Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local-5

 

Rematamos a serie dedicada aos problemas da fase local deste ano co problema máis sofisticado dos cinco. Xulgade vós.

Problema 5:

Para o desfile de tropas romanas e castrexas do Arde Lucus 2026, hai inscritas exactamente 100 persoas. A organización só admite dous tipos de agrupacións:

• Patrullas pequenas, de 6 persoas.
• Cohortes grandes, de 10 persoas.

Non se permite deixar ninguén fóra nin formar agrupacións incompletas e non hai un número mínimo de agrupacións de ningún dos dous tipos.

1. Encontra unha posible forma de organización das patrullas e cohortes.
2. Atopa todas as organizacións posibles das patrullas e cohortes.
3. Cal é o mínimo número de formacións posibles? E o máximo?
4. Se nas seguintes recreacións participa outro número diferente N de persoas, para que valores de N será posible organizar as tropas deste xeito?

Non serei eu quen proteste pola inclusión dunha ecuación diofántica lineal, obviamente, pero só quería comentar que unha situación semellante xa caera na fase local  de 2015, no problema 3.  Lémbroo porque aquel ano foran 4 alumnos meus de Cedeira á fase local, que daquela se celebraba no IES Carvalho Calero.

Ah, e unha anécdota: cando estaba no salón de actos do meu instituto facendo o tempo despois de explicar como ía o conto dos códigos, díxenlles aos cativos que como a olimpíada se organiza en Lugo, é típico que metan algún problema co tema do Arde Lucus, a muralla, etc. Cando sentei e mirei os problemas, tiven que interromper o comezo da resolución para anuncialo: "VISTES O 5º PROBLEMA?!"

Se non perezo antes co choio deste fin de curso e a sensación de que cada ano que pasa, son peor profesor, agardo comentar os problemas da fase final, que é o 21 de maio. Veremos.

Olimpíada Matemática Galega 2026-Fase Local

via GIFER

Seguindo coa roda do ano, velaquí comeza a xeira cos problemas propostos polos amigos de AGAPEMA na fase local da olimpíada matemática galega 2026, que se celebrou o xoves pasado.

Problema 1

Na seguinte multiplicación, cada letra representa unha cifra.

As letras que se repiten corresponden a unha mesma cifra.

Cada letra distinta representa unha cifra diferente.

   

Sabendo que P=2T, obtén que cifra se corresponde con cada letra.

É probable que os participantes nunca visen un aritgrama antes de presentarse a esta olimpíada(quizais, se houber, na preparación). Onde máis se nota a falta de familiaridade co formato é na ausencia de deducción, i.e., no feito de que non se perciba unha secuencia de razoamento no traballo dos cativos. Que vai parella á falta de madurez matemática, xa intuídes.

Neste problema o primeiro que se pode deducir é que P ten que ser par, o que obriga tamén a que T sexa par. Como letras distintas corresponden a cifras distintas, P non pode ser nin 0 nin 6, axiña acha un que P ten que ser 8, e T, 4. Pois ben: o máis común é ver que no traballo dos cativos apareza da nada P=8, T=4. Se o problema non ten moitos casos que comprobar, é común que o único que se vexa, por moito que avises, sexa a solución crúa. Aínda que no caso de P e T é comprensible pois o certo é que é case inmediato.

Por non desvelar moito, só quería apuntar que é evidente que onde hai que argallar é na pescuda de M e R. E tampouco leva moito, a fin de contas xa non quedan moitos casos que comprobar.

En conclusión, un bo primeiro problema.

Unha idea non tan peregrina

 

   

Estaba pensando nunha función con dominio nos números naturais que se me ocorrera, e a mente choutou á sucesión que comeza deste xeito:

1, 3, 5, 7, 9...

Os impares? A gran cousa...

Non, non, non sexades impacientes, observade uns termos máis:

1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99,...

Todo cheo do meu achádego, deume por mirar en OEIS, e claro, aló andaba.

Polo que, se non queredes estragar a diversión, non vaiades.

Ah, e a imaxe da cabeceira non dá pista ningunha, só amosa a colocación dos elementos da sucesión na estrutura da espiral de Ulam(o 1 está no centro). Por que está, logo? Porque me pareceu bonita.

Dous rápidos para despois da enchenta

 

Choutando pola rede dei con outras ideas que non coñecía do grande Nob Yoshigahara, do que compartín dous problemiñas hai só catorce anos.

E das ducias que podería traer hoxe, escollín só dous que entran dentro da categoría do que Lewis Carroll chamaría (dun xeito demasiado optimista na miña opinión) problemas de almofada.

O primeiro, aritmético, si creo que se pode resolver de cabeza:

É sabido que os díxitos do 1 ao 9 cumpren que

$$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$$

e

$$1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9=362880$$

Pois ben: existe outra posibilidade para 9 números cunha soa cifra que sumados dean 45 e multiplicados 362880? Obviamente, pódense repetir, se non, non habería problema.

No 2º problemiña coido que é sinxelo adiviñar a solución, mais é destes problemas dos que sorprende como asolaga a mente cando tentas desenguedellalos, de camiño á solución(será iso que chaman a memoria de traballo?)

ABCD é unha longa folla rectangular de papel. Cando a dobramos ao longo de EF, AB cae enriba de A'B', e a distancia entre A'B' e CD é 2 centímetros:

   

Pero cando dobramos a folla ao longo de GH, con CD caendo enriba de C'D', a distancia entre C'D' e AB tamén mide 2 centímetros;

   

Adiviñades a pregunta?

Si?

Velaquí:

Cal é a distancia entre EF e GH?

Se quedou un oco despois dos polvoróns, xa tedes algo para ocupalo. 

Un problema da TAMU

 

O acrónimo estraño do título é o que aparece no concurso de Matemáticas de instituto da Universidade A&M de Texas. Coñezo este concurso desde hai máis de dez anos e nunca mirara que significa A&M. Polo visto orixinalmente esta institución chamábase Agricultural and Mechanical College of Texas. Cambiou en 1963 (sería pola efeméride?) ao actual e misterioso A&M Texas University. Outra anécdota de siglas que despistan, como o nome do xogador dos Lakers do Showtime A.C. Green, 

O concurso ten distintas versións, AB, BC, CD, DE e EF, dependendo das dúas materias máis avanzadas que estudasen os alumnos: A- Pre-Álxebra, B- 1º curso de Álxebra, C- Xeometría, D- 2º curso de Álxebra, E- Trigonometría e Xeometría Analítica, F- Matemáticas Avanzadas. E é habitual que aparezan pequenas marabillas elementais, como esta que traio hoxe do concurso BC de novembro de 2024:

Dentro dun cadrado dous vértices opostos son unidos mediante 3 segmentos de lonxitudes 5, 1 e 4, como amosa a figura. Atopa a área da rexión sombreada.

   

Xa comentei en bluesky que a figura non está feita a escala, e agora non sei se foi adrede ou se simplemente non tiveron a paciencia suficiente.

Como é usual neste blog, non quero estragar a experiencia co problema do amable lector, mais tampouco vou deixar pasar a oportunidade de dicir algo, quizais non inmediato:

En primeiro lugar, se xeneralizamos o problema cambiando os datos 5, 1, 4 por a+1, 1, a, non vos poño a expresión pero é elocuente.

En segundo, observade que cousa bonita:

Coa escolla de cores que fixen, isto tería que
ser o taboleiro dun xogo de mesa, non si?

Para que vexades a variedade, neste mesmo concurso, que ten 20 cuestións, esta é a 14:

Considera a fracción $\frac{6n-1}{7n+1}$, sendo n un natural. Atopa o mínimo valor de n para o cal a fracción non é irredutible.

Tentade resolvelo sen ir probando os números naturais en orde(que tampouco leva moito).

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 2

O segundo problema da fase final, un vello coñecido, que adoita aparecer nas miñas aulas nos Problemas Difíciles para Xente Intelixente(que hai só once anos dixen por aquí que tiña que compartir):

 

Temos dúas moedas. Na cara superior de cada unha están escritos os números 7 e 10 respectivamente. Se lanzamos as dúas moedas ao aire e sumamos os números que saen, podemos obter estes catro resultados: 11, 12, 16 e 17. Investiga que números están escritos na cara oculta de cada unha.

A miña dúbida ante este problema é que farían os participantes. Porque os que xa temos a ferramenta alxébrica interiorizada hai décadas imos poñer con seguridade a e b para os números das caras ocultas e ver as combinacións; non usar as incógnitas leva a ter máis datos e relacións xogando simultaneamente na cabeza.

E dado que os números son pequenos e manexables, sempre poden ir, por proba/erro, tentando, fallando, cambiando os números. Aínda decatándose sen álxebra de que as caras ocultas teñen que sumar 11 ou da relevancia de que os 4 posibles resultados se poidan separar en dúas parellas que sumen o mesmo.

Teño a sospeita de que os cativos que fosen probando omitirán unha das dúas solucións, ao atoparen a primeira por proba/erro darían por rematada a busca. Oxalá alguén da organización botase algo de luz sobre este asunto.

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final

 

Esperando que aparecese na web de Agapema o documento cos 5 problemas, onte tiven información privilexiada dun amigo de Lugo, que seguramente se apiadou de min e deste blog. Sexa como for, velaquí o primeiro problema:

O patricio Gaius Lúcius e a súa esposa Aelia teñen cinco fillos, cuxas idades son números pares.

• A suma das idades das súas tres fillas é igual a 32 anos e teñen anos diferentes.

• A suma das idades dos seus dous fillos varóns é igual a 16 anos, e teñen anos diferentes.

• A suma das idades dos dous fillos maiores é igual a 28 anos.

• A suma das idades dos dous fillos máis novos é igual a 12 anos.

Determina a idade de cada descendente da familia Lúcia e especifica se é un varón ou unha muller. Explica o teu razoamento e indica todas as respostas posibles.

Aparentemente o problema é inofensivo: pódese probar, non hai moitos casos, etc. Pero para que un alumno de 2º de ESO resolva por completo esta situación hai que recoñecer que ten que amosar que é meticuloso e que percibe os obstáculos.

Un bo primeiro problema para comezar.

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local-2

 

O segundo problema era dos de fedellar. Como matemático (máis ou menos), un tenta resolvelo de xeito secuencial, con pasos necesarios no sentido lóxico; os cativos, en troques, van probar a sorte en canto haxa bifurcacións. E quizais sexa máis eficaz esa estratexia. Xulgade vós:

Problema 2:

Completa os 12 cadrados baleiros, explicando o procedemento seguido, con números que sexan múltiplos de 3, non maiores de 18, de xeito que sexan correctas as operacións en horizontal e en vertical:

   

Varias cuestións saltan á vista, alén da verbosidade de "non maiores de 18", sexa ou non inmediata a resposta:

• Podemos usar números negativos? Cousa que preguntou un participante na zona de Ferrol
• Aparecerá o 0?
• Repítense números? Supoñendo que sexan non negativos, a resposta é obvia, o que non é óbice para que o dubide algún participante.

Tentastes resolvelo? Alén dos dous primeiros pasos, probastes ou deducistes?

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Local

 

Seguro que xa notabades unha perturbación na forza: Como, o pesado este non escribe a perentoria publicación sobre a olimpíada de 2º de ESO de abril?

A explicación é sinxela: alguén tiña que facer uns calendarios de exames para o seu centro, e aínda non estivera cinco minutos totalmente ceibo de choio.

Comezo logo a miña crítica anual dos problemas propostos, pero desta volta non teño a habitual queixa coa dificultade do primeiro problema. Era sinxelo, o cal penso que é bo para animar aos rapaces, pois nunha proporción abafante comezan polo 1º problema.

Problema 1

1000 barcos navegan polo delta representado na figura. Unha cuarta parte van cara a D, unha quinta parte cara a E e o resto cara a B. No punto D, $\frac{2}{5}$ dos barcos diríxense cara a A e o resto cara a B. No punto E, $\frac{3}{4}$ dos barcos van cara a C, e o resto cara a B. Cantos barcos chegan a B?

O que non sei moi ben é que representan eses cepillos boca abaixo   

Sinxeliño para alumnos de 2º, non? A ver se cando remata o proceso hai maneira de estimar cantos o fixeron perfectamente. Eu aposto que máis do 90%.

O único obstáculo seguro que xa o vistes automaticamente: cativos que esquezan ou ben os barcos que van directamente a B ou ben os barcos que van a B desde D ou E. Nada máis. Porque todos os que se presenten á olimpíada van dominar as fraccións, obviamente. Non é mal exercicio incluso para unha aula ordinaria de 1º de ESO, na miña opinión.

Un pequeno atraco

 

Nos 16 anos deste blog puxen unha morea de problemas que eu non resolvera previamente, imaxino que é evidente para os lectores. Porén, coido que todos os problemas que trouxen ocuparon algo da miña mente, polo menos para sopesar a súa dificultade. Iso non evita que me trabucase unhas cantas veces, sobre todo ao principio, cando propoñía moitos problemiñas recreativos; nalgunha ocasión apareceu un sen solución, descuberto grazas a comentaristas anónimos.

O preámbulo avanza que non pensei no seguinte problema, só teño o pálpito de que é interesante e difícil(que adoitan ser características concomitantes). Oxalá non me trabuque.

A imaxe explícase soa, pero haberá que concretar as preguntas, digo eu:

Comezamos un camiño de segmentos unitarios na orixe de coordenadas da cuadrícula enteira, polo 1º cuadrante. Observamos que o camiño pasa por todos os puntos de coordenadas enteiras non negativas.

• Cales son as coordenadas do n-ésimo punto do camiño?

Por poñer un exemplo, o 12º punto é o punto (3, 2)

E teño menos confianza aínda en que sexa sinxelo contestar á seguinte cuestión:

• Cal é posición no camiño do punto (a, b) da cuadrícula?

Por exemplo, o punto (1, 1) é o terceiro punto do camiño, e o (5, 6) ocupa a posición 42ª.
 

Intrigante, non si? A ver se teño tempo eu para fracasar tentando resolvelo.

Editado o 30/03/25(o día seguinte, vaia): A senectude, a présa, a cólera do heroe, ou outra cousa, provocaron que esquecera compartir a fonte do problema, que é Recreational Mathematics de Paul Yiu, fonte formidable de problemas que leva vinte anos arrolando pola rede. Seleccionade o texto e dádelle a buscar, sairá un feixe de opcións para atopalo. Unha marabilla. 

O concurso Georg Mohr 2025-2

 Continuemos con esta marabilla de concurso. Na anterior entrada non aclarei que as primeiras dez cuestións son de resposta múltiple, a escoller entre 5 opcións, mentres que as dez últimas son "problemas de resposta". Para o total de 20 cuestións do exame, os alumnos dispoñen de 90 minutos, que non me parece moito, a verdade, para todo o que hai que roer.

Imos coa segunda xeira:

7) Sábese que os catro números a, b, c e d cumpren que $a<b<c<d$ e $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<\frac{1}{d}$. Cantos dos catro números son negativos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) non pode ser determinado

Este tipo de problemas puramente técnicos e abstractos encántanme. Cun nivel máis axeitado, teño posto algún en probas, tanto na ESO como en bacharelato, aínda que en bacharelato como bonus.

8) Nun lado dunha estrada infinitamente longa hai casas numeradas $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots $

Todas as casas son vermellas ou azuis. Unha casa é azul se as súas dúas veciñas teñen diferentes cores, en caso contrario, é vermella. A casa co número 492 é azul. Que pode afirmarse con certeza?

a) A casa 2024 é vermella b) A casa 2024 é azul c) A casa 2025 é vermella d) A casa 2025 é azul e) non se pode asegurar ningunha das opcións anteriores

Unha cuestión de lóxica con requisitos mínimos aritméticos sempre é benvida.

9) Temos que colocar os números do 1 ao 9 nas celas do seguinte cadrado. Os números da ringleira superior suman 19, e os números da ringleira inferior suman 15. Os números da columna esquerda suman 7, e os da columna dereita suman 14. Que número ten que colocarse na cela coa interrogación?

É poñer unha figura destas e oír sudoku na clase instantaneamente.

a) Un número impar b) 4 c) 6 d) 8 e) Non pode determinarse

Este ten a súa dificultade por cuestións de tempo. Un pode ser sistemático, e sae, pero leva o seu tempo; ou notar certos feitos e facelo rapidamente.

10) Unha urna contén dous caramelos negros e un caramenlo branco. Georg mete caramelos na urna seguindo esta regra: colle un caramelo ao chou da urna, e pon ese caramelo e outro da mesma cor na urna de novo. Fai este proceso 3 veces de tal xeito que reamta con 6 caramelos na urna. Cal é a probabilidade de que remate con 3 caramelos de cada cor?

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{4}$ d) $\frac{1}{5}$ e) $\frac{1}{6}$

Este si que me parece un chisco máis rutineiro, só ten a dificultade de que hai que ser meticuloso e que o alumnado sabe (en proporción) resolver peor problemas de probabilidade que de case calquera outro bloque.

Aquí rematan os multiple choice problems, e comezan os answer problems: 

11) Dunha lista das 100 palabras máis usadas en certa linguaxe, hai 70 palabras que conteñen a letra A e 60 palabras que conteñen a letra U, mentres que 20 das palabras non conteñen nin A nin U. Cantas das palabras conteñen tanto o A como o U?

Sempre que vexo un problema deste tipo penso en como será atacalo sen saber diagramas de Venn. Para os da miña xeración, que vimos diagramas de Venn no comezo da EXB é unha ferramenta tan natural que resulta case imposible pensar en non coñecela.

12) Georg escolle un natural de 2 cifras n. Cando divide 1010 entre n obtén resto 2. Que resto obterá ao dividir 2025 entre n?

Non sendo rutineiro para o alumnado, o certo é que é un problema clásico. Que sucedería se n tivese 1 cifra? Que o problema non tería solución única.

13) Paula ten unha bolsa que contén 3 E's, 3 G's, 3 H's, 3 M's, 3 O's e 3 R's. Extrae letras da bolsa, unha cada vez, sen mirar. Cantas letras ten que extraer como mínimo para estar segura de que pode escribir GEORG MOHR usando as letras extraídas?

Unha cuestión aritmética básica algo distinta á habitual dos calcetíns de dúas cores nun caixón. É tan elemental que seguramente (deste non tiven feedback na devandita recuperación) dará lugar ao fenómeno de distinguir entre as persoas que ven a dificultade instantaneamente e as que poden non chegar a vela.

14) Aisha está xogando ao billar nunha mesa de 282 cm de lonxitude e 155 cm de anchura. A bóla está á mesma distancia das dúas bandas e a 96 cm do fondo BC. Quere embocar a bóla na troneira en A golpeándoa contra a banda CD no punto P, como amosa a figura. Cal debe ser a distancia entre D e P se Aisha quere embocala en A?

   

Neste hai o obstáculo do feito, por outra parte ben coñecido, de que os alumnos saiban que o ángulo de incidencia e o ángulo de reflexión coinciden. Logo hai que facer unha conta.

15) Nun sistema de coordenadas un rectángulo cos vértices (0,0), (10,0), (10,5) e (0,5) é dividido en 50 cadrados unitarios. Para cada un dos cadrados o valor é definido como a suma das dúas coordenadas dos seus 4 vértices. Así, p.ex., o cadrado unitario con vértices (3,2), (4,2), (4,3) e (3,3) ten valor 3+2+4+2+4+3+3+3=24. Cantos valores distintos aparecen en total?

   

Este é máis sinxelo que a media do concurso, é inmediato decatarse de que sucede entre dous cadrados contiguos.

16) Determina o valor de $$\frac{20202^2 \cdot 80808^2}{40404^4}$$
Sabendo que é unha parvada, este tipo de exercicios encántame.

17)  Os números do 1 ao 2025 son escritos en fila nunha orde aleatoria. Randi engade 1000 números, un a un, ao final da ringleira deste xeito: mira aos últimos 2025 números da ringleira e engade a mediana deses 2025 números. Repite este proceso 1000 veces. Cal é a máxima cantidade de números distintos que pode haber entre os 1000 números que engade? 

Quizais sexa este o problema máis difícil desta xeira? Quizais. Hai que pararse para entender o que pregunta, hai que pararse para entender que non é tan difícil como parece nun 1º momento, e logo decatarse de que non é tan sinxelo como parece nun 2º momento.

18) Os tres parrulos Zip, Zap e Zup teñen cada un un número favorito, que é un natura maior que 1. Os tres números favoritos son distintos. Os parrulos din consecutivamente números, e se o seu número favorito é divisor do número pronunciado, teñen que erguer unha á. Zip di 20, e dúas ás son levantadas. Zap di 21, e unha á é levantada. Zup di 70, e os tres erguen unha á. Cal é a maior suma posible dos 3 números favoritos?

Este confeso que non me gusta tanto. Paréceme que ten un texto algo abstruso para a idea que encobre.

19) Dentro dun cadrado de lado 10 debuxamos un semicírculo, un cuarto de círculo e unha diagonal. Cal é a área da rexión gris?

Ás veces vexo o Pelegrín   

A quen non lle vai gustar un cálculo sintético de áreas entre circunferencias e rectas? A QUEN?

20) Dos naturais A e B sábese que a suma dos díxitos de A é 2025, e a suma dos díxitos de B é 60. Cal é o valor mínimo da suma das cifras de A+B?

Rápido, cal é o voso pálpito para o derradeiro problema? Veña, agora a demostralo.

Oxalá tivese eu a inventiva necesaria para crear problemas elementais tan divertidos. Que marabilla.

O concurso Georg Mohr 2025

 

En xaneiro tiven a recuperación da 1ª avaliación de Matemáticas I, e como é habitual, houbo alumnos que aprobaran e que non querían subir a súa nota, polo que busquei unha olimpíada recente entre as fontes que levo usando anos: O Torneo Harvard-MIT, as competicións da Universidade de Waterloo, a OBMEP, ...

Pero esta vez o gañador resultou ser a primeira rolda da competición Georg Mohr, da que xa teño collido problemas ben fermosos en moitas ocasións semellantes. A razón foi que lin o 1º ítem, gustoume, mirei por riba os demais, e apostei que ía estar ben. Logo, durante a recuperación, os alumnos que estaban coa competición preguntaron algunha cousa e descubrín que había moitas xoias ocultas neste concurso. Ata o punto de que é difícil escoller algunha, que era o que pensaba que ía facer despois no blog. En conclusión, de vinte problemas, hainos bos e hainos moi bos. Comezando polo primeiro, unha alfaia abstracta sen números:

 1) As 4 figuras amosan o mesmo rectángulo e o mesmo círculo, pero colocados de xeito distinto

En que figura a diferenza entre a área raiada e a área gris é maior?

a) A

b) B

c) C

d) D

e) É igual nas 4 figuras

Este problema paréceme fermosísimo por varias razóns, a primeira xa mencionada: non require(non pode) usar números, só razoar en abstracto. En segundo lugar, a nosa mente rápida quere crer que os tamaños relativos das dúas figuras e da súa intersección inflúen na resposta e tamén quere que intuamos (incorrectamente) que a parte branca está relacionada coa diferenza solicitada no enunciado. Unha marabilla para comezar.

2) Gerth quere construír un modelo de vía férrea. Ten un feixe de pezas de vía de lonxitudes 7 cm e 11 cm. Cal é o mínimo número de pezas necesarias para construír unha vía que mida exactamente 200 cm?

 a)  18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

O connoisseur recoñecerá instantaneamente a ecuación diofántica lineal subxacente, que non é estritamente necesario resolver, observando simplemente que a vía terá menos pezas cantas máis teña de lonxitude 11. E os colegas seguidores do blog lembrarán que un problema análogo xa aparecera aquí no contexto da fase local da Olimpíada Matemática Galega de 2015 (onde tamén poderán comprobar que a aparición dunha ecuación diofántica dispara o meu uso da palabra connoisseur)

3) Os números 1, 2, ..., 9 están escritos nun encerado. Níkolaj ponlle un 0 á dereita a un número e un 1 á esquerda a dous números. A suma dos números do encerado agora é 119. Cal dos números orixinais é o que ten o 0 á dereita?

a)  3  b) 6 c) 7 d) 8 e) Non pode ser determinado

 

Outra cuestión elemental que é un bo exercicio para o alumnado.

4) A figura amosa o plano dun parque de xogos onde instalaron barras estreitas para practicar equilibrio andando o camiño PQRSP. Os cadrados do plano teñen lonxitude 1 metro. Os círculos son plataformas, dous de raio 1 metro e dous de raio 2 metros. Cal é a lonxitude total da parte do camiño que circula fóra das plataformas?

   

  a)  16 m b) 18 m c) 20 m d) 24 m e) 26 m

Seguramente xa vistes esta idea nalgún concurso de resposta múltiple.

5) Alma lanza un dado co 8 caras cos números do 1 ao 8, e Bertha tira un dado con 20 caras cos números do 1 ao 20. Cal é a probabilidade de que obteñan o mesmo número?

 a)  $\frac{1}{8}$ b) $\frac{8}{20}$ c) $\frac{1}{12}$ d) $\frac{1}{20}$ e) $\frac{1}{28}$

Vouno deixar no 6º problema, probablemente un dos meus preferidos desta fase:

6) Un taboleiro rectangular de dimensións 2x2025 ten que ser cuberto con pezas coa forma

Os triminós sonvos un pouco sosos

De cantos xeitos podemos facelo se as pezas non se solapan?

 a)  1 b) 2025 c) 2·3·2025 d) 2025² e) $2^{\frac{2025}{3}}$

Non sei se me gustou máis porque no momento no que me preguntaron por esta cuestión no exame, a miña primeira intuición foi errónea. Se sodes dos que chegades a combinatoria en 4º de ESO, paréceme un bo problema fóra do estándar da aula, como enriquecemento é factible.

Unha caracterización dos números compostos

 

Todo o mundo sabe que son os números compostos, a definición é ben simple e é introducida moi cedo na educación dos cativos. Ademais, pódese visualizar xeometricamente, aínda que non estou seguro de que iso axude á maioría da xente que teña dificultades de comprensión, pois a miña experiencia di que os que teñen dificultades cun concepto, tamén lles vai resultar un obstáculo(ás veces formidable) tentar conectar con outra representación/caracaterización do concepto. De aí as protestas habituais do alumnado ante varias explicacións/presentacións da mesma idea.

Por se hai alguén despistado, lembremos que un número n é composto se pode ser expresado como produto de dous números menores que n. Formalmente, $\exists \ a, b \in \mathbb{N}, \ 1<a,b<n  \mid n=a \cdot b $

E a representación xeométrica habitual consiste en debuxar tantos puntos como indica o número, dispoñéndoos en cuadrículas que non teñan nin altura nin ancho 1. É dicir: 

O 12, cantas veces será factorizado en 1º e 2º de ESO?

Utilizamos a representación rectangular porque é a natural na aprendizaxe desde o comezo da nosa aprendizaxe, pero como vimos hai ben tempo cos diagramas animados de Data Pointed, tamén serve calquera representación que resalte os grupos iguais:

30=5·3·2

Porén, hai moreas de resultados que caracterizan os números compostos, ou, o que é equivalente, que caracterizan os números primos. Persoalmente, lembro aprender o Teorema de Wilson na carreira e pensar, candidamente, que nese curto enunciado estaba o segredo dos números primos, etc. Xulgade vós a miña candidez:

Se p é un número primo, entón $(p-1)!\equiv -1 (mod p)$

Se non estades familiarizados* coa linguaxe de congruencias, o que quere dicir é  que (p-1)! deixa resto p-1 ao dividilo entre p. Por exemplo, se p=7, (7-1)!=6!=720, que dividido entre 7 dá obviamente resto 6(pois $721=\dot 7$). Para comprender por que digo que eu era un inocente, podedes ver a entrada da wikipedia sobre os Tests de Primalidade.

*Por sorte iso ten fácil solución, non tedes máis que ler o último capítulo dos Bocados Matemáticos do compañeiro Paulo Ogando, "A aritmética do reloxo", onde mediante exemplos da vida moderna ides entender esta xoia que nos legou Gauss.

Aproveito para compartir aquí a Gauss fibrilando ante o pampo que era eu en 1º de carreira:

A miña magna obra, o meu legado para a posteridade: os gifs 

Agora que xa todos sabemos (frase que adoita ser falsa nas clases) o que son os números compostos, imos co motivo real desta entrada.

Hai dúas entradas aludín ao arquivo que gardo de problemas desde hai 20 anos, arquivo que non revisito adoito porque cada vez que collo unha páxina, acabo perdendo media tarde. Pero esta xoia, tirada  da Olimpíada de Estonia de 1997(que non está na web, curiosamente, a saber onde a vira eu), e que esquecera completamente, merecía tamén ser comentada:

Demostrar que n é composto se e só se existen $x, y, a, b\in \mathbb{N}$ tales que

$$\begin{cases}\large{a+b=n} \\ \large{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1} \end{cases}$$

E que significará xeometricamente esta condición, que aos máis vellos do lugar nos traerá á memoria a ecuación segmentaria da recta?

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-5

 

Xa chegamos ao último problema desta fase local:

O Club Baloncesto Ensino precisa unha nova xogadora para o equipo e contan coas seguintes candidatas, para as que anotaron estes datos incompletos:

XOGADORA A

   

XOGADORA B

   

a) Sabendo que a Xogadora A anotou 27 puntos no partido 4, calcula cantas canastras de 2 anotou.

b) Sabendo que a Xogadora B promediou 15,2 puntos nos 5 partidos, calcula cantas triplas anotou no partido 4.

c) Xustifica cal das dúas sería a mellor fichaxe para o Ensino.

Este problema lembroume aos que comezaron a meter as editoriais maioritariamente coa LOE, ao final das unidades, baixo epígrafes titulados "Competencia Matemática" ou algo similar. Na miña organización ideal da aprendizaxe (que nunca cheguei a verbalizar claramente), este tipo de problemas deberían ser habituais en 6º de Educación Primaria. Para esta olimpíada non o vexo moi axeitado, non vai servir para dirimir a competición en absoluto. Reparade en que a idea matemática do a) é entender o peso de cada tipo de canastra, e no b), o mesmo engadindo o concepto de media aritmética, que resulta un obstáculo máis semántico que matemático. O c) entraría no que deron en chamar modelización matemática, neste caso espérase que o alumno observe que o número absoluto de puntos só non dá toda a información necesaria. Claro que o feito de que non se usase a columna de tempo de xogo no a) e no b) tamén servía como pista.

En conclusión, coido que esta fase foi máis sinxela do habitual, eu botei en falta un chisco de razoamento combinatorio elemental ou de xeometría non dirixida estritamente á medida, e por outra banda, houbo varios problemas con escaso razoamento puramente matemático(pode que estea sensible despois de ver/padecer tamén a avaliación diagnóstico). Pero vaia, que isto o escribo eu desde Ferrol, como quen lle berra ao presentador do telexornal.

Como sempre, a ver se hai sorte e tamén podo comentar os problemas da fase final do mes que vén.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-4

Un problema de temática artística

 

Imos co cuarto problema desta fase:

A célebre parella formada por David e Victoria Beckham ten 4 fillos e fillas.

• O maior ten a metade dos anos do seu pai.
• A máis pequena, a cuarta parte.
• A suma das idades dos dous fillos medianos, que se levan dous anos, é a mesma que a idade do pai hai 10 anos.
• O número de anos que ten a filla pequena é o primeiro número de dúas cifras con 6 divisores.
• Victoria lévalle un ano a David.

Deduce cantos anos ten cada membro da familia.

O problema ten basicamente dúas dificultades: o obstáculo de que ata a cuarta condición non se pode empezar a pensar con números concretos, e o feito de que esta cuarta condición non é inmediata. Que conste que probando un a un, chegamos ao 12=2²·3 axiña, pero hai que ter certa destreza para estar seguro do que fai un e continuar con garantías.

Non vos vai dando a impresión de que este ano os problemas eran asequibles?

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-2

 

Imos co segundo problema da fase local deste ano.

a) Cal é o número máis grande de tres cifras que verifique os criterios de divisibilidade do 4 e do 11?

b) Cal é o número máis pequeno de catro cifras divisible por 6 e por 7?

c) Cal é o número máis pequeno de cinco cifras divisible por 6 e por 9?

Estou certo de que os rapaces participantes recoñeceron este problema como familiar. E aínda que ningún profesor sabe que fan os seus compañeiros nas súas aulas, todos temos unha opinión. Eu, por exemplo, coido que este tipo de tarefa se fai nas aulas de 1º e pode que de 2º tamén, extrapolando do que fago eu e de ver cousas similares en libros de texto. Observade este exercicio dun exame meu de 1º de ESO de hai dous anos:

   

Veña, poño outro exercicio daquel exame, con datos que inventei totalmente cando daba clase en Oleiros:

Con eses ritmos, todos os barcos ían dar contra o Seixo Branco ou A Marola

Ese exercicio 7 que puxen tiña unha diferenza con respecto aos da olimpíada, alén de que desde o punto de vista do cálculo sexa máis sinxelo: non lles deixaba usar calculadora nese exame, polo que a estratexia "ir mirando número a número ata que un funcione" levaría máis, ata o punto de ser impracticable.

Por outra banda, non entendo moi ben a elección das palabras no apartado a). Pretendían que os alumnos pensasen realmente nos criterios de divisibilidade(que aquí molestan máis que axudan)? Pretendían que os alumnos traducisen o enunciado de un xeito máis amigable, que a fin de contas, é o que poñen o b) e o c)?

A resolución, como é un exercicio estándar, podemos intuír por onde vai: no a) observamos que un múltiplo de 4 e de 11 ten que ser múltiplo de 44. Dividimos 1000 entre 44, obtemos resto 32, co cal 1000-32=968 é o número buscado. Pero hai estratexias alternativas: 990 é obviamente múltiplo de 11, pero non de 4, restando 22 directamente (non 11, porque non sería par) obtemos 968. Ata pode que algún alumno vexa rápido ou saiba de antemán que 1001 é múltiplo de 11 (lembrade o efecto dos números co aspeco abcabc).  

Pero como os cativos podían utilizar calculadora, tamén podían simplemente probar. Podemos supoñer que os participantes teñen habilidades por riba da media, así que moito non lles levaría atopar o 968.

Tampouco entendín a redundancia nos apartados, a única diferenza entre o b) e o c) é que 6 e 7 son coprimos pero 6 e 9 non, sorprenderíame que algún dos participantes pensase que tiña que buscar múltiplos de 54 no segundo caso. Sempre é máis sinxelo criticar os problemas que inventalos/propoñelos un mesmo, eu intúo que poría, en troques de 3 apartados tan similares, un deses e outro no que tivesen que atopar números múltiplos comúns de dous que non fosen múltiplos doutro relacionado(p.ex. 6, 15 e 60 ou 90)

E os que temos certa experiencia cos primeiros cursos da ESO sabemos que, por moito que se lles diga que se valora a explicación das respostas, vai haber unha morea de respostas lacónicas

a) 968

b) 1008

c) 10008

   Sería interesante ter datos sobre este particular.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local

 

A edición deste ano da Fase Local da Olimpíada Matemática Galega de 2º de ESO celebrouse onte, 25 de abril, coincidindo co 50 aniversario da Revolución dos Caraveis. Outra gran experiencia para os alumnos e espero que tamén para o profesorado acompañante que veu ao IES Canido. Para min, desde logo, sempre é agradable ter visitantes no meu instituto.

Como (case) todos os anos, procedo a compartir os problemas desta fase. Imos co primeiro:

Cinco localidades A, B, C, D e E, encóntranse situadas ao longo dunha estrada, aínda que non necesariamente nesta orde. As distancias entre elas, en quilómetros, veñen reflectidas na seguinte táboa:

     

a) Xustifica en que orde se encontran estas localidades ao longo da estrada.

b) Elabora unha táboa de distancias como a do enunciado anterior, pero esta vez ordenada, entre as localidades de Lugo, Palas, Melide, Arzúa e Santiago sabendo que se atopan por esta orde ao longo da N-547 e que as distancias de Lugo ao resto de localidades son 37 km, 51 km, 66 km e 100 km respectivamente.

Para comezar, un problema "dos de fedellar". É probable que os alumnos nunca visen datos representados nunha táboa de dobre entrada antes de afrontar esta proba. Quizais viron as táboas de multiplicar, non sei como de estándar será en España esa visualización (nesta entrada combinábase cun mapa térmico para amosar información moi interesante para os mestres de Primaria de xeito ben elegante). Probablemente haxa algún alumno que asuma que a primeira cidade teña que ser A por estar ao comezo, ter un 0 ao lado... Calquera profesor que dese en 1º ou 2º de ESO sabe que pode suceder.

Non é un mal problema para comezar a proba, todos os alumnos poden implicarse na resolución e entrar "in the zone", ese momento no que flúen as ideas.

Como sempre, o amable lector pode compartir a súa opinión nos comentarios.

Un(?) problema para roer

 

Un dos libros que consulto cando teño tempo para pelexar cun problema fermoso é Five Hundred Mathematical Challenges de Barbeau, Klamkin e Moser. Está pola rede en pdf, non o comparto nin poño o número de problema para que arrabeedes.

Observade a seguinte sucesión:

$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, \dots $$

Adiviñastes a lei de formación? Estou certo que si. Porén, vou engadir aquí unha animación que fixen arredor da circunferencia goniométrica, e de paso, tedes outro problema para pensar:

   

Dado o norte e un punto móbil da circunferencia goniométrica, consideramos o punto medio do segmento que forman(azul), e 3 puntos homotéticos ao devandito punto medio desde o corte das tanxentes(o gris a $\frac{9}{10}$, o vermello a $\frac{2}{3}$, o laranxa a $\frac{-3}{2}$). Observades os estrafalarios lugares xeométricos, sobre todo o do punto gris? Pois se vos prestan os problemas técnicos, ánimo.

Volvamos á sucesión.

Como xa vistes, comeza con 1, logo veñen 2 números pares, logo 3 impares, 4 pares, 5 impares... Sinxelo, non si?

 O difícil é amosar o termo xeral, que xa viñades osmando que ía pasar agora. Non vos queixedes, que vou poñer a expresión(como vén no libro), se $u_n$ é o termo xeral da sucesión,

$$u_n=2n- \left[ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{8n-7})\right]$$

onde, como é usual, os corchetes indican a función parte enteira.

(Outra vez) Problemas de Álxebra sen ecuacións

Velaquí outra quenda nesta xeira de problemas que só me interesan a min (10/2014, 11/2014, 2015, 4/2023)

Explico de que vai o conto, por se alguén aínda non vira ningunha entrada destas: a idea é compartir problemas ou exercicios nos que sexa necesario ou axeitado utilizar álxebra para chegar á solución, e que nesa resolución non sexa esencial (ou polo menos non o máis interesante) resolver unha ecuación. Nalgún dos problemas que foron aparecendo nesta serie si hai que resolver unha ecuación, pero o interesante e difícil viña antes. Un exemplo dentro do curriculum sería o tradicional exercicio no que se dan condicións sobre un número de dúas cifras, e hai que utilizar que $ab_{10}=10a+b$. O máis interesante é traducir o sistema de numeración á linguaxe alxébrica, normalmente a ecuación posterior é rutineira. De feito, nese tipo de problemas, como as variables só poden tomar 10 valores(as cifras), cunha condición do tipo "as cifras suman 7" acabas antes probando que facendo todo o choio alxébrico.

Fedellando en vellas coleccións de problemas que gardo polo disco duro, dei con algún problema máis que require de habilidade alxébrica, ou ben no aspecto da tradución ou ben no da manipulación. O 1º, este do concurso de principiantes de Austria de 2014:

Sexan $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a<b<c<d$. Ordena de xeito crecente os números $x=ab+cd, y=bc+ad, z=ca+bd$ e proba a corrección do teu resultado.

O seguinte problema tíñao gardado hai anos no Read Later de Feedly, fora compartido no blog de Dimates, procedente do Marató de problemes. Xa adiviñades vós de que ano:

A unha proba de aptitude preséntanse 2019 persoas, 995 mozos e 1024 mozas, e exactamente 1234 superan a proba. Atopa o valor de A - B, sendo A o número mozas que superaron a proba e B o número de rapaces que non a superaron.

Nesta cuestión hai algo subxacente que me interesa especialmente: que significado ten ese invariante, A-B? Nunca estivestes no medio dun cálculo alxébrico, atopando un valor, demostrando un resultado, etc., e de súpeto pensastes "Pero que significa isto"?

Ah, e é máis que probable que para resolver con álxebra o problema, vaiades usar unha ecuación, ou, se queredes, unha igualdade. Lembrade que a etiqueta "sen ecuacións" hai que interpretala con laxitude.

E para rematar, un problema dunha familia ben tradicional:

No encerado están escritos os números 2, 3 e 6. Podes reemprazar dous dos números, poñamos a e b, polos números $\frac{3a}{5}+\frac{4b}{5}$ e $\frac{4a}{5}-\frac{3b}{5}$. Amosa que é imposible que apareza un número maior que 7 no encerado.

Ata aquí. Vémonos seguramente en 2024.

Outro aritgrama(máis)

 Non sei en que andaba turrando, que me veu unha idea para un aritgrama, atopei unha solución, e velaquí:

   

Como é habitual, cada letra representa unha cifra distinta, e N e S son non nulos.

Un anaco despois atopei outras dúas, coido que son tres en total. O amable lector dirá.

Como os aritgramas xa son un tipo de recreación matemática con moita tradición, non podo garantir que este non existise xa, sobre todo en inglés son consciente de que hai unha morea.