17.1.22

Números que non son múltiplos de 3

 Un dos blogs máis activos que segue a haber no mundo das Matemáticas é o de John Cook, The Endeavour. Hai anos que o teño no meu lector de feeds, mais a miúdo paso por riba das publicacións sen prestar a atención debida. Hoxe levaba días sen abrir o feedly e dei coa entrada Beatty's Theorem, e non creo que me trabuque se digo que moitos coñecemos este resultado cando o atopamos no formidable Ingenuity in Mathematics, de Ross Honsberger, na súa tradución ao castelán na colección La Tortuga de Aquiles, Ingenio en Matemáticas. O teorema afirma que se colles dous números irracionais a e b tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$, entón as dúas sucesións $\lfloor{na}\rfloor$ e $\lfloor{nb}\rfloor$ conteñen todos os números naturais sen que haxa repeticións, é dicir, cada número natural está nunha desas dúas sucesións é só nunha. Este tipo de resultados non adoitan aparecer na carreira de Matemáticas por peculiares e afastados do canon que hai que tratar. Ata o punto de que, se teño que remexer na memoria, só lembro unha proposición non elemental(nin conxuntista nin de medida) na que interviñese o feito de que un número fose irracional, e sucedeu en Sistemas Diferenciais e Grupos de Lie: se colles unha liña recta que forma un ángulo α coa horizontal e segues a súa traxectoria pola superficie dun toro ($\approx \mathbb{R}^2/ \mathbb{Z}^2$), o camiño é homeomorfo a unha circunferencia se α é racional e a $\mathbb{R}$ se α é irracional(neste caso, o camiño é denso no toro). Neste enunciado abusei da linguaxe un chisco, nestas imaxes albiscaredes mellor de que fala:


  


Exemplo de curva homeomorfa á circunferencia 


Pero no capítulo do libro o que me resultara máis interesante non era este teorema, senón o que viña despois, que daba título ao capítulo: o concepto de sucesións complementarias, que aparece no Teorema de Beatty. Como podedes adiviñar, dúas sucesións son complementarias se son disxuntas e cobren todos os números naturais.

No libro, unha vez introducido o concepto, utilízao para traballar polo miúdo un caso ben intrigante: cal é o termo xeral da sucesión dos números naturais que non son cadrados perfectos? Os cadrados son ben coñecidos, o n-ésimo cadrado é simplemente n², pero quen é o n-ésimo non cadrado? Por exemplo, o sétimo non cadrado é 10,  o vixésimo non cadrado é 24, o milésimo é 1032, etc.

Non parece que a expresión dese termo xeral vaia ser completamente elemental, non si? É un exercicio complicado, dígovolo eu que a aprendín lendo o libro de Honsberger(se alguén ten interese, que contacte comigo).

Por iso pensei nun exemplo máis acaído para este blog, que pode ser resolto sen tanta maquinaria.

Cal é o termo xeral para a sucesión dos números que non son múltiplos de 3?

É dicir, cal é o n-ésimo número non múltiplo de 3?

Póñovos os primeiros termos para que teñades unha epifanía: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, ...

Será a xeneralización a calquera natural en troques do 3 máis complicada? É dicir, cal é o n-ésimo número que non é, poñamos, múltiplo de 17?

O n-ésimo número que non é triangular?

Etc.

Se formades parte do fandom deste blog, talvez lembraredes unha adiviña que propuxen unha vez e que nunca obtivo resposta, que ten certo sabor similar...


6.1.22

De súpeto, 13 anos

 

Da wikipedia, Lucky Number
Tentade descifrar que sucede
no gif antes de ir á ligazón
 

Un ano máis no blog, e van 13. Ano no que a curva de entradas cambiou de tendencia: levaba 3 anos consecutivos publicando 24 entradas, que é o mínimo do blog e este aló foron 32. Tendo en conta a miña vida no mundo real xa é un número considerable, ao que non podo aspirar de xeito consistente.

Por se alguén ten curiosidade por coñecer a difusión dun blog como este, cun público obxectivo dun nicho moi concreto e relativamente reducido, velaquí:

A entrada máis visitada do ano foi O último flame co ensino das Matemáticas, única entrada de agosto, escrita co gallo da filtración do borrador do curriculum de Primaria. E leva 237 visitas.

Séguea a entrada Unha adiviña de visualización, de outubro, que tiña unhas gráficas ben bonitas(que obviamente non fixen eu). Leva 212 visitas. 

A terceira entrada máis visitada foi Exercicios tan malos que son bos, de marzo, que leva 209 visitas. Facendo introspección, coido que esta entrada plasma perfectamente na escrita o que adoito facer oralmente.

Este top 3 cumpre ademais que son as únicas entradas que pasaron de 200 visualizacións. Outras 13 entradas pasan das 100 visualizacións e as restantes 16 teñen menos de 100, ata un mínimo absoluto de 68, sorprendentemente a primeira entrada do 2021, Dúas diseccións, que por certo creo que é ben bonita, demasiado difícil, talvez.

Agás esa anomalía na entrada, un podería intuír que as entradas máis vellas terán máis visitas. E certo é que algo inflúe, pero non demasiado. Observade a gráfica de visualizacións das entradas ordenadas cronoloxicamente:

    

A media de visualizacións das entradas é 112, a mediana, 100, cunha desviación típica de case 44. Pero vaia, neste caso a gráfica xa dá rapidamente a intuición de como funciona a difusión do blog, non necesitamos a precisión numérica.

Un podería pensar que poucas visitas son para o choio que dá(aínda que habería que concretar esta idea), é inevitable caer algunha vez nisto tendo en conta que cousas teñen repercusión por aí fóra. En particular, a divulgación en castelán de ideas da época de Carlomagno como se fosen novidades xa me cheira hai tempo. Pero imaxino que o problema é que non pertenzo ao target obxectivo de tal divulgación.

Porén, visto en positivo, que unha entrada dun calquera coma min chegue a ter máis de 200 visitas, sinceramente ten o seu aquel.

Moitas grazas a tod@s.

3.1.22

Catro novas diseccións

 Hai tempo que sei das ferramentas que inclúe Mathigon, en particular o Polypad, pero xuraría que nin as trouxen por acó, nin pola conta de twitter(facendo unha pescuda, o único lugar onde creo que as mencionei foi no grupo de profesores de Matemáticas de Facebook, poño o link por se alguén ten curiosidade).

E había tempo que tiña interese por saber se os exercicios típicos de diseccións, un tema clásico das Matemáticas recreativas, eran tan complicados de crear. Oufano como son habitualmente, aló fun coas miñas expectativas ben altas. E como poderedes intuír, xa non penso o mesmo. Aínda así, salvei 4 cousiñas que dei feito, supoño que serán máis sinxelas cá media das diseccións planas que xa hai pola etiqueta disección deste blog(que teño que actualizar para que inclúa as entradas máis vellas). A ver se vos gustan.

Na primeira tedes que dividir a figura en 3 figuras congruentes utilizando as liñas da cuadrícula:


   

Nesta, o mesmo pero con 4 figuras congruentes:

   


Esta nova figura tedes que dividila en 4 figuras congruentes:


   

E para rematar, este rectángulo ao que lle descoloquei un cadrado ten que dividirse en 7 figuras distintas. Como pista críptica, sería imposible facer un rectángulo 4x7 con esas 7 figuras, e o culpable é un humilde T de cor verde:

    
Seguro que se colledes a ferramenta do Polypad dades feito cousas máis bonitas que estas. Pero claro, hai que ser teimudo.


24.12.21

Unha marabilla da Teoría de Números

    Non sei se nestes anos cheguei a comentar nalgunha ocasión que, despois de aprobar a oposición, no meu ano de prácticas, comecei o programa de doutoramento de Matemáticas(Álxebra, Análise, Xeometría e Topoloxía). Como o seu nome insinúa, este programa é tan xeral dentro das Matemáticas Puras que no curso de docencia hai que escoller entre materias dos 3 departamentos clásicos, o que fai necesario coller materias que un xa non cursaría se puider. Pois eu, que tiña interese especial na Teoría de Números, acabei cursando tamén Xeometría Alxébrica(un bo complemento) pero tamén Álxebra Computacional(:/) e unha de Xeometría e Topoloxía da que nin lembro o nome xa. Ironicamente, tiven que coller menos materias non desexadas das estipuladas porque alguén trabucara o número de créditos de Teoría de Números.

Que nin rematase o período de docencia do 1º curso é outra historia, só fixen este introito para amosar algo que non sei se quedou claro nestes anos de blog: a miña disciplina favorita dentro das Matemáticas Puras é a Teoría de Números. E dentro da Teoría de Números, as Ecuacións Diofánticas probablemente sexa, sempre na miña opinión, a máis fermosa das sub-divisións.

Coido que só falei explicitamente desta materia na entrada As ecuacións diofánticas, mais levando case 775 entradas en 13 anos menos dúas semanas non estou en condicións de garantilo. E xa tiña ganas hai tempo de compartir unha demostración fermosísima dun feito ben coñecido. Seguídeme se aínda estades por acó.

O teorema di o seguinte:

Todo número primo da forma p=4k+1 é suma de dous cadrados, i.e., pode escribirse como $p=x^2+y^2$ para certos $x,y \in \mathbb{N}$

Ademais a expresión como suma de 2 cadrados é única, pero esa é a parte inmediata, deixámola para o amable lector.

O problema de expresar un número natural como suma de dous cadrados apareceu tan cedo como na Aritmética de Diofanto, aínda que implicitamente no libro II, onde si aparece o problema de expresar un cadrado como suma de dous cadrados(II.8) ou o de atopar outro xeito de expresar como suma de dous cadrados un número que se sabe que é expresable(II.9). A páxina da Aritmética de Diofanto onde aparecen estas dúas cuestións pasou á historia debido a que na marxe da versión de Bachet escribiu a anotación máis famosa da historia das Matemáticas.

Como sucede en varias ocasións, Fermat enunciou sen demostración o teorema e houbo que esperar a Euler para atopar a primeira demostración(en De numeris, qui sunt aggregata duorum quadratorum). As demostracións que vou compartir hoxe son máis modernas, comezando por unha que utiliza congruencias(que como é ben sabido, foron introducidas por Gauss no s.XIX). Na miña opinión é unha fermosura elemental:

En primeiro lugar, un primo da forma 4k+1 cumpre que -1 é un residuo cuadrático módulo p*, é dicir, $\exists s / s^2 \equiv -1 (modp)$. Consideremos os enteiros $sx-y$ onde $0 \leq x,y<\sqrt{p}$. Hai $\lfloor{\sqrt{p}+1}$ eleccións para cada un dos números x e y, e como $\left( \lfloor{\sqrt{p}}+1\right)^2>\left(\sqrt{p} \right)^2=p$, como mínimo dous dos valores de $sx-y$ teñen que ser congruentes módulo p, digamos:

$$sx_1-y_1 \equiv s x_2-y_2(mod p)$$

Sexan $x=x_1-x_2$ e $y=y_1-y_2$, entón x e y son non nulos porque os pares $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ son distintos.

Entón, $sx\equiv y(mod p)$ e por tanto $s^2x^2\equiv y^2(mod p)$, é dicir, $-x^2\equiv y^2(mod p)$

Deducimos que $x^2+y^2$ é múltiplo de p, e como $0<x^2+y^2<2\left(\sqrt{p} \right)^2=2p$, concluímos que $x^2+y^2=p$ q.e.d.

*Como haberá algún lector non familiarizado cos residuos cuadráticos, ao final da entrada amoso unha demostración.

Hai dúas demostracións semellantes que utilizan converxentes de fraccións continuas, unha delas ademais no contexto da Ecuación de Pell, e e que parte tamén da condición do feito de que -1 sexa un residuo cuadrático módulo p. Non a inclúo aquí porque habería que falar algo de fraccións continuas previamente. Quizais para outra entrada.

Pero si vou compartir a demostración que utiliza os enteiros de Gauss, que parte tamén do mesmo feito:

Como -1 é un residuo cuadrático de p, $\exists x \in \mathbb{Z} /x^2 \equiv -1(modp)$, de onde $p | x^2+1$ e entón $p |(x-i)(x+i)$. Se p fose un primo gaussiano, tería que suceder que $p | x-i$ ou $p | x+i$, como isto non é certo(p non é divisor dos coeficientes de i nos dous casos), p non pode ser un primo gaussiano. De tal xeito que existen enteiros gaussianos $\alpha$ e $\beta$, non unidades, tales que $p=\alpha \beta$. Como $N(p)=p^2=N(\alpha) N(\beta)$ e nin $N(\alpha$ nin $N(\beta)$ son iguais a 1, temos que $N(\alpha)=N(\beta)=p$, polo que, se $\alpha=u+iv$, entón $p=u^2+v^2$,q.e.d.

Vexamos para rematar que efectivamente -1 é un residuo cuadrático de calquera primo da forma 4k+1.

Coñecedes o Teorema de Wilson? Non? Pois se p é un número primo, entón:

$$(p-1)! \equiv -1(mod p)$$

(En realidade é que sexa primo é ademais necesario, pero como non se usa ese sentido do teorema, non o vou amosar)

A demostración é ben sinxela, se p é un primo impar(para o 2 é evidente):

Como $\mathbb{Z}_p$ é un corpo co produto, todo elemento non nulo ten inverso multiplicativo, e este inverso é ademais único. Aínda máis: supoñamos que un elemento a é inverso de si mesmo, é dicir, $a^2 \equiv 1(mod p)$, entón $p | (a^2-1)=(a+1)(a-1)$, polo que $p|a+1$ ou $p|a-1$. En conclusión, só $p-1$ e $1$ son inversos de si mesmos. De tal xeito que no produto $$(p-1)(p-2)(p-3) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1$$

todos os números do medio están emparellados entre eles, cancelando todos os produtos, e só quedan sós p-1 e 1, que multiplicados obtemos -1,q.e.d.

Pois agora collamos $m=\frac{p-1}{2}$, e escribamos o factorial deste xeito:

$$(p-1)!=(p-1)(p-2) \dots (p-m) \cdot m \dots 3 \cdot 2 \cdot 1= $$

Agrupando por opostos, 

$$1 \cdot (p-1) \cdot 2 \cdot(p-2) \dots m \cdot (p-m)\equiv 1 \cdot(-1)\cdot 2 \cdot (-2) \dots m \cdot (-m) \equiv -1 (mod p)$$

Que escrito de xeito compacto, 

$$\prod \limits_{k=1}^m (-1)^m k^2 \equiv -1(mod p)$$

ou o que é o mesmo

$$\prod \limits_{k=1}^m  k^2 \equiv (-1)^{m+1}(mod p)$$

ou ben

$$\left( m!\right)^2 \equiv (-1)^{m+1}(mod p)$$

Para rematar, se o primo p é da forma 4k+1, m+1 é impar(=2k+1), e por tanto, 

$$\left( m!\right)^2 \equiv -1(mod p)$$

Como estabamos a buscar desde hai un bo anaco.



11.12.21

Problems for the Million

 

O triángulo ABC é isóscele e P está na base.
Vedes algo?

Xa teño comentado en varias entradas que na época na que tiña que preparar as oposicións para acceder á docencia, hai case 20 anos, eu basicamente estaba dedicado a resolver os problemas elementais que daba atopado pola rede. Como sempre comento, o pragmatismo non é unha das miñas virtudes, aínda que esta situación tivo un xiro de guión interesante: na oposición que aprobei, caeron dous problemas de olimpíadas matemáticas. Problemas que non fixera antes, pero é de supoñer que o meu non-adestramento tivo que axudar.

Desa época gardo dous arquivos de problemas resoltos, supostamente un con problemas sinxelos e outro con problemas menos sinxelos, aínda que esa clasificación que fixera agora resulta case arbitraria. (agarrádevos: os sinxelos ocupan 200 folios e os menos sinxelos, 340) Case nunca reviso eses arquivos, hoxe ao rematar unha tarefa deume por mirar, e pensei en traer uns cantos problemas vellos para que as miñas hordas de lectores poidan divertirse como fixen eu naquel momento.

Sen un criterio claro, velaquí:

  • Canadá 1985: Un triángulo ten lados 6, 8 e 10. Amosar que existe unha única recta que biseque tanto a área como o perímetro do triángulo.
  • Australia 1988: Se o natural n ten k uns na súa representación binaria, entón o número $\frac{n!}{2^{n-k}}$ é un natural impar.
  • Wisconsin 2006: Sexa S={2,3,22,23,32,33,222,...} o conxunto de naturais cuxas cifras son unicamente 2 e 3. Amosar que non hai 3 termos distintos en S que estean en progresión aritmética.
  • Tau Beta Pi, Spring 2000: Unha urna contén 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis. Extraemos bólas ao chou, unha a unha, ata que quitarmos todas as bólas azuis da urna. Cal é o valor esperado de bólas verdes na urna nese momento?
  • Mathematical Reflections J123: Resolver en números primos a ecuación $x^y+y^x=z$
  • Canadá 1982: Amosar que o número de permutacións de 1,2,..., n sen puntos fixos diferénciase nunha unidade do número de permutacións con exactamente un punto fixo.
  • Eire 2002: Definamos a sucesión $a_n$ mediante $a_1=a_2=a_3=1$ e $a_{n+3}=\frac{a_{n+2} a_{n+1}+2}{a_n}$. Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.

E agora algúns deses problemas que caberían ao final dun boletín do instituto:

  • Michigan Autumn 1996: O coche 1 percorre 27 millas a 43 mph e logo 27 millas a 56 mph. O coche 2 circula 27 minutos a 43 mph e logo 27 minutos a 56 mph. Cal dos dous coches ten maior velocidade media?
  • Argentina Intercolegial, 2006: Nun parque só hai gatos de dúas cores: brancos e negros. Os gatos machos representan o 55% do total de gatos do parque. A proporción entre machos brancos e machos negros é igual á proporción entre gatos brancos e gatos negros. Achar a proporción entre machos brancos e femias brancas.
  • Memorial's Local Undergraduate Competition Winter 2001: Amosar que $\frac{\sqrt{y^2+1}+y+x}{x \sqrt{y^2+1}-xy+1}$ é independente de x, supoñendo que o denominador é non nulo.
  • Croacia 1999: Partimos da terna de números $(a_1,a_2,a_3)=(3,4,12)$. Levamos a cabo o seguinte proceso un número finito de veces: escollemos dous números $x, y$ da terna e substituímolos por $0,6x-0,8y$ e $0,8x+0,6y$. É posible obter a terna $(2,8,10)$(onde podemos permutar os elementos)? 
  • Kömal B 4092: Atopar naturais a, b, c e d tales que o máximo común divisor de cada parella é maior que 1 pero o máximo común divisor de cada terna é 1. É dicir, (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)>1 e (a,b,c)=(a,b,d)=(a,c,d)=(b,c,d)=1
  • Niels Henrik Abel 1994-95: Se $x,y \in \mathbb{R}$ tales que $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$, entón $x+y$=0
  • Problemas de práctica para a Olimpíada Española, 80: As parábolas $y=cx^2+d$ e $x=ay^2+b$, con $c,a>0$ e $b,d<0$ córtanse en 4 puntos. Amosar que estes 4 puntos están nunha mesma circunferencia.
  • Canadá 1969: Determinar cal dos dous números, $\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$ e $\sqrt{c}-\sqrt{c-1}$ é maior para calquera $c \geq 1$

Intúo que xa tedes problemas abondo desta xeira.