Adiviña para rematar xuño

 

Botando unhas contas cheguei á fórmula que ides ver nun anaco. Mentres sigo con informes e memorias diversas, déixovos que pelexedes vós.

Se a e b son números reais positivos, que representará a expresión $\Large{\frac{8 ab \sqrt{ab}}{a+b}}$?

Boa sorte.

Un problema xeométrico do GCSE 2023

 

O de ter twitter provoca que, de vez en cando, saia algún hashtag á dereita que me chame a atención. Ultimamente vexo #maths con certa frecuencia, e cando dou no link, o habitual é que aparezan exercicios aritméticos e alxébricos do estilo dos de 3º de ESO. Pero tamén problemas tipo Sangaku, que se tes un anaco, adoitan ser ben divertidos.

Estes días non só andan os alumnos españois coa ABAU, tamén no Reino Unido están a celebrar o seu GCSE, e eu levo xa uns lustros remexendo en probas estandarizadas doutros países, é como un pracer culpable(aínda que a verdade é que teño tirado ideas de aí). E como sempre, comezan a aparecer queixas pola dificultade ou rareza dalgún exercicio. O deste ano, este problema co que seguramente os examinados non contaban:

    

Se o lado de cada octógono regular mide a, atopa a área da figura sombreada na forma $p(2+\sqrt{2})a^2$

Se tentades resolvelo, axiña veredes que é moito máis sinxelo do que temían os rapaces.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-5

Chegamos ao derradeiro problema desta olimpíada, o único de xeometría:

Problema 5

 Considera un hexágono regular de 4cm de lado. Unimos os puntos medios dos seus lados alternativamente tal como se indica na figura:

   

1. Cal é o perímetro do triángulo?
2. Que proporción da área del é a área do triángulo?

    

Agora unimos os puntos medios dos lados e o centro do hexágono como na figura seguinte:

3. Cal é o perímetro desta outra figura?
4. Que proporción do hexágono é a área da figura?
   

Como moitos problemas fermosos de xeometría, é susceptible de ser resolto mediante varias estratexias distintas. Xa sabedes que son lacazán para escribir solucións, déixovos só con esta imaxe:

   

Deica o ano que vén.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-4

 O cuarto problema, de combinatoria enumerativa:

Problema 4

O centurión Cayo Matemarius tiña ao seu cargo un grande número dos membros do exército lexionario de infantería de Gallaecia. Como era moi excéntrico, decidiu, para levar un control deles, asignarlle a cada un número capicúa. Averigua:

1. Cantos capicúas hai de 2 cifras?
2. Cantos capicúas hai de 3 cifras?
3. Cantos capicúas hai de 4 cifras?
4. Se en total hai 10.000 membros do exército en Gallaecia, cal é o maior capicúa que se utilizará?

Nota: Un número capicúa é aquel que se le igual de dereita a esquerda que de esquerda a dereita, sen contar os que comecen por cero.

Os tres primeiros apartados son os típicos que uso nas aulas de 1º de ESO cando traballamos o sistema de numeración, para ir metendo algo de razoamento. O cuarto apartado xa é máis bonito e requira un chisco máis de reflexión.

Porén, considero que nesta fase final houbo demasiados problemas "de números". Como é tradicional, o 5º problema non vai ser deste estilo.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-3

 O terceiro problema desta fase final é un coñecido exercicio de matemáticas recreativas, o de atopar un número autodescritivo:

Problema 3

Ada é unha rapaza moi organizada e sempre que ten que inventar un contrasinal para unha nova aplicación escribe un número que sexa doado de recordar por ela, seguindo algunha propiedade interesante. Neste caso, o contrasinal que utilizou para a aula virtual deste curso ten as seguintes características: 

• É un número de dez díxitos.
• O primeiro díxito é igual á cantidade de ceros do contrasinal.
• O segundo díxito é igual á cantidade de uns.
• O terceiro revela a cantidade de douses.
• E así sucesivamente, ata o décimo díxito, que indica a cantidade de noves.

Saberías obter o contrasinal de Ada?

É unha verdadeira mágoa coñecer o problema xa e non poder desfrutar de atopar a solución.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-2

Imos co 2º problema desta fase final.

Un exercicio previo podería ser adiviñar que hai que facer coa táboa de abaixo sen ler o enunciado. Premio á perspicacia a quen dea feito.

Problema 2

Na Casa dos Mosaicos atópase o mosaico da figura. A arqueóloga do Concello estima que se trata do código de entrada a unha irmandade segreda, forofa do número 126. Cre que se debería poder completar obtendo os divisores do dito número e, posteriormente, completando os ocos de forma que sumen o que indica cada fila e columna. Podes axudarlle?

    

Para resolver este problema eu fun sistemático, é dicir, atopei os 12 divisores de 126, calculei a súa suma(312), atopei a suma dos 9 números que hai que usar(48+22+131=201), atopei a única combinación de 3 divisores de 126 cuxa suma coincide co desfase entre eses dous números(312-201=111=63+42+6), e fun vendo condicións obvias sobre columnas e ringleiras(a máis evidente, que 126 ten que estar na esquina inferior dereita). Teño a dúbida de se o problema pode ser resolto sendo menos sistemático, i.e., probando con máis ou menos xeito, que imaxino sería o que farían algúns participantes.

En calquera caso, o problema é dos que permite fedellar, que sempre está ben que haxa algún deste tipo en cada quenda.

Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final

 

Non tiña pensado comentar os problemas da fase final da Olimpíada deste ano, mais cambiei de opinión ao ver o 1º(quizais tivo algo que ver tamén que aínda rematei as clases de 2º de BAC este martes, quen sabe).

Comparto:

Problema 1

Nun instituto de Lugo matriculáronse no presente curso escolar un 10% máis de estudantes que o ano pasado. O número de rapaces aumentou un 5% e o de rapazas un 20%.

a) Que proporción de rapazas había no dito centro educativo o curso pasado?

b) Que proporción de rapaces hai no presente curso escolar?

Non sei se escribín algunha vez que me encanta este tipo de problemas nos que hai máis dunha variable e nas que o que se pide non é ningunha das variables, senón unha relación entre elas, habitualmente a razón. Como proba deixo por aquí problema do historial do blog:

Da entrada Problems for the Million, Nun parque só hai gatos de dúas cores: brancos e negros. Os gatos machos representan o 55% do total de gatos do parque. A proporción entre machos brancos e machos negros é igual á proporción entre gatos brancos e gatos negros. Achar a proporción entre machos brancos e femias brancas.

Na entrada Traballos de Álxebra podedes atopar o dos gatos que pensan que son cans e os cans que pensan que son gatos, se o lestes saberedes sen dúbida cal era.

Sobre o problema da olimpíada, é posible modificar os datos dados ou a pregunta final para dar lugar a problemas semellantes pero distintos. O primeiro que se me ocorre é que, en troques de dar o aumento de rapaces e rapazas, poderíamos indicar como varía a proporción de rapazas respecto ao total(e por tanto a de rapaces), ou dar a proporción final, e preguntar pola variación porcentual de cada grupo.

Por outra banda, credes que moitos alumnos notarían que se os rapaces aumentan un 5% e as rapazas un 20%, pero o aumento global é do 10%... entón ten que haber o dobre de rapaces que de rapazas, sen facer álxebra ningunha? (Disto falei na entrada Exercicios tan malos que son bos)

Un problema ben fermoso, que se pode utilizar como enriquecemento nas aulas, na miña opinión.