17.11.18

Unha actividade recorrente en 1º de ESO


Para practicar e reflexionar sobre a xerarquía de operacións en 1º de ESO adoito propoñer algún exercicio deste estilo:

Coloca parénteses(ou non) para obter o resultado indicado:


$$144-24:8-2= \hspace{1cm}140$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 139$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 20$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 143$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 13$$

É inevitable que algúen proteste porque as operacións son todas iguais, momento no que se explica o que significa o enunciado do exercicio, é dicir, por que ten sentido.

Aínda que en exemplos como o anterior, ao seren tan breves, os alumnos poden resolver o exercicio  por aburrimento, simplemente probando todas as opcións, elaborando un chisco máis a actividade sobe un chanzo a dificultade e o nivel de reflexión necesario para resolvela.

Pois ben, este ano por primeira vez pensei en improvisar unha actividade semellante a partir dos erros que van cometendo os meus alumnos. Por exemplo, ao comentarmos unha operación do libro de texto,
$$28-3 \cdot 2 \cdot 4=$$
ademais do resultado correcto, 4, escoitouse un 200. En troques de apuntar eu a evidente corrección, aproveitei para preguntar á clase que sucedera. Varias alumnas xa o sabían, polo que preguntei aos que non foran tan rápidos onde habería que colocar parénteses para obter 200.

Agora que o penso, non sei como non fixera isto antes, co natural que resulta.

Este exercicio ou algo semellante tamén ten o seu oco na unidade de Números Enteiros, onde resulta máis difícil:

$$-24:3+3= ~~~~~-4$$
$$2 \cdot 7-5-1= ~~~~~10$$
$$+7 \cdot (-5)+3= ~~~~~-14$$
$$-3+3 \cdot (-3)-(+3)= ~~~~~-21$$
$$-3-5-2= ~~~~~+7$$

Aviso: o último ten truco.

Outra actividade, que xa adoito propór na unidade de Números Enteiros, ás veces en 2º de ESO, supón un paso máis. Velaquí:

Coloca os números nos espazos para obter o maior número posible:

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square + \square-\square$$
$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square - \left( \square+\square \right)$$
$$-2,0,+4 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square-\square \right)$$
$$-3,-2,+5 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square+\square \right)$$


P.D.: Non sei se estas actividades serven de algo, avaliar iso no contexto da aula resulta demasiado confuso. Na práctica diaria, o único no que se pode apoiar un profesor é na súa propia intuición, pois a administración non responde da docencia impartida baixo a súa responsabilidade, e as investigacións serias levadas a cabo nas universidades adoitan ter outros obxectivos e motivacións. Por non falar da xerga propia do gremio, que fai esotérica a maioría dos papers para os non iniciados. Pero vaia, estes exercicios son divertidos, que non é pouco no contexto das operacións combinadas.

1.11.18

Aproveitando a marea...

    

En 1º de ESO unha das primeiras unidades didácticas é Divisibilidade, o xeito no que aparece depende de se hai unha unidade de Números Naturais anterior ou se están fundidas nunha soa.
Mirando os estándares de aprendizaxe de 6º de Primaria:

MTB2.4.1. Coñece e aplica os criterios de divisibilidade por 2, 3, 5, 9 e 10.
MTB2.8.8. Calcula todos os divisores de calquera número menor de 100
MTB2.8.9. Calcula o mcm e o mcd

Poderíamos quedar coa impresión de que a unidade vai levar 5 ou 6 sesións. Mais, do mesmo xeito que non todos os meus alumnos van lembrar en 2º o que estamos a traballar agora, no tránsito de 6º a 1º sucede o mesmo. Ademais non estou certo da idoneidade dalgúns contidos do curriculum de Primaria, debido a que talvez excedan a capacidade dos cativos aos 10-11 anos. Como mostra, unha alumna moi boa comentoume ao comezo dos problemas desta unidade(aínda que levamos facendo problemas desde o principio, refírome á fase final da unidade) que en 6º lles ensinaran un "truco" para saber se o problema "era de mcd ou de mcm". Isto non é a usual e ignorante crítica ao profesor  do ano anterior, senón que vén amosar é que, ás veces, aos profesores non nos queda outra opción que adaptarnos ás posibilidades de comprensión dos alumnos no momento educativo no que os collemos.

Hoxe o que quero comentar é unha oportunidade que se presentou no medio dun problema "de MCD". Case todos estaredes ao tanto do que vou amosar, quizais nunca o observastes no transcurso destes contidos.

Facendo un problema do libro de texto:
"Un carpinteiro quere cortar en cadrados iguais unha táboa de 56 cm de largo por 40 cm de alto, de tal xeito que os cadrados teñan a maior lonxitude posible. Canto medirán os cadrados?"

Soa coñecido, non si? Entra dentro do que podemos denominar "puro choio de libro de texto"

Houbo varios alumnos que o resolveron do xeito obvio, unha vez entenden que é esencial que as pezas sexan cadradas para que a medida común de largo e alto sexa un divisor común de 56 e 40: calculando o MCD de 56 e 40, que é 8.

Sorprende que o problema do libro remate só pedindo a medida dos cadrados, porque é tamén interesante calcular cantos cadrados sairán desa táboa. Polo que pedín ao final que calculasen esa cantidade. E atoparon o número do xeito que agardaba: No largo haberá 56:8=7 cadrados(por ringleira), no alto haberá 40:8=5 cadrados(por columna), en total haberá 7·5= 35 cadrados.

O máis interesante vén agora. Comenteilles que había outro xeito de calcular cantos cadrados habería, que seguramente era peor que o que dixera a alumna que explicou o modo anterior, pero que tamén funcionaba. Pensaron un anaco e outra cativa viu o xeito mais trabucou nunha cousa: indicou que podíamos calcular 56·40 para saber o tamaño(área) da táboa, e despois dividir ese número por 8, en troques de 8², velaquí o erro, que rapidamente reparou. O realmente formativo está en ver que hai dous xeitos distintos de resolver o problema, e que, neste caso, veñen cunha propina:

O 1º xeito redúcese ao cálculo: $$\frac{56}{8} \cdot \frac{40}{8}$$
E o 2º xeito a: $$\frac{56 \cdot 40}{8 \cdot 8}$$

Aínda que é un só caso, e moi particular, non é fermoso ver aquí o produto de fraccións?

Nota: en forma de división é máis escuro:

1º xeito: $(56:8) \cdot (40:8)$
2º xeito: $(56 \cdot 40) :(8 \cdot 8)$

De feito, aposto a que ao rematar a ESO non todos os alumnos teñen claro que $(a:b) \cdot (c:d)=(a \cdot c) :(b \cdot d)$

22.10.18

Un fracaso de clase


   

Hoxe comecei a unidade de Probabilidade en 3º de ESO. Os que desen algunha vez na ESO saberán que isto implica cambios na orde habitual das unidades, pois Estatística e Probabilidade é o último bloque e non é raro que nin se chegue a el. Pois ben, esta é a crónica dunha clase que non funcionou. Quen sabe se a idea, non moi orixinal, pode servir a algún compañeiro.

Teño por costume na ESO comezar todas as unidades do xeito máis informal que dou atopado, propoñendo problemas que poidan ser susceptibles dun ataque intuitivo, pero que ao final da unidade teñamos ferramentas para resolver de xeito "canónico". Deste xeito, non é estraño que nas miñas clases propoña un problema de divisibilidade antes de falar de múltiplos e divisores co gallo de introducir o marco no que imos traballar e tamén para contrastar co final da unidade, cando os alumnos teñan aprendido os novos métodos.

Seguindo esta tradición, a miña idea era comezar a unidade de Probabilidade facendo preguntas para facer agromar as intuicións e a linguaxe informal que usan os alumnos neste contexto. Despois dunha pequena introdución sobre a praga das casas de apostas, onde un alumno discutiu o feito de que a ludopatía existise( isto non contribuíu desde logo ao ambiente da clase e tiven que apelar á DSM-V, o que xa me levou tempo e humor), presentei a seguinte imaxe:

Rigorosamente na lingua permitida polo decreto 79/2010


Non é a primeira vez que fago unha actividade semellante, aínda que desta volta lembrei a idea pescudando nos materiais do grupo epiSTEMe da universidade de Cambridge. Se botades unha ollada á lección proposta sobre Probabilidade, veredes que hai un feixe de ideas interesantes, mais pouco susceptibles de levar a unha aula con columnas de dúas mesas, polo que fun realista (ou resigneime a iso, como desexedes) e só pensei en levar este starter. A mecánica é sinxela: os alumnos teñen que facer unha estimación rápida sobre algúns experimentos e suscesos propostos polo profesor. Para non complicar as cousas e non introducir a confusión co feito de que os experimentos non fosen obviamente aleatorios, optei por non coller datos do IGE(nunha xornada de formación hai como 10 anos argumenteille á relatora xusto isto para non utilizar indicadores galegos en probabilidade). E restrinxín os experimentos ao lanzamento de moedas, dados, e á colocación ao chou de xente en ringleira. Máis ou menos, e non sei en que orde, foron:
No lanzamento de dúas moedas, A="saen dúas caras", B="saen resultados iguais nas dúas",C="sae polo menos unha cara"; no lanzamento dun dado, D="sae un 5"(pensando no parchís), E="a cara superior e a inferior suman 7"(tirada dos devanditos materiais); na colocación de tres persoas A, B e C en ringleira, F="A e B van seguidos en calquera orde"

Insistín en que tiñan que estimar onde colocar na escala de máis arriba os sucesos máis ou menos a ollo, imaxinando que se observaban moitas veces eses experimentos. Pois ben, vaiamos aos puntos nos que fracasou o plan:
  • O primeiro, esencial, e imponderable: á maioría non lle interesou a actividade. Isto por si mesmo xa invalidaría todo o demais, con certeza.
  • Para continuar, houbo alumnos que non entenderon a mecánica. Algúns agardaban que eu lles dixese onde colocar as letras.
  • Por outra banda, houbo alumnos que non estimaron, senón que calcularon de modo exacto a probabilidade en varios dos sucesos, polo que esta actividade xa lles quedaba pequena(mixed ability classes, chámanlle no mundo anglosaxón). Con isto certamente non contaba, aproveitei para valorar esa capacidade sobre a marcha.
Tiña pensados máis sucesos e experimentos, mais nin houbo tempo material nin vin a oportunidade axeitada.

Agora que xa fixen terapia, en que lugar do segmento poríades vós o suceso "os alumnos prefiren que lles dea unha clase de definicións/propiedades/exemplos"? 

Por sorte, hoxe tamén tiven unha clase de introdución ao M.C.D. e o m.c.m. en 1º de ESO e unha de introdución ás Ecuacións e Inecuacións en Matemáticas I, onde expliquei a fórmula da solución da ecuación de 2º grao por petición de moitos alumnos e vin certo éxito nas Fórmulas de Cardano-Vieta. Se chego a ter dúas clases consecutivas de 3º de ESO non sei que sería de min.

18.10.18

Outro problema estupendo para 1º de ESO


    
Este ano, ao deixar a xefatura de estudos, estou a dar outra vez 1º de ESO(e 3º e 1º de bacharelato-este vai ser un ano entretido). Unha das vantaxes que ten dar ese curso, ademais das obvias, é que podes propoñer problemas e cuestións voluntarias, que seguro que vas ter resposta de moitos alumnos. Só é necesario usar un anaco dunha clase e ter creatividade e tempo para inventar problemas ou, como é o meu caso, ter boas referencias na rede. E unha das mellores é a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, da que xa teño tirado problemas a esgalla neste blog.

O outro día propuxen este problema da 2ª fase da OBMEP, nivel 1(6º-7º graos), do 15 de setembro:

O sapinho da figura pula de uma pedra para uma pedra viziña, dando voltas em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele vai parar na pedra C.

  1. Partindo da pedra A, em qual pedra o sapinho vai parar após pular 15 vezes no sentido horário?
  2. Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2018 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?
  3. Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual pedra ele vai parar?

Este era o problema orixinal, engadín entre a e b o mesmo exercicio que o a pero con 1000 pulos, podedes imaxinar a razón.

O xenial deste problema reside en que, aínda que domines os rudimentos de números naturais e divisibilidade aprendidos na aula, vas ter que reflexionar antes de resolvelo; e o que é mellor, vas ter que experimentar coas condicións para entender que está a pasar.

E algo que non vaticinara, pero que tamén resultou moi interesante, foi a discusión dunha solución que non era correcta. O dito, este ano vai ser un bo ano.

12.10.18

Nada cambia no ensino das Matemáticas, non si?


     

Xa sabía da rede de información educativa do Ministerio de Educación, Redined, hai ben tempo. E xa fixera algunha pescuda, cuxos froitos seguramente estean perdidos nalgún cartafol dun disco duro ou pen drive. Mais desta volta, ao utilizar como termos de busca "problemas matemáticos", "resolución de problemas" e variacións semellantes, cheguei a uns documentos que cambiaron as miñas pre-concepcións sobre o ensino en España nos anos 50/60. 
O primeiro documento que atopei foi "Problemas Matemáticos para el curso Preuniversitario (1957-58)", dividido en dous pdfs, cada un con 250 problemas(parte 1, parte 2). Como xa teño comentado(p.ex.), teño certa querenza por estas coleccións, polo que mergullei nos documentos en canto os descarguei. Sendo coñecedor de que a mal chamada Matemática Moderna chegara aos planos de estudos con data posterior a 1957, xa contaba con que os problemas fosen ben diferentes aos actuais de 2º de bacharelato(ou aos que aprendín eu en COU), mais non agardaba o que atopei, que podemos clasificar de xeito superficial polos temas tratados:

  • Problemas aritméticos (anticuados) de cartos, fontes, móbiles, aleacións, mesturas, reloxos
  • Divisibilidade elemental
  • Exercicios sobre o sistema de numeración decimal
  • Polinomios, fraccións alxébricas e ecuacións polinómicas, Cardano-Vieta
  • Ecuacións e sistemas
  • Progresións
  • Límites
  • Capitais, intereses, réditos, etc.
  • Binomio de Newton
  • Logaritmos
  • Problemas xeométricos planos, métricos e de construción
  • Problemas xeométricos sólidos, incluíndo cálculo de volumes e áreas de revolución
  • Problemas de optimización sen contexto ou con contexto xeométrico
  • Números complexos
  • Estudo de curvas correspondentes ás gráficas de funcións reais
  • Cálculo de derivadas
  • Reconto combinatorio e probabilidade asociada
  • Resolución de triángulos
  • Problemas de latitude e lonxitude, problemas métricos na superficie da Terra
  • Demostracións por indución
  • Discusión de sistemas lineares con 3 ecuacións e 3 incógnitas(dous ou tres exercicios)
  • Ecuacións trigonométricas
  • Sistemas de inecuacións(nalgún caso xunto con ecuacións)
Non creo que deixase fóra moitos temas, e aínda que fose así, esta listaxe xa deixa ben clara unha idea: o PREU viña sendo un tour de force pola cantidade de contidos tratados, mais case todos de escasa sofisticación matemática. Ata o punto de que hai exercicios que se facían cando estudei eu en 7º ou 8º de EXB. O que si é certo, e xa o osmaba, é a profundidade coa que se estudaba a xeometría sintética, tanto plana como espacial, mentres que a xeometría analítica estaba en estadios inferiores ao estudo propio do BUP. Por outra banda, vin moitos problemas que mesturaban de xeito case aleatorio contidos de distinta natureza. Un exemplo témolo no ítem 352:

Hacer la multiplicación de los números complejos $(A+Bi) \times (C+Di)$, siendo:
$A=Log_{ \sqrt{2} \ }{0,5}$
B= La característica del logaritmo decimal de 0,0732
C=La fracción generatriz del número decimal periódico mixto 1,1666...
D=La probabilidad de que al lanzar tres monedas simultáneamente resulten las tres caras

Isto, na miña humilde opinión, non é un problema senón un exercicio enleado, principalmente porque en canto un le o enunciado, é obvio que hai que facer(saiba ou non facelo). Só vexo axeitado utilizar este tipo de exercicio como repaso despois de traballar varios contidos, porque como ferramenta de avaliación pode dar resultados confusos: se estamos a avaliar o produto de complexos en forma cartesiana, podemos quedar coas ganas se o alumno non sabe facer un dos cálculos previos.

A sensación que deixan os 500 problemas anteriores vese corroborada noutro documento que atopei, "Prácticas de Matemáticas", aparecido na Revista de Educación en 1955 e cuxo autor foi Francisco Bernardo Cancho. O documento vai dirixido tamén ao traballo no PREU, e propón exemplos de tarefas a realizar. Observade:

Un prado, de forma triangular, se divide en dos partes por la paralela a uno de sus lados, que descompone a la altura relativa al mismo en la razón $\frac{2}{3}$. Si cinco hombres  han segado en ocho días la hierba de la parte menor, ¿cuántos días tardarán catorce hombres en segar la parte mayor, si siete de éstos siegan como cinco de aquéllos?

Como curiosidade, a solución do autor utiliza unha regra de tres composta con catro magnitudes...

Máis adiante propón un exercicio completamente técnico pero que chama a atención polo inusual(cun feixe de erratas no enunciado):

En la expresión
$\left(x^4-x^3+x^2-x+1-\frac{2}{x+1} \right) \cdot \left(x^4+x^3+x^2+x+1+\frac{2}{x-1} \right)$
se pueden suprimir las fracciones sin que se altere el producto. Explíquese esta particularidad.

Se alguén ten interese na lei que deu lugar á creación do curso Preuniversitario, velaquí á ligazón ao BOE. Déixovos o irrisorio (para os estándares actuais) artigo 1:

"La Enseñanza Media es el grado de la educación que tiene por finalidad esencial la formación humana de los jóvenes y la preparación de los naturalmente capaces para el acceso a los estudios superiores"