28.3.20

Uns puzzles para pensar e/ou facer



Xadenfreude: Dise do sentimento que teñen na administración cando fan que un profesor avalíe aos seus alumnos despois de 15 días de confinamento.

Consellería de Educación, Greguerías, III-27




Para axudar a que non se atrofien as neuronas das lexións de lectores deste blog, xa toca compartir uns crebacabezas. Isto vai facer que o blog lembre por unha vez ao que era orixinalmente, aló polo 2009. Sen máis dilación, velaquí os puzzles:



Imaxinade que tedes un vaso coa forma dun cubo cun furado circular na cara superior. Se o vaso non está graduado, como faríades para enchelo exactamente ata que o líquido ocupase un terzo do volume do vaso?

Que facíamos os profesores antes da existencia do Geogebra 3D?

Coas pezas seguintes tedes que construír un símbolo +:

O que parece coincidir, coincide

Con 3 cortes rectos e sen recolocar as pezas tralos cortes, un cubo pode dividirse como moito en 8 pezas:

Aquí ademais as pezas son iguais, aínda que ninguén o pedía

Cal é o máximo número de pezas nas que podemos dividir o cubo con 4 cortes rectos, se non recolocamos as pezas que van resultando?


Cando eliminamos un cuarto dun cadrado, se a peza eliminada ten á súa vez forma cadrada, dividir en 4 anacos iguais a figura resultante probablemente sexa un dos crebacabezas máis coñecidos. Póñovos a figura tamén por se non o coñecedes.

Pero, se o cuarto que eliminamos ten a forma dun triángulo, como podemos dividir a figura resultante en 4 cachos iguais?


Xuraría que o primeiro xa anda por este blog


Xa sabedes, mandade a solución nun ficheiro que pese menos de 1MB á aula virtual antes do luns...

20.3.20

Confinamento


Hai unha vella brincadeira sobre militares que, algo modificada, vén dicir:


O capitán encomenda a un tenente, que ten baixo o seu mando a un sarxento e catro soldados, a misión seguinte:

"Tenente, ten que erguer perpendicularmente nesta chaira un mastro de 10 metros de altura que estea suxeito desde o extremo superior ao chan por dous cabos que miden, respectivamente, 5 e 8 metros de lonxitude."

O tenente, moi espelido el, acata as ordes e acomete a misión do único xeito posible:

"Sarxento, ten que erguer perpendicularmente..."

(Tiña a figura desta entrada como alternativa, mais a imposibilidade xa me pareceu demasiado enleada)

Pois ben, sirva esta brincadeira como metáfora para a situación extraordinaria actual.


A Xunta, despois dunha semana de confinamento, publica este anuncio na web da Consellería de Educación:


Nese anuncio hai unha ligazón a:


Onde, finalmente, enlazan ao seguinte documento:


Ben, unha vez que na Consellería, con todas estas voltas, demostraron que saben utilizar hipertexto, nese documento atopamos os seguintes puntos:

  • Instrucións en relación co COVID-19

Poñen a ligazón ao DOG, e este extracto:

"Todos os empregados públicos cuxas funcións se realicen dentro de edificios ou instalacións administrativas que permitan o seu desenvolvemento a distancia prestarán o servizo desde o seu domicilio na modalidade de traballo non presencial. Para tales efectos, a Administración facilitará fórmulas de teletraballo ou de traballo a distancia." (o suliñado é meu)


  • Orientacións para o desenvolvemento do ensino non presencial


Neste epígrafe enlazan un artigo do profesor da UGR Fernando Trujillo Sáez na versión en español de The Conversation, Deberes escolares en tiempo de confinamiento:¿son eficaces?, e ademais enumeran as 4 ideas clave do seu artigo, a segunda é especialmente reveladora:

"2)Facer un deseño de tarefas axeitadas: instrucións claras, tarefas que teñan en conta a realidade socioeconómica das familias e con estratexias de andamiaxe (exemplos, guías, titorías telefónicas ou telemáticas) para que poidan levalas a cabo de xeito autónomo. É prioritario que os recursos e as tarefas non xeren desigualdades entre o alumnado " (suliñado meu outra vez)



  • Espazos virtuais con recursos educativos

Enumeran portais de recursos, máis ou menos actualizados(fío de Cibrán comentando un), máis ou menos útiles, máis ou menos en inglés e máis ou menos en (horreur!) Flash.


  • Ferramentas específicas

Neste apartado inclúen unha listaxe de ferramentas, indo desde as ofimáticas tipo Libre Office ata as de creación e edición de vídeo, pasando por webs de museos ou encerados colaborativos.  Mencionan tamén o proxecto Aulas Galegas, que un grupo de docentes galegos acaba de lanzar, intúo que precisamente polo desleixo da administración, para dar respostas ás necesidades das familias e profesorado. E achegan exemplos de hashtags en twitter para estar á última.

  • Teleformación e asesoramento específico para o profesorado

Neste último apartado mencionan PLATEGA, a plataforma de teleformación galega, o CAFI, Centro autonómico de Formación e Innovación, animando a seguilos en redes(non poñen as contas) e achegando un correo de contacto.


Alén do hilarante de que o documento teña 10 páxinas pero o índice chegue á 12, cousa que non detectaron antes de publicalo seguramente porque non as numeraron (contei algunha vez que iso mesmo fixen eu na programación que entreguei na oposición que pasei?) e de que só lles faltou poñer unha ligazón ao teletexto, hai algo que sobrevoa todo o documento que me anoxa particularmente. En primeiro lugar, é de supoñer que o profesorado ten os medios na súa casa para crear recursos, compartilos cos alumnos, e facer seguimento do traballo destes. Seguramente sexa así, os profesores temos internet na casa, ordenador para traballar, etc. pois levamos moitos anos tendo que utilizar ferramentas on line desde casa, xade e correo profesional as principais, e estes medios nunca foron proporcionados pola administración. Tamén se supón que os profesores dominan unhas ferramentas, por exemplo moodle, que ninguén pode dar por supostas; se fose así, teríamos que facer cursos obrigatorios. Xa vos aseguro eu que non é así. Pero sendo un problema, todo isto é secundario agora mesmo. O esencial é:

Quen garante que as familias teñen os recursos nas casas para seguir ensino non presencial?

Quen garante que teñen conexións á rede que permitan utilizar ferramentas, síncronas ou asíncronas, cos profesores?

Se es docente, sabes perfectamente das diferenzas socioeconómicas das familias dos teus alumnos. Fóra da educación hai moitas suposicións, e moita desconfianza, que se plasma en lugares comúns "están en twitch todo o día", "para subir fotos a instagram si que teñen acceso", e demais comentarios cuñaos. Aposto que fan eses comentarios os mesmos que pensan que os cativos poden parar xogos on line.

Se desde a administración fomentan que os docentes sigamos traballando como se estivese garantido o acceso das familias, a xeración de desigualdades nos alumnos(máis ben, o provocar que se agranden as preexistentes) é a súa responsabilidade. 

Repito a pregunta:

Quen garante que as familias teñen os medios axeitados para esta situación?

QUEN?
déanme maiúsculas máis grandes

Esa é tarefa da administración, o contrario é adxudicarlle un problema insoluble ao sarxento.

7.3.20

Unha cuestión sobre funcións


Mirando por riba vellos números do Puzzle Corner do MIT Technology Review, sección mantida por Allan Gotlieb durante máis de 50 anos, reparei nun problema en principio inocente. Observade a primeira das dúas cuestións que propoñía:


  • Atopa unha función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Para deixarvos cavilar, velaquí unha pequena digresión:
A condición que aparece é o que se denomina unha ecuación funcional, pois é unha condición que se impón sobre unha función incógnita. É un contido habitual nas olimpíadas matemáticas de instituto e e universidade, mais no ensino regrado non se traballa. Si que aparece nos estudos universitarios, polo menos na forma de ecuacións diferenciais, que efectivamente piden atopar unha función que cumpra unha condición, mais daquela a condición xa incorpora a variación da función(a derivada, vaia). No grao tamén aparecen algunhas ecuacións integrais no contexto da Análise Funcional, e se tiveches a sorte de seguir un curso de Teoría Analítica de Números, tamén nas ecuacións que cumpren as funcións Gamma, Zeta de Riemann, etc. Despois aparecerá, se estudas as oposicións de secundaria, no contexto das funcións elementais, que quedan determinadas por ecuacións funcionais ben simples, como $f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ou $f(x \cdot y)=f(x)+f(y)$, ás veces con certas restricións adicionais de regularidade.

Volvendo ao problema, está claro por que pensei de entrada que era un problema sinxelo, non si? A propia función identidade, $f(x)=x$, cumpre a condición, non hai que buscar máis alá. Outro exemplo? Pois a función $f(x)=-x$ tamén serve.
Sodes quen de atopar outra función que cumpra a condición? Deixádea nos comentarios se vos presta.

Pero este problema tiña outra parte, igual de inocente en apariencia, mais con sorpresa oculta:


  • Atopa unha función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=-x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Tan semellante, tan diferente.

En que pensei instantaneamente ao reparar nesta cuestión?

Nos números complexos.

Se reescribimos con outra notación para a composición reiterada a ecuación funcional, $f^2(x)=-x$, non fai pensar na raíz cadrada? Aínda mellor se escribimos, utilizando o símbolo habitual para a función identidade:
$$f^2=-id$$
Non albiscades unha raíz cadrada ben coñecida? Pois esta feble conexión dá unha pista.

Pensade nun número complexo $a+bi$, tendo en conta que multiplicar por $i^2=-1$ fai que obteñamos o número complexo $-a-bi$, e cada produto por $i$ xira 90º arredor da orixe o afixo do número, é dicir:
$$a+bi \to -b+ai \to -a-bi$$

Complexos ou vectores? Preguntádelle a xkcd

Problema? A súa restrición aos números reais non serve, pois pasa da parte real á imaxinaria, só na composición volve á parte real. Porén a idea da rotación si que funciona, aínda que é necesario adaptala ao contexto das funcións reais de variable real.
Analizando a ecuación funcional $f(f(x))=-x$ polo miúdo, vemos que se $f(a)=b$, entón:
$$f(b)=f(f(a))=-a \to f(-a)=f(f(b))=-b \to f(-b)=f(f(-a))=a$$
De onde deducimos que se o punto $(a,b)$ está na gráfica da función buscada f, tamén van estar os puntos $(b,-a), (-a,-b), (-b,a)$, é dicir, este cadrado pertence á gráfica:

Non movestes a cabeza para ver o cadrado do xeito habitual?


A obxección inmediata é que esta imaxe está ben preto de contradicir a definición de función, se completamos a imaxe ata conseguir unha función continua.

E ata aquí podo ler... Déixovos como exercicio debuxar a gráfica dunha función que cumpra esta ecuación funcional. Porque escribir a expresión alxébrica pode que sexa excesivo.

17.2.20

As ecuacións diofánticas

Folclore obrigado

Comecemos polo principio: Que é unha ecuación diofántica?

Resumindo, é unha ecuación polinómica con coeficientes enteiros da que buscamos as solucións en números naturais, enteiros ou racionais, aínda que hai extensións da definición a ecuacións exponencias, por exemplo.

Os profesores de Matemáticas de secundaria adoitan atopar por primeira vez as ecuacións diofánticas cando collen o temario das oposicións e dan coa unidade 15, que laconicamente leva ese título. Aínda que había un recanto agochado no marasmo da materia Ecuacións Alxébricas(na que se introducía a Teoría de Galois) no que timidamente aparecían as ecuacións diofánticas lineais, dependendo do profesor que tiveses. Como agora a nivel galego empeza a haber escaseza de licenciados en Matemáticas, pode suceder que algún profesor de secundaria sexa enxeñeiro en Informática, daquela si terá visto ecuacións diofánticas no contexto da materia Matemática Discreta de 1º de carreira.

E no devandito tema das oposicións, que ecuacións diofánticas aparecen? Tradicionalmente estas:
  • A ecuación diofántica lineal, $ax+by=c$,
  • A ecuación pitagórica, $x^2+y^2=z^2$,
  • Algún dos exemplos clásicos sen solución, como $x^4+y^4=z^2$,
  • Algún exemplo de ecuación sen solución non trivial, demostrado por congruencias e/ou descenso infinito, p.ex. $x^2+y^2=3z^2$,
  • Quizais a Ecuación de Pell,
  • A inevitable mención ao Último Teorema de Fermat, $x^n+y^n=z^n$
Coido que non me trabuco moito se afirmo que non é a unidade preferida de moitos dos meus compañeiros docentes.

A miña historia é ben outra. De feito, este é o tema das Matemáticas que máis me interesa. O que máis.


Eu tiven a sorte de que o meu profesor de COU tivese unha cultura matemática formidable1. Ademais do dominio da parte técnica, que se dá por suposto(era coñecido polos seus erros aritméticos no encerado, cumprindo un dos estereotipos máis comúns), tiña o costume de ir deixando pingas de historia nas clases. Alí puidemos oír falar de Matemáticas na mesa de té de Alicia no país das marabillas cando demos as permutacións no contexto dos determinantes, saíron os nomes de Ramanujan e Hardy cando apareceu o ubicuo número π, anécdotas de Gauss e Euler... E un día, non lembro que estabamos a dar, de súpeto comentou que unha ecuación diofántica era unha ecuación na que só se buscaban as solucións en números enteiros (non comentou se a ecuación tiña que ser polinómica ou non, nin as solucións racionais, etc.). E non sei por que, pero aquel detalle quedou gravado na miña memoria. Recordo tamén que pensei que se nós levabamos anos resolvendo ecuacións en números reais, resolvelas en enteiros, que hai menos, tiña que ser á forza máis sinxelo. Para que vexades o absurdo deste razoamento, collede a ecuación diofántica máis coñecida, a do Último Teorema de Fermat, $x^n+y^n=z^n$, con n>2, non ten solución en números enteiros alén da trivial, na que ou ben x ou ben y é nulo. Pois ben, en números reais a ecuación ten infinitas solucións, $x=\sqrt[n]{z^n-y^n}$, coas restricións evidentes, menos enleadas de ver que de escribir formalmente(se n é par, y ten que ser menor que z, etc.).

Na carreira tamén xurdiu o termo Ecuacións Diofánticas brevemente nunha clase de Álxebra Conmutativa, optativa da especialidade de Matemáticas Puras(como curiosidade, a última materia da que fixen un exame, un 10 de xullo). En concreto, o profesor apuntou ás diferenzas entre as dúas ecuacións seguintes, onde p é un número primo:

$$x^2-y^2=p$$
$$x^2+y^2=p$$


En troques, na materia optativa Teoría Clásica de Números non vin ecuación diofántica ningunha, pois o programa estaba restrinxido á teoría analítica(Función Gamma, Zeta de Riemann, Teorema do Número Primo, Primos en progresións aritméticas-Teorema de Dirichlet). E a outra materia desta subdivisión das Matemáticas que había daquela, Teoría de Números Alxébricos, non a puiden cursar por mor dun cambio de plano de estudos. E nesa si habería espazo para as ecuacións diofánticas, pois no contexto do estudo dos corpos cuadráticos o exemplo estándar é a Ecuación de Pell.

Por último, na materia Topoloxía de Superficies, construída arredor da clasificación das superficies compactas, demostrábase que só podía haber 5 poliedros regulares traducindo o problema xeométrico a un problema combinatorio, e finalmente, a unha ecuación diofántica, en concreto:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}=\frac{1}{c}$$
(a representaba o número de arestas que saen de cada vértice, b o número de lados de cada polígono e c o número de arestas total do poliedro)

Fast forward ao meu tempo de preparación para as oposicións. Demostrando unha vez máis que eu como alumno sempre fun un desastre, dediquei o tempo que tería que estar facendo os meus propios temas de oposición (ou polo menos conseguindo os temas dalgunha editorial) a aprender os temas que me interesaban a min, sen ter en mente a utilidade para a oposición que puidesen ter. E mantiven un arquivo de problemas(dous, en realidade) atopados en olimpíadas, libros de resolución de problemas, etc. que me resultasen interesantes por calquera razón. E alí gardo moreas de ecuacións diofánticas, desde as moi sinxelas ata algunha de nivel superior de olimpíada. Desde logo, nada salientable matematicamente falando. Vouvos amosar uns cantos exemplos de ecuacións diofánticas tiradas deses arquivos, para amosar algunha das técnicas elementais.


Aínda que é factible considerar esta ecuación como cuadrática en a, resulta moito máis sinxelo vela como lineal en b, de tal xeito que:
$$a^2-a=(3a-1) b \rightarrow a(a-1)=(3a-1)b\rightarrow a-1=0  \lor 3a-1 |a  $$ (| é o símbolo estándar para "é divisor de")
1) Se $a-1=0 \rightarrow a=1 \rightarrow b=0$
2) Se $3a-1 |a$, non vedes algo raro? Como que está ao revés ou algo? O que sucede é que os divisores son, en valor absoluto, menores que os múltiplos. A única excepción é o 0, que é múltiplo de calquera enteiro. De aquí que $a=0 \rightarrow b=0$
Finalmente, a ecuación só ten as solucións $(a,b)=(0,0) \land (1,0)$


  • Canadá 1977: Demostrar que non hai $m, n \in \mathbb{N}$ tales que $4m(m+1)=n(n+1)$

Con esta ecuación vou amosar varias estratexias:

    • Como ecuación cuadrática en m.
$$4m^2+4m=n(n+1) \rightarrow 4m^2+4m-n(n+1)=0$$
Agora vén un paso crucial: para que esta ecuación teña solucións enteiras, unha condición necesaria é que o discriminante da ecuación cuadrática sexa o cadrado dun número natural:
$$16+4 \cdot 4 n(n+1)=a^2 \rightarrow 4 | a \rightarrow \exists b \in \mathbb{N} / a=4b \rightarrow$$
$$1+n(n+1)=b^2 \rightarrow 4n^2+4n+4=4b^2=(2b)^2 \rightarrow (2n+1)^2+3=(2b)^2$$
$$(2b+2n+1)(2b-2n-1)=3 \rightarrow  \begin{cases} 2b+2n+1=3 \\ 2b-2n-1=1 \end{cases} \rightarrow n=0, m=0 \lor -1$$
As outras posibilidades, cambiando a factorización do 3, levan a que n e m varían entre 0 e -1.

    • Comparando tamaños dos dous membros.
$$4m(m+1)=n(n+1) \rightarrow 4m^2+4m=n^2+n \rightarrow 4m^2+4m+1=n^2+n+1 \rightarrow$$
$$(2m+1)^2=n^2+n+1$$
Pero se n é natural, $n^2 < n^2+n+1 <(n+1)^2$, o que provoca que $(2m+1)^2$ estea estritamente entre dous cadrados perfectos consecutivos
    • Comparando tamaños de n e 2m.
Só hai 3 opcións, ou ben n > 2m ou ben n < 2m ou ben son iguais. Nos tres casos chegamos rapidamente a absurdos.

  • Alemaña 2006: Atopar as solucións enteiras de $x^3+y^3=4(x^2y+xy^2+1)$
Aquí vou utilizar aquelas factorizacións que estudei en 1º de BUP:
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=4[xy(x+y)+1]$$
Observando o aspecto dos polinomios, fago o cambio $s=x+y, p=xy$ (as funcións simétricas que aparecen en Cardano-Vieta).
$$s(s^2-3p)=4(ps+1) \rightarrow s^3-3sp=4sp+4 \rightarrow s^3=7sp+4$$
De aquí deducimos que s é divisor de 4, comprobando as 6 posibilidades (pois tamén serven as negativas), vemos que ningunha proporciona unha solución enteira.

  • India 1997: Amosar que non existen números naturais m,n, tales que $\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4$
$$m^2+n(n+1)=4nm \rightarrow m^2+n^2-4mn+n=0 \rightarrow (m-2n)^2-4n^2+n^2+n=0 \rightarrow \\ (m-2n)^2=3n^2-n=n(3n-1)$$
Como n e 3n-1 son números coprimos que multiplicados dan un cadrado perfecto, cada un deles ten que ser un cadrado perfecto:
$$\exists a,b \in \mathbb{N} / \begin{cases}n=a^2 \\ 3n-1=b^2 \end{cases}$$
Pero o número 3n-1 non pode ser un cadrado perfecto, pois é unha unidade menos que un múltiplo de 3, e os cadrados só poden deixar resto 0 ou 1 ao dividilos entre 3.

É obvio que a condición de buscar solucións naturais provoca que só haxa un número finito de candidatos, $x \leq 5, y \leq 7, z \leq 11$, excesiva aínda así para aplicar forza bruta. Por sorte hai outros camiños:
$$23x+17y+11z=130 \rightarrow 17(x+y+z)+6(x-z)=130 $$
Como $130 \equiv 11(mód 17)$, temos que $6(x-z) \equiv 11(17) \rightarrow x-z \equiv 33 \equiv -1(mod 17) $, polo que $x-z=-1+17m$
Debido aos rangos nos que se moven x e z, ten que suceder que m=0, i.e., $x=z-1$
Volvendo á ecuación,
$$17(2z+y-1)-6=130 \rightarrow 17(2z+y-1)=136 \rightarrow 2z+y=9  $$
De novo, tendo en conta os rangos nos que se moven as variables, como $x \geq 1 \rightarrow z \geq 2$, e temos as solucións:
$$\begin{cases} z=2, y=5, x=1 \\ z=3, y=3, x=2 \\ z=4, y=1, x=3 \end{cases}$$


Coido que xa é abondo para unha sentada. Outro día quizais poña algunha ecuación exponencial, por exemplo.


1 Non todo o mundo compartía o meu entusiasmo, para sermos honestos

2.2.20

Un problema do AMC


Collede un triángulo equilátero ABC, e un punto T variable na base AB. Trazade unha circunferencia tanxente a AB no punto T que teña radio igual á altura do triángulo ABC. Esa circunferencia corta aos lados CA e CB do triángulo nos puntos M e N, respectivamente. A medida que se move o punto T pola base AB, que lle pasa á medida do arco MN?


Xa vos fago eu o debuxo:

Hai algo aí inestable, non si?

Esta problema foi a cuestión número 36 do AMC 12 de 1964, unha das competicións de instituto das que adoito tirar cuestións técnicas interesantes, que nunca se me ocorrerían a min, como por exemplo:

24) Sexa $y=(x-a)^2+(x-b)^2$, onde a e b son constantes. En que valor de x alcanza y o seu mínimo?


a) $\frac{a+b}{2}$ b) $a+b$c) $\sqrt{ab}$d) $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ e)$\frac{a+b}{2ab}$

Ou

21) Se $log_{b^2} x +log_{x^2}b=1$, entón x é:

a) $\frac{1}{b^2}$ b) $\frac{1}{b}$c) $b^2$d) $b$ e)$\sqrt{b}$


Anímovos a que usedes ítems coma estes nas vosas clases se non o facedes xa. O formato do test provoca que os cativos eviten en moitos casos o razoamento e deduzan, por eliminación ou simple comprobación, cal é a resposta boa(previously, on Matemáticas na Rúa). Pero para iso estamos nós, para poñer o obstáculo axeitado, como fixen eu co problema do arco do comezo.