27.10.24

Unha adiviña moi circular

 

Máis dun mes despois volvo por aquí para publicar unha adiviña. Teño varias entradas recentes que probablemente nunca saian do borrador porque, como moitos saberedes, a xefatura de estudos que me encomendou a Providencia, máis ou menos, non me deixa ter a paz mental necesaria para poñerme a organizar ideas. En consecuencia, escollo ocupar o meu ocio lendo ou vendo cousas, non escribindo eu aquí. E esas entradas quizais sexan demasiado ambiciosas para o meu estilo habitual.

A adiviña de hoxe pode que sexa sinxela para algúns dos lectores do blog, que son cultos de máis. Por iso vou darlle o formato máis difícil que se me ocorre: non explicar (case*) nada 

   

*Case, que non son un salvaxe: partimos dunha circunferencia calquera de centro O que pasa por un punto A, e todas as circunferencias e arcos que aparecen na construción teñen o mesmo raio que a primeira. Pintei de azul os centros desas circunferencias e arcos para axudar un chisco á vista.


A adiviña: que ten de interesante o segmento vermello?


26.9.24

A quen non lle vai gustar unha demostración do coseno da suma?

 

Procrastinando entre pdfs e djvus Aprendendo unha morea como cada día na docencia e preparando novas actividades no American Mathematical Monthly, atopei esta nova (para min) demostración da fórmula do coseno da suma de ángulos, que parte dunha situación que xa aparecera por este blog hai anos nesta entrada, na que se demostraba precisamente o seno da suma. Lembremos a situación de partida:

   
A idea era debuxar os ángulos α e β de xeito consecutivo, e prolongar os lados dos ángulos de tal xeito que o lado común forme unha perpendicular coa unión das extensións dos outros dous. Máis sinxelo velo que dicilo, como podedes comprobar. Despois había que utilizar a expresión das áreas dos 3 triángulos da figura en función do seno dos 3 ángulos implicados, e o chisco inevitable de álxebra et voilà.

Para reutilizar a figura temos que poñer tres novas etiquetas:


Creo que é digno de mención que atopase
o ggb nun disco duro


Comezamos apelando ao Teorema do Coseno no triángulo grande:
$$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$
Por outra banda, 
$$c=m+n \Longrightarrow c^2=m^2+2mn+n^2$$
E usando o Teorema de Pitágoras nos dous triángulos pequenos e substituíndo na igualdade anterior,
$$\begin{cases} n^2=a^2-h^2 \\ m^2=b^2-h^2\end{cases} \Longrightarrow c^2 = b^2+2mn+a^2-2h^2$$
Igualando as dúas expresións para a medida $c^2$:
$$ b^2+2mn+a^2-2h^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$
Cancelamos:
$$2mn-2h^2=-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$
Dividindo os dous membros entre $-2ab$:
$$cos(\alpha+\beta)=\frac{h}{a}\cdot \frac{h}{b}-\frac{n}{a} \cdot \frac{m}{b}$$
é dicir, 
$$cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta - sen \alpha \cdot sen\beta$$
q.e.d.

Non sei que pensaredes, a min sempre me prestan as demostracións nas que atopas por camiños distintos dúas expresións diferentes para a mesma cousa. Xa temos outro exemplo no arquivo.

3.9.24

Escribindo unha entrada como se fose 2010

 

Nunha crise existencial causada polo claustro de comezo de curso, os meus ósos deron no Facebook1 coa publicación dunha profesora da facultade, na que había un vídeo recoñecible dentro dunha serie ben famosa cando comezaba este blog, Animation vs Animator (que podedes atopar na etiqueta animación, ao final dunhas cantas entradas). Mirade se pasaron anos, que a web que compartira do animador, Alan Becker, xa non está operativa(sería interesante saber que porcentaxe de webs .net desapareceron nestes anos).

O autor leva un ano creando vídeos dentro da lista de reprodución Animation vs Education, o que vin antes é o 3º da xeira, Animation vs Geometry:




Confeso que non coñecía o vídeo da Física, e que non rematei de ver o das Matemáticas, así que empecei a ver o novo(só de hai 2 meses!) con receo. E non axudou a estrela invitada que aparece aos dous minutos do vídeo, certamente. Teimas dun que xa vai vello.

Aínda así, continuei véndoo(axuda que dure menos de 10 minutos, non como os outros dous), e hai algunha cousiña que me sacou un sorriso, polo que o rematei con vistas a, quizais, poñelo algún día en clase.  



1 Efectivamente, ademais fago outras cousas modernas, como ver o teletexto para saber que películas ir coller ao videoclub

29.6.24

Un día tiven unha idea totalmente ordinaria

 

Nestes quince anos coido que xa amosei unhas cantas veces que teño certa tendencia natural a facer mal as cousas, deixádeme por unha vez que amose un chisco de orgullo aínda que sexa por algo anódino que pouco mérito ten.

O meu último ano en Compostela, facendo o CAP e dando clases nunha academia, debería estar preparando as oposicións de secundaria. Polo que sexa, resumamos en que non foi así. Unha noite volvendo no IASA a Ferrol coincidín cun compañeiro de carreira que estaba apuntado a unha academia de preparación de oposicións(daquela eran Ágora e Esquío as que dominaban o mercado). Pregunteille que facían na academia, explicoume que para o práctico lles daban un compendio de teoría sucinta e métodos para aplicar, e boletíns por bloques: Números, Álxebra, Análise, etc. E comentoume un exercicio do último boletín que lles deran: Amosar que $e^{\pi}>\pi ^e$

Eu daquela nunca oíra falar dese problema, agora sei que é clásico. E non sei como, no marco incomparable da parte traseira do IASA, pensei automaticamente en "baixar" os expoñentes co logaritmo neperiano, é dicir, comparar $\pi$ con $e \cdot ln \pi$, dado que o logaritmo é unha función crecente, e dada a molestia visual que supón ese factor antes do logaritmo, comparar $\frac{ \pi}{e}$ con $ln \pi$.

Pensando un anaco máis, definín a función $f(x)=\frac{x}{e}-ln x$ co obxectivo de estudar o seu crecemento:

$f'(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}$, que é positivo se x>e e negativo se x<e; i.e., f é decrecente antes de e e crecente despois, de onde deducimos que en x=3 ten un mínimo. Dando a volta ao razoamento que nos trouxo a esa función, $$f(e)<f(\pi) \Rightarrow 0<\frac{\pi}{e}-ln \pi \Rightarrow \pi >e \cdot ln \pi \Rightarrow e^{\pi}>\pi ^e $$ q.e.d.  

Supoño que lembro isto con certo orgullo inane porque agora mesmo xa non sería quen de argallar un argumento así de memoria. E iso que o esencial é ben simple: manipular as expresións ata atopar unha manexable co cálculo dunha variable.

Por moito narcisismo que poida padecer, o obxecto desta entrada non é que me adoredes por resolver un problema que calquera cuns coñecementos de cálculo elemental podería resolver tamén, senón presentar dous argumentos máis fermosos có meu, que atopei lendo por riba números do Pi Mu Epsilon Journal. Procedamos:

O primeiro que atopei, e segundo cronoloxicamente(outono de 1986), é obra de Alan C. Benander, quen reduce a desigualdade a amosar que  $\pi > e \cdot ln \pi$, como fixen eu. E aquí remata o parecido, porque entón fai o seguinte:

$$e \cdot ln \pi=e \int_1^\pi \frac{1}{t} dt=\int_1^\pi \frac{e}{t} dt$$

Que graficamente é a área da zona verde desta figura:


   

Por outra banda, $\pi$ coincide coa área do rectángulo laranxa, e a área da zona verde por riba da recta $y=1$ é 

$$\int_1^e \left( \frac{e}{t}-1\right)dt =e ln(e)-(e-1)=1$$

é dicir, coincide coa área do cadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), polo que a área verde é menor que a área do rectángulo laranxa, é dicir,

$$e \cdot ln \pi<\pi \Rightarrow e^{\pi}>\pi^e$$

No artigo Benander afirma que un argumento anterior (en primavera) de Norman Schaumberger é máis elegante. Xulgade vós:

Schaumberger comeza invocando o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral,

$$\int_e^ \pi \frac{dx}{x}=\frac{1}{c} (\pi-e)$$, con $e<c<\pi$

Polo que $$ln \pi-ln e<\frac{\pi-e}{e}=\frac{\pi}{e}-ln e $$

De onde $e ln \pi < \pi ln e$ e o resto é igual que antes.

E para rematar, en 1987 Fouad Nakhli publicou a seguinte demostración sen palabras no Mathematics Magazine. Aviso de que ás veces as demostracións sen palabras requiren de que o lector encha unhas cantas lagoas:

Escala totalmente forzada para que se vexa algo


Vedes? Se tivese unha idea no IASA como a destas tres demostracións, aínda tería sentido que fose levitando no mundo das ideas. Pero non é o caso.




22.6.24

Tropos en Matemáticas

 

No dicionario da RAG


Supoño que o amable lector saberá dos seus tempos de educación primaria e secundaria o que é un tropo. Eu estudei os recursos estilísticos en 7º de EXB, clasificados en semánticos, morfosintácticos e fonéticos, e dentro dos semánticos, que o profesor de Castelán comentase que a metáfora, a metonimia e a sinécdoque eran tropos. E lembro pensar como se parecía ao que contaban en Naturais dos fototropismos , xeotropismos e hidrotropismos(o gusto polas clasificacións será común en todos os sistemas educativos do mundo?) Estrañamente, non dixen nada en clase, a explicación máis probable é que estaría falando con alguén.

Mais na linguaxe cinematográfica en inglés hai un termo, movie trope, que parece facer referencia a estes tropos da literatura mais en realidade ten un significado máis próximo a tópico, tema ou motivo recorrente, ou incluso cliché ou estereotipo. Cuns exemplos entenderedes perfectamente de que estamos a falar:

Cantas veces vistes unha escena na que un personaxe esperta de ter un pesadelo e incorpórase case sen folgos?

Un protagonista metendo a zoca falando mal doutro personaxe, que está xusto detrás do primeiro?

Un vilán que ten deformidades faciais?

O policía que é moi eficiente pero ten problemas coa autoridade e con cumprir coas leis/dereitos humanos?

Deixando a un lado o oportuno destes temas recorrentes ou o preguiceiro que resulta o estilo, o certo é que supoñen atallos na narrativa. No momento que aparece unha escena, situación ou personaxe con estas características, todos os afeitos á linguaxe cinematográfica recoñece dunha ollada o que quere transmitir. 

A este significado quería referirme co título da entrada, i.e., cantas imaxes, exemplos, etc., son facilmente recoñecibles se as vemos nun encerado dunha aula de Matemáticas?

Vou poñer algúns das miñas propias clases e algúns que vin en innumerables ocasións en libros ou documentos pola rede. Estou certo de que ides recoñecer todos instantaneamente:


Depende de se están marcados os ángulos ou non, pensamos
 en algo que aparece en 1º ou en 2º de ESO


Outra, habitual en números racionais en 3º:


   
Un exemplo da aritmética/álxebra:

   


Recoñezo que a imaxe anterior, sorprendentemente, a utilicei desde o meu primeiro ano de traballo, mentres que as seguintes, que ilustran propiedades máis elementais, tardei uns anos en ver a necesidade:

  
Nesta tiven que facer trampa. Na aula non amoso un gif, senón que debuxo só a cuadrícula da esquerda e fago que todos os cativos xiren 90º a cabeza para ver o rectángulo con base e altura intercambiados. Coido que xa o contara por aquí.

 E aínda máis elemental, aínda máis recente a incorporación ás miñas aulas,

   

Neste caso o que fago é poñerme á esquerda e mirar desde aló á secuencia de puntos e logo moverme á dereita e mirar no sentido contrario.

Pero quizais estas últimas imaxes non sexan tan habituais das aulas en xeral, volvamos a algo recoñecible como estándar.

É unha verdade universalmente recoñecida que cando os triángulos
rectángulos están pousados na hipotenusa, vas aviado



Cúbicas bonitas, claro


E a imaxe anterior admite variacións para converterse nunha das imaxes máis típicas:



Cando animo os puntos no geogebra fago ruidiños polo baixo,
simulando un one button game dos tempos do Flash

 

E que dicir desta?

 
Aposto a que a anterior aparece moito máis que este outro caso, por que será, eh?

  



Outro clásico:

   


Agora mesmo xa só veñen exemplos rebuscados á memoria. Imos deixar que repouse e quizais volva con outra entrada. Podedes mandar as vosas suxestións, serán benvidas.