Olimpíada Matemática Galega 2023-Fase Final-3

 O terceiro problema desta fase final é un coñecido exercicio de matemáticas recreativas, o de atopar un número autodescritivo:

Problema 3

Ada é unha rapaza moi organizada e sempre que ten que inventar un contrasinal para unha nova aplicación escribe un número que sexa doado de recordar por ela, seguindo algunha propiedade interesante. Neste caso, o contrasinal que utilizou para a aula virtual deste curso ten as seguintes características: 

• É un número de dez díxitos.
• O primeiro díxito é igual á cantidade de ceros do contrasinal.
• O segundo díxito é igual á cantidade de uns.
• O terceiro revela a cantidade de douses.
• E así sucesivamente, ata o décimo díxito, que indica a cantidade de noves.

Saberías obter o contrasinal de Ada?

É unha verdadeira mágoa coñecer o problema xa e non poder desfrutar de atopar a solución.

Crebacabezas de 2 pezas

Aproveitando que estamos dando Xeometría, mandeilles aos alumnos de 4º unha folla con dous modelos idénticos a este:

Crebacabezas con 2 pezas

Cunha sucinta explicación do que tiñan que facer:

• Recortar cada modelo e plegar pola liña de puntos para obter dous poliedros máis ou menos así:

Link

• Agora xa tedes as dúas pezas do crebacabezas. Só tedes que ensamblalas para formar un tetraedro regular.

O puzzle é ben coñecido, adoita aparecer como ilustración das seccións do tetraedro, e xa forma parte do folklore matemático/da educación matemática. Lembreino desta volta mentres pasaba páxinas do libro de xeometría de Michael Serra, onde vén un modelo de tamaño mínimo, o que me obrigou animou a facer o modelo en geogebra, as imaxes que vedes arriba están en formato debuxo de google agora.

E non ten nada que ver co que estamos dando en clase. Pero deime o capricho, basicamente. Se alguén quere usalo cos seus alumnos, recoméndolle que faga un modelo por DIN-A4, eu fixen dous para dar só unha folla e queda demasiado pequeno.

Outro día, se teño tempo e ganas, fago modelos para o puzzle incluído en Un ítem famoso.

Uns puzzles para pensar e/ou facer

Xadenfreude: Dise do sentimento que teñen na administración cando fan que un profesor avalíe aos seus alumnos despois de 15 días de confinamento.

Consellería de Educación, Greguerías, III-27

Para axudar a que non se atrofien as neuronas das lexións de lectores deste blog, xa toca compartir uns crebacabezas. Isto vai facer que o blog lembre por unha vez ao que era orixinalmente, aló polo 2009. Sen máis dilación, velaquí os puzzles:

Imaxinade que tedes un vaso coa forma dun cubo cun furado circular na cara superior. Se o vaso non está graduado, como faríades para enchelo exactamente ata que o líquido ocupase un terzo do volume do vaso?

Que facíamos os profesores antes da existencia do Geogebra 3D?

Coas pezas seguintes tedes que construír un símbolo +:

O que parece coincidir, coincide

Con 3 cortes rectos e sen recolocar as pezas tralos cortes, un cubo pode dividirse como moito en 8 pezas:

Aquí ademais as pezas son iguais, aínda que ninguén o pedía

Cal é o máximo número de pezas nas que podemos dividir o cubo con 4 cortes rectos, se non recolocamos as pezas que van resultando?

Cando eliminamos un cuarto dun cadrado, se a peza eliminada ten á súa vez forma cadrada, dividir en 4 anacos iguais a figura resultante probablemente sexa un dos crebacabezas máis coñecidos. Póñovos a figura tamén por se non o coñecedes.

Pero, se o cuarto que eliminamos ten a forma dun triángulo, como podemos dividir a figura resultante en 4 cachos iguais?

Xuraría que o primeiro xa anda por este blog

Xa sabedes, mandade a solución nun ficheiro que pese menos de 1MB á aula virtual antes do luns...

Dous hexágonos regulares

   

Velaquí dous hexágonos regulares. Hoxe propóñovos que fagades un hexágono regular con estes dous. Como a tarefa enunciada deste xeito é demasiado xeral, douvos unha pista: só hai que cortar o hexágono vermello en catro pezas e deixar o verde como está.

Aínda coa pista a tarefa segue a ser complicada. Polo que vou deixar ademais a  ratio entre os lados, que é boa pista tamén. Premede se queredes vela:



SPOILER

Se chamamos y ao lado do hexágono verde e x ao lado do vermello, entón $y=\frac{4x}{3}$

De vez en cando un problema difícil non está mal...

Xoguemos en 2D

Non é a primeira vez que traio xogos que utilizan a dificultade que é inherente a plasmar en dúas dimensións un mundo de tres dimensións espaciais. Hoxe é a quenda de tres xogos ben distintos, pero que comparten esa característica.

O primeiro, Dynetzzle, parte dunha premisa ben sinxela e coñecida: o dado estándar cúbico ten os seis números dispostos de tal xeito que as caras opostas sempre suman 7. Unindo ese feito aos desenvolvementos planos do cubo e á posibilidade de que dados distintos compartan caras, habemus ludum. Observade unha fase calquera do xogo:

Unha mágoa que só haxa 10 fases

Quédame a dúbida de se é posible rematar o xogo sen facer ningún tipo de razoamento tridimensional. Intuitivamente parece que si...

O segundo xogo, Naya's Quest (do sempre creativo Terry Cavanagh), a simple vista é un xogo máis sobre celas en perspectiva isométrica, mais agarda unha agradable sorpresa (aínda que non ao comezo do xogo): en certas pantallas parece que hai continuidade cando en realidade o que sucede é que unhas celas solapan a outras, unha ilusión óptica constante provocada pola perspectiva.

Adiviñas a dificultade?

Finalmente, en Projective o nome non podía estar mellor escollido. Pois tes que moverte por cuartos tridimensionais cheos de volumes estraños ata observar a escena requerida na esquina superior esquerda. É dicir, tes que obter unha proxección determinada das virtualmente infinitas que pode acadar a túa vista.

Requiere o plug in de Unity

As escenas que van pasando por diante dos teus ollos chegan a ser realmente extravagantes.

Veña, let´s get busy!

De (5º) aniversario + 1 día

Un soldado romano nun bar pedindo unhas cervexas...

Vaia blogueiro estou feito. O que me fixo lembrar que este blogue leva cinco irregulares anos pola rede non foi o sinalado da data (6 de xaneiro, en fin) senón que un compañeiro na blogoesfera (?) celebrou o seu propio aniversario, coa sorte de que comezou un ano menos un día despois que o meu. Antes de seguir lendo, ide á carta xeométrica se non o fixestes aínda.

Como no meu caso tampouco hai moito que celebrar tendo en conta que o ritmo do blogue baixou notablemente do 2012 ao 2013,  proporei uns problemas ao estilo primixenio, que os meus listos e guapos lectores seguramente resolverán, como xa teñen feito con adiviñas ben complicadas:

• O primeiro, xeométrico, admite varios enfoques:

Demostrar que a suma dos lados dun triángulo isóscele é menor que a suma dos lados de calquera outro triángulo coa mesma base e altura. No debuxo:

AB+AC < A'B+A'C

• O segundo, numérico, visto (de novo) no número 74 da revista SUMA:

Observando que $\small{1+2+3+4+5+4+3+2+1=5^2}$, conxecturar que sucede en xeral e demostralo.

• O terceiro, un problema de velocidades algo especial:

Un rapaz está a andar por unha ponte do ferrocarril. Cando leva percorridos $\small{\frac{4}{7}}$ da ponte oe que se achega un tren diante del. Coa particularidade de que lle dá tempo exactamente para correr ao encontro do tren ou para desfacer o camiño. Se o rapaz corre a 20 km/h, cal é a velocidade do tren?

Mirando ao tren

• E o último, o primeiro crebacabezas dun libro (sonvos afeccionado aos primeiros problemas):

No labirinto seguinte o obxectivo é entrar pola frecha de entrada e saír pola outra, de tal xeito que no noso camiño a suma dos números que atopemos sexa 100, pero, ai!, sen pasar dúas veces pola mesma pasaxe nin intersección:

Tócavos reflexionar...

Algún haberá que vos guste, xa veredes.

Imaxino que agora tería que dicir que espero seguir escribindo outros 5 anos neste blogue, mais creo que é moito dicir. Veremos...

Blockage

Revisando os feeds sen ler do google reader descubrín que publicaron a segunda parte dun xogo, Blockage, ao que non lle prestara atención cando fora lanzado, hai xa un ano. De tal xeito que, ao ver a secuela, decidín xogar en primeiro lugar o xogo orixinal (non podo evitar ir por orde, aínda en xogos coma este, sen historia de ningún tipo, puro puzzle).

A conclusión é que o Blockage é un gran xogo, dos que fan quentar as neuronas cun número mínimo de elementos na pantalla. Por exemplo, nesta fase tiven que pensar máis do que esperaba:

A única mágoa é que só ten vinte fases. O bo: que xa temos dispoñible a segunda parte.

Outro xogo topolóxico

Un xogo topolóxico ben coñecido é o de conectar tres casas coas fontes de luz, auga e gas mediante nove liñas que non se intersequen, tendo en conta que os seis puntos estean nun mesmo plano, pois no espazo tridimensional a solución é evidente.

Antes de que alguén non avisado tente ese problema, teño que comentar que esa conexión é imposible, como comentan no artigo da wikipedia sobre Teoría de Grafos, no epígrafe sobre grafos planos, e demostran no artigo da wikipedia en inglés Water, Gas and Electricity.

Hoxe traio un xogo on line, Linx, no que hai que conectar os cadrados da mesma cor, con restricións ademais sobre o número de pasos que podemos dar, é dicir, o número de celas polas que podemos pasar para efectuar a conexión. A mecánica do xogo é totalmente intuitiva: facemos clic no cadrado dunha cor, e a continuación prememos nas celas que farán o camiño, ou ben directamente arrastramos sen soltar o botón do rato. Para os que coñezan o 3D-Logic, é exactamente a mesma dinámica. De feito poderiamos dicir que Linx é a versión 2D daquel xogo, aínda que só aparentemente, pois o 3D-Logic en realidade tamén era un xogo en dúas dimensións, pois só utilizaba a superficie do cubo de xogo.

Ten duás expansións, o Easy Set e o Hard Set, esta última recomendada unicamente para xogadores expertos. Comparade a dificultade observando a octava fase de cada un dos packs:

Linx

Linx-Easy Set

Linx- Hard Set

Realmente é un bo xogo dos que fan pensar durante un anaco.

Para perder o tempo

Avisados estades polo título do post. Nestes xogos precisas pensar algo máis do habitual, e sonche ben adictivos:

Impasse

Neste xogo só tedes que chegar da posición inicial ao círculo verde. Para iso utilizade as frechas do teclado. Sinxelo, non? Pois probade...

14 Locks

A mecánica do xogo tamen é sinxela: Tedes que rebentar 14 pechaduras cos seus respectivos 14 contrasinais.
(Aviso: está feito na plataforma Unity, así que pode que precisedes instalar o plug in)

Check Flag

Este xogo é como un xadrez con taboleiro distinto do taboleiro do xadrez, pezas distintas das do xadrez e movementos distintos aos do xadrez. Aínda así é totalmente recoñecible a semellanza ao xadrez.

100th

Puzzles e plataformas, que máis pedir? Pois que a estética sexa retro:

Pétalos arredor da rosa

Non, non é a miña intención volverme de súpeto máis lírico do habitual. O título do post é o nome dun xogo que coñecín onte. Quizais sexa máis exacto denominalo puzzle, aínda que na web que o atopei aparece como un xogo. A ligazón é esta:

Petals around the rose

A web está en inglés, claro, pero as instrucións son sinxelas. Hai que darlle ao botón "Roll dice" (lanzar os dados), observar o resultado dos 5 dados e tentar adiviñar o número asociado a esa configuración. Ademais, na web comenta o que sucedeu cando lle presentaron a Bill Gates o xogo, e as tres únicas cousas que o que propón o enigma pode adiantar:

• O nome do xogo,
• O feito de que a resposta sempre é un número par,
• A resposta para calquera disposición dos dados.

Ademais os que resolven o enigma poden pasar a formar parte da "Fraternity of Petals Around the Rose", e teñen a prohibición de contarlle a ninguén a solución.

Seredes quen de entrar na Irmandade dos Pétalos Arredor da Rosa?

Agora si: unha serie de números

En realidade dúas, e, aínda enriba, trabucadas.

Nestas dúas series de números hai dous que están na serie incorrecta. Atópaos e explica cal é o criterio de formación de cada serie:

2, 2.5, 4.5, 6.75
1, 3, 6.25, 15.625

Acabo de ler en Passion for Puzzles que na web de National Geographic xa aparecen os gañadores do International Photo Contest 2009, e ademais podedes xogar os puzzles que teñen como base esas fotos. Aparece un menú para escoller o tema das fotos entre Xente, Lugares e Natureza. A min gustoume este, dentro do tema Lugares:

Un puzzle máis

Un sinxelo para estes días de Matemáticas curriculares (para ser exactos: Sistemas de Medida, Polígonos semellantes, Funcións de variable real e Probabilidade, hai que ver cantas Matemáticas están aí fóra esperando!).

Atopade un camiño desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita que cumpra as seguintes condicións:

• O camiño é unha liña poligonal composta por segmentos verticais e horizontais
• Ten que pasar por tódolos círculos unha soa vez.
• O camiño non pode tocarse a si mesmo, nin sequera en diagonal.

E atopei de novo un vídeo que comentei nas aulas que vira en microsiervos. Hai tempo que quería colgalo aquí, pero o enlace que eles teñen está roto, así que o busquei dun xeito distinto no youtube. Ollade ben esta criatura propia dunha película de ciencia ficción:




Alucinante, verdade? Non deixedes de ollar os demais vídeos relacionados ao rematar.

And now for something completely different: Sabe alguén que é isto e onde se pode atopar?