12.2.24

Non fagas debuxiños sen pensar

 Tomade a entrada de hoxe como un consello deste vello profesor.


O outro día fixen unha letra F en geogebra, sen pensar moito. Non sei por que, debuxeina deitada, e fixen semicircunferencias nos extremos, como podedes ver na figura:

    

E tendo a figura diante, pensei en cal sería o diámetro tal e como quedara. O diámetro, como podedes imaxinar se non o coñecedes xa, é un concepto que xeneraliza o orixinal das circunferencias: é a maior distancia entre dous puntos calesquera dunha figura. Se queredes, $diam(F)=sup \lbrace d(P,Q) / P, Q \in F \rbrace$

Se pensase neste problema hai vinte anos, o que faría sería directamente comezar a debuxar (mal) a situación en folios, de xeito caótico, utilizando varias direccións e sentidos diferentes ao escribir/debuxar. Hoxe, en troques, o primeiro que fago é abrir o geogebra e chantar a figura, e probar relativamente ao chou con ideas que van vindo. Neste caso, parece evidente que o diámetro vai alcanzarse cando os dous puntos estean xusto nos casquetes, mais non hai un candidato obvio a priori para obter o máximo.

   


Déixovos que pensedes o problemiña; confeso que en principio pedín papas cos métodos elementais e parametricei os puntos da imaxe en polares, e elevei ao cadrado a distancia entre eles. Deste xeito atopei unha función de dúas variables, os ángulos que determinan os puntos desde os centros das semicircunferencias. E fixen derivadas parciais, etc. Mecánico e realmente enleado.
Despois atopei outro xeito máis elemental de atopar os dous puntos, por pura intuición, pero sen argumentar de xeito rigoroso que fose a solución do problema. A ver se sodes máis hábiles ca min.

4.2.24

Unha adiviña nos números complexos

 


Viñeta obrigada de xkcd cada vez que aquí se fale de complexos

En xaneiro pasei unhas sesións moi frutíferas todo contento dando complexos en Matemáticas I, proporcionalidade en 2º e ecuacións en Matemáticas A. A ledicia en Matemáticas I proviña de non estar apurado ao non ir demasiado atrasado e só foi algo botada a perder por non ter máis tempo para amosar o feixe de aplicacións dos complexos dentro das propias Matemáticas.

Para resarcirme un chisco, hoxe traio unha pequena adiviña dentro do Plano de Argand. A ver se vos presta tanto como a min:


Se a, b e c son os afixos de tres números complexos, a que coñecida propiedade equivale a anulación deste determinante?

$$\begin{vmatrix} a&b&1\\ b&c&1 \\ c&a&1\end{vmatrix}=0$$ 

10.1.24

Unha pregunta recorrente na aula

 


Resultado de poñer Math Education Wars na IA de Bing.
Atención á dobre regra-transportador

Hoxe nunha aula de 2º de ESO inventei sobre a marcha este contexto sen preocuparme de que non tivese sentido ningún:

Nun instituto o 6% do alumnado ten astigmatismo. Sabendo que son 21 alumnos, atopa o número total de alumnos do centro.

(Mirei logo na casa e atopei que en España a prevalencia vén estando polo 25%)

Este tipo de problemas xa foron traballados en 1º de ESO, o que non quere dicir que todos os alumnos os saiban resolver. Para alguén cun chisco de dominio do contido, simplemente habería que dividir 21 entre 0,6, mais eu non son moi partidario de introducir en 2º os tantos por un para todo o grupo, pois a maioría simplemente aprendería de memoria o procedemento. En calquera caso, estamos comezando as porcentaxes, aínda non saberían manexalos.


Pois ben, se o problema non é nin difícil nin sequera exclusivo deste curso, que veño a comentar hoxe?


Pois algo que supoño que moitos compañeiros, senón a maioría, farán nas súas aulas(a estas alturas xa saberedes que eu non fago nada espectacular), que é, antes de resolver o problema, preguntar:

Se vos deixo cambiar un número dos que aparecen, cal escolleriades e por que outro número o substituiriades? E por que?

As respostas de hoxe foron:

  • Cambiar o 6% por un 5%, porque era máis sinxelo facer "paquetes" de alumnos a partir do 5%
  • Cambiar o 6% por un 50% ou por un 25%, que son porcentaxes sinxelas e podemos recuperar o 100% cunha conta evidente.
  • O anterior deu lugar comicamente a cambiar o 6% polo 100%, aínda tardou en saír.
  • Cambiar os 21 alumnos con astigmatismo por 6 alumnos.
  • Cambiar  6% por 7%, porque así a relación entre a % e o número absoluto era máis evidente(o 1% equivalería a 3 alumnos)
Non botades en falta ningunha escolla obvia? Efectivamente, tiven que ser eu quen apuntase que tamén sería sinxelo resolver o problema se 6 alumnos fosen o 1% do total do alumnado.

Despois desta conversa, na que non participou toda a aula, como é habitual, deixei un anaco para que resolvesen o problema orixinal. Pedín ideas pero eu no encerado amosei o xeito "canónico", o que funciona independentemente de que números estean implicados; chamando x ao número total de alumnos,

$$\frac{6}{100}=\frac{21}{x}\rightarrow x= \frac{100 \cdot 21}{6}=350$$

E finalmente indiquei a relación que hai entre o procedemento para calcular unha porcentaxe dun número e este, no que calculamos o número coñecendo unha porcentaxe. Que esencialmente é a relación que hai entre a multiplicación e a división, outra vez máis.

Esta "estratexia" de pedir que modifiquen datos dun problema ou exercicio para que resulte máis sinxelo ou inmediato é común nas miñas clases. A principal eiva que ten é a indicada previamente, depende da implicación nas conversas de aula. Non pido que o fagan en grupos por optimizar o tempo, como é común nas miñas clases. E sempre ten como obxectivo identificar as relacións entre as compoñentes do problema, e adoita rematar co xeito(ou xeitos) canónico de resolver o problema.


E o amable lector, emprega unha estratexia similar? Feel free to comment, etc.


6.1.24

1111 anos

 

Chega outro 6 de xaneiro e é tempo para outra entrada totalmente prescindible do voso blog de cabeceira. Este ano saíron 34 entradas, unha máis que o ano anterior, dúas máis que o 2022.

As cinco entradas máis vistas foron:

  • Unha avaliación diagnóstico en Xapón, 181 visitas. Esquecín poñerlle a etiqueta "Ensino", á que pertence obviamente. Se non a lestes, o tema é realmente interesante e importante. Outro mundo educativo. Tivo un comentario e a miña resposta.
  • Olimpiada Matemática Española 2023, Fase Local, 140 visitas. Nesta entrada resolvo o último problema, unha ecuación diofántica exponencial, e comento a relación do 5º problema cunha entrada anterior do blog. Ningún comentario.
  • Outra demostración dun feito ben coñecido, 129 visitas. Aquí comparto unha demostración que non coñecía da suma dos ángulos dun triángulo plano... se non fose porque na última parte da entrada desvelo que en realidade o argumento non chega a demostración. Sen comentarios.
  • Aproveitando un problema estándar, 124 visitas. Comento unha sesión real de 1º de ESO, desas que só coñecemos, valla a tautoloxía, os profesores que damos clase neses niveis. Tampouco tivo comentarios.
  •  Uns triángulos nunha grella, 118 visitas. Problema típico de meter triángulos nun rectángulo e preguntar pola área da intersección. Un comentario e a miña resposta.
Só estas cinco entradas tiveron máis de 100 visitas.

As cinco menos vistas foron:
  • (Outra vez) Problemas de Álxebra sen ecuacións, 30 visitas. A entrada explícase co título, foi a última do ano, é previsible que sexa a menos vista.
  • Adiviña lineal, 33 visitas. Esta entrada saíu o 1 de abril, mais non era unha brincadeira. Este tipo de cousas son as que me parecería axeitado pensar na formación posterior ao grao e previa a entrar na aula. Se un ten intuición abondo pode adiviñar estes obstáculos, non é razoable pensar que todos os aspirantes a docente teñan tanta intuición.
  • Outro aritgrama (máis), 36 visitas. Penúltima entrada do ano, dunha serie clásica no blog(16 entradas están na etiqueta). Dous comentarios.
  • Olimpíada Matemática Galega 2023 - Fase Final 3, 37 visitas. Un problema tradicional de números autorreferentes nesta entrada.
  • Olimpíada Matemática Galega 2023 - Fase Final 2, 41 visitas. Un problemiña de divisibilidade e un chisco máis, axeitado para as aulas. 
A media de visitas ás entradas é 80, a desviación 32 e a mediana, 76. Hai unha baixada clara respecto ao ano anterior, no que eses parámetros foron 136, 56 e 116. Porén, o blog globalmente non tivo menos visitas, só sucedeu que as últimas entradas foron menos populares, quizais porque fixen menos bombo en twitter con cada entrada.

Comparto tamén a gráfica de visitas por entrada:

   
Quince anos, eh, vaia barbaridade. Noutros quince é probable que estea xubilado. O blog durará o tempo que me siga prestando escribir 2 ou 3 entradas por mes, como ata agora. Co obstáculo do tempo que me deixe o traballo burocrático que enche a docencia, aínda máis baixo a última lei (por agora) que temos que padecer.

Como remate, unha cousiña destas que é bonito amosar en clase.

$$15^2=225 \rightarrow \left( \frac{1}{15}\right)^2= \frac{1}{225} \rightarrow 0,066 \dots ^2=0,00 44 \dots$$

Vémonos este 2024.


24.12.23

(Outra vez) Problemas de Álxebra sen ecuacións

Velaquí outra quenda nesta xeira de problemas que só me interesan a min (10/2014, 11/20142015, 4/2023)
Explico de que vai o conto, por se alguén aínda non vira ningunha entrada destas: a idea é compartir problemas ou exercicios nos que sexa necesario ou axeitado utilizar álxebra para chegar á solución, e que nesa resolución non sexa esencial (ou polo menos non o máis interesante) resolver unha ecuación. Nalgún dos problemas que foron aparecendo nesta serie si hai que resolver unha ecuación, pero o interesante e difícil viña antes. Un exemplo dentro do curriculum sería o tradicional exercicio no que se dan condicións sobre un número de dúas cifras, e hai que utilizar que $ab_{10}=10a+b$. O máis interesante é traducir o sistema de numeración á linguaxe alxébrica, normalmente a ecuación posterior é rutineira. De feito, nese tipo de problemas, como as variables só poden tomar 10 valores(as cifras), cunha condición do tipo "as cifras suman 7" acabas antes probando que facendo todo o choio alxébrico.

Fedellando en vellas coleccións de problemas que gardo polo disco duro, dei con algún problema máis que require de habilidade alxébrica, ou ben no aspecto da tradución ou ben no da manipulación. O 1º, este do concurso de principiantes de Austria de 2014:

Sexan $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a<b<c<d$. Ordena de xeito crecente os números $x=ab+cd, y=bc+ad, z=ca+bd$ e proba a corrección do teu resultado.

O seguinte problema tíñao gardado hai anos no Read Later de Feedly, fora compartido no blog de Dimates, procedente do Marató de problemes. Xa adiviñades vós de que ano:

A unha proba de aptitude preséntanse 2019 persoas, 995 mozos e 1024 mozas, e exactamente 1234 superan a proba. Atopa o valor de A - B, sendo A o número mozas que superaron a proba e B o número de rapaces que non a superaron.

Nesta cuestión hai algo subxacente que me interesa especialmente: que significado ten ese invariante, A-B? Nunca estivestes no medio dun cálculo alxébrico, atopando un valor, demostrando un resultado, etc., e de súpeto pensastes "Pero que significa isto"?
Ah, e é máis que probable que para resolver con álxebra o problema, vaiades usar unha ecuación, ou, se queredes, unha igualdade. Lembrade que a etiqueta "sen ecuacións" hai que interpretala con laxitude.

E para rematar, un problema dunha familia ben tradicional:

No encerado están escritos os números 2, 3 e 6. Podes reemprazar dous dos números, poñamos a e b, polos números $\frac{3a}{5}+\frac{4b}{5}$ e $\frac{4a}{5}-\frac{3b}{5}$. Amosa que é imposible que apareza un número maior que 7 no encerado.

Ata aquí. Vémonos seguramente en 2024.