4.5.19

Un de bólas e urnas


Para esquecer un anaco as présas do fin de curso, que na materia de Matemáticas se incrementaron co hipertrofiadocurriculum imposto pola LOMCE, estiven a botar unha ollada a varios libros de problemas aos que non lles fixera moito caso. E atopei este de probabilidade no Jim Totten's Problems of the Week:


Unha urna contén p bólas brancas e q bólas negras, e hai unha morea de bólas negras ao lado da urna. Dúas bólas son escollidas ao chou e extraídas da urna. Se son da mesma cor, metemos na urna unha bóla negra da morea. Se son de distinta cor, metemos a bóla branca de novo na urna. O procedemento é repetido ata que as dúas últimas bólas son extraídas e unha última bóla é introducida. Cal é a probabilidade de que esta derradeira bóla sexa branca?



Daría un premio a quen resolvese este problema do xeito máis complicado posible.

16.4.19

Colle un DIN-A4


O problema de hoxe apareceu na rede polo 2015/16, seino porque teño o debuxo feito por min no cartafol Traballo 2015/16, mais non dou lembrado onde apareceu, nin dou atopado a pescuda que me faga atopala. Se alguén coñece a fonte, o meu non diagnosticado TOC agradecería que o puxese nos comentarios.

Velaquí o problema, que trata dun DIN-A4 mais non é o máis coñecido de dobrar á metade e dividir as dimensións:

Temos un DIN-A4, que ten dimensións en milímetros 210x297, apoiado sobre unha esquina nunha mesa, e de tal xeito que as dúas esquinas que comparten un lado co apoio están a alturas 10 e 12 centímetros. A que altura estará a cuarta esquina, que está oposta pola diagonal ao apoio?


Encántame este problema.



7.4.19

La reforma agraria va, de todas maneras va


Calquera profesor galego coñece o mecanismo: o curriculum dunha materia aparece no BOE, de aí vai ao DOG con poucos cambios, e nos institutos ou ben os xefes de departamento ou ben o departamento ao completo(estimo que isto último é máis raro) elabora a programación didáctica da materia. Cando o profesor ten que traballar unha unidade, consulta a programación, identifica contidos, criterios de avaliación, competencias e estándares de aprendizaxe de xeito máis ou menos rigoroso, e entón comeza o traballo onde cabe certa liberdade: deseñar a secuencia didáctica, decidindo actividades de aprendizaxe e de avaliación. En realidade, cando xa deches varios anos unha materia baixo unha lexislación, non tes que refacer todo, aínda que depende do tarado perfeccionista que sexas.

Supoñamos que é o momento de traballar a unidade de Proporcionalidade e Porcentaxes en 1º de ESO. Os contidos son os tradicionais: razón, proporción, magnitudes directamente proporcionais, regra de tres (ou non), redución á unidade (ou non), porcentaxes, e todos os procedementos asociados. O profesor decidirá que enfoque utiliza, se presenta os contidos de xeito máis ou menos expositivo, se deixa que os alumnos "descubran" parte dos contidos(coas limitacións que se autoimpoña, se coñece o que din os psicólogos que estudan a aprendizaxe), se propón problemas de introdución(que é o que adoito facer eu), etc. Por simplificarmos, imaxinemos que o profesor decide definir o concepto de razón de dous números a e b como $\frac{a}{b}$, pon exemplos sen contexto e con contexto, propón situacións sinxelas onde o relevante/interesante radica en calcular unha razón. Se na aula as preguntas/opinións/conversas son habituais, é probable que nalgún momento haxa un intercambio semellante a este:

- Se un xogador mete 16 de cada 30 tiros que intenta, e outro 23 de cada 45, a cal lle encargarías o lanzamento decisivo do partido?
- Ao primeiro, que só fallou 14 tiros.

Este intercambio é interesante por varias razóns: a primeira porque desvela o que se chama en inglés misunderstanding pero que en galego nin malentendido, nin confusión, nin equívoco, nin desde logo erro chegan a expresar por completo; a segunda porque o alumno escolleu a solución correcta pero por unha razón trabucada, o que ten que levar a unha discusión desta sutileza que certamente aparecerá en máis ocasións nas Matemáticas escolares.

En canto á primeira razón, o que está a suceder, se non é un erro por non estar concentrado, é unha mostra de pensamento aditivo mal utilizado, en troques do axeitado neste contexto, o multiplicativo. O primeiro recurso dun profesor pode ser amosar un caso esaxerado: se o segundo mete 978 de 1000 lanzamentos, é mellor ou peor que o outro xogador? O segundo recurso, situar a mesma idea matemática noutros contextos: mesturar cantidades de pintura azul e pintura amarela, ou café e leite; un caracol avanza 16 decímetros en 30 minutos e outro 23 en 45; etc. As posibilidades son infinitas.

Agora vén a confesión.

Un pode deseñar a secuencia do xeito máis coherente e cohesionado que poidades imaxinar, ter recursos para revelar os misunderstandings e remedialos ou emendalos, utilizar recursos "tradicionais" ou máis "modernos", lograr captar a atención dos alumnos para que todo isto teña repercusión nas súas mentes(se non comezamos por aí, o demais é superfluo), e aínda así, o momento no que o alumno do intercambio anterior por fin acepta e asimila que o axeitado é calcular a razón e non a diferenza é totalmente un misterio, polo menos para min. E non é un momento como o Ahá da inspiración ao resolver un problema, no que de súpeto atopas o interruptor do cuarto e os mobles cos que zoupaches agoran aparecen nítidos. Non, este rectificar unha confusión é máis paulatino, menos brusco, e desde logo, a impresión no alumno non é tan indiscutible. O momento Ahá, por poñer un exemplo trivial, sucede cando un dá atopado pola súa conta a solución a un enigma de pensamento lateral, e o que pensou con anterioridade deixa de ter sentido. Probade nesta ligazón algúns dos clásicos para vivir en tempo real a sensación á que me refiro.

No ensino das Matemáticas situacións semellantes abrollan continuamente. En que momento un alumno deixa de ver dous números independentes nunha fracción para entender globalmente o seu valor? Cando (se é que sucede) entende un alumno que unha ecuación é unha condición que cumpre a incógnita e non (só) unha secuencia de pasos predeterminada para chegar a un valor? Cando entende que se o 80% dun número vale 32, non hai que facer o 80% a 32? (vella teima miña) Cando asimila o concepto de función? Cando lle vai resultar evidente que $(\sqrt{x})^2=x$?  E que $\sqrt{x^2}=x$? (isto non é certo, pero vaia, dou clase na ESO) E a definición de logaritmo? E cando vai ver sen facer cálculo ningún que $\frac{3}{5}: \frac{3}{10}=2$?

Que sei a estas alturas do choio con respecto ás situacións anteriores? Que ás veces parece que o que fago como profesor ten reflexo no que aprenden os alumnos. Ás veces. Outras non. Vou abrir o champán.

27.3.19

O que teríades que facer os profesores de Matemáticas é...


A fin de semana pasada celebrouse a fase final da Olimpíada Matemática Española en Ourense(web oficial). Isto provocou que lle prestasen certa atención ao evento os medios folcloristas e provincianos, o que fixo que vise esta entrevista a un novo matemático galego, Óscar Rivero Salgado. No medio da entrevista aparece esta afirmación:

«Creo que o que falla é que nos institutos insístese moito en traballar con problemas mecánicos e rutinarios. Non se consegue entusiasmar moito aos alumnos. As matemáticas son moi útiles e moi atractivas se se plantexan ben. Non son unha serie de conceptos e fórmulas para memorizar»

Que logo continúa:

«A clave e saírse dos problemas tipo e enganchar a través do pensamento. O profesor tampouco pode deixar de facerse preguntas a si mesmo»

A que soa razoable? Calquera persoa que pense no ensino das Matemáticas en secundaria... e non se dedique ao ensino de Matemáticas en secundaria podería subscribir esa opinión. Case podería afirmar que eu, ao comezo da miña carreira docente, tiña unha opinión semellante, aínda que por sorte nunca a levei á práctica por completo. Por que afirmo "por sorte"? Porque co que sei agora, e cos estudos que hai, parece claro que as alternativas máis ou menos antigas á instrución explícita non son tan efectivas co groso do alumnado como aquela. E aínda que teño certa tendencia visceral cara o ensino baseado en problemas, tento controlala.

Pois ben, durante esta ~sesquidécada que levo na docencia, teño oído opinións máis ou menos estrambóticas, ridículas ou simplemente ignorantes sobre o que teríasmos que facer os profesores de Matemáticas de secundaria, probablemente debido a ser educado e aberto a discusións(agora xa son moito máis cortante, mencionando estudos para calar a boca, life is too short to waste on idiots). Agarrádevos, que veñen opinións case literais, tal e como as vou lembrando.

"O que tiñades que facer os profesores de Matemáticas é deixarvos de explicar tanto e dicir como se fan as cousas, que non son tan difíciles"

"Non sei que opinas ti, pero o que había que tentar é que lles gusten, que total as contas xa as fan as calculadoras"

"Eu non entendín as Matemáticas ata que, en Maxisterio, me ensinaron a relación das Matemáticas coa vida cotiá. Antes pensaba que eran abstractas, pero cando vin a conexión co concreto, xa lle vin sentido"

"Pero se só hai que practicar moito as contas e xa está!"

"Tes que machacalos a deberes para que entendan as Matemáticas, que mandas moi poucos"

"O que desmotiva á miña filla é que ela estuda e saca boas notas, pero os que non fan nada tamén van pasando de curso. Se suspendesen sería distinto"

"Pero que é o que non entenden? Letras para un lado, números para outro e xa está"

"Pois se algo non ten aplicación á vida diaria, non o deberíades dar"

"Fai falta que saiban as táboas de multiplicar? Se todos teñen calculadora no móbil"

"O mellor é explicar un só xeito de facer as cousas, para que non enleen"

"Non sei que facedes os profesores de Matemáticas, que logo saen sen entender unha hipoteca"

"Que máis dará que acaben a ESO sen saber Matemáticas, a min sempre se me deron mal e non pasou nada"

"Eu non entendo como un cativo pode suspender Matemáticas na ESO. Todos os cativos terían que aprobar ata 4º, sempre"

"Habería que facer todo co ordenador"

"En Matemáticas o importante é seguir os pasos"

"Eu xa lle digo: tes que estudar Matemáticas para pasar de curso"

En fin, cando todos sabemos por que hai que estudiar Matemáticas...

    




4.3.19

Paridade


Volvamos ao choio habitual deste blog, que como amosan as etiquetas, é principalmente traer problemas matemáticos. O de hoxe cae dentro da categoría "como vai ser certo iso... AH!", que non acae demasiado ben na nube de etiquetas lateral. Xulgade vós se teño razón e a categoría sería axeitada:


Temos un polígono P que cumpre dúas cousas:

  • Todos os seus vértices teñen coordenadas enteiras
  • Todos os seus lados teñen lonxitude enteira
Demostrar que o perímetro de P é un número par


Póñovos un exemplo non trivial de polígono nesas condicións, que un triángulo ou un cadrado non deixan ver a dificultade real do problema:





Se alguén está interesado, que comente se quere coñecer a fonte do problema.