Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-5

 

Rematamos a serie dedicada aos problemas da fase local deste ano co problema máis sofisticado dos cinco. Xulgade vós.

Problema 5:

Para o desfile de tropas romanas e castrexas do Arde Lucus 2026, hai inscritas exactamente 100 persoas. A organización só admite dous tipos de agrupacións:

• Patrullas pequenas, de 6 persoas.
• Cohortes grandes, de 10 persoas.

Non se permite deixar ninguén fóra nin formar agrupacións incompletas e non hai un número mínimo de agrupacións de ningún dos dous tipos.

1. Encontra unha posible forma de organización das patrullas e cohortes.
2. Atopa todas as organizacións posibles das patrullas e cohortes.
3. Cal é o mínimo número de formacións posibles? E o máximo?
4. Se nas seguintes recreacións participa outro número diferente N de persoas, para que valores de N será posible organizar as tropas deste xeito?

Non serei eu quen proteste pola inclusión dunha ecuación diofántica lineal, obviamente, pero só quería comentar que unha situación semellante xa caera na fase local  de 2015, no problema 3.  Lémbroo porque aquel ano foran 4 alumnos meus de Cedeira á fase local, que daquela se celebraba no IES Carvalho Calero.

Ah, e unha anécdota: cando estaba no salón de actos do meu instituto facendo o tempo despois de explicar como ía o conto dos códigos, díxenlles aos cativos que como a olimpíada se organiza en Lugo, é típico que metan algún problema co tema do Arde Lucus, a muralla, etc. Cando sentei e mirei os problemas, tiven que interromper o comezo da resolución para anuncialo: "VISTES O 5º PROBLEMA?!"

Se non perezo antes co choio deste fin de curso e a sensación de que cada ano que pasa, son peor profesor, agardo comentar os problemas da fase final, que é o 21 de maio. Veremos.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-4

 

Botades en falta algún tipo de problema ata agora?

Si?

Quizais un problemiña na fronteira entre a lóxica e o sentido numérico, onde haxa que facer un razoamento no que aparezan minimamente números?

Imaxinades que agora dixese eu:"Pois non, o problema de hoxe vai de álxebra"? Sería maquiavélico.

Problema 4:

Antía, Bea, Cloe, Diana e Elia disputaron unha carreira na que non houbo empates. Antía chegou tantos postos antes ca Bea como Diana de Elia. Nin Cloe nin Elia chegaron terceira nin quinta.

Normalmente replico as figuras dos problemas, neste caso
entenderedes que chante a imaxe do documento orixinal

Cal foi a orde de chegada?

Eu seguramente poría este problema ao comezo, para animar a rapazada. Polo demais, nada que obxectar, só comentar que este é o típico problema onde é habitual atopar soamente a solución, laconicamente escrita, dun xeito aínda máis acusado que no 1º problema.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-3

O terceiro problema sorprendentemente tamén era de xeometría. E tamén de áreas.

Pero requiría un razoamento totalmente diferente.

Problema 3

No cadrado ABCD, os puntos E, F, G e H son os puntos medios dos lados.

Se I é o punto medio do segmento GH, que fracción da área do cadrado ABCD representa a área o triángulo EFI?

   

Confeso que me fallou a intuición: en canto vin a figura pensei que precisaría usar a semellanza de triángulos, e cando por fin sentei no salón de actos, despois de repartir as follas e atender os participantes, puiden resolvelo simplemente "recortando" figuras cos lados paralelos aos lados de ABCD. E logo aínda mellor, só movendo un punto.

O problema é ben fermoso, mais coido que se dependese de min, sacrificaría ou ben este ou ben o anterior.

O 4º problema si que vos sorprenderá.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-2

 

Imos co 2º problema da fase local. 

Problema 2

No polígono da figura cada lado é perpendicular aos dous adxacentes e todos miden o mesmo. Se o perímetro desta figura é 56 u:

a) Canto mide a área?

b) Canto mide o segmento AB?

   

Non teño moito que comentar agás que se eu dese este ano 2º de ESO (que non dou, pois só dou cursos impares), os meus alumnos a estas alturas non coñecerían aínda o Teorema de Pitágoras.

E que esta figura intúo que pode dar acubillo a outros problemiñas tamén axeitados para este nivel. Sen pensar moito, o cálculo desta área:

  

Ou atopar os dous segmentos unindo vértices da figura que non se toquen e cuxas lonxitudes dean a suma mínima. Que é susceptible de poñer outras restricións, como que unan vértices pero só pasen polos vértices que son os seus extremos, para evitar horizontais e verticais.

   

E pensando un chisco máis, talvez non moi axeitado xa, poderiamos preguntarnos polos triángulos ou rectángulos con área mínima que conteñen a figura.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local

via GIFER

Seguindo coa roda do ano, velaquí comeza a xeira cos problemas propostos polos amigos de AGAPEMA na fase local da olimpíada matemática galega 2026, que se celebrou o xoves pasado.

Problema 1

Na seguinte multiplicación, cada letra representa unha cifra.

As letras que se repiten corresponden a unha mesma cifra.

Cada letra distinta representa unha cifra diferente.

   

Sabendo que P=2T, obtén que cifra se corresponde con cada letra.

É probable que os participantes nunca visen un aritgrama antes de presentarse a esta olimpíada(quizais, se houber, na preparación). Onde máis se nota a falta de familiaridade co formato é na ausencia de deducción, i.e., no feito de que non se perciba unha secuencia de razoamento no traballo dos cativos. Que vai parella á falta de madurez matemática, xa intuídes.

Neste problema o primeiro que se pode deducir é que P ten que ser par, o que obriga tamén a que T sexa par. Como letras distintas corresponden a cifras distintas, P non pode ser nin 0 nin 6, axiña acha un que P ten que ser 8, e T, 4. Pois ben: o máis común é ver que no traballo dos cativos apareza da nada P=8, T=4. Se o problema non ten moitos casos que comprobar, é común que o único que se vexa, por moito que avises, sexa a solución crúa. Aínda que no caso de P e T é comprensible pois o certo é que é case inmediato.

Por non desvelar moito, só quería apuntar que é evidente que onde hai que argallar é na pescuda de M e R. E tampouco leva moito, a fin de contas xa non quedan moitos casos que comprobar.

En conclusión, un bo primeiro problema.