22.1.23

Olimpiada Matemática Española 2023, Fase Local

 

    venres 20 de xaneiro tivo lugar a fase local da Olimpiada Matemática Española. Este ano volveu ao formato usual, no que hai 6 problemas distribuídos en dúas sesións, común a moitos concursos tradicionais a nivel internacional. Uns colegas que levaron alumnos a esta fase, que a nivel galego sempre se celebra na Facultade de Matemáticas da USC, compartiron os problemas e a conta galega oficial da olimpiada xa deu permiso para difundilos, de aí esta entrada. Os problemas foron ben fermosos, e algo inusuais na miña opinión:

Sesión matinal

Sesión vespertina


Como vén sendo habitual, o primeiro que me chamou a atención foi a ecuación diofántica do problema 6, que vou proceder a resolver, pero tamén me resultou curioso o problema 5, que lembra a un problema compartido neste blog... hai máis de dez anos!


Nesa entrada o proceso consistía en partir dos primeiros 4 naturais(valería cos primeiros n), e coller dous ao chou , $a$ e $b$, e substituílos por $a+b+ab$, e repetir o proceso dúas veces máis ata quedar cun único número, que inevitablemente tería que ser 119, que cun chisco de vista un recoñecerá como $5!-1$

A que obedece este fenómeno? A que collendo dous números ao chou e cambiándoos polo resultado desa operación aparentemente aleatoria, hai un número relacionado co conxunto inicial dos 4 números que permanece invariante. Sabendo que ao final do proceso chegamos sempre a 119, xa intuímos que o invariante é o número anterior ao produto dos números seguintes aos dados, é dicir, $(1+1)(2+1)(3+1)(4+1)-1$. De feito, un ve a estrutura cando se decata de que $a+b+ab=a+b+ab+1-1=(a+1)(b+1)-1$

Este comentario serve como pista para o 5º problema da olimpíada, se tedes ganas de pensalo(se non tedes ganas, tamén serve).

Imos á ecuación diofántica, logo.

$$2^a+7^b=c^2+4$$

A primeira vista ten aspecto de ser difícil, non só polo feito de que teña 3 incógnitas, senón porque unha delas non aparece nun expoñente(é habitual que se están nun expoñente saibamos moitas propiedades da expresión), e ademais non hai un xeito natural (no pun intended) de factorizar ningún dos dous membros. Por sorte, dos cadrados perfectos tamén sabemos moitas cousas. Cando un xa leva uns anos resolvendo ecuacións destas, xa visualiza estratexias con certa celeridade. Neste caso, imos distinguir 3 casos, en función do expoñente a:

$$a=1$$

A ecuación é simplemente $$7^b=c^2+2$$

E a expresión está a pedir que probemos cun razoamento módulo 7:

$$c^2+2 \equiv \begin{cases}2 \\ 3 \\ 6 \\ 4  \\ \end{cases}(mod7) \\$$

e vemos que nunca equivale a 0 módulo 7. Dito doutro xeito, $-2$ é un non residuo cuadrático módulo 7.

En troques, se $a=2$ a ecuación pasa a ser $$7^b=c^2$$ que obviamente ten infinitas solucións, dadas pola expresión $b=2d, c=7^d$

Finalmente, se $a\ge3$, traballando módulo 8:

$$2^a+7^b  \equiv 7^b \equiv (-1)^b \equiv \begin{cases} -1 \\ 1 \end{cases} (mod8)$$

Mentres que o membro da dereita:

$$c^2+4 \equiv \begin{cases} 4 \\ 5 \\ 0 \end{cases} (mod 8)$$

E vemos que non poden coincidir.

En conclusión, a ecuación ten infinitas solucións co aspecto $(a,b,c)=(2,2d,7^d), d \in \mathbb{N}$

Deixamos ao amable lector que resolva os outros cinco problemas...

6.1.23

XIV

 Este blog cumpre catorce anos e toca a conseguinte revisión anual. Vexamos cales foron as entradas máis lidas das 33 que escribín este ano, e tamén as menos lidas:


  • A máis visitada foi Un erro común en Álxebra elemental, con 315 visitas. Nesa entrada comparto un artigo no que tratan o erro común que sucede ao traducir "x é o dobre de y" por "2x=y" en troques de "x=2y"
  • A 2ª, Unha crítica ao novo curriculum, 268 visitas. Aquí, ademais do obvio, comparo co curriculum portugués, que supostamente foi unha das inspiracións do curriculum español.
  • A 3ª, Divertimento Xeométrico(10), 229 visualizacións. De vez en cando aparece por aquí unha propiedade elemental, evidente e, con sorte, pouco coñecida.
  • A 4ª, De súpeto, 13 anos, con 190 visitas. Non lembro se compartín a anterior entrada de aniversario tanto como para que entre neste top ou se realmente era tan interesante.
Como curiosidade, deste top 5 só ten comentarios a entrada do 13º aniversario.

Imos coas menos vistas:

A media de visitas ás entradas é 136, a desviación case 56 e a mediana, 116.

A gráfica, sen cambios espectaculares respecto ao ano pasado:

Este ano veu marcado principalmente pola chegada da LOMLOE, o que levou a que escribise cinco entradas relacionadas e a que, paralelamente, me bloquease en twitter gran parte dos didacticons que fan gala de seren inclusivos e tolerantes. E todo por facer brincadeiras coas epifanías da xente, criticar os criterios de avaliación da LOMLOE e rir un cacho co postureo das thinking classrooms. Quizais tamén por criticar organizacións como EduCaixa ou a Fundació Bofill, quen sabe.

Aquí seguimos, dando clase en 1º e 2º de ESO e en 2º de BAC. Outro ano.

1.1.23

Outro xeito (máis) de ver o mcd e o mcm

 En cousas bonitas de ver pero que non teñen utilidade para a aula poderíamos meter moitas visualizacións que os profesores poñemos para engaiolar, con alta probabilidade, a outros profesores. En contra do que se adoita ler, a miña impresión é que a hipertrofia de conexións entre distintos conceptos das Matemáticas non adoita calar no alumnado con máis dificultades, que ten tendencia a querer ver as cousas dun único xeito. O debate interesante está en se esa tendencia pode ser invertida ou non; curiosamente nunca vin estudos onde analicen as consecuencias de enfocar o traballo de xeito exclusiva ou maioritariamente relacional con alumnado desas características. 

En calquera caso, había tempo que non estaba un chisco orgulloso de algo que lograra argallar eu só, polo que esta entrada era obrigada. Restrinxín os valores dos naturais m e n ata 16 para que caiba o applet no corpo do blog, podedes facer zoom e recolocar rótulos, coma sempre.



Confeso que aínda que pode que amose este applet algún día na aula, non creo que os alumnos vaian sacar moito proveito.

E case esquezo que a idea dos cadrados unitarios en diagonais non se me ocorreu a min, vina neste debate de Mathematics Educators, onde é habitual atopar debates interesantes:


24.12.22

Unha desigualdade non tan coñecida

 Volvamos sobre unha idea que xa pasou tanxencialmente por este blog:


Coñecemos as medidas de dúas alturas dun triángulo, 2 e 3 cm. Cales son as posibles medidas da terceira altura?


Uns apuntamentos rápidos sobre a construción de triángulos dadas as alturas:

Como o produto de lado por altura correspondente é constante, os lados e as alturas son inversamente proporcionais, en nomenclatura pouco usada en España, 

$$a:b:c=h_A:h_B:h_C$$

Polo que, se construímos un triángulo que teña por lonxitudes dos lados $h_A,h_B, h_C$, as alturas deste novo triángulo van ser inversamente proporcionais a $h_A,h_B, h_C$, e por tanto, directamente proporcionais aos lados do triángulo orixinal, a, b e c. Polo que podemos construír un triángulo semellante ao triángulo de lados a, b e c simplemente debuxando un con lados as alturas do triángulo de lados $h_A,h_B, h_C$. E para construír o triángulo de lados a, b e c, impoñer que estea entre dúas rectas paralelas a distancia a altura que queiramos.


Ou tamén podemos notar que os lados a, b e c son directamente proporcionais ás cantidades $h_B \cdot h_C, h_A \cdot h_C, h_A \cdot h_A$, e facer primeiro un triángulo con estas cantidades, que será semellante ao buscado, etc.

E sempre temos a opción de fedellar nun mar de igualdades e atopar o valor explícito dos lados en función das alturas, claro. Pero bonito, bonito, non é. Déixovos a expresión da altura relativa ao lado a para que busquedes como darlle vós a volta:

$${h_A}^2=\frac{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]}{4a^2}$$

Aínda que é certo que é sinxelo chegar a esta expresión, se sabes por onde tirar.

10.12.22

Máis aritgramas

 Estaba eu argallando un problema métrico cunha idea que xa apareceu algunha vez no blog cando, de súpeto, veume unha estrutura numérica á mente e xa non puiden evitar darlle voltas ata construír uns novos aritgramas. Permitíndome ser ácido por unha vez a conto da lei educativa que tanto choio nos está a dar aos profesores de secundaria, velaquí:


$$LOMLOE=NON^2$$


$$LOMLOE=FUL^2$$


$$LOMLOE=EGO^2$$