28.11.20

Catro problemas

 

Xa vai un tempo desde a última entrada na que compartín uns problemas, polo que veño a resolver esta eiva.


O primeiro, da 2º rolda da edición de 2020 do sempre fabuloso concurso Georg Mohr:

  • Recortamos un cuadrilátero dun papel de agasallo decorado con faixas grises e brancas do mesmo ancho.

Que ninguén se pregunte por que facemos isto...

Se as faixas grises no cuadrilátero teñen en total unha área de 10 cm², determina a área do cuadrilátero.

(Se ben é sinxelo de adiviñar o valor da área, non é tan inmediato argallar un xeito de demostralo)

Cambiando totalmente de asunto, velaquí un problema de números da edición de 2019 da Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa:

  • Prove que para todo n inteiro não nulo, existem infinitas triplas de inteiros não nulos a, b e c que satisfazem as condiçoes:

  1. a+b+c=n
  2. ax²+bx+c=0 tem raízes racionais


Veña, agora un de contar, que apareceu no Alma Math Challenge do 2018:

  • Sendo n un número natural, consideremos o tetraedro regular con vértices O(0,0,0), A(4n,n,n), B(n,4n,n) e C(n,n,4n). Amosar que o número N de puntos (x,y,z) con coordenadas enteiras dentro ou no bordo do tetraedro OABC vén dado pola expresión

$$N=\frac{1}{2} (6n+1)(3n^2+n+2)$$

E para rematar por hoxe, un sinxelo problema xeométrico que apareceu na Olimpíada Finlandesa de 2005, no que a figura é abondo para adiviñar a pregunta:

  • Na figura temos 4 cadrados e os seus puntos medios. Demostrar que os dous segmentos son perpendiculares.

Isto pode mellorarse

Non puiden subtraerme á necesidade de facer isto animado:

Así mellor

8.11.20

Dándolle unha volta a exercicios estándar

Collido do tristemente descontinuo matthen


Hai certas actividades tan habituais nas aulas/libros de texto de Matemáticas que estou convencido de que se pode hackear o sistema de avaliación empregado, chegando a obter cualificacións case excelentes sen entender nin unha das ideas matemáticas subxacentes. Hoxe vou modificar levemente algúns deses exercicios recorrentes para que sexa máis difícil obter a resposta correcta sen algo de reflexión.

Comecemos co consabido exercicio de "mínimo común múltiplo" que se fai en 1º de ESO, que pode ser resolto en canto os alumnos se decaten de que, se algo é repetido no tempo, a probabilidade de que haxa que facer o m.c.m. é case 1. O exercicio tipo pode ser algo así:

As eleccións presidenciais en Francia teñen lugar cada 7 anos, mentres que as lexislativas se celebran cada 4 anos. Se este ano coincidiron as dúas eleccións, cando volverán a coincidir?

A modificación que fixera nun exame da Rúa foi:

As últimas eleccións presidenciais en Francia tiveron lugar en 2006, mentres que as lexislativas se celebraron en 2004. Sabendo que as presidenciais se celebran cada 7 anos e as lexislativas cada 5 anos, cando coincidirán?

A modificación tampouco garante que alguén que resolva o problema entenda con certeza o fundamento do mecanismo, simplemente evita(ou demora) o automatismo.

Se somos especialmente maquiavélicos, poderíamos empeorar o problema, e poñer que as presidenciais se celebraron en 2006, as lexislativas en 2005, e que as presidenciais se celebran cada 4 anos e as lexislativas cada 6, por exemplo. Mágoa non dar este ano 1º de ESO, pois nunca fixen esa variación.

O seguinte exemplo supoño que moitos de vós argallastes algunha vez, e dá unha pequena volta ao típico exercicio sobre as raíces dunha ecuación de 2º grao. Este púxeno nun simulacro de exame de Álxebra de 3º de ESO, tamén na Rúa:

Vaia, volvín quedar durmido en clase de Matemáticas. Da ecuación que había no encerado só collín isto: 
$$x^2-12x+\square=0$$
Pero tamén puiden ver que unha das solucións é 9. Podes completar con estes datos a ecuación e dicir cal é a outra solución?

Obviamente, este exercicio supón un reto maior para grupos que non visen as relacións de Cardano-Vieta, pero aínda coñecéndoas non é tan rutineiro como o exercicio estándar no que, ou ben preguntamos pola suma e produto das raíces, ou ben hai que encontrar as raíces sen usar a fórmula xeral, etc. 

O que vén agora utiliceino como bonus (i.e., como cuestión final e voluntarias dun exame, que non conta dentro da cualificación do exame, senón para subir nota na avaliación) nun exame de 1º de ESO xa en Canido. Na miña opinión é un bo exercicio técnico para facer pensar dun xeito non estándar sobre as operacións con enteiros, xulgade vós mesmos:

Tres números enteiros distintos cumpren que se os sumamos obtemos 1, e se os multiplicamos, obtemos 36. Atópaos.

Agora un exercicio sobre decimais que incluíra nun exame de decimais en Cedeira, e que require certa reflexión: 

Observa a posición dos números P e Q e localiza aproximadamente os números P+Q , P·Q, Q-P e P:Q

Copiei a imaxe do pdf e chanteina aquí
 desde o portapapeis, first time ever

A verdade é que este exercicio tan sinxelo admite modificacións para cambiar o nivel, por exemplo podemos introducir a raíz cadrada ou as potencias. Téñoo usado máis cando introducimos a notación científica ou para pensar un chisco despois, como amosei nesta entrada. E serve para razoar sobre o tamaño dos números e as operacións aritméticas. Ademais, unha estratexia para cursos baixos pode ser escoller exemplos concretos para P e Q. Para cursos superiores, poderíamos preguntar sobre condicións precisas que cumpran as operacións con P e Q, e que algunhas dependan da localización exacta de P e Q, p.e.x  0<P·Q<0,5? 

E para rematar, outro que tiveron que facer os meus alumnos de 1º de ESO de Cedeira nunha proba rápida de fraccións, e que practica operacións pero hai que pensar cales:

O ano pasado en Cedeira houbo $\frac{2}{3}$ de días ventosos e $\frac{2}{5}$ de días chuviosos.
É posible que ningún día ventoso fose chuvioso?
É posible que algún día non fixese vento nin chovese?

Tamén podemos cambiar as cuestións escollidas e preguntar directamente por cantos días ventosos como mínimo tivo que chover, ou preguntar pola posibilidade de situacións concretas (p.ex., se puido chover e facer vento só 10 días) ou se podemos asegurar que unhas situacións se van dar/cales son dubidosas, etc.


E vós, como facedes para escapar do previsible?


7.10.20

Unha curiosidade nas fraccións

 

Un dos contidos máis inaccesibles do curriculum de secundaria é o do número real. O positivo é que isto un só o detecta cando aprende máis adiante na súa formación, probablemente en 1º de carreira, que as cousas non son tan sinxelas como lle contaron no instituto. Un alumno con espírito crítico aceptará as propiedades dos números racionais, despois de todo a súa construción é máis ou menos transparente a partir dos números naturais, onde un observa as engrenaxes e por tanto, asimílaas aínda sen ter probas formais de que sexan certas. Pero os irracionais, ai os irracionais, é unha historia totalmente distinta. Xa teño comentado por aquí, seguindo a Hung-Hsi Wu, que facemos trampas ao introducirmos os reais, a súa estrutura e as súas propiedades, aínda as puramente aritméticas, non falemos xa das topolóxicas.

Cando traballamos a forma decimal de números racionais e irracionais, en 3º ou 4º, e falamos de como recoñecer un número irracional vendo o seu aspecto, adoito poñer uns exemplos racionais ben coñecidos:

  • $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}=0,142857142857 \dots$, que no display da calculadora será 0,1428571429, que se pode deducir que é consecuencia da aproximación.
  • $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}=0,076923076923 \dots$, na calculadora, 0,07692307692, máis evidente.
  • $\frac{1}{23}=0,\overline{0434782608695652173913}$, na calculadora o escuro 0,0437826087
Chegados a este punto, pregúntolles como saberían, só mirando a pantalla da calculadora, que tipo de números son eses 3 exemplos. E no último caso todos concordan en que estarían vendidos. Só poñendo a división en Wolfram Alpha poden ver claramente o período. Polo que se fai patente que necesitamos saber de que operación xorden os decimais para estarmos certos de que son decimais periódicos, e nestes casos ademais periódicos puros, pois xa vimos en cursos anteriores a relación entre os factores do denominador e a súa expresión decimal(sempre que a fracción sexa irredutible).

Pero o bo vén despois, cando me permito divagar un chisco.

Que sucede co caso $\frac{1}{81}=0,012345679012345679 \dots =0,\overline{012345679}$?

Na calculadora non chegan a velo, de novo utilizamos Wolfram Alpha para ver o período, e axiña agroma o abraio: ONDE VAI O 8?

En realidade adoito comezar non por este exemplo, senón por este posterior:

$\frac{1}{9801}=0,000102030405... =0,\overline{00010203 \dots 969799}$

Que hai que recoñecer que ten máis punch para abraiar aos cativos.

E aínda máis, amigos:

$\frac{1}{998001}=0,000001002003004005... =0,\overline{000001002003 \dots 996997999}$

O primeiro que ve un, xusto despois da ausencia do 8, do 98, do 998..., é que os denominadores das fraccións son 9², 99², 999²... É dicir, detectamos un posible patrón coas fraccións que teñen o aspecto $\frac{1}{9 \dots 9^2}=\frac{1}{(10^n-1)^2}$

E a que se debe este patrón? Como é habitual cando traballamos cun patrón aritmético, é mellor esquecermos o aspecto concreto de cada número e quedarmos co esencial. Neste caso, imos ver que 
estrutura teñen os períodos. Observemos polo miúdo que sucede en $\frac{1}{81}=0,\overline{012345679}$

Xoguemos por un momento cunha expresión semellante:

$$\frac{0}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{10} \right)^{n+1}$$
que, chamando $x=\frac{1}{10}$, se expresa como $\sum \limits_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n+1}$ 

Mais... esa expresión semellante serve para atopar o noso número periódico?

En efecto, e a resposta está no de "levar unha"; observade que ocorre cando sumamos os primeiros sumandos:

0,0
0,01
0,002
0,0003
0,00004
0,000005
0,0000006
0,00000007
0,000000008
0,0000000009
0,00000000010
...
Veredes como, no proceso de sumar os dous últimos sumandos indicados, "levamos unha" que se suma ao 8 para crear un 9. De aí desaparece o 8 no período. Se dubidades que isto vai suceder cada ciclo, avanzade un chisco e analizade como volve ocorrer cando sumemos ...18, ...19 e ...20,  e sucesivamente cada vez que apareza un 8, explicando así por que no período é omitido.

Agora que xa transformamos o noso misterioso decimal nunha suma xeitosa, como podemos ver que coincide con $\frac{1}{9^2}$?
O xeito estándar é análogo á suma da serie xeométrica, $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$, pero podemos velo dun xeito menos elemental mais tamén elegante, e utilizando polo camiño a suma desa xeométrica:
 
$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n+1}=x^2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n-1}=x^2 \cdot f(x)$$
onde chamei f(x) á función definida pola serie para poder manipulala:
$$\int f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \int ({n\cdot x^{n-1})}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n}x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$$
Polo que
$$f(x)=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1(1-x)-x(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}$$
Polo que a nosa suma valerá
$$x^2 \cdot f(x)=\frac{x^2}{(1-x)^2}$$ 
Finalmente, substituíndo x por $\frac{1}{10}$, obtemos que o número periódico aquel coincide con $$\frac{\left( \frac{1}{10}\right)^2}{\left( 1-\frac{1}{10}\right)^2}=\frac{\frac{1}{10^2}}{\frac{9^2}{10^2}}=\frac{1}{9^2}$$ q.e.d.

O argumento, no que omitín os detalles técnicos sobre a posibilidade de integrar cada sumando da serie, é exactamente igual se traballamos con $\frac{1}{99^2}, \frac{1}{999^2} \dots$

Para ir rematando... Cantas veces ocorre que presta máis a anécdota que contas en clase que as ideas máis académicas, que veñen no DOG e nas programacións? Este é un dos casos nos que recoñezo que me pasa.

Actualización o 7/10: James Grime sae nun vídeo de Numberphile explicando este feito mellor ca min

11.9.20

Unha actividade (de Matemáticas) para titoría

Coconuts are so far down to the left they couldn&#39;t be fit on the chart.  Ever spent half an hour trying to open a coconut with a rock?  Fuck coconuts


A unha semana do comezo das clases máis estraño que temos visto, vou compartir unha actividade que fixen no curso 2018/19 coa miña titoría de 3º de ESO. Veredes que, en realidade, a actividade é transportable a calquera curso da ESO ou mesmo 1º de BAC, depende do titor, se quere enfatizar a análise matemática das gráficas ou o diálogo titor-clase.

Para empezar, coñecía a gráfica de xkcd de arriba, na que podemos ver a idea das coordenadas cartesianas de xeito informal. Os eixes non están numerados, non está localizada a unidade, a colocación relativa das froitas só dá unha idea difusa do sinxelo que é comela e do saborosa. Deste xeito, podemos ver que Randall cre que as uvas con sementes son máis difíciles de comer que as uvas sen sementes(aínda que seguen a ser máis sinxelas que difíciles) mais son un chisquiño máis saborosas. Para isto non é necesario indicar a unidade en cada eixe, de feito, habería que dar un significado ao 1 na magnitude "dificultade para comer a froita" E que significado tería -3? E aínda sen unidades, podemos facer preguntas (e esperar respostas coherentes) como "Que teñen en común as mazás verdes e as vermellas? En que se distinguen?"


Pois con esta gráfica na memoria, decidín probar o seguinte: amosei no EDI a imaxe, discutimos un anaco sobre as nosas opinións acerca do sabor e a dificultade(non hai nada como os gustos persoais para que a conversa sexa acalorada), e despois propuxen que cada alumno elaborase nunha cuartilla cadansúa gráfica, cos mesmos eixes que na de xkcd, sinxelo-difícil e non me gusta-gústame e coas materias de 3º de ESO en troques das froitas. Velaquí algunhas das producións:



As conclusións saltan á vista en cada gráfica, non si? O titor pode coller a gráfica dun alumno e ver moitas cousas. E tamén, de xeito colectivo, pode revisar todas as gráficas da clase e ver cousas raras. Que sucede se todos os alumnos colocan certa materia abaixo e á dereita de todo? Sucederá que moitos poñen arriba á esquerda algunha materia? Mediatiza a actividade que o titor dea Matemáticas? En xeral, cales son os cuadrantes máis poboados? (Se alguén fóra da docencia le este blog, si, efectivamente, nunha titoría os alumnos falan/quéixanse dos profesores que teñen ao seu titor, depende deste deixar que se desafoguen ou non)

Imaxino que vistes os números que hai bailando polas gráficas, moitos xa saberedes que indican as horas semanais de cada materia. Que pintan aí? Xurdiu sen pensalo previamente, cando vin algunha das gráficas e notei que quizais o número de horas semanais explicase a colocación das materias por varios alumnos. Algún alumno mercou a explicación, outros non, of course. Tamén poderíamos colocar as horas semanais nun terceiro eixe, pero feito a man pensei que non se vería ben.

Por outra banda, cabería a posibilidade de indicar a nota previa de cada alumno nas materias, pois adiviño que non reflectiría perfectamente a dificultade indicada no eixo OX: hai alumnos cuxo autoconcepto non se ve plasmado nas cualificacións, e outros amosarían que non traballan abondo en materias que a priori ven sinxelas.

Seguro que tedes máis imaxinación ca min e asáltanvos mellores ideas para poñer nuns eixes como os de xkcd que simplemente as materias de 3º de ESO. Xa tedes outra actividade para facer ese día en titoría.



24.8.20

Dúas cuestións de probabilidade


É probable que os doutos lectores deste blog xa coñezan unhas famosas e polémicas cuestións de probabilidade que tratan do sexo dos fillos dunha familia, e que tendo unha apariencia moi semellante, o procedemento para atopar a resposta e a propia solución son ben diferentes. Pois precisamente por seren tan coñecidos, non vou compartir eses problemas; se queda alguén que non os coñeza, déixovos ligazón a unha análise didáctica de expertos da Universidad de Granada:

La paradoja del niño o niña: aplicaciones para la clase de probabilidad


En troques, pelexade coas seguintes cuestións, tamén clásicas mais, coido, non tan coñecidas:


Imaxinade que temos unha baralla composta polo as de espadas, os as de copas, o dous de espadas e o dous de copas.

1ª cuestión: extraemos dúas cartas desa baralla. Cal é a probabilidade de que nesa man saian os dous ases, se sabemos que saíu polo menos un as?


2ª cuestión: extraemos dúas cartas desa baralla, one more time.  Cal é a probabilidade de que nesa man saian os dous ases, se sabemos que saíu o as de espadas?


E cando os resolvades, tedes outro choio: que diferencia esta parella de cuestións da parella de cuestións mencionada ao comezo?