13.5.21

Divertimento xeométrico(9)

Unha das consecuencias inesperadas da situación anómala do ensino en confinamento do ano pasado foi que esquecín case todo o traballo que fixen desde marzo ata xuño. Si lembro os vídeos fuleros que subín a youtube con explicacións, e algún applet novo que elaborei en geogebra, mais os documentos con tarefas, non sei a razón, caeron no esquecemento.
E onte estaba a buscar algo rápido de vectores para propoñer como tarefa ou para utilizar na aula en 4º, e atopei de pasada este fermoso e sinxelo feito que, co obvio que resulta, non coñecía ata que o lin nun libro de texto estadounidense. Libro que tamén esquecín, claro.

Velaquí:

Debuxa un cuadrilátero calquera, fai unha copia e traza unha diagonal distinta en cada copia. Recorta os dous cuadriláteros polas diagonais trazadas. Coas catro pezas obtidas sempre é posible armar un paralelogramo.

Se facedes a actividade, veredes que en canto cortades 
os dous cuadriláteros, deixan de parecer iguais

Por se non queredes ver a solución, oculto cun botón un gif coa animación de como hai que montar o paralelogramo.

E se alguén sabe que libro de texto pode ser a fonte, agradecería que me achegase a información.


SPOILER PRECIOSO

8.5.21

Algunhas aproximacións de π

Debido a unha conversa cun compañeiro sobre xeometría en 2º de ESO, decateime de que nunca xogara coas aproximacións clásicas do número π. E tiven que fedellar un chisco, claro, e o resultado é este applet que comparto.

Nel aparece a construción clásica de Arquímedes, que aproximou o número π utilizando polígonos regulares inscritos na circunferencia. É ben coñecida a lentitude na converxencia deste proceso, e iso que non afrontamos problemas de cálculo como tivo Arquímedes, que necesitaba primeiro avaliar as raíces cadradas que ían aparecendo.

Engadín tres aproximacións en serie de π, a de Gregory-Leibniz, a do Problema de Basilea de Euler e a de Ramanujan-Sato, esta última é unha licenza cómica que me permitín. O meu obxectivo neste applet é que se vise a velocidade de cada aproximación, non incluín o cálculo dos erros porque, ademais de que as simples aproximacións xa son elocuentes, non quería sobrecargar máis de información o applet, que como veredes, xa case pide papas. Pensei en introducir tamén o algoritmo de Chudnovsky, pero coido que co de Ramanujan xa era abondo.

Pois iso, oxalá vos preste tanto como a min:



Vedes por que creo que coa aproximación de Ramanujan abonda?

2.5.21

Cousas que só atoparás nun libro de texto- 5

Estiven a pescudar no blog e tamén na conta de twitter para comprobar se xa mencionara o terrible exemplo que vou compartir hoxe, pois xa vin esta marabilla outros anos e é xusto o tipo de trapallada pola que devezo. E efectivamente, hai catro anos xa laiara por aló.

Poñamos o contexto: Matemáticas Académicas, 4º ESO, Unidade: Trigonometría, Editorial: Santillana (quen se non?). Antes do prato principal, vexamos algo menos importante pero definitorio do libro:

    

      

Vedes? No exercicio 32, co título PRACTICA, os dous exercicios tipo de resolución de triángulos rectángulos, i.e., un no que se dan dous lados e outro cun lado e un ángulo agudo. O previsible. E aínda que o apartado b) non require do uso de ferramentas puramente trigonométricas, o realmente estúpido empeza despois: no 33, APLICA, volven poñer un exercicio como o 32 a). E no 34, REFLEXIONA, outro igual que o 32 b). É a tónica xeral no libro: a estupidez manifesta. A miña sospeita é que tiñan un deseño predeterminado que soaba ben, PRACTICA-APLICA-REFLEXIONA, e logo puxeron exercicios random.


Visto onde estamos a xogar, vaiamos ao principal, na páxina seguinte do libro: 

     

É todo tan desopilante que resulta alucinante admitir a idea de que expertos en Matemáticas(polo menos en Matemáticas de nivel de instituto) pensasen que este era un bo exemplo inicial para ilustrar unha estratexia estándar na trigonometría, que se vén coñecendo en libros de texto como "estratexia da altura" (basicamente, introducir un segmento auxiliar para que agromen dous triángulos rectángulos).

Tenis, EN SERIO? Sóalles aos autores que a pista de tenis TEN UNHA REDE? Que significan entón os datos do problema? 17 e 10 metros... en liña recta e horizontal? 30 graos... de ángulo plano? Porén, podemos intuír que son conscientes de que existe outra dimensión ademais do largo e o longo porque marcaron a sombra dos monifates. 

Como os meus alumnos xa me coñecen abondo a estas alturas de curso(ademais, un terzo dos de 4º xa me tiveron diante o ano pasado, e algúns de bacharelato xa é o 3º ano consecutivo, pobres), saben que cando uso o libro de texto para explicar algo a razón é que teño algo que criticar nel. En concreto, nesta clase deixeilles un anaco para que adiviñasen por que eu pensaba que este exemplo era unha merda.

A conversa foi interesante: un comentou que o triángulo non era rectángulo, neste momento da unidade este feito é algo inesperado certamente, expliquei que iso ía deixar de ser un problema nesa mesma clase; mais ningún ousou dicir que non tiña en conta que a pista ten unha rede, e que as traxectorias non son as liñas rectas horizontais necesarias para resolver con eses datos de partida.

Finalmente, falamos de que outros deportes podían dar lugar, en teoría, a situacións nas que o enunciado fose coherente. Saíu o billar obviamente, onde aproveitei para comentar o principio de Fermat, e tamén mencionei o crocket, que debido á raíña de corazóns sempre está presto na miña memoria para choutar á mínima. E despois resolvín o problema xa traducido ás Matemáticas, o problema que os autores do libro de texto querían propoñer pero non souberon como.

Claro que a situación real do tenis necesitaría mesturar cuestións físicas con esta entrada de Cibrán, e iso escapa da amplitude de 4º de ESO.

17.4.21

Crebacabezas de 2 pezas


Aproveitando que estamos dando Xeometría, mandeilles aos alumnos de 4º unha folla con dous modelos idénticos a este:

Crebacabezas con 2 pezas

Cunha sucinta explicación do que tiñan que facer:
  • Recortar cada modelo e plegar pola liña de puntos para obter dous poliedros máis ou menos así:
Link

  • Agora xa tedes as dúas pezas do crebacabezas. Só tedes que ensamblalas para formar un tetraedro regular.

O puzzle é ben coñecido, adoita aparecer como ilustración das seccións do tetraedro, e xa forma parte do folklore matemático/da educación matemática. Lembreino desta volta mentres pasaba páxinas do libro de xeometría de Michael Serra, onde vén un modelo de tamaño mínimo, o que me obrigou animou a facer o modelo en geogebra, as imaxes que vedes arriba están en formato debuxo de google agora.

E non ten nada que ver co que estamos dando en clase. Pero deime o capricho, basicamente. Se alguén quere usalo cos seus alumnos, recoméndolle que faga un modelo por DIN-A4, eu fixen dous para dar só unha folla e queda demasiado pequeno.

Outro día, se teño tempo e ganas, fago modelos para o puzzle incluído en Un ítem famoso.

2.4.21

Divertimento xeométrico(8)

Xa vai sendo habitual que, revisando libros da colección, se caio nos de Ross Honsberger acabe atopando algunha figura elemental axeitada para este blog. O de hoxe apareceu pasando páxinas de Mathematical Delights, libro cun título ben merecido na miña opinión. Observade:


Consideremos un segmento AB e un punto móbil nel, P. Eriximos senllos triángulos equiláteros APQ e PBR sobre as bases AP e PB. Unimos mediante segmentos o punto A con R e o punto B con Q, e chamamos á súa intersección K.

Aposto a que xa sabedes o que vén agora


Pois ben, a pregunta é case obrigada:

Que figura percorre o punto K cando o punto P percorre o segmento AB?

Este é un deses casos nos que é sinxelo intuír a solución, é sinxelo estar convencido, mais non é tan inmediato atopar o xeito de demostralo.

Pero fedellemos un chisco máis nesta figura:

Seguramente o punto medio entre eses vértices Q e R, W, fará algo semellante ao que fai K, non si? Que opinades antes de meter a figura no Geogebra?

     

E para o final, o máis interesante (e complicado por tanto):

Que sucede se consideramos un dos dous triángulos equiláteros reflectido respecto ao segmento? É dicir, o outro triángulo equilátero que cumpre o mesmo pero está por embaixo. Na figura, o caso no que reflectimos é o que ten lado PB:

      
Neste caso consideramos as rectas que pasan polos vértices, os segmentos previos non chegan a cortarse. Chamei G(chamouno geogebra) ao punto de corte desas rectas, que figura percorre G cando P percorre o segmento AB?

Non mirei máis, pero quizais o cuadrilátero formado por A, O, B e Q teña tamén propiedades interesantes. Deixamos a investigación ao amigo lector.