24.6.18

Oposicións a profesorado de secundaria de Matemáticas 2018


Onte, sábado 23, celebrouse a presentación e a proba práctica do concurso-oposición de profesorado de secundaria. Este ano, como novidade, os opositores podían escoller entre dúas opcións no exame práctico, cada unha con 5 exercicios para resolver, o que lembra á estrutura da ABAU. Polo que se dicía fóra do IES Elviña da Coruña(unha das dúas sedes do proceso) e o resultado dunha enquisa nun grupo de profesores de Matemáticas en Facebook, a opción B foi a máis escollida por moita diferenza. Tendo en conta que na opción A había un exercicio no que se falaba de ideais maximais, que é un tema que non aparece moito nos prácticos, é posible que iso botase para atrás aos opositores. Ou tamén que o último exercicio falaba da parametrización da cicloide, que está nos propios temas teóricos da oposición, e é unha cousa que ou ben sabes ou é complicado que che saia nas condicións dunha oposición.
Pois ben, nesa opción minoritaria, A, había un pequeno problemiña, probablemente o máis sinxelo da opción, que a min me prestou moito. Observade:

Nunha división coñecemos o dividendo, 258728, e os restos sucesivos que se obtiveron ao ir efectuando a división, que son 379, 480 e 392. Atope o divisor e o cociente. Existe máis dunha división? Xustifique a relación deste problema co currículo dunha materia desta especialidade.

Mentres pensades na solución e para afastar a miña, déixovos unha imaxe fermosa da sucesión de Recamán que vin en reddit:

Inspirada polo vídeo de Numberphile sobre a sucesión



Vexamos o problema entón. Se o dividendo ten 6 cifras e obtemos sucesivamente 3 restos parciais distintos, podemos concluír que o divisor ten polo menos 3 cifras pero como moito 4. Vendo os restos parciais, o divisor ten que ser maior que 480.
Con isto xa podemos comezar a traballar sobre a imaxe seguinte, que bastante choio me deu facela no Libre Office Math:

    

Realmente o que hai que facer é razoar sobre como funciona o algoritmo da división. Para comezar, dividimos 2587 entre d e obtemos de resto 379, en linguaxe de congruencias, $2587 \equiv 379(mod \ d)$. Por tanto, $2587-379$ é múltiplo de d. Sucesivamente, ocorre o mesmo con $3792-480$ e con $4808-392$. Por tanto:

$$\begin{cases} 2208=\dot{d} \\ 3312=\dot{d} \\ 4416=\dot{d} \end{cases}$$

Deducimos que d é divisor dos números 2208, 3312 e 4416, polo que é divisor do  máximo común divisor deses tres números, é dicir,
$$(2208,3312,4416)=(2208,3312)=(2^5 \cdot 3 \cdot 23, 2^4 \cdot  3^2 \cdot 23)=2^4 \cdot 3 \cdot 23=1104$$
Aínda que 1104 ten 20 divisores, só nos interesan os que sexan maiores que 480, polo que nos restrinximos a 552 e 1104. E os dous valores dan lugar a solucións:


    

      



O lector avisado detectará a reutilización do código da división de arriba no Math.

Ah, e a parte de relacionar co curriculum queda como exercicio para o lector...

15.6.18

ABAU 2018


Todos os anos boto, como a maioría de compañeiros de Matemáticas, unha ollada ao que cae na selectividade. Como en case 15 anos de docencia, só dei unha vez 2º de bacharelato(ademais no semipresencial de adultos, xa me entendedes), resolvo algún dos exercicios que aparecen para refrescar a memoria, aínda que non todos pois adoitan ser bastante aburridos. Un tipo de exercicio que si resolvo habitualmente é, se o houber, o de optimización xeométrica. Este ano o exercicio 2)b) da opción B dicía:

Calcula os vértices do rectángulo de área máxima que se pode construír, se un dos vértices é o $(0,0)$, outro está sobre o eixe X, outro sobre o eixe Y, e o outro sobre a recta $ 2x+3y=8$


   


O exercicio, a simple vista, soaba coñecido, como resolto mil veces por calquera profesor. A resolución era obvia:

Se o punto do eixe de abscisas é $A=(x,0)$, trazando a vertical que pasa por el e intersecando coa recta oblicua, obtemos o punto $B=(x,y)$, onde:
$$2x+3y=8 \rightarrow y=\frac{8-2x}{3} $$
E por tanto o punto C do eixe de ordenadas será $C=(0,\frac{8-2x}{3})$

Co cal a función área ten a expresión:

$$f(x)=x \cdot \frac{8-2x}{3}=\frac{8x-2x^2}{3}$$

Como é unha parábola cóncava, podemos identificar o máximo como o vértice da parábola ou recorrer a maximizar a función, que tamén é sinxelo:
$$f'(x)=\frac{8-4x}{3}=0 \rightarrow x=2$$
$$f''(x)=\frac{-4}{3} \rightarrow $$
Logo o punto crítico é un máximo.

O desenvolvemento anterior soa ben... pero está trabucado. Nel facemos unha suposición tácita que seguramente tamén tiña en mente quen redactou o exercicio, mais non plasmou no enunciado. E cal é?

Revisade o enunciado e decidide se a situación seguinte está permitida:

    

Ao enunciado faltoulle un "o rectángulo dentro da rexión formada polos eixes e a recta" ou "vértices coas dúas coordenadas positivas", e entón a única situación permitida sería a da primeira figura. Porén, o que me resulta máis interesante é analizar por que a solución de máis arriba é incorrecta, i.e., onde utilizamos a suposición xeométrica que non aparece no enunciado?

E o que sucede é que, se collemos un punto A como o da figura inmediatamente superior, $A=(x,0)$, a área do rectángulo non é $x \cdot \frac{8-2x}{3}$, senón $x \cdot \left( -\frac{8-2x}{3}\right)=\frac{2x^2-8x}{3}$, que claramente non ten máximo.


Arrastrade a figura e as etiquetas para ver o desexado


Incluso poderíamos arranxar dunha soa vez o problema analizando a función $|x| \cdot |\frac{8-2x}{3}|$, o que sae do que se pode pedir aos alumnos na ABAU nun exercicio que, a fin de contas, vale un punto do total de dez.

Falaba cun compañeiro de departamento(nota autobiográfica: o meu propio profesor de BUP) á mañá sobre este erro e acordamos que unha das opcións que teñen na CIUG é anular o exercicio. A outra é dar por bo tanto a quen fixese a solución trabucada de arriba como a quen analice correctamente o problema. Veremos que sucede finalmente.


26.5.18

Datos que me gustaría coñecer mais é pouco probable que o vaia facer


Procrastinando polo twitter o outro día tiven a idea peregrina de facer esta parvada co meme Drake Approves:

Drake knows better

E despois quedei pensando na idea que transmite nas clases a miña insistencia en que a 1ª opción non é correcta. Da miña experiencia falando con compañeiros, estou certo de que moitos pensarán que son un teimudo, que non ten maior importancia. Aínda que todos saben, quero pensar, que a única xustificación válida do procedemento é a da segunda imaxe. Polo menos os que son matemáticos, que no ámbito galego son a maioría. Entón que explica que, aínda sabendo da incorrección matemática, haxa quen(e teño a intuición de que son os máis) traballe as ecuacións mal?

Tendo en conta que todos os profesores fan o que ven máis axeitado para que os alumnos aprendan, o que sucede, coido, é que sacrifican a corrección matemática en favor da comprensión dos alumnos. Cónstame que isto non ocorre unicamente no contexto da resolución de ecuacións, senón que está xeneralizado ao longo do curriculum. As miñas inquietudes ante isto son:
  • Escollen os profesores dar o xeito mecanizado e non a explicación matemática despois de anos de experiencia ou ao comezo da súa carreira profesional?
  • Cambian os profesores de estratexia dependendo do alumnado que teñan cada ano?
  • Os profesores que utilizan o pasar restando tamén proban con números nas inecuacións de 2º grao?
  • Os alumnos dos profesores que utilizan o de pasar restando teñen máis dificultades despois con ecuacións do tipo $-2x=1$? E os que cursen Matemáticas en 2º de Bacharelato, teñen máis dificultades coas ecuacións matriciais?
  • E o meu principal medo: pode ocorrer que os alumnos que aprenden coas mecanizacións resolvan mellor os exercicios mecánicos? Non me sorprendería, a verdade...

Se un busca na bibliografía de educación matemática, atopará moitos artigos sobre o uso e a comprensión do símbolo igual en educación primaria, sobre todo en revistas anglosaxonas. Haberá un éxito menor se un tenta atopar artigos sobre a ensinanza da resolución de ecuacións. Un artigo onde se relacionan as dúas cuestións é Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations, de Eric J. Knuth, Ana C. Stephens, Nicole M. McNeil e Martha W. Alibali(versión abreviada dos mesmos autores, The importance of equal sign understanding in the middle grades). Pero dado que o estudo se restrinxe a ecuacións moi elementais e inclúe métodos de resolución non alxébricos(os participantes eran alumnos desde 6º de Primaria), non responde as miñas preguntas. Outro artigo  relevante é Concepts associated with the equality symbol, de Carolyn Kieran, no que analiza a evolución da comprensión ao longo do sistema educativo, desde a escola infantil ata ao estudo do calculus.

Ah, se queredes ler artigos de expertos españois, deséxovos sorte: só tedes que avanzar con machete entre unha xungla de enfoques ontosemióticos e metacognicións.

Para rematar, permitídeme unha digresión: cando oio falar sobre o máster de secundaria, novos procedementos de selección do profesorado, a necesidade dunha fase de prácticas real, o "MIR educativo", etc., sempre penso se os futuros profesores, nalgunha fase deses procesos, van recibir algún tipo de formación sobre, p.ex., como ensinar métodos de resolución de ecuacións aos alumnos de 1º de ESO. Ou se van recibir, como fixen eu no CAP, historia das leis de educación españolas e frases soltas de Paulo Freire ou Dewey. Frases que, por certo, non ían convencer a ninguén que non estivese previamente convencido. Eu, como xa imaxinades, son pesimista.

5.5.18

O cociente de intelixencia, tuenti e A Rúa


Hai un feixe de anos, aló pola época na que abrín este blog traballando na Rúa de Valdeorras, chegábanme moitas peticións de amizade de alumnos na conta de Facebook. A todos contestáballes o mesmo: esta conta é persoal e só teño familia e amigos(e como moito, coñecidos), non vou aceptar alumnos actuais, pois non me parece apropiado. Polo que algúns do 3º de ESO que daba suxeriron que fixera unha conta en tuenti, ao que accedín finalmente pola insistencia. Daquela atopei por algures a brincadeira seguinte, que obviamente tiven que compartir en clase, para revolver:

Cada vez que un usuario pecha a súa conta en tuenti e abre conta en twitter, o CI medio das dúas redes sociais baixa.

Dez anos despois, sigo a rir con esta parvada, que considero un bo chiste matemático.


Por que lembrei esta anécdota? Pois a razón vén da entrada Estafar na estafeta, na que compartín un fermoso problema sobre tamaño de ortoedros do prolífico Peter Winkler, que tamén aparecera no Tournament of the Towns, e avancei que ía traer un problema dese concurso. Velaquí:

O cociente de intelixencia(CI) dun país defínese como a media dos cocientes de intelixencia de toda a súa poboación.
    1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B. Amosar que pode suceder que, como resultado, o CI dos dous paises se incrementase.
    2. Despois disto, un grupo de xente do país B, que pode incluír inmigrantes de B, emigra a A. Pode suceder que o CI de ambos os dous países se incremente outra vez?
  1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B, e un grupo do país B emigrou simultaneamente ao país C. Sábese que, como resultado, o CI dos tres países se incrementou. Despois disto, un grupo de C emigra a B e un grupo de B emigra a A. Pode suceder de novo que o CI dos tres países se incremente?

Para o ano hei propoñer este problema, ou polo menos o anaco sinxelo, nas miñas clases de 1º ou 2º de ESO.


22.4.18

Solución a Un rectángulo e tres inradios


Nos comentarios á entrada Un rectángulo e tres inradios contestei que a demostración que pensei cando escribín esa entrada era ben fea. Tiven un anaco e deille outra volta, e cheguei a unha proba sinxela e rápida.
O esencial da demostración é unha expresión alternativa para o inradio dun triángulo rectángulo, obtida a partir de $sr=\Delta$ e o ubicuo Teorema de Pitágoras. Vexámolo primeiro:


   
$$sr=\Delta \rightarrow \frac{a+b+c}{2} \cdot r=\frac{bc}{2} \rightarrow r= \frac{bc}{a+b+c}$$
$$r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)} \rightarrow r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c)^2-a^2}$$
$$r=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}\rightarrow r=\frac{b+c-a}{2}$$
Esta última expresión vai facilitar o choio. Vaiamos agora ao problema orixinal:

   

$$r_1+r_2+r_3=\frac{AH+DH-AD}{2}+\frac{CH+DH-CD}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}=$$
$$\frac{AH+DH-AD+CH+DH-CD+AB+BC-AC}{2}=\frac{2DH}{2}=DH$$
onde utilizamos que $AH+CH=AC$, $AD=BC$ e $CD=AB$

Aínda que non o lembro, aposto que esta foi a demostración que fixen a primeira vez que vira o problema, e non a zarangallada alxébrica que montei desta.