29.12.18

Un problema de optimización nun triángulo


Hai anos, na época previa incluso aos blogs(un chisco máis, e collédesme xogando ao Age of Empires II), adoitaba participar en distintos foros nos que os usuarios propoñían problemas. Algúns xa desapareceron, como 100cia.com ou o Foro de Migui; outros sobreviven, como o Rincón Matemático, onde estiven a ler algúns problemas nos que acheguei unha solución(ou tentativa de), hai arredor de 10 anos. Hoxe traio un dos que máis me gustaran:

Un punto X tomado na hipotenusa dun triángulo rectángulo, proxéctase ortogonalmente sobre os catetos nos puntos M e N. Determinar a posición do punto X e a lonxitude do segmento MN cando esta sexa mínima:


    
Vémonos no 2019.

9.12.18

Un bo problema, a varios niveis


Este curso adiantamos as avaliacións respecto ao "calendario natural", pois a volta da Semana Santa, Chamorro para os ártabros do norte, cadra coa Feira de Moeche; ou se sodes doutras latitudes, co Día do Libro. Polo que xa rematei os exames e xuntas da 1ª Avaliación, e tiven un anaco nesta ponte para revisar pdfs e djvus do disco duro.

No cartafol Miscelánea estiven a botar unha ollada a Hidden Connections, Double Meanings, do sempre interesante David Wells(antes neste blog, aínda antes), e atopei un problema, se ben lixeiramente familiar, coido que nunca o vira deste xeito.

Imaxinemos un insecto que parte dun punto A e anda 1 metro nunha certa dirección, chegando a un punto B. En B xira 90º á esquerda e anda medio metro, chegando a un punto C, onde volve xirar 90º á esquerda e avanzando un cuarto de metro. Se continúa o seu camiño espiral deste xeito, sempre xirando 90º á esquerda e avanzando a metade do tramo anterior, a onde chegará no límite?

Como sempre, cun debuxo, mellor:

    

Este problema enche o capítulo 11 do libro, One problem, many solutions, onde o autor propón 3 solucións distintas: unha xeométrico-aritmética, unha puramente xeométrica e finalmente unha puramente aritmética. (Nota: ningunha desas solucións foi a que atopei eu).
Porén, o que me resulta máis atractivo do problema é a posibilidade de darlle un tratamento experimental. No curriculum de Matemáticas I temos que facer estudos xeométricos mediante programas informáticos, que é un xeito de aludir ao geogebra sen nomealo. Quizais este ano mande estudar configuracións semellantes a esta, onde poidamos combinar certos movementos, supostamente estudados na ESO. Verei.

Déixovos unha pista para a 1ª solución que achega David Wells. Unha fermosura:

    
Por último: de que xeito resolvín eu o problema? Pois




SPOILER
Sumando unha serie xeométrica de números complexos.


Cando teña ganas de escribir solucións pode que a comparta.

17.11.18

Unha actividade recorrente en 1º de ESO


Para practicar e reflexionar sobre a xerarquía de operacións en 1º de ESO adoito propoñer algún exercicio deste estilo:

Coloca parénteses(ou non) para obter o resultado indicado:


$$144-24:8-2= \hspace{1cm}140$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 139$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 20$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 143$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 13$$

É inevitable que algúen proteste porque as operacións son todas iguais, momento no que se explica o que significa o enunciado do exercicio, é dicir, por que ten sentido.

Aínda que en exemplos como o anterior, ao seren tan breves, os alumnos poden resolver o exercicio  por aburrimento, simplemente probando todas as opcións, elaborando un chisco máis a actividade sobe un chanzo a dificultade e o nivel de reflexión necesario para resolvela.

Pois ben, este ano por primeira vez pensei en improvisar unha actividade semellante a partir dos erros que van cometendo os meus alumnos. Por exemplo, ao comentarmos unha operación do libro de texto,
$$28-3 \cdot 2 \cdot 4=$$
ademais do resultado correcto, 4, escoitouse un 200. En troques de apuntar eu a evidente corrección, aproveitei para preguntar á clase que sucedera. Varias alumnas xa o sabían, polo que preguntei aos que non foran tan rápidos onde habería que colocar parénteses para obter 200.

Agora que o penso, non sei como non fixera isto antes, co natural que resulta.

Este exercicio ou algo semellante tamén ten o seu oco na unidade de Números Enteiros, onde resulta máis difícil:

$$-24:3+3= ~~~~~-4$$
$$2 \cdot 7-5-1= ~~~~~10$$
$$+7 \cdot (-5)+3= ~~~~~-14$$
$$-3+3 \cdot (-3)-(+3)= ~~~~~-21$$
$$-3-5-2= ~~~~~+7$$

Aviso: o último ten truco.

Outra actividade, que xa adoito propór na unidade de Números Enteiros, ás veces en 2º de ESO, supón un paso máis. Velaquí:

Coloca os números nos espazos para obter o maior número posible:

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square + \square-\square$$
$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square - \left( \square+\square \right)$$
$$-2,0,+4 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square-\square \right)$$
$$-3,-2,+5 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square+\square \right)$$


P.D.: Non sei se estas actividades serven de algo, avaliar iso no contexto da aula resulta demasiado confuso. Na práctica diaria, o único no que se pode apoiar un profesor é na súa propia intuición, pois a administración non responde da docencia impartida baixo a súa responsabilidade, e as investigacións serias levadas a cabo nas universidades adoitan ter outros obxectivos e motivacións. Por non falar da xerga propia do gremio, que fai esotérica a maioría dos papers para os non iniciados. Pero vaia, estes exercicios son divertidos, que non é pouco no contexto das operacións combinadas.

1.11.18

Aproveitando a marea...

    

En 1º de ESO unha das primeiras unidades didácticas é Divisibilidade, o xeito no que aparece depende de se hai unha unidade de Números Naturais anterior ou se están fundidas nunha soa.
Mirando os estándares de aprendizaxe de 6º de Primaria:

MTB2.4.1. Coñece e aplica os criterios de divisibilidade por 2, 3, 5, 9 e 10.
MTB2.8.8. Calcula todos os divisores de calquera número menor de 100
MTB2.8.9. Calcula o mcm e o mcd

Poderíamos quedar coa impresión de que a unidade vai levar 5 ou 6 sesións. Mais, do mesmo xeito que non todos os meus alumnos van lembrar en 2º o que estamos a traballar agora, no tránsito de 6º a 1º sucede o mesmo. Ademais non estou certo da idoneidade dalgúns contidos do curriculum de Primaria, debido a que talvez excedan a capacidade dos cativos aos 10-11 anos. Como mostra, unha alumna moi boa comentoume ao comezo dos problemas desta unidade(aínda que levamos facendo problemas desde o principio, refírome á fase final da unidade) que en 6º lles ensinaran un "truco" para saber se o problema "era de mcd ou de mcm". Isto non é a usual e ignorante crítica ao profesor  do ano anterior, senón que vén amosar é que, ás veces, aos profesores non nos queda outra opción que adaptarnos ás posibilidades de comprensión dos alumnos no momento educativo no que os collemos.

Hoxe o que quero comentar é unha oportunidade que se presentou no medio dun problema "de MCD". Case todos estaredes ao tanto do que vou amosar, quizais nunca o observastes no transcurso destes contidos.

Facendo un problema do libro de texto:
"Un carpinteiro quere cortar en cadrados iguais unha táboa de 56 cm de largo por 40 cm de alto, de tal xeito que os cadrados teñan a maior lonxitude posible. Canto medirán os cadrados?"

Soa coñecido, non si? Entra dentro do que podemos denominar "puro choio de libro de texto"

Houbo varios alumnos que o resolveron do xeito obvio, unha vez entenden que é esencial que as pezas sexan cadradas para que a medida común de largo e alto sexa un divisor común de 56 e 40: calculando o MCD de 56 e 40, que é 8.

Sorprende que o problema do libro remate só pedindo a medida dos cadrados, porque é tamén interesante calcular cantos cadrados sairán desa táboa. Polo que pedín ao final que calculasen esa cantidade. E atoparon o número do xeito que agardaba: No largo haberá 56:8=7 cadrados(por ringleira), no alto haberá 40:8=5 cadrados(por columna), en total haberá 7·5= 35 cadrados.

O máis interesante vén agora. Comenteilles que había outro xeito de calcular cantos cadrados habería, que seguramente era peor que o que dixera a alumna que explicou o modo anterior, pero que tamén funcionaba. Pensaron un anaco e outra cativa viu o xeito mais trabucou nunha cousa: indicou que podíamos calcular 56·40 para saber o tamaño(área) da táboa, e despois dividir ese número por 8, en troques de 8², velaquí o erro, que rapidamente reparou. O realmente formativo está en ver que hai dous xeitos distintos de resolver o problema, e que, neste caso, veñen cunha propina:

O 1º xeito redúcese ao cálculo: $$\frac{56}{8} \cdot \frac{40}{8}$$
E o 2º xeito a: $$\frac{56 \cdot 40}{8 \cdot 8}$$

Aínda que é un só caso, e moi particular, non é fermoso ver aquí o produto de fraccións?

Nota: en forma de división é máis escuro:

1º xeito: $(56:8) \cdot (40:8)$
2º xeito: $(56 \cdot 40) :(8 \cdot 8)$

De feito, aposto a que ao rematar a ESO non todos os alumnos teñen claro que $(a:b) \cdot (c:d)=(a \cdot c) :(b \cdot d)$

22.10.18

Un fracaso de clase


   

Hoxe comecei a unidade de Probabilidade en 3º de ESO. Os que desen algunha vez na ESO saberán que isto implica cambios na orde habitual das unidades, pois Estatística e Probabilidade é o último bloque e non é raro que nin se chegue a el. Pois ben, esta é a crónica dunha clase que non funcionou. Quen sabe se a idea, non moi orixinal, pode servir a algún compañeiro.

Teño por costume na ESO comezar todas as unidades do xeito máis informal que dou atopado, propoñendo problemas que poidan ser susceptibles dun ataque intuitivo, pero que ao final da unidade teñamos ferramentas para resolver de xeito "canónico". Deste xeito, non é estraño que nas miñas clases propoña un problema de divisibilidade antes de falar de múltiplos e divisores co gallo de introducir o marco no que imos traballar e tamén para contrastar co final da unidade, cando os alumnos teñan aprendido os novos métodos.

Seguindo esta tradición, a miña idea era comezar a unidade de Probabilidade facendo preguntas para facer agromar as intuicións e a linguaxe informal que usan os alumnos neste contexto. Despois dunha pequena introdución sobre a praga das casas de apostas, onde un alumno discutiu o feito de que a ludopatía existise( isto non contribuíu desde logo ao ambiente da clase e tiven que apelar á DSM-V, o que xa me levou tempo e humor), presentei a seguinte imaxe:

Rigorosamente na lingua permitida polo decreto 79/2010


Non é a primeira vez que fago unha actividade semellante, aínda que desta volta lembrei a idea pescudando nos materiais do grupo epiSTEMe da universidade de Cambridge. Se botades unha ollada á lección proposta sobre Probabilidade, veredes que hai un feixe de ideas interesantes, mais pouco susceptibles de levar a unha aula con columnas de dúas mesas, polo que fun realista (ou resigneime a iso, como desexedes) e só pensei en levar este starter. A mecánica é sinxela: os alumnos teñen que facer unha estimación rápida sobre algúns experimentos e suscesos propostos polo profesor. Para non complicar as cousas e non introducir a confusión co feito de que os experimentos non fosen obviamente aleatorios, optei por non coller datos do IGE(nunha xornada de formación hai como 10 anos argumenteille á relatora xusto isto para non utilizar indicadores galegos en probabilidade). E restrinxín os experimentos ao lanzamento de moedas, dados, e á colocación ao chou de xente en ringleira. Máis ou menos, e non sei en que orde, foron:
No lanzamento de dúas moedas, A="saen dúas caras", B="saen resultados iguais nas dúas",C="sae polo menos unha cara"; no lanzamento dun dado, D="sae un 5"(pensando no parchís), E="a cara superior e a inferior suman 7"(tirada dos devanditos materiais); na colocación de tres persoas A, B e C en ringleira, F="A e B van seguidos en calquera orde"

Insistín en que tiñan que estimar onde colocar na escala de máis arriba os sucesos máis ou menos a ollo, imaxinando que se observaban moitas veces eses experimentos. Pois ben, vaiamos aos puntos nos que fracasou o plan:
  • O primeiro, esencial, e imponderable: á maioría non lle interesou a actividade. Isto por si mesmo xa invalidaría todo o demais, con certeza.
  • Para continuar, houbo alumnos que non entenderon a mecánica. Algúns agardaban que eu lles dixese onde colocar as letras.
  • Por outra banda, houbo alumnos que non estimaron, senón que calcularon de modo exacto a probabilidade en varios dos sucesos, polo que esta actividade xa lles quedaba pequena(mixed ability classes, chámanlle no mundo anglosaxón). Con isto certamente non contaba, aproveitei para valorar esa capacidade sobre a marcha.
Tiña pensados máis sucesos e experimentos, mais nin houbo tempo material nin vin a oportunidade axeitada.

Agora que xa fixen terapia, en que lugar do segmento poríades vós o suceso "os alumnos prefiren que lles dea unha clase de definicións/propiedades/exemplos"? 

Por sorte, hoxe tamén tiven unha clase de introdución ao M.C.D. e o m.c.m. en 1º de ESO e unha de introdución ás Ecuacións e Inecuacións en Matemáticas I, onde expliquei a fórmula da solución da ecuación de 2º grao por petición de moitos alumnos e vin certo éxito nas Fórmulas de Cardano-Vieta. Se chego a ter dúas clases consecutivas de 3º de ESO non sei que sería de min.

18.10.18

Outro problema estupendo para 1º de ESO


    
Este ano, ao deixar a xefatura de estudos, estou a dar outra vez 1º de ESO(e 3º e 1º de bacharelato-este vai ser un ano entretido). Unha das vantaxes que ten dar ese curso, ademais das obvias, é que podes propoñer problemas e cuestións voluntarias, que seguro que vas ter resposta de moitos alumnos. Só é necesario usar un anaco dunha clase e ter creatividade e tempo para inventar problemas ou, como é o meu caso, ter boas referencias na rede. E unha das mellores é a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, da que xa teño tirado problemas a esgalla neste blog.

O outro día propuxen este problema da 2ª fase da OBMEP, nivel 1(6º-7º graos), do 15 de setembro:

O sapinho da figura pula de uma pedra para uma pedra viziña, dando voltas em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele vai parar na pedra C.

  1. Partindo da pedra A, em qual pedra o sapinho vai parar após pular 15 vezes no sentido horário?
  2. Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2018 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?
  3. Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual pedra ele vai parar?

Este era o problema orixinal, engadín entre a e b o mesmo exercicio que o a pero con 1000 pulos, podedes imaxinar a razón.

O xenial deste problema reside en que, aínda que domines os rudimentos de números naturais e divisibilidade aprendidos na aula, vas ter que reflexionar antes de resolvelo; e o que é mellor, vas ter que experimentar coas condicións para entender que está a pasar.

E algo que non vaticinara, pero que tamén resultou moi interesante, foi a discusión dunha solución que non era correcta. O dito, este ano vai ser un bo ano.

12.10.18

Nada cambia no ensino das Matemáticas, non si?


     

Xa sabía da rede de información educativa do Ministerio de Educación, Redined, hai ben tempo. E xa fixera algunha pescuda, cuxos froitos seguramente estean perdidos nalgún cartafol dun disco duro ou pen drive. Mais desta volta, ao utilizar como termos de busca "problemas matemáticos", "resolución de problemas" e variacións semellantes, cheguei a uns documentos que cambiaron as miñas pre-concepcións sobre o ensino en España nos anos 50/60. 
O primeiro documento que atopei foi "Problemas Matemáticos para el curso Preuniversitario (1957-58)", dividido en dous pdfs, cada un con 250 problemas(parte 1, parte 2). Como xa teño comentado(p.ex.), teño certa querenza por estas coleccións, polo que mergullei nos documentos en canto os descarguei. Sendo coñecedor de que a mal chamada Matemática Moderna chegara aos planos de estudos con data posterior a 1957, xa contaba con que os problemas fosen ben diferentes aos actuais de 2º de bacharelato(ou aos que aprendín eu en COU), mais non agardaba o que atopei, que podemos clasificar de xeito superficial polos temas tratados:

  • Problemas aritméticos (anticuados) de cartos, fontes, móbiles, aleacións, mesturas, reloxos
  • Divisibilidade elemental
  • Exercicios sobre o sistema de numeración decimal
  • Polinomios, fraccións alxébricas e ecuacións polinómicas, Cardano-Vieta
  • Ecuacións e sistemas
  • Progresións
  • Límites
  • Capitais, intereses, réditos, etc.
  • Binomio de Newton
  • Logaritmos
  • Problemas xeométricos planos, métricos e de construción
  • Problemas xeométricos sólidos, incluíndo cálculo de volumes e áreas de revolución
  • Problemas de optimización sen contexto ou con contexto xeométrico
  • Números complexos
  • Estudo de curvas correspondentes ás gráficas de funcións reais
  • Cálculo de derivadas
  • Reconto combinatorio e probabilidade asociada
  • Resolución de triángulos
  • Problemas de latitude e lonxitude, problemas métricos na superficie da Terra
  • Demostracións por indución
  • Discusión de sistemas lineares con 3 ecuacións e 3 incógnitas(dous ou tres exercicios)
  • Ecuacións trigonométricas
  • Sistemas de inecuacións(nalgún caso xunto con ecuacións)
Non creo que deixase fóra moitos temas, e aínda que fose así, esta listaxe xa deixa ben clara unha idea: o PREU viña sendo un tour de force pola cantidade de contidos tratados, mais case todos de escasa sofisticación matemática. Ata o punto de que hai exercicios que se facían cando estudei eu en 7º ou 8º de EXB. O que si é certo, e xa o osmaba, é a profundidade coa que se estudaba a xeometría sintética, tanto plana como espacial, mentres que a xeometría analítica estaba en estadios inferiores ao estudo propio do BUP. Por outra banda, vin moitos problemas que mesturaban de xeito case aleatorio contidos de distinta natureza. Un exemplo témolo no ítem 352:

Hacer la multiplicación de los números complejos $(A+Bi) \times (C+Di)$, siendo:
$A=Log_{ \sqrt{2} \ }{0,5}$
B= La característica del logaritmo decimal de 0,0732
C=La fracción generatriz del número decimal periódico mixto 1,1666...
D=La probabilidad de que al lanzar tres monedas simultáneamente resulten las tres caras

Isto, na miña humilde opinión, non é un problema senón un exercicio enleado, principalmente porque en canto un le o enunciado, é obvio que hai que facer(saiba ou non facelo). Só vexo axeitado utilizar este tipo de exercicio como repaso despois de traballar varios contidos, porque como ferramenta de avaliación pode dar resultados confusos: se estamos a avaliar o produto de complexos en forma cartesiana, podemos quedar coas ganas se o alumno non sabe facer un dos cálculos previos.

A sensación que deixan os 500 problemas anteriores vese corroborada noutro documento que atopei, "Prácticas de Matemáticas", aparecido na Revista de Educación en 1955 e cuxo autor foi Francisco Bernardo Cancho. O documento vai dirixido tamén ao traballo no PREU, e propón exemplos de tarefas a realizar. Observade:

Un prado, de forma triangular, se divide en dos partes por la paralela a uno de sus lados, que descompone a la altura relativa al mismo en la razón $\frac{2}{3}$. Si cinco hombres  han segado en ocho días la hierba de la parte menor, ¿cuántos días tardarán catorce hombres en segar la parte mayor, si siete de éstos siegan como cinco de aquéllos?

Como curiosidade, a solución do autor utiliza unha regra de tres composta con catro magnitudes...

Máis adiante propón un exercicio completamente técnico pero que chama a atención polo inusual(cun feixe de erratas no enunciado):

En la expresión
$\left(x^4-x^3+x^2-x+1-\frac{2}{x+1} \right) \cdot \left(x^4+x^3+x^2+x+1+\frac{2}{x-1} \right)$
se pueden suprimir las fracciones sin que se altere el producto. Explíquese esta particularidad.

Se alguén ten interese na lei que deu lugar á creación do curso Preuniversitario, velaquí á ligazón ao BOE. Déixovos o irrisorio (para os estándares actuais) artigo 1:

"La Enseñanza Media es el grado de la educación que tiene por finalidad esencial la formación humana de los jóvenes y la preparación de los naturalmente capaces para el acceso a los estudios superiores"

16.9.18

Un problema de Marilyn Vos Savant (non Monty Hall)


Debo de ter na cabeza un par de ideas roldando, pois aínda que o tema do novo problema non ten nada que ver co truco de cartas da anterior entrada, o subxacente no que reparei é o mesmo. Observade.

Achei este problema nun libro de Paul Nahin, Number crunching. Taming unruly computational problems from Mathematical Physics to Science Fiction, a priori non demasiado útil nin interesante para as miñas clases; polo que foi unha sorte atopar este enunciado cunha parte tratable nas aulas. Ao choio:

Un amigo e máis eu fomos da súa casa á miña cunha bicicleta. Eu comecei andando e el na bici.  Cando el xa levaba un par de bloques, deixou a bici na beirarrúa e seguiu andando. Cando cheguei á bici, montei nela, pasei ao meu amigo, e despois dun par de bloques, deixei a bici na beirarrúa. Cando el chegou á bici, montou nela outra vez. Fixemos isto todo o tempo do camiño. Ás veces, un montaba en bici; outras, os dous estabamos andando ao mesmo tempo. Eu estou certo de que este proceso foi máis rápido que se os dous estivésemos andando, pero algunha xente insiste en que non é máis rápido porque sempre hai algún dos dous andando. Quen ten razón?

Nahin comenta que o problema apareceu na columna Ask Marilyn na revista Parade. Non é Monty Hall nin o problema segundo irmán, mais é ben fermoso. Dádelle unha volta, a ver que vos parece.



10.8.18

O mellor truco de cartas


Facendo unha pescuda polos arquivos dun disco duro atopei un artigo titulado "The best card trick", que polo visto descarguei aló polo 2006(hai 3 institutos!), que explica un truco que ata esta semana non sabía que era coñecido como Fitch Cheney's Five Cards Trick, en honor ao mago que o introduciu, e que acadou popularidade grazas ao libro Math Miracles de Wallace Lee(Telephone Stud, páxina 49).

O comezo do artigo segue a resultar tan intrigante como a primeira vez que o lin, polo que pensei en traer aquí o seu contido. Ao poñerme a escribir, fixen unha busca na rede e achei que en NRICH xa comentaran o truco, non enlazo os vídeos que fixeron alí porque non están colgados nunha das plataformas habituais.

En que consiste o truco? O xeito tradicional vai así: un voluntario colle cinco cartas dunha baralla, e entrégallas ao asistente. Este escolle unha carta das cinco, déixaa tapada e coloca as catro restantes á vista do mago, quen finalmente adiviña deduce a carta cuberta.

E por que gardei este artigo todos estes anos? Pola explicación voluntariamente trabucada do comezo de por que este truco é imposible. Xulgade vós:

O asistente amosa 4 cartas ao mago, polo que a 5ª carta, que hai que adiviñar, pode ser calquera das 48 restantes da baralla(francesa, que aínda non o dixera). Pero 4 cartas só poden ser ordenadas de 4!=4·3·2·1=24 xeitos, o que provoca que as ordenacións só poderían codificar 24 cartas, non 48.

Ide pensando en cal é o erro deste razoamento, mentres observades este vídeo, no que Brian Brushwood, da canle Scam School, fai o efecto (e inclúe a explicación en 1:11)






Vistes xa cal é o erro da "demostración" da imposibilidade?
Aínda non?

Queredes un anaco máis para pensar? Espazo cortesía de Randall Munroe:

Complex Numbers 

Agora si, imos ao choio: o erro está en que en realidade non hai 4 cartas a escoller para transmitir a mensaxe de cal é a 5ª: hai que incluír a 5ª carta, que tamén é unha escolla do asistente. E tendo en conta que nunha baralla hai 4 paus, é obvio que haberá dúas cartas do mesmo pau(instancia sinxela do Principio do Pombal ou Dirichlet). O asistente colocará de 1ª carta visible unha co mesmo pau que a oculta. Co cal as opcións para a carta que hai que deducir son só 12(na baralla francesa hai 13 por pau), e as permutacións das 3 restantes son 3!=6, polo que aparentemente aínda non parece posible o truco. O que indica que hai que pensar algo máis que facer coas dúas cartas do mesmo pau.

Se visualizamos as 13 cartas dese pau en círculo, sempre podemos "sumar" pola circunferencia un número do 1 ao 6 a unha das cartas e obter a outra. Por exemplo, se as cartas son o 4 e o 10 dun pau:

No outro sentido serían 7 pasos
Agora só queda atopar un xeito de que as 3 cartas restantes poidan codificar os números do 1 ao 6. Unha posible elección é usar a orde alfabética nas cartas(en inglés, clubs, diamonds, hearts and spades)combinada coa ascendente dos números, aínda que entre magos hai unha orde máis habitual, coñecida como CHaSeD. Entre as 3 cartas haberá unha co menor valor(l), unha co valor intermedio(m) e unha co maior(h), só hai que atribuír os números do 1 ao 6 a unha das permutacións, por exemplo do seguinte xeito:

l-m-h=1
l-h-m=2
m-l-h=3
m-h-l=4
h-l-m=5
h-m-l=6

Curioso, non si? Agora só necesitades un asistente e xa podedes deixar abraiados aos colegas.


Nota: Polo visto todo o mundo publicou un artigo sobre este truco, non só NRICH. Buscando o pdf do artigo do Mathematical Intelligencer tamén vin unha entrada en Futility Closet, que non lera no seu día, chamada The Fifth Card. Se buscades por Fitch Cheney's  Five Card Trick, Fifth Card, etc., acharedes miles de entradas similares, eu descubrín deste xeito unha nova referencia con problemas interesantes, Matheon Kalender.

27.7.18

Máis xogos dos de pensar


Revisando as estatísticas deste blog minguante un pode detectar que segue a haber visitas á páxina de xogos que creara para a xornada de Agapema "As matemáticas de Coque". Como é habitual na rede, hai ligazóns que xa non levan aos xogos vencellados. Ademais, como non me prodigo compartindo xogos ultimamente, por unha banda porque non me prodigo en xeral no blog, e por outra porque atopo menos xogos "dos de pensar"(a época gloriosa de xogos gratuítos na rede durou mentres non se xeneralizaron as apps para os móbiles), non era sen tempo que trouxese algún. Velaquí:


  • O primeiro, Squarus II, responde a unha mecánica clásica de mover bloques para chegar a un obxectivo, como un Sokoban calquera, pero inclúe tamén raios que obstaculizan o movemento do teu cadrado branco.
     
  • No segundo, Illiteracy, só tes uns símbolos que poderían estar tirados dun álbum de Led Zeppelin. Deste xogo non vou explicar nada, porque parte da graza consiste en entender de que vai.
   
  • Co terceiro, Hexaknot, teño una sensación de déjà vu, pois deixa a impresión de que xa o xogaches(quizais por Entanglement?). O xogo é ben sinxelo e bonito, que máis se pode pedir? Respecto á mecánica, o obxectivo é, partindo dunha situación como esta:
   
         Chegar á "solución":


    


  • No último desta xeira, Cardinal Chains, nas palabras do seu creador, é un xogo centrado na idea das sucesións non decrecentes. Quizais unha definición un chisco rimbombante, na práctica é un xogo no que tes que facer camiños continuos polas celas(grafos eulerianos?), co aliciente de que a medida que avanzas no xogo, as pantallas non poden ser cubertas cun único camiño, como vemos neste exemplo sinxelo:
    


Coido que xa tedes abondo para xogar no verán.








24.6.18

Oposicións a profesorado de secundaria de Matemáticas 2018


Onte, sábado 23, celebrouse a presentación e a proba práctica do concurso-oposición de profesorado de secundaria. Este ano, como novidade, os opositores podían escoller entre dúas opcións no exame práctico, cada unha con 5 exercicios para resolver, o que lembra á estrutura da ABAU. Polo que se dicía fóra do IES Elviña da Coruña(unha das dúas sedes do proceso) e o resultado dunha enquisa nun grupo de profesores de Matemáticas en Facebook, a opción B foi a máis escollida por moita diferenza. Tendo en conta que na opción A había un exercicio no que se falaba de ideais maximais, que é un tema que non aparece moito nos prácticos, é posible que iso botase para atrás aos opositores. Ou tamén que o último exercicio falaba da parametrización da cicloide, que está nos propios temas teóricos da oposición, e é unha cousa que ou ben sabes ou é complicado que che saia nas condicións dunha oposición.
Pois ben, nesa opción minoritaria, A, había un pequeno problemiña, probablemente o máis sinxelo da opción, que a min me prestou moito. Observade:

Nunha división coñecemos o dividendo, 258728, e os restos sucesivos que se obtiveron ao ir efectuando a división, que son 379, 480 e 392. Atope o divisor e o cociente. Existe máis dunha división? Xustifique a relación deste problema co currículo dunha materia desta especialidade.

Mentres pensades na solución e para afastar a miña, déixovos unha imaxe fermosa da sucesión de Recamán que vin en reddit:

Inspirada polo vídeo de Numberphile sobre a sucesión



Vexamos o problema entón. Se o dividendo ten 6 cifras e obtemos sucesivamente 3 restos parciais distintos, podemos concluír que o divisor ten polo menos 3 cifras pero como moito 4. Vendo os restos parciais, o divisor ten que ser maior que 480.
Con isto xa podemos comezar a traballar sobre a imaxe seguinte, que bastante choio me deu facela no Libre Office Math:

    

Realmente o que hai que facer é razoar sobre como funciona o algoritmo da división. Para comezar, dividimos 2587 entre d e obtemos de resto 379, en linguaxe de congruencias, $2587 \equiv 379(mod \ d)$. Por tanto, $2587-379$ é múltiplo de d. Sucesivamente, ocorre o mesmo con $3792-480$ e con $4808-392$. Por tanto:

$$\begin{cases} 2208=\dot{d} \\ 3312=\dot{d} \\ 4416=\dot{d} \end{cases}$$

Deducimos que d é divisor dos números 2208, 3312 e 4416, polo que é divisor do  máximo común divisor deses tres números, é dicir,
$$(2208,3312,4416)=(2208,3312)=(2^5 \cdot 3 \cdot 23, 2^4 \cdot  3^2 \cdot 23)=2^4 \cdot 3 \cdot 23=1104$$
Aínda que 1104 ten 20 divisores, só nos interesan os que sexan maiores que 480, polo que nos restrinximos a 552 e 1104. E os dous valores dan lugar a solucións:


    

      



O lector avisado detectará a reutilización do código da división de arriba no Math.

Ah, e a parte de relacionar co curriculum queda como exercicio para o lector...

15.6.18

ABAU 2018


Todos os anos boto, como a maioría de compañeiros de Matemáticas, unha ollada ao que cae na selectividade. Como en case 15 anos de docencia, só dei unha vez 2º de bacharelato(ademais no semipresencial de adultos, xa me entendedes), resolvo algún dos exercicios que aparecen para refrescar a memoria, aínda que non todos pois adoitan ser bastante aburridos. Un tipo de exercicio que si resolvo habitualmente é, se o houber, o de optimización xeométrica. Este ano o exercicio 2)b) da opción B dicía:

Calcula os vértices do rectángulo de área máxima que se pode construír, se un dos vértices é o $(0,0)$, outro está sobre o eixe X, outro sobre o eixe Y, e o outro sobre a recta $ 2x+3y=8$


   


O exercicio, a simple vista, soaba coñecido, como resolto mil veces por calquera profesor. A resolución era obvia:

Se o punto do eixe de abscisas é $A=(x,0)$, trazando a vertical que pasa por el e intersecando coa recta oblicua, obtemos o punto $B=(x,y)$, onde:
$$2x+3y=8 \rightarrow y=\frac{8-2x}{3} $$
E por tanto o punto C do eixe de ordenadas será $C=(0,\frac{8-2x}{3})$

Co cal a función área ten a expresión:

$$f(x)=x \cdot \frac{8-2x}{3}=\frac{8x-2x^2}{3}$$

Como é unha parábola cóncava, podemos identificar o máximo como o vértice da parábola ou recorrer a maximizar a función, que tamén é sinxelo:
$$f'(x)=\frac{8-4x}{3}=0 \rightarrow x=2$$
$$f''(x)=\frac{-4}{3} \rightarrow $$
Logo o punto crítico é un máximo.

O desenvolvemento anterior soa ben... pero está trabucado. Nel facemos unha suposición tácita que seguramente tamén tiña en mente quen redactou o exercicio, mais non plasmou no enunciado. E cal é?

Revisade o enunciado e decidide se a situación seguinte está permitida:

    

Ao enunciado faltoulle un "o rectángulo dentro da rexión formada polos eixes e a recta" ou "vértices coas dúas coordenadas positivas", e entón a única situación permitida sería a da primeira figura. Porén, o que me resulta máis interesante é analizar por que a solución de máis arriba é incorrecta, i.e., onde utilizamos a suposición xeométrica que non aparece no enunciado?

E o que sucede é que, se collemos un punto A como o da figura inmediatamente superior, $A=(x,0)$, a área do rectángulo non é $x \cdot \frac{8-2x}{3}$, senón $x \cdot \left( -\frac{8-2x}{3}\right)=\frac{2x^2-8x}{3}$, que claramente non ten máximo.


Arrastrade a figura e as etiquetas para ver o desexado


Incluso poderíamos arranxar dunha soa vez o problema analizando a función $|x| \cdot |\frac{8-2x}{3}|$, o que sae do que se pode pedir aos alumnos na ABAU nun exercicio que, a fin de contas, vale un punto do total de dez.

Falaba cun compañeiro de departamento(nota autobiográfica: o meu propio profesor de BUP) á mañá sobre este erro e acordamos que unha das opcións que teñen na CIUG é anular o exercicio. A outra é dar por bo tanto a quen fixese a solución trabucada de arriba como a quen analice correctamente o problema. Veremos que sucede finalmente.


26.5.18

Datos que me gustaría coñecer mais é pouco probable que o vaia facer


Procrastinando polo twitter o outro día tiven a idea peregrina de facer esta parvada co meme Drake Approves:

Drake knows better

E despois quedei pensando na idea que transmite nas clases a miña insistencia en que a 1ª opción non é correcta. Da miña experiencia falando con compañeiros, estou certo de que moitos pensarán que son un teimudo, que non ten maior importancia. Aínda que todos saben, quero pensar, que a única xustificación válida do procedemento é a da segunda imaxe. Polo menos os que son matemáticos, que no ámbito galego son a maioría. Entón que explica que, aínda sabendo da incorrección matemática, haxa quen(e teño a intuición de que son os máis) traballe as ecuacións mal?

Tendo en conta que todos os profesores fan o que ven máis axeitado para que os alumnos aprendan, o que sucede, coido, é que sacrifican a corrección matemática en favor da comprensión dos alumnos. Cónstame que isto non ocorre unicamente no contexto da resolución de ecuacións, senón que está xeneralizado ao longo do curriculum. As miñas inquietudes ante isto son:
  • Escollen os profesores dar o xeito mecanizado e non a explicación matemática despois de anos de experiencia ou ao comezo da súa carreira profesional?
  • Cambian os profesores de estratexia dependendo do alumnado que teñan cada ano?
  • Os profesores que utilizan o pasar restando tamén proban con números nas inecuacións de 2º grao?
  • Os alumnos dos profesores que utilizan o de pasar restando teñen máis dificultades despois con ecuacións do tipo $-2x=1$? E os que cursen Matemáticas en 2º de Bacharelato, teñen máis dificultades coas ecuacións matriciais?
  • E o meu principal medo: pode ocorrer que os alumnos que aprenden coas mecanizacións resolvan mellor os exercicios mecánicos? Non me sorprendería, a verdade...

Se un busca na bibliografía de educación matemática, atopará moitos artigos sobre o uso e a comprensión do símbolo igual en educación primaria, sobre todo en revistas anglosaxonas. Haberá un éxito menor se un tenta atopar artigos sobre a ensinanza da resolución de ecuacións. Un artigo onde se relacionan as dúas cuestións é Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations, de Eric J. Knuth, Ana C. Stephens, Nicole M. McNeil e Martha W. Alibali(versión abreviada dos mesmos autores, The importance of equal sign understanding in the middle grades). Pero dado que o estudo se restrinxe a ecuacións moi elementais e inclúe métodos de resolución non alxébricos(os participantes eran alumnos desde 6º de Primaria), non responde as miñas preguntas. Outro artigo  relevante é Concepts associated with the equality symbol, de Carolyn Kieran, no que analiza a evolución da comprensión ao longo do sistema educativo, desde a escola infantil ata ao estudo do calculus.

Ah, se queredes ler artigos de expertos españois, deséxovos sorte: só tedes que avanzar con machete entre unha xungla de enfoques ontosemióticos e metacognicións.

Para rematar, permitídeme unha digresión: cando oio falar sobre o máster de secundaria, novos procedementos de selección do profesorado, a necesidade dunha fase de prácticas real, o "MIR educativo", etc., sempre penso se os futuros profesores, nalgunha fase deses procesos, van recibir algún tipo de formación sobre, p.ex., como ensinar métodos de resolución de ecuacións aos alumnos de 1º de ESO. Ou se van recibir, como fixen eu no CAP, historia das leis de educación españolas e frases soltas de Paulo Freire ou Dewey. Frases que, por certo, non ían convencer a ninguén que non estivese previamente convencido. Eu, como xa imaxinades, son pesimista.

5.5.18

O cociente de intelixencia, tuenti e A Rúa


Hai un feixe de anos, aló pola época na que abrín este blog traballando na Rúa de Valdeorras, chegábanme moitas peticións de amizade de alumnos na conta de Facebook. A todos contestáballes o mesmo: esta conta é persoal e só teño familia e amigos(e como moito, coñecidos), non vou aceptar alumnos actuais, pois non me parece apropiado. Polo que algúns do 3º de ESO que daba suxeriron que fixera unha conta en tuenti, ao que accedín finalmente pola insistencia. Daquela atopei por algures a brincadeira seguinte, que obviamente tiven que compartir en clase, para revolver:

Cada vez que un usuario pecha a súa conta en tuenti e abre conta en twitter, o CI medio das dúas redes sociais baixa.

Dez anos despois, sigo a rir con esta parvada, que considero un bo chiste matemático.


Por que lembrei esta anécdota? Pois a razón vén da entrada Estafar na estafeta, na que compartín un fermoso problema sobre tamaño de ortoedros do prolífico Peter Winkler, que tamén aparecera no Tournament of the Towns, e avancei que ía traer un problema dese concurso. Velaquí:

O cociente de intelixencia(CI) dun país defínese como a media dos cocientes de intelixencia de toda a súa poboación.
    1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B. Amosar que pode suceder que, como resultado, o CI dos dous paises se incrementase.
    2. Despois disto, un grupo de xente do país B, que pode incluír inmigrantes de B, emigra a A. Pode suceder que o CI de ambos os dous países se incremente outra vez?
  1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B, e un grupo do país B emigrou simultaneamente ao país C. Sábese que, como resultado, o CI dos tres países se incrementou. Despois disto, un grupo de C emigra a B e un grupo de B emigra a A. Pode suceder de novo que o CI dos tres países se incremente?

Para o ano hei propoñer este problema, ou polo menos o anaco sinxelo, nas miñas clases de 1º ou 2º de ESO.


22.4.18

Solución a Un rectángulo e tres inradios


Nos comentarios á entrada Un rectángulo e tres inradios contestei que a demostración que pensei cando escribín esa entrada era ben fea. Tiven un anaco e deille outra volta, e cheguei a unha proba sinxela e rápida.
O esencial da demostración é unha expresión alternativa para o inradio dun triángulo rectángulo, obtida a partir de $sr=\Delta$ e o ubicuo Teorema de Pitágoras. Vexámolo primeiro:


   
$$sr=\Delta \rightarrow \frac{a+b+c}{2} \cdot r=\frac{bc}{2} \rightarrow r= \frac{bc}{a+b+c}$$
$$r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)} \rightarrow r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c)^2-a^2}$$
$$r=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}\rightarrow r=\frac{b+c-a}{2}$$
Esta última expresión vai facilitar o choio. Vaiamos agora ao problema orixinal:

   

$$r_1+r_2+r_3=\frac{AH+DH-AD}{2}+\frac{CH+DH-CD}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}=$$
$$\frac{AH+DH-AD+CH+DH-CD+AB+BC-AC}{2}=\frac{2DH}{2}=DH$$
onde utilizamos que $AH+CH=AC$, $AD=BC$ e $CD=AB$

Aínda que non o lembro, aposto que esta foi a demostración que fixen a primeira vez que vira o problema, e non a zarangallada alxébrica que montei desta. 

14.4.18

Estafar na estafeta



Lendo a Peter Winkler, autor dos magníficos Mathematical Puzzles: a connoisseur's collection e Mathematical Mindbenders, atopei este problema:

En certas estacións de ferrocarril e oficinas de correos do mundo, o coste de enviar unha caixa (paralelepípedos rectangulares) vén determinado pola suma das súas dimensións, é dicir, a suma do seu longo, o seu largo e a súa altura. Esta suma de dimensións denomínase o tamaño da caixa.
A cuestión é obvia para todos os que teñan unha mente para o delito: é posible hackear o sistema, introducindo unha caixa dentro dunha caixa máis barata? É dicir, pode existir un ortoedro cun certo tamaño que teña un ortoedro de maior tamaño dentro?

Este curioso problema, que pode ser temperado se o levamos a dimensión 2(cun rectángulo dentro doutro rectángulo), apareceu no usualmente (moi) difícil Tournament of the Towns, no que achei outros problemas para cavilar recentemente. Outro día comparto un da categoría "problemas de Álxebra sen ecuacións", ben fermoso.

28.3.18

Un rectángulo e tres inradios



Revisando os escasos números da publicación Arbelos, de Samuel L. Greitzer(ben coñecido pola súa obra conxunta con Coxeter, Geometry Revisited), dei de novo cun vello resultado elemental:

   

Sendo ABCD un rectángulo, amosar que
$$r_1+r_2+r_3=DH$$

Como non é a primeira vez que sucede, pido desculpas se xa o compartín con anterioridade. Desde logo problemas relacionados co inradio dun triángulo rectángulo xa teño compartido.

18.3.18

Unha ecuación non polinómica



Estaba a revisar a fornada de competicións matemáticas de inverno, e dei cunha das miñas preferidas, o Torneo Harvard-MIT. Este torneo, do que xa falaría moitas veces(imaxino) ten dúas  instancias, unha en novembro en Harvard, e a outra en febreiro no MIT. Os dous torneos teñen certas diferenzas, por exemplo nas disciplinas que cobren, mais os dous teñen unha sección individual e unha sección por equipos. Na proba Xeral de novembro teño atopado problemas axeitados para facer pensar aos alumnos alén do habitual nas aulas, chegando ás veces a incluílos (fóra de cualificación) en exames. O ítem que traio hoxe apareceu na proba de Álxebra e Teoría de Números deste febreiro. Observade:


Atopa o único número real positivo que satisfai $$x^{2x^6}=3$$


Se eu dese clase en 1º de bacharelato este ano, seguramente introduciría esta inocente ecuación nalgún momento.

4.3.18

Solución da adiviña


Como ninguén contestou á adiviña proposta por acó, e non sei se por demasiado sinxela ou por demasiado difícil, vou compartir a solución.

Observade a imaxe coa súa lenda(e co título), que na adiviña eliminei para facela máis complicada:

   
A imaxe provén dun estudo sobre a dificultade das táboas de multiplicar no Reino Unido, de aí que vaia desde 1x1 ata 12x12. Atopeina nesta ligazón:

Aínda que non era a primeira vez que daba con esta historia e con esta imaxe ou unha semellante.  Por exemplo, comparade con esta en The Guardian.
O estudo analiza 60000 respostas a produtos aleatorios nunha app dos 232 alumnos da Escola de Caddington, en Bedfordshire. Como indica o título, na imaxe vemos, como nun mapa térmico, o índice de erro en cada un dos produtos das táboas do 1 ao 12. É interesante que a diagonal non sexa un eixe de simetría, é dicir, que haxa casos nos que o produto axb e o produto bxa presenten distintas dificultades. Preto do final achamos que 11x12 e 12x11, resultando difíciles os dous, non resultan igual de difíciles.

A imaxe suxire que o produto máis errado é 6x8(63% de erro), xunto con 8x6(60% de erro). Para min foi unha sorpresa, pois agardaría que houbese máis índice de fallo en cálculos con números maiores. Seguramente non con 11 ou 12, pois dou por feito que a dificultade esperada polos propios alumnos faría que se concentrasen máis en aprender a táboa do 12, e a do 11 porque é especialmente sinxela.

Se queredes saber máis sobre como recolleron os datos do estudo, ide a esta imaxe


14.2.18

Adiviña



Seguindo ligazóns atopei onte a fonte desta imaxe, que aquí aparece oportunamente recortada para dificultar a adiviña. Non sei como será de difícil para alguén que a vexa por primeira vez, pois eu xa a coñecía hai certo tempo.

Ben, e isto que vén sendo?

Un cadro de Mondrian non é, como vemos nas cores utilizadas e
 na liña non paralela aos lados do cadrado...

12.2.18

Solución do problema 8 do nadal


Animado polas dúas entradas que dedicou Cibrán ao oitavo problema que publiquei en nadal(Prólogo, Solución), vou traer a solución que atopara eu hai cousa de 15 anos. A que achega Cibrán é moito máis informativa e algo máis sofisticada; esta, en troques, é susceptible de ser atopada sabendo menos cousas.

Lembremos o problema:

A sucesión real $x_1,x_2, x_3, \dots$ é definida mediante $x_0=1$, $$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}$$

Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.

A estratexia vai consistir en buscar unha recorrencia máis sinxela para a sucesión, na que non apareza a raíz cadrada nin a fracción. Imos:

$$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2} \Longrightarrow 2x_{n+1}-3x_n=\sqrt{5x_n^2-4}$$
$$(2x_{n+1}-3x_n)^2=5x_n^2-4 \Longrightarrow 4x^2_{n+1}-12x_{n+1}x_n+9x_n^2=5x_n^2-4 $$
$$4x^2_{n+1}-12x_{n+1}x_n+4x_n^2=4 \Longrightarrow x^2_{n+1}-3x_{n+1}x_n+x_n^2=-1$$

Escribindo a anterior igualdade para n-1:

$$x^2_n-3x_nx_{n-1}+x_{n-1}^2=-1$$

Restamos as dúas igualdades:

$$x^2_{n+1}-x_n^2 -3x_{n+1}x_n+3x_nx_{n-1}+x_n^2-x_{n-1}^2=-1+1$$
$$x^2_{n+1}-x_{n-1}^2-3x_{n+1}x_n+3x_nx_{n-1}=0$$
$$(x_{n+1}+x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n-1})-3x_n(x_{n+1}-x_{n-1})=0$$
$$(x_{n+1}+x_{n-1}-3x_n)(x_{n+1}-x_{n-1})=0$$
O segundo factor, $x_{n+1}-x_{n-1}$, non pode ser nulo, pois
$$x_{n+1} \geq \frac{3x_n}{2} > x_n \geq \frac{3x_{n-1}}{2} > x_{n-1}$$
Polo que a sucesión cumpre
$$x_{n+1}+x_{n-1}-3x_n=0 \Longrightarrow x_{n+1}=3x_n-x_{n-1}$$

Como nesta condición de recorrencia só interveñen produtos e restas, e os dous primeiros termos da sucesión son enteiros, todos os termos son enteiros, q.e.d.

Como apunta Cibrán, en realidade non é que sexan enteiros, é que $x_n=F_{2n+1}$, mais iso queda fóra do alcance desta solución.

Editado o 14/2/18: puxen ben o signo do 1 na igualdade á que cheguei. Non inflúe na solución, pois o esencial é que os dous membros da esquerda coincidan.

5.2.18

De deberes

Que escusas porán os pobres alumnos dos profesores flippers?

Que os profesores compartan as ferramentas que utilizan para recibir información sobre educación e docencia é habitual. Que ao feito de compartilas lle chamen de xeito rimbombante tamén o é.

Unha das ferramentas que máis se inclúen nas listaxes é twitter. Eu, por contra, non utilizo twitter para "formarme" na miña profesión, aínda que a maioría das contas que sigo son de profesores de Matemáticas. Certamente tampouco utilizo a rede de formación do profesorado da Xunta, pois nos 14 anos que levo traballando nunca atopei un curso ou similar que tratase temas relevantes para ensinar Matemáticas(relevantes na miña opinión). En troques, sigo utilizando maioritariamente dous medios que aínda non chego a entender como non están máis extendidos: feedly e as alertas de google.

De feedly xa falei, e antes de google reader, e como xa apuntei, están dirixidos a seguir as actualizacións de páxinas dinámicas(maioritariamente blogues). Se manexas moitas fontes de información, como é o meu caso, andar navegando leva moito tempo. Un xestor de feeds como eses fai que veñan as novas a ti, i.e., dálle a volta en certo sentido ao camiño.

As alertas de google serven para monitorizar(perdón) a aparición dos termos desexados en toda a web,polo menos na indexada por google, que ben chega. Eu teño alertas en google scholar, que me avisan de novas publicacións cos termos "math education" e "math olympiad". Ás veces hai avisos que non se corresponden coa alerta, simplemente pola aparición casual dos termos no contido, mais o 99% do que me chega a gmail entra dentro do desexado.

E por que se titula esta entrada De deberes? A iso imos.

En "math education" entrou o día 1 o aviso de publicación do artigo A study of Mathematics Homework in Singapore Two Classrooms, de Alina Khaw Han Ron e a ben coñecida Berinderjeet Kaur, da cal recomendo ler o que poidades. Resumindo, neste artigo clasifican os deberes en:

1. Tipo I–revisar, practicar e adestrar os contidos do día.
2. Tipo II–ampliar, elaborar e enriquecer información previamente traballada.
3. Tipo III–preparar para material que será traballado en sesións futuras.

No artigo continúan analizando de que xeito se pode avaliar a robustez e  a profundidade da comprensión dos alumnos, cales son as crenzas sobre os deberes dos propios alumnos e as razóns dos profesores para asignalos, e pretenden responder a esas cuestións no contexto de dúas aulas de grao 8 e con 5 profesores de Matemáticas. Se estades interesados nas respostas dos alumnos e profesores, ide ao artigo, o meu obxectivo vai por outro lado.

Deses 3 tipos de deberes, cales asignamos nas nosas aulas?

No artigo afirman que o Tipo I é o máis común, co que estou de acordo, ata o punto de que pode ser case o único tipo que propoño nas miñas aulas. De feito, os deberes máis difíciles que asigno entran dentro desta clasificación: os exercicios e problemas complicados, por complicados que sexan, non veñen a ser máis que práctica, máis ou menos técnica.

Algunhas veces mando deberes de tipo II, mais tendo a utilizalos pouco polo escaso éxito que adoito ter: as concepcións previas do alumnado acerca dos deberes fan que vexan as actividades de ampliación como 1) demasiado difíciles, 2) estrañas e 3) pouco susceptibles de aparecer en exames, e por tanto, non merecedoras do esforzo. O feito de que moitos alumnos asistan a clases particulares, onde os profesores tenden a centrarse no práctico(=no que cae en exames,e non os culpo), tamén ten provocado que ao propor actividades de enriquecemento, haxa alumnos que volvan ao día seguinte facendo comentarios negativos sobre o asignado. Tamén me ten pasado que haxa alumnos que, en troques de resolver os problemas coas ferramentas básicas xa coñecidas, veñan con métodos máis "avanzados". Exemplo: un problema en 1º de ESO no que aparentemente había varios datos descoñecidos, mais todos relacionados, o que permitía razoar aritmeticamente, vén resolto... con sistemas de ecuacións. E xunto coa opinión do profesor de clases particulares sobre o tipo de profesor que era eu. Noutra ocasión, tamén en 1º de ESO, dentro da unidade de Números Naturais, incluín un exercicio de enumeración relacionado co sistema de numeración posicional, co que houbo solucións con fórmulas combinatorias. Outro exemplo tédelo nesta entrada, onde esperaba un razoamento xeométrico coas fraccións, mais recibín solucións coas inevitables incógnitas.

Con respecto ao tipo III, confeso que uso eses deberes de xeito residual. Como moito, quizais de xeito non explícito, incidindo en propiedades mais no contexto de exercicios da lección actual. Un exemplo: se vou introducir os logaritmos(contido de 4º de ESO dentro da unidade de números reais), podo mandar actividades de potencias nas que pida atopar expoñentes en igualdades, ou onde se xogue coas propiedades das potencias, que avanzan as que dan sentido aos logaritmos.

E ben, vós mandades deberes? E de que tipo?

14.1.18

Unha aplicación das matrices á divisibilidade


Revisando as últimas adquisicións, atopei un algoritmo baseado nas operacións elementais sobre matrices que permite facer un cálculo ben coñecido na ESO. Só vou explicar como funciona o algoritmo, deixando os detalles ao amable lector, que se note en que facultade estudei, polo menos non vou dicir que é trivial(aínda que o sexa).

Collamos dous números calquera, 126 e 210, que ben poden aparecer nun libro de texto de 1º de ESO. Poñámolos en forma de columna xunto á matriz $Id_{2x2}$ e tentemos chegar a que un dos dous números se convirta en 0 mediante operacións elementais:

$\left[ \begin{array}{c|cc} 210 & 1 & 0 \\ 126 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\ \xrightarrow{F_1 - F_2}  \left[ \begin{array}{c|cc} 84 & 1 & -1 \\ 126 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\ \xrightarrow{F_2 - F_1} \left[ \begin{array}{c|cc} 84 & 1 & -1 \\ 42 & -1 & 2 \\ \end{array} \right]\ \xrightarrow{F_1 -2 F_2} \\ $ $$ \left[ \begin{array}{c|cc} 0 & 3 & -5 \\ 42 & -1 & 2 \\ \end{array} \right]\ $$
Agora que obtivemos o 0 no lugar $a_{11}$, o elemento $a_{21}=42$ é o $M.C.D.(210,126)$, e ademais, os elementos $a_{22}$ e $a_{23}$ son os escalares da combinación linear dos números 210 e 126 que garante o Teorema de Bezout:
$$-1 \cdot 210+2 \cdot 126=42 $$

Este algoritmo permite tamén obter a solución de ecuacións diofánticas lineais. Se quixésemos resolver, p.ex., $18x+30y=24$, non habería máis que obter os escalares mencionados arriba, neste caso $-3 \cdot 18 +2 \cdot 30=6$, e multiplicar os dous membros da igualdade por 9(condición necesaria e suficiente para que unha ec. diofántica linear teña solución é que o M.C.D. dos coeficientes sexa divisor do termo independente).

Un par de cuestións:

Cantas operacións elementais hai que efectuar para obter o máximo común divisor mediante este método?

E máis importante, por que funciona chantar a matriz identidade ao lado do noso vector?