Un problema de idades difícil de verdade

 

Futility Closet é un dos poucos blogues que continúan publicando contidos interesantes relacionados coas matemáticas, no seu caso desde... hai 21 anos! Levo seguindo o seu feed hai lustros, xunto con kottke ou TYWKIWDBI dentro da categoría "Varios"(reminiscencias dos cassettes gravados dos 80/90, imaxino), onde antes tamén estaban Neatorama ou BoingBoing, que deixei de seguir porque me abafaba o seu ritmo de publicación, ou The Presurfer, porque, tristemente, o seu autor morreu. Tamén tiña por aló Passion for Puzzles, do que xa nin atopo a URL. E outros que xa nin lembro, seguramente.

Futility Closet publica unhas 12 entradas á semana, segundo Feedly. A estas alturas da vida, adoito ler de verdade só as entradas baixo as etiquetas Puzzles ou Science&Math, e ás veces as Oddities. E das de Puzzles paso por riba dos problemas de xadrez, porque, en fin, por isto. E en moitas ocasións leo entradas nas que hai problemas que non tento resolver, supoño que será a idade, a falta de tempo, ou quen sabe por que. 

Mais esta semana vin un problema, aparentemente estándar e sinxelo, do que me chamou unha cousa a atención.

When A was three times as old as B was the year before A was a half of B’s present age, B was 3 years younger than A was when B was two thirds of A’s present age. A’s and B’s ages now total 73. How old are A and B?

É tan enleado que me custa traducilo:

Cando A tiña o triplo da idade que tiña B o ano antes de que A tivese a metade da idade actual de B, B tiña 3 anos menos dos que tiña A cando B tiña dous terzos da idade actual de A. As idades actuais de A e B suman 73. Cantos anos teñen A e B?

Vedes por que digo que era estándar? Un problema deses de idades, dos de "cando non sei quen tiña a idade de non sei cal..." Insira aquí emoji cos ollos case en branco.

E por que parei un anaco neste problema, se parecía tan estándar?

Adiviñades?

Veña, poño un gif en troques de emoji, para que non leades aínda a razón e poidades sentir o éxito mínimo de adiviñalo vós:

   

A razón foi que me pareceu raro que fose necesario dar a suma das idades actuais, habendo un texto previo tan longo. Polo que tiven que resolvelo para saber que sucedía para que tanto texto non fose abondo para atopar as idades.

E como xa non teño que corrixir máis exames durante unha temporada, velaquí a miña solución, da que non estou moi orgulloso, pois teño a sensación de que pode ser afinada. Xulgade vós, como sempre, e se tedes unha mellora, xa sabedes.

Vaiamos por partes, que estas frases poden facer estoupar a nosa memoria operativa:

Cando A tiña o triplo da idade que tiña B o ano antes de que A tivese a metade da idade actual de B,

O primeiro que hai que dilucidar é cando tivo A a metade da idade actual de B, é dicir, cando tivo A $\frac{B}{2}$. E o quid da cuestión está en decatarse de que é máis sinxelo do que parece: simplemente sucedeu hai $A-\frac{B}{2}$ anos.

Sigamos co anterior desa frase.

Cantos anos tiña B o ano antes ao que acabamos de descifrar? En primeiro lugar, iso sucedeu un ano antes, i.e., hai $A-\frac{B}{2}+1$ anos, e daquela B tiña $B- \left(A-\frac{B}{2}+1 \right)=\frac{3B}{2}-A-1$

A tiña o triplo desa idade, ou sexa, $\frac{9B}{2}-3A-3$, e cando foi iso? Pois usando outra vez o mesmo subterfuxio, hai $A-\left(\frac{9B}{2}-3A-3\right)=4A-\frac{9B}{2}+3$ anos.

Uf.

Imos coa segunda parte do conto.

...B tiña 3 anos menos dos que tiña A cando B tiña dous terzos da idade actual de A.

Imos ter que utilizar a última expresión do parágrafo anterior, pero antes, one more time, empezar polo final.

Cando tivo B dous terzos da idade actual de A? Hai $B-\frac{2A}{3}$. E daquela A tiña $A- \left(B-\frac{2A}{3}\right)=\frac{5A}{3}-B$

E B tiña 3 anos menos, i.e., $\frac{5A}{3}-B-3$. Cando? Hai $B-\left(\frac{5A}{3}-B-3\right)=2B-\frac{5A}{3}+3$

Uf outra vez.

Agora ademais hai que pasar unha pequena crise. COMO SEGUIMOS?

E este é o momento de decatarse de que todo o anterior só proporciona UNHA MALDITA ECUACIÓN.

Como?

Observando que as dúas condicións analizadas por separado suceden ao mesmo tempo, polo que as dúas expresións obtidas ao final dos dous parágrafos coincicen:

$$4A-\frac{9B}{2}+3=2B-\frac{5A}{3}+3 \rightarrow 4A-\frac{9B}{2}=2B-\frac{5A}{3} \rightarrow \frac{17A}{3}=\frac{13B}{2}\rightarrow$$

$$34A=39B$$

E aquí vemos que como non sabemos se as idades son enteiras ou polo menos verosímiles, necesitamos outra condición, e aí entra a suma das idades, 73, que xa fai inevitable o obvio, que A=39, B=34.

Por que non quedei contento con esta solución? Porque a ecuación obtida, $34A=39B$, é tan sinxela que me fai pensar que non estou vendo algo. Iluminádeme, amables lectores, que agora teño tempo.

"Alumnos desesperados e chorando", outra vez

 

Había tempo que non daba cun titular destes sensacionalistas sobre exames de selectividade polo mundo adiante:

    

O de hoxe refírese ao exame da selectividade escocesa, que vén de cambiar o vello organismo encargado, Scottish Qualifications Authority polo máis fresco e moderno Qualifications Scotland. Que vós sodes moi novos, pero os vellos do lugar lembramos algo semellante: a revolución que supuxo a actualización por parte da nosa ben amada Consellería da nosa vella plataforma de formación do profesorado, fprof, pola nova, fprofe. O chiste é automático.

Como é previsible, o cambio de autoridade de xestión provocou un cambio, talvez só cosmético, nalgúns exames. A queixa do alumnado, coa consabida petición online, céntrase no Higher Maths Paper 1, e explican no texto da devandita petición que non se queixan da dificultade senón de que os enunciados non estaban claros e que o novo paper rompe a continuidade cos vellos papers, o que seguramente, en certo grao, é un dos obxectivos do novo organismo.

Na miña experiencia, as novas sobre educación no Reino Unido, alén dos titulares, conteñen información de moita máis calidade cás españolas. Porén, todo o que atopei sobre este tema ignoraba o contido e a estrutura do deostado exame, que tiven que acabar atopando nunha rede social. E como sempre é formativo observar exames estandarizados doutras realidades educativas(never forget as entradas sobre selectividade no blog de Pedro Ramos, unha mágoa que tamén el deixase de publicar), velaquí os exercicios para que vexades vós se hai motivos para a queixa estudantil:

1. Expresa $2x^2+20x+3$ na forma $p(x+q)^2+r$

2. Atopa $\int{\left( 15x^{\frac{2}{3}}+ \frac{7}{x^2} \right)}$

3. Unha circunferencia ten ecuación $x²+y²+2x-4y+20=0$. O punto $A(2,6)$ pertence á circunferencia. Atopa a ecuación da tanxente á circunferencia que pasa por A. 

   

4. O diagrama amosa dous triángulos rectángulos con ángulos p e q.

   

1. Determina o valor exacto de $sen q$
2. Atopa o valor exacto de:
1. $sen(p+q)$
2. $cos(p+q)$
3. Deduce o valor exacto de $tan(p+q)$

5. As funcións f e g son definidas en $\mathbb{R}$, o conxunto dos números reais, por $f(x)=2x²+5$ e $g(x)=x+3$
1. Atopa unha expresión para 
1. $f(g(x))$
2. $g(f(x))$
2. Determina o rango de $g(f(x))$

6. ABCD,EFGH é un ortoedro. $$\vec{AB}=u, \vec{BC}=v, \vec{GC}=w$$

O punto M é o punto medio de HG

O punto N divide o segmento EA na razón 1:2

   

Expresa o vector $\vec{MN}$ en termos de u, v e w.

7. Determina a pendente da tanxente á curva con ecuación $y=2x+4 \sqrt{x}, x>0$, no punto no que $x=9$

8. Resolve $log_2 x+ log_2{(x+2)}=3$, onde x>0

9. a) Amosa que os puntos $D(-1,6,1), E(1,2,7), F(2,0,10)$ son colineares.

         Se o punto G é tal que F divide o segmento G na razón $3:4$, 

         b)Atopa as coordenadas de G

10. Atopar $$\int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3} 6 sen \left( 3x- \frac{\pi}{2}\right)dx$$

11. a) i) Amosa que (x+2) é un factor de $x^3+7x^2+18x+16$
   ii) Explica por que (x+2) é o único factor lineal de $x^3+7x^2+18x+16$. Dá unha razón para a          túa resposta.

      b) Atopa as coordenadas do(s) punto(s) onde se intersecan as curvas con ecuacións                 $y=2x^3+20x^2+27x+9$ e $y=6x^2-9x-23$ 

12. Unha función exponencial, f, é definida para $x \in \mathbb{R}$ A figura amosa a gráfica de $y=f(x)$

    

A inversa da función, $f^{-1}(x)$, existe. 

a) Debuxa a gráfica da función inversa no espazo determinado.

A función inversa ten o aspecto $f^-1(x)=log_a(x+b)$

b) i) Determina os valores de a e b.

    ii) Indica o dominio da función inversa

Sede sinceros: non vos parece moi sinxelo? Comparado cos exames de aquí, o único que resulta estraño é o dos vectores no ortoedro, e non pide nada excepcional. E non hai nada de álxebra lineal, nin por tanto xeometría que precise dela. Mirei tamén o Paper 2 e incide máis nas funcións trigonométricas, as características das gráficas... O único inusual aquí é un exercicio de ecuacións en diferenzas.

Lembremos que existe outro nivel, o Avanced Higher Maths, no que si hai matrices e determinantes, números complexos(que están no noso curriculum de Matemáticas I pero non entra na PAU), e o realmente sorprendente, ecuacións diferenciais.

Un último comentario: polo visto é habitual que os organismos xestores destes exames publiquen unha lista de Command Words, que veñen sendo os verbos, conectores, expresións... que se van utilizar nos enunciados dos exercicios. O que, de súpeto, fixo que mirase cantos anos quedan para a xubilación.

Unha reflexión persoal

 

Abandonamos a programación habitual do blog para que poida queixarme alén da sala e cafetería do meu centro.

Obviando as prácticas do CAP, o meu primeiro contacto coas aulas tivo lugar a finais do curso 2003/04. O 1º foi no Grove substituíndo unha directora que só daba 1º de BAC de Ciencias, con 11 alumnos fabulosos, polo que foi máis ben unha experiencia enganosa; o 2º foi substituíndo en Caldas unha mestra que daba un grupo de Matemáticas, un obradoiro e unha atención educativa en 2º de ESO e Educación Física en 1º, o que tampouco se pareceu moito ao choio que ía realizar eu os seguintes anos, pois en xullo de 2004 aprobei a oposición en Vigo, o curso 04/05 estiven en Canido, os 3 seguintes en Oleiros, logo 2 na Rúa(onde xurdiu este blog, como é sabido mundialmente), 6 en Cedeira, agora estou no 10º ano consecutivo en Canido, e nunca tiven que volver "dar" algo como Educación Física.

Sirva este preámbulo para que o lector se faga unha idea de que algo de experiencia si teño, e de paso que me queda aproximadamente un terzo da miña vida laboral.

Dito isto, ultimamente estou preocupado por un perfil novo de alumno que levo detectando hai uns anos.

"Uns anos"? Non, se sei perfectamente cando dei co fenómeno. Foi no curso 2021/22, en Matemáticas I, por se le isto alguén de fóra do gremio, as Matemáticas do 1º de BAC de Ciencias, "as difíciles".

Aquel curso tiven un alumno que non fixera a ESO en Canido, quero dicir con isto que o coñecín no momento de darlle clase ese ano. O rapaz estaba atento en clase, e entendía todo "en tempo real", pois cando eu preguntaba calquera cousa, a típica pregunta sobre algún aspecto técnico e menor, pero necesario na secuencia que estaba explicando, ou unha pregunta máis profunda, que conectaba un concepto ou situación con outra, el sempre era o primeiro en contestar. En contestar ben, claro, posto que en bacharelato xa non se dá o fenómeno dos nenos varóns que contestan rápido calquera cousa porque lles gusta ocupar o escenario que se lles proporciona, tan habitual ata 3º de ESO incluído. Tan ben contestaba que me chegou a sorprender gratamente. Aínda que máis sorpresa levei cando suspendeu o 1º exame parcial. E logo o exame de avaliación. E a recuperación da 1ª avaliación. E...

Non aprobaba nunca.

Falei con el en canto detectei que algo pasaba, el notábase desgustado tamén. Preocupábame que un rapaz con esa facilidade natural se pegase estas hostias nos meus exames. E falei con compañeiros de departamento e de xunta de avaliación, pois eu nunca vira tal cousa. E a resposta que obtiña sempre era a mesma: non debe de traballar nada. Que, como podedes supoñer, xa considerara eu.

Mais eu xa descontara o feito de non traballar. Pois, chamádeme presuntuoso se queredes, eu sentíame algo reflectido naquel cativo que contestaba con xeito. E eu non traballaba nada no curso equivalente, 3º de BUP, agás o día antes de cada exame, cando tiñamos a tradición de ir á casa dun amigo e revisar os exercicios que entraban no exame. E xa chegaba. E eu vía aquel cativo con máis facilidade que a que tiña eu á súa idade. E peores, moito peores, resultados. A que se debía? 

Como, exceptuando os bots, os lectores deste blog serán case todos profesores de Matemáticas, non vou provocar ningunha epifanía se afirmo que, para os alumnos aos que se lles dan ben as Matemáticas, esta materia escolar é especialmente sinxela. Quizais só haxa outra materia académica na que se dea esta circunstancia: Inglés. Os alumnos con facilidade en Inglés non teñen que traballar alén do feito en clase(lembremos que falo exclusivamente do que se avalía no ensino secundario, isto non se aplica a estudar, digamos, teoría de Galois ou análise funcional). Polo que o meu desacougo procedía de non entender como era posible que un cativo coa súa destreza non aprobase (polo menos!) a miña materia. Dando por suposto que non estudaría nin un chisco na casa.

O rapaz seguiu suspendendo. Pasou o curso, o ano seguinte non lle dei eu, e tamén suspendeu.

Desde aquel curso volvín ver casos semellantes, en 1º de BAC e tamén en 3º e 4º de ESO. O mesmo perfil: cativos varóns máis ben atentos en clase, que amosaban unha comprensión por riba do normal, e que fracasaban estrepitosamente nos exames. Porque as cativas coa mesma facilidade natural non adoitan ser tan verbais nas clases, e desde logo seguen sacando as notas que son esperables.

Alguén, lendo isto, pode estar cavilando e atopar explicacións a priori verosímiles, como que os meus exames sexan moi "técnicos", i.e., que requiran moitas operacións alxébricas enleadas. Non é o caso, máis ben ao contrario: adoito poñer o imprescindible para avaliar os procesos implicados, e non soporto que apareza dúas veces o mesmo proceso, se non é estritamente necesario.

Ou é posible que eu sexa moi modesto e os cativos que eu vexo tan hábiles en realidade teñan menos facilidade que a que tiña eu á súa idade.

Modesto? Eu?

Collido de tenor

Tamén pode suceder que isto xa ocorrese en BUP, e sexa cousa miña, que nunca o observara.

En calquera caso, non teño unha explicación, e recoñezo que é algo que me está consumindo o ánimo.

Se tedes algunha explicación, non dubidedes en compartila.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-5

 

Rematamos a serie dedicada aos problemas da fase local deste ano co problema máis sofisticado dos cinco. Xulgade vós.

Problema 5:

Para o desfile de tropas romanas e castrexas do Arde Lucus 2026, hai inscritas exactamente 100 persoas. A organización só admite dous tipos de agrupacións:

• Patrullas pequenas, de 6 persoas.
• Cohortes grandes, de 10 persoas.

Non se permite deixar ninguén fóra nin formar agrupacións incompletas e non hai un número mínimo de agrupacións de ningún dos dous tipos.

1. Encontra unha posible forma de organización das patrullas e cohortes.
2. Atopa todas as organizacións posibles das patrullas e cohortes.
3. Cal é o mínimo número de formacións posibles? E o máximo?
4. Se nas seguintes recreacións participa outro número diferente N de persoas, para que valores de N será posible organizar as tropas deste xeito?

Non serei eu quen proteste pola inclusión dunha ecuación diofántica lineal, obviamente, pero só quería comentar que unha situación semellante xa caera na fase local  de 2015, no problema 3.  Lémbroo porque aquel ano foran 4 alumnos meus de Cedeira á fase local, que daquela se celebraba no IES Carvalho Calero.

Ah, e unha anécdota: cando estaba no salón de actos do meu instituto facendo o tempo despois de explicar como ía o conto dos códigos, díxenlles aos cativos que como a olimpíada se organiza en Lugo, é típico que metan algún problema co tema do Arde Lucus, a muralla, etc. Cando sentei e mirei os problemas, tiven que interromper o comezo da resolución para anuncialo: "VISTES O 5º PROBLEMA?!"

Se non perezo antes co choio deste fin de curso e a sensación de que cada ano que pasa, son peor profesor, agardo comentar os problemas da fase final, que é o 21 de maio. Veremos.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-4

 

Botades en falta algún tipo de problema ata agora?

Si?

Quizais un problemiña na fronteira entre a lóxica e o sentido numérico, onde haxa que facer un razoamento no que aparezan minimamente números?

Imaxinades que agora dixese eu:"Pois non, o problema de hoxe vai de álxebra"? Sería maquiavélico.

Problema 4:

Antía, Bea, Cloe, Diana e Elia disputaron unha carreira na que non houbo empates. Antía chegou tantos postos antes ca Bea como Diana de Elia. Nin Cloe nin Elia chegaron terceira nin quinta.

Normalmente replico as figuras dos problemas, neste caso
entenderedes que chante a imaxe do documento orixinal

Cal foi a orde de chegada?

Eu seguramente poría este problema ao comezo, para animar a rapazada. Polo demais, nada que obxectar, só comentar que este é o típico problema onde é habitual atopar soamente a solución, laconicamente escrita, dun xeito aínda máis acusado que no 1º problema.