A Escaleira do Monte Meru

...ou como dicimos por acó, o triángulo de Pascal (ou Tartaglia). Onte vin por varios sites esta animación TED que conta as características básicas do devandito triángulo para aqueles que non tiveran a sorte de ver Combinatoria no antigo 1º de BUP. Botádelle unha ollada:

O triángulo ubicuo

Para comezar o ano fedellemos un chisco con números.

Empezamos co triángulo seguinte, no que a primeira ringleira contén os inversos dos números naturais e nas seguintes ringleiras cada termo é a diferenza dos dous termos enriba del:

   

Xiramos o triángulo 60º no sentido das agullas do reloxo arredor do 1 inicial, e endereitámolo, que non quedou moi xeitoso:

Agora dividimos todos os termos polo último da súa ringleira:

Xa é evidente, non si? Que sucede se tomamos o inverso de cada entrada deste triángulo? E aínda máis interesante: por que?

Outra sorpresa no Triángulo de Pascal

Un nunca sabe onde e cando vai atopar algo interesante en Matemáticas. Facendo probas de impresión nunha fotocopiadora en rede (creo que nunca falei no blogue da miña identidade secreta como coordinador) mandei imprimir unhas páxinas ao chou dun libro, The (Fabulous) Fibonacci Numbers, de Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann. Escollín as páxinas cun criterio científico preciso: que tivesen debuxos ou gráficos. E cando lin de verdade as impresións vin isto (en realidade esta figura é miña, é obvio pola escasa calidade gráfica):

Triángulo de Pascal e Potencias de 2

Ben, nada novo nesta figura. A relación entre as ringleiras do Triángulo de Pascal e as potencias de 2 é arquicoñecida. Pode que faga unha entrada de Probas rápidas arredor da idea. Mais agora xiremos as liñas de suma a ver que máis atopamos:

Como non, aparece a Sucesión de Fibonacci

Pero a sorpresa non é grande, verdade? Como o Triángulo de Pascal é construído mediante unha recorrencia onde utilizamos dous termos previos, tampouco é abraiante que apareza Fibonacci a pouco que fedellemos. Mais se escribimos o resultado en forma de sumatorio darémoslle certa escuridade:

$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}\binom{n-k}{k}=F_{n+1}$$

Chegamos por fin ao obxectivo deste post. Imos poñer unha barreira no triángulo e sumar en horizontal só os números á dereita dela:

Non seguía 32, 64, 128...?

Da sucesión que aparece na columna da dereita xa teño falado neste blogue, concretamente en xuño do 2009 no post Un pouco de melancolía (cando aínda propoñía problemas aos alumnos, melancolía sobre melancolía...). Alá aparece a seguinte figura:

32?

Ao que aluden os números de enriba é á cantidade de rexións determinadas polos segmentos que unen os puntos na circunferencia. Contra todo pronóstico, o seguinte número non é 32:

Xa non sabemos nin duplicar un número?

A relación entre o número máximo de rexións determinadas nun círculo unindo n puntos e a suma dos últimos 5 números (se houberen) da ringleira enésima do Triángulo de Pascal é, a priori, pura maxia. Se queredes saber a explicación e moitas outras aparicións estrañas, déixovos aquí a ligazón á páxina na On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

3003?

Unha das anécdotas máis coñecidas do mundo dos matemáticos probablemente sexa a seguinte, na que os protagonistas son o matemático británico G.H. Hardy e o xenio matemático hindú Srinivasa Ramanujan:

Hardy foi visitar a Ramanujan no hospital no que levaba un tempo convalecente. Sen darlle importancia, Hardy comentou que o número do taxi no que fora ata o hospital, 1729, non tiña interese algún. Ao que Ramanujan contestou: Trabúcaste, Hardy, 1729 é o menor número natural que se pode expresar como suma de dous cubos de dous xeitos distintos.

En concreto, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³. (Isto dá lugar a sucesión dos números taxicab)

Todo isto veume á memoria cando vendo padecendo a publicidade televisiva vin a matrícula dun dos coches de alta gama dun dos anuncios, 3003.

Imaxino que o número estará escollido por algunha razón relacionada co logotipo da marca de coches. Pero desde un punto de vista matemático o número é ben interesante. Por que? Por unha cuestión oculta no triángulo de Pascal que observei nun artigo de David Singmaster, matemático inglés con sona polos seus puzzles e crebacabezas.

David Singmaster estudou os números naturais que aparecen varias veces no triángulo de Pascal. Obviamente deixou a un lado ao número 1, pois que este aparece infinitas veces non ten moito misterio. Na súa análise achou que o número 3003 (por fin!) aparece 8 veces no triángulo, e ademais é o primeiro de infinitos números que aparecen 6 veces ou máis. Isto está lonxe de ser trivial, pois o seguinte número que aparece polo menos 6 veces, 61218182743304701891431482520, non é precisamente pequeno, sesenta e un mil cuatrillóns, como para atopar os seus factores primos a man (para o realmente freak, é 2³·3·5·7·11·17·23·41·43·47·67·71·73·79·83·89·97·101·103).

O que me pareceu máis interesante do número 3003 é que, ademais do dito anteriormente, é o primeiro número que aparece en dúas ringleiras consecutivas do triángulo de Pascal (obviando de novo o ubicuo 1), en concreto na 14 e na 15 (a primeira ringleira leva o número 0)

Fai clic no triángulo para non quedar chosco