tiñamos que encaixar para poder resolver os puzzles, de novo, bidimensionais, en Orakyubu as pantallas son cúbicas, e hai que fedellar con elas no espazo co mesmo obxectivo.


Captura autoexplicativa

Non conto máis. Ide probar e veredes que este xogo tiña que vir ao blog.


22.9.21

Un asunto controvertido das Matemáticas de instituto


Todos os anos, cando chego á continuidade de funcións en Matemáticas I e introduzo o concepto e tento que a definición resulte natural, os alumnos non o saben, pero eu estou morrendo por dentro. Levaba un tempo coa idea de dedicar unha entrada a este fenómeno, e deume por buscar pola rede e resultou que dúas investigadoras da didáctica das Matemáticas na Simon Fraser University, Gaya Jayakody e Rina Zazkis, escribiron un artigo en For the Learning of Mathematics, Continuous Problem of Function Continuity, plasmando punto por punto as miñas ideas. Se ledes con fluidez inglés, tedes permiso para marchar deste blog e non mirar atrás.

A continuidade non aparece de xeito explícito no curriculum da ESO, aínda que se entende que en 3º e sobre todo en 4º é unha das "características das funcións" que aparecen nos contidos, xunto co crecemento, a periodicidade, os cortes cos eixes, etc. Se es un profesor dos que non mira o DOG, nos libros de texto sempre vén, problem solved. E se ves un libro de texto onde non se mencione como definición de continuidade que se poida debuxar a gráfica sen erguer lapis ou xiz, chanta captura nos comentarios. Obrigado.

En 1º de bacharelato, aproveitando a maquinaria que proporcionan os límites, xa é posible introducir o concepto contemporáneo de continuidade, mais o certo é que a definición rigorosa é esvaradía. Habitualmente a definición de función continua nun punto adoita ir así:

f é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se:

  • $c \in Dom(f)$
  • $ \exists \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)$ 
  • $ \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$
E f non é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se algunha das condicións anteriores non se satisfai.


Claro, non?
Tres condicións que hai que cumprir para que unha función sexa continua nun punto, se non se cumpre unha, non será continua. E logo adóitase definir función continua como a que é continua en cada punto. Parece lóxico e pulcro, non?

E despois veñen os exemplos:

Función continua no punto que queiras,
OK, bonita, fermosa, TODO BEN



A ese punto despistado chamámolo descontinuidade evitable.
Se non hai o punto cheo azul, tamén

A isto salto finito



E a isto salto infinito

Estándar, non?

Pois algo tan aparentemente ben definido dá lugar a moitos problemas, algúns puramente nominais e outros máis profundos. Vexamos antes unha cuestión das non esenciais. 

Como lle chamaríades a esta descontinuidade?

Que é descontinua está en discusión?

Esta cuestión non é esencial porque, simplemente, non temos por que poñerlle nome a todas as eventualidades que xurdan. Vaiamos a cousas máis serias.

Observade a seguinte gráfica:

Que diríades agora? A función é continua en x=-4, poñamos por caso? E que opinades da función globalmente, é continua?

E esta outra?

Ten que haber un fenómeno semellante á pareidolia cando
ves gráficas e recoñeces formas máis complexas, seguro.
Estou ben, estou ben.    


Ides vendo o problema da definición? Se o punto non está no dominio, non hai continuidade, pero parece obvio que iso só soa ben a descontinuidade cando o punto que non está no dominio está preto de puntos do dominio. Para saber que significa preto, necesitamos a noción topolóxica de punto de acumulación. Na gráfica anterior, por exemplo, o punto x=0 non é de acumulación do dominio, polo cal non se ve axeitado considerar aló a continuidade. Mentres que nunha descontinuidade evitable o punto é o límite dunha sucesión de puntos do dominio; pensade vós que sucede nun punto onde hai un salto finito, nun cun salto infinito ou nun onde os dous límites laterais valen $+\infty$.
 
Cando un estuda o concepto de continuidade na carreira, ve que o contexto natural é o dos espazos topolóxicos, onde chegamos á definición global:

Unha función f entre dous espazos topolóxicos A e B é continua se a imaxe recíproca de calquera aberto V do espazo B é un aberto no espazo A, i.e., $$f^{-1}(V) \in \mathcal{T_A} \  \forall V \in \mathcal{T_B}$$
E nese contexto, considerando que en $\mathbb{R}$ temos a topoloxía usual como espazo métrico(a métrica é o valor absoluto ou calquera das infinitas equivalentes), podemos pensar agora nos exemplos anteriores se existe algún aberto cuxa imaxe recíproca non sexa un aberto, para o cal chega con analizar a imaxe recíproca dos intervalos abertos, que forman unha base da topoloxía.

Se imos á continuidade local, unha función será continua nun punto $x \in A$ se para toda veciñanza V de $f(x)$, existe unha veciñanza U de x tal que $f(U) \subset V$ (vedes o $\epsilon $ e o $\delta$ como se achegan reptando por aí?)

E aínda podemos utilizar unha caracterización secuencial da continuidade:

f será continua en $x \in A$ se a imaxe de calquera sucesión converxente a x é unha sucesión converxente  a $f(x) \in B$

Parade un chisco e notade que estas definicións presupoñen que o punto no que analizamos a continuidade forma parte do dominio da función. 

Concluíndo, a miña opinión é que a confusión coa definición de continuidade de instituto emana de 2 factores:

  • A necesidade dos libros de texto de compendiar, de crear unha falsa ilusión enciclopedista. Todos os casos teñen que estar clasificados e enumerados.
  • O feito de trabucar que unha función sexa continua con que a súa gráfica sexa homeomorfa á recta real, é dicir, que se poida establecer unha bixección continua coa recta real que ademais teña inversa continua. Que é unha propiedade ben máis forte que a mera continuidade.

Recoñezo que esta é unha teima persoal(si, outra), pois sempre que o falo con compañeiros, todos están contentos coa situación. E como finalmente na ABAU o que van ter que facer é calcular o valor duns parámetros para que unha función sexa continua, pois todo correcto, señor axente. Só padecerán as consecuencias os alumnos se estudan Matemáticas máis avanzadas e os seus profesores. Pero iso é noutra xanela.





5.9.21

Procedementos que nunca levei á aula

 Observade esta inecuación:     $$2 \left| x-2 \right| \geq \left|x+1\right|$$


Unha inecuación así podería aparecer nunha folla de exercicios do comezo de Matemáticas I, mais  dada a dificultade técnica que entraña, non estou certo de se algunha vez puxen algo semellante. O típico exercicio nese curso ten un aspecto como este, despois de manipulacións alxébricas: $$ \left| x-1 \right| \geq 3$$

, onde vemos que só aparece un valor absoluto, o que fai que poidamos fundamentar o algoritmo de resolución na caracterización do valor absoluto como distancia á orixe ou $\left| x-a \right|$ como distancia ao número a, que é consecuencia do anterior.

Pero utilizar esa aproximación á inecuación orixinal implicaría ter que buscar os números reais x que cumpren que o dobre da distancia de x ao 2 é maior ou igual que a distancia de x ao -1. Non parece moi operativo.

Co cal, o procedemento estándar(coido) para resolver unha inecuación así consiste en eliminar os valores absolutos utilizando de xeito intelixente que $\left| x\right|^2=x^2$, xunto co feito de que en $(0,+\infty)$, a función elevar ao cadrado é crecente:

$$\left[2 \left| x-2 \right| \right]^2 \geq \left[\left|x+1\right|\right]^2$$

$$4 \left( x-2 \right)^2 \geq \left(x+1\right)^2$$

E queda unha inecuación de 2º grao, propia de 4º de ESO, neste caso obtemos como solución $\left(-\infty,1 \right] \cup \left[5,+\infty\right)$

Ata aquí o que fixen/faría eu na aula. Pero nunca levei a cabo un enfoque máis obvio e menos artificioso, case dá vergonza dicilo: DEBUXAR AS GRÁFICAS DAS MALDITAS FUNCIÓNS.

Podería parecer que este método gráfico só vai dar unha aproximación á solución, pero o mero feito de debuxalas e notar que cada valor absoluto é unha función con dous anacos, fai que sexa máis sinxelo resolvelo tamén de xeito alxébrico, exacto.

Observade as gráficas:

Calquera variación vén dando unha figura análoga


Vemos que a rama decrecente da gráfica verde está por riba da vermella ata o 1, e a crecente da verde está por riba da vermella desde o 5. Isto tamén pode servir como inicio dunha discusión: cambiando as pendentes das funcións verde e vermella podemos obter solucións con aspecto distinto á inecuación?
Quizais sexa máis sinxelo razoalo cos cadrados, por iso de que os alumnos a estas alturas xa saben o nº máximo de solucións dunha ecuación de 2º grao?

Vexamos outro exemplo dun método que nunca levei á aula. En 1º de bacharelato unha das técnicas que se ensinan é o cálculo das asíntotas dunha función elemental, do estilo $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$
A técnica que emprego eu sempre vai así:
  1. Observamos rapidamente que puntos teñen pinta de dar problemas, neste caso x=-2, e comprobamos se existe o límite neses puntos, se é finito ou non. No exemplo o límite pola esquerda é $-\infty$ e o límite pola dereita é $+\infty$, polo que hai unha asíntota vertical aí. Isto é o máis sinxelo do exercicio, pero algúns alumnos, influídos polo que fan en clase particular, cren que se o punto non está no dominio xa vai haber asíntota vertical, o que é obviamente falso, como podemos ver con $g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$
  2. Despois pasamos ás asíntotas horizontais e ás oblicuas, que son excluíntes "polo mesmo lado". Miramos o límite en $\infty$ e $-\infty$, se o límite é finito e igual a k, temos asíntota horizontal $y=k$, se non é finito, pode que teñamos asíntota oblicua, para o cal hai que ver a "velocidade" do límite, comparando coa recta y=x
  3. E dicir, calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$, que nos vai dar a pendente da asíntota se é finito e igual a m. E finalmente calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-mx]$ que nos dará a ordenada na orixe da asíntota oblicua.
Pois ben, cando un profesor (ou un alumno que entenda) ve unha función como $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$ sabe perfectamente que vai ter unha asíntota oblicua, dado que a función no infinito é como un polinomio de 1º grao. De feito vin compañeiros en twitter falar de que sempre facían o seguinte:
  1. Efectúan a división implícita na función racional, $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$
  2. Á vista da expresión de cociente e resto, como a fracción do final é nula no infinito, f(x) compórtase como a recta $y=3x-7$
E xa temos a expresión da asíntota oblicua. Dependendo do aspecto do cociente, teremos asíntota horizontal(se é un escalar), oblicua (se é un polinomio de grao 1) ou ramas parabólicas(se é de grao superior a 1). Por que nunca levei isto á aula, aínda que o teño comentado e boto as contas de memoria* usualmente? Basicamente porque en ningún lugar do curriculum restrinxe o cálculo de asíntotas a funcións racionais, aínda que é o que máis se fai, e vai aparecer noutros momentos, como no do crecemento das funcións na unidade de derivadas. Que pasaría coas seguintes funcións daquela?
$$h(x)=\sqrt{4x^2+1}\ ,\ \ i(x)=\log\left( \frac{1}{x}+3\right)$$
*En realidade o que fago é  $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=\frac{3x^2+6x-7x-14+14+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$, pero vaia, vén sendo o mesmo.

Por último, outra técnica que nunca levei á aula é o famoso novo método para resolver a ecuación de 2º grao que resultou non ser novo, como amosa esta entrada no blog de Don Steward. Esta situación é distinta ás anteriores, nas que si coñecía os métodos había tempo. Lembremos as posibilidades para resolver a ecuación xeral de 2º grao:
  • Podes resolvela coa fórmula, o que semella ser o máis común a nivel español.
  • Podes completar o cadrado, de xeito alxébrico ou de xeito puramente xeométrico, sendo isto último o máis raro por aquí(estou supoñendo).
  • Se a ecuación é sinxela abondo, podes utilizar as identidades de Cardano-Vieta a ver se tes sorte.
Hai máis xeitos, pero normalmente necesitan que a ecuación sexa moi sinxela. Vexamos agora o non-tan-novo método cunha ecuación que non meta moito medo, $x^2-2x-3=0$

Esencialmente imos utilizar as identidades de Cardano-Vieta para reformular a ecuación. Como as dúas raíces da ecuación teñen que sumar 2, podemos escribir sen perda de xeralidade que terán o aspecto $1+y$ e $1-y$; e como o seu produto ten que ser -3, teremos a ecuación: $$(1+y)(1-y)=-3$$
E obtemos unha ecuación incompleta, que polo menos eu traballo previamente na aula:
$$1-y^2=-3 \rightarrow y^2=4 \rightarrow y= \pm 2$$
Só quedaría desfacer o cambio de variable, se $y= \pm2$, entón as raíces da ecuación orixinal son $-1, 3$

Vexo claro que este xeito de resolver ecuacións non é axeitado para 2º de ESO, cando aparecen por primeira vez no curriculum, pero en 4º xa é a segunda vez que amoso Cardano-Vieta, e tamén aproveito para introducir algunha ecuación cun parámetro, do estilo $x^2-(2n+1)x+n^2+n=0$, se este ano dou 4º pode que apareza dalgún xeito. Quen sabe.

14.8.21

O último flame co ensino das Matemáticas

Como xa saberedes todos, o flame desta semana de agosto veu provocado pola filtración interesada do borrador de curriculum de Educación Primaria, nada menos que a un xornal tradicionalmente tan preocupado pola educación como é El Mundo, e a aparición do enfoque socioemocional e a perspectiva de xénero no ensino das Matemáticas nese borrador. A estas alturas xa todos leríades os fíos de twitter e os artigos online que saíron co gallo desas 'novidades', agás os xornais cun paywall permanente:

Hai máis, non podo nin pretendo ser exhaustivo, eses son os que me pasaron a min por diante por twitter.
Tamén veríades as reaccións pretendidamente xocosas ao artigo orixinal do Mundo, con esta pescuda en twitter xa podedes coller o estilo e calidade dos chistes: Números, númeras 

E algúns menos veríades o borrador de curriculum, que unha inspectora de educación compartiu en twitter. Fixen unha copia no meu drive, por se acaso a inspectora pasa a ser ex-inspectora.

Tentei entrar en debate en twitter sobre o asunto, sen éxito. Así que lembrei que podía escribir a miña opinión neste blog, referente do ensino das Matemáticas entre os profesores do IES Canido que estudaron no IES Canido e viviron en Canido na súa infancia e adolescencia. Velaquí:

A primeira vez que fun consciente da dimensión emocional no ensino das Matemáticas foi relativamente tarde, cando collín, haberá ~12 anos, o libro Matemáticas para aprender a pensar. El papel de las creencias en la resolución de problemas, de María Luz Callejo de la Vega e Antoni Vila Corts; despois descubrín que xa era un tema recorrente na investigación sobre o ensino das Matemáticas, particularmente na resolución de problemas(mirade por exemplo este artigo de Schoenfeld de 1985). Lendo ese libro recoñezo que tiven momentos de pensar "claro, como non verbalicei isto antes?". E aínda que eu non son optimista sobre a magnitude do que se pode chegar a aprender na resolución de problemas, sendo eu licenciado en matemáticas e resolvendo/non resolvendo problemas case a diario, son consciente de que hai certa marxe con respecto ao ensino tradicional. Aproveito para compartir unhas liñas do libro que xustifican o dito:  
"Papel del profesor
La educación matemática está mediatizada por personas, fundamentalmente por profesores, que introducen a los alumnos en la cultura matemática. El profesorado planifica, desarrolla y evalúa su intervención educativa, toma decisiones acerca de las actividades a proponer, la metodología a utilizar o la manera de valorar el trabajo de los alumnos"

Neste blog xa falei hai ben tempo de cuestións relacionadas, mirade a entrada de hai 8 anos O medo ás Matemáticas, por exemplo. 

Volvendo á polémica da semana, confeso que son partidario de introducir o enfoque socioemocional no ensino vía BOE, aínda que todos saibamos que ninguén sabe que fai cada docente nas súas aulas e como vai repercutir o articulado dunha outra lei educativa niso. Tamén vexo ben a perspectiva de xénero en disciplinas onde tradicionalmente non houbo/hai mulleres que sirvan como referentes visibles. Non vou profundar no meu apoio, podedes ler os links de antes nos que xa debullan as razóns. 

A razón xenuína de escribir esta entrada é comentar as miñas obxeccións:

A obxección esencial é o feito de que esta introdución se apoie no desempeño das rapazas en PISA, e non se faga ningunha mención a datos académicos, máis sinxelos de interpretar e apegados ao curriculum de Matemáticas, non ao que opinan uns cantos economistas da educación e sectarios variados sobre o que teñen que ser as Matemáticas. Se a miña opinión como profesor serve a alguén, en media a nota das cativas na miña materia é algo mellor que a dos cativos, e apostaría que na ABAU sucede o mesmo; si é certo que a participación voluntaria en concursos competitivos como Olimpíadas, Canguro, etc., é menor. Pero vaia, que é o relevante, a súa aprendizaxe nas materias académicas, o seu desempeño no xoguete de economistas e sociólogos, a súa participación en competicións marxinais? Quizais haxa certa desconfianza implícita na métrica que supoñen as notas académicas?

Por outra banda, se analizamos a ratio de mulleres nos estudos superiores, veremos que en carreiras de Ciencias como Bioloxía ou Ciencias Aplicadas como Medicina, as mulleres son maioritarias, non falemos xa de Enfermería. En Química pasa algo semellante, de xeito máis paritario, e en Matemáticas no intervalo [1993,2008], como amosa o gráfico que compartiu Clara e aparece tamén no artigo do Huffington, houbo máis mulleres que homes, mais preto do 50/50. Onde hai realmente brecha, e houbo sempre, é en Física, na maioría das Enxeñerías e, de xeito abafante, no ámbito da Informática. Que transloce entón esta iniciativa desde o ministerio? Ademais de que desde o ensino se pode combater a estrutura da sociedade(penso agora no teito de cristal das científicas, provocado entre outros factores, na composición das estruturas de poder), que a área fundamental para combater esta situación é Matemáticas. Vaia, outra vez máis, que Matemáticas ten un lugar no ensino obrigatorio preponderante, o que levamos vivindo arredor de 40 anos. Non sei se volver salientar este papel non será contraproducente. Cando unha materia xoga o rol de determinar quen pode continuar estudos, que itinerario tomar, etc., non produce iso precisamente ansiedade nos alumnos?

Un aspecto no que nin reparara antes de poñerme a escribir esta entrada é como explicar a brecha que se dá nos estudos de formación profesional en campos nos que as Matemáticas que se necesitan son triviais, básicas ou polo menos non prohibitivas. Paréceme axeitado consultar datos do ingreso en ciclos superiores máis que en medios ou básicos, pois nos superiores non se dá o efecto do alumnado que non remata a ESO, maioritariamente masculino. Collín os datos do último ano que ten o Ministerio en EDUCABASE, quitei celas irrelevantes e apliquei un formato condicional. Podedes ver o resultado nesta folla incrustada ou aquí a folla orixinal:



Ordenei de xeito ascendente da ratio das mulleres para que non teñades que ir buscando. O nesgo é terrible.

Pois ben, xa que ninguén quere debater comigo, queda aquí a miña opinión. [/rant]

27.7.21

Preguntas sinxelas en Xeometría

 Hai unhas cantas cuestións xeométricas que nunca utilicei nas aulas debido a que non sei aínda como dar forma ás actividades de introdución. Vexamos de que estou a falar:


  • Pode que lembredes unha aplicación/xogo que apareceu hai anos na que había que debuxar a pulso unha circunferencia co rato. Cando un remataba, a aplicación dicíalle como de boa era a tentativa. Compartín o xogo e o meu debuxo nesta entrada de hai 8 anos. Confeso que tardei un anaco en lembrar a app que era, pois buscando en google saen varias agora:


Draw a circle

Circular

E, finalmente, a que compartira daquela:

Xa comentara naquela entrada o xeito que tiña o gatiño ese de avaliar como de boa era a circunferencia: mediante a desigualdade isoperimétrica. Draw a circle só proporciona a %, sen indicar en que se basea, pero facendo probas intúo que fai o mesmo que Circle Drawing.
En troques, Circular utiliza varios factores: número de puntos trazados(non sei se aí inflúe máis o rato que o teu pulso), radio da circunferencia, suma de erros, erro/punto e desequilibrio. Este xeito de avaliar presenta unha dificultade obvia: como calcula o centro da circunferencia/radio, para despois calcular o erro en cada punto trazado respecto ao punto ideal? Resumindo, como determinar a "circularidade" dunha (tentativa de) circunferencia?
Todo isto lévame a pensar que quizais, este exemplo ben fermoso non é máis axeitado para unha clase de xeometría elemental. E por iso pensei en rectificar a figura tratada, e ir complicando o asunto:

Comecemos polo máis sinxelo, como de cadrado é un rectángulo calquera? Claro abondo, non si? Que sexa un rectángulo implica que os ángulos xa son os correctos, só hai que centrarse nos lados, e son os dous enfrontados iguais, co cal podemos intuír a resposta máis previsible: canto menor sexa a diferenza entre (en valor absoluto?) entre os dous lados iguais, máis cadrado será o rectángulo. Pero ademais desta resposta simple e efectiva, haberá algunha resposta alternativa? Algo relacionado coa circunferencia circunscrita? E coas diagonais, tanto coa súa lonxitude como co ángulo formado cos lados? Quizais son optimista de máis? 

Máis complicado, máis factores: como determinar como de cadrado é un paralelogramo? Aquí o obstáculo é obvio, por un lado hai que endereitar o lado/achegar a 90º un ángulo(os dous), por outro hai que igualar os lados. Se é demasiado evidente como actuar neste caso, podemos choutar a como determinar como de cadrado é un cuadrilátero? En caso de bloqueo, parar en etapas intermedias do estilo como determinar como de cadrado é un rombo, como de rectángulo é un romboide, etc.

Pasemos á seguinte cuestión:

  • Se chamamos "sumar" dúas figuras planas a pegalas por un lado ou un vértice (aínda que os lados escollidos non sexan iguais), cales das figuras elementais "se reproducen" sumándoas? Por exemplo, dá igual como poñamos dous cadrados (sempre que non os superpoñamos se fosen iguais), a súa suma non vai ser un cadrado. Mentres que dous rectángulos si poden sumar un rectángulo, dous romboides un romboide, etc. Que tipo de figuras elementais son "reproducibles"? Teñen algo en común? Podes atopar algunha figura cóncava reproducible?
A seguinte cuestión asaltoume un día que coloquei unha pota na vitrocerámica sen que compartise centro co fogón:
  • Se temos unha circunferencia que deixa visible un arco dunha curva por embaixo, como podemos saber se ese arco pertence a unha circunferencia tamén? Achega información que coñezamos que a curva completa sexa unha circunferencia? Ou tanto ten, e chega co arco só? Aínda máis: como contestaríamos a pregunta de se 4 puntos soamente están na mesma circunferencia?
Pareidolia minimalista

E agora, preguntas inocentes que non o son en absoluto, pero que sempre quixen compartir por aquí:

  • Se che dan as dimensións de dous rectángulos, como saber se un cabe dentro do outro? Cabe un rectángulo 6x5 nun rectángulo 8x4? É suficiente, por tanto, que o rectángulo que queremos meter no outro teña menor área? Se xogamos con rectángulos grandes pero con altura pequena, veremos que non. Déixovos ligazón a un fermoso artigo do Mathematics Magazine, Rectangles in Rectangles, onde dan condicións necesarias e suficientes. Velaquí o comezo: 
Pinta de sinxelo non ten


De onde saíu este problema? Pois do análogo para o sospeitoso habitual da xeometría plana, o triángulo, do fabuloso One Hundred Problems in Elementary Mathematics(1964), de Hugo Steinhaus:

  • Se che dan as dimensións de dous triángulos, como saber se un cabe dentro do outro?

 Este problema foi resolto en 1993 por K.A.Post nun artigo en Geometriae Dedicata. Cal é a vosa intuición: será máis sinxela a solución para rectángulos ou para triángulos? Que inofensivos se ven agora os cadrados e os círculos, non si?

Do artigo de Post


Como colofón, é ben curioso que soubese destes problemas bidimensionais moito tempo despois de coñecer que un cubo pode pasar por un furado practicado nun cubo do mesmo tamaño. Das tapas rectangulares dos sumidoiros supoño que xa saberedes, non?