Un xogo recursivo

Síntome compelido a facer esta entrada, e iso que este mesmo ano xa compartín un xogo baseado supostamente no traballo de Escher. Ao xogo de hoxe, Print Gallery Of An Artist, cheguei vía kottke, onde efectivamente menciona a inspiración na obra do pintor neerlandés, favorito do gremio de estudantes universitarios de matemáticas do mundo. Logo, se ides á páxina do xogo, realmente o que di, xa no subtítulo, é A brief exploration of recursive spaces. E iso resulta máis acaído, como podedes comprobar se xogades un chisco ou se simplemente mirades a imaxe que incrustei abaixo.

 

   

De feito o autor do xogo, Daniel Linssen, aclara que a inspiración do xogo é un vídeo de 3Blue1Brown (que non vin), baseado á súa vez en Escher. En concreto, no estudo do efecto Droste por parte de Escher, plasmado na ben coñecida litografía Prentententoonstelling, esta de aquí:

Da wikipedia

(Se queredes ler unha análise da estrutura matemática desta obra, velaquí)

Recoméndovos o xogo, eu polo menos pasei un bo cacho toleando coa espiral infinita.

P.S.: notei despois de xogar máis que se tarda un pouco en ver normal de todo. Avisados quedades.

Symmetry

 

Tranquilos, non vou comentar o clásico libro de Hermann Weyl, que sospeito que, xunto a Flatland ou O Teorema do Papagaio, forma parte desa colección de libros que naceron para encher bibliografías de traballos que ninguén leu, nin eses traballos, nin desgraciadamente, os devanditos libros.

Xa que esta entrada comeza doente, aproveito para apuntar aquí que non hai un maldito libro de divulgación no que falen de Weyl no que non digan as mesmas frases: que era discípulo de Hilbert pero que non o seguiu no formalismo, senón que evolucionou cara ao intuicionismo... Sen comentar a posterior "reconciliación", que aparece ata na wikipedia en inglés. En fin.

Non. Symmetry é o nome dun xogo dos que parecen feitos para ter de target os tarados coma min. Pois ademais de traballar o concepto de simetría axial, requiren de certa velocidade visual. O obxectivo de cada fase é detectar que cela rompe a simetría, para o cal dispós dun tempo que ao principio é máis que abondo, pero cando a cuadrícula vai incrementando o número de celas e hai máis características que ter en conta, rapidamente é insuficiente. 

Comparto a pantalla dunha fase na que hai que controlar tanto a cor das celas como o contido, e o eixe de simetría. En fases posteriores tamén hai que observar a orientación do contido, hai celas que desaparecen e logo reaparecen, as figuras teñen distintos padróns de sombreado...

Engadindo a imaxe decateime de que lembra
á portada dun libro ben bonito de Combinatoria,
Combinatorics. Ancient and Modern

Xa teño tedes outro xoguiño para eses días pampos de folga de estudantes nos que veñen dous despistados...

Escher(-ish) noutro xogo

 Que tempos aqueles nos que todas as semanas saía un xogo "dos de pensar" na rede, que tempos.

Ou quizais segue a haber, o que sucede é que desde que desapareceu o Flash non hai unha contorna amigable, fóra de certos portais aparentemente máis especializados, como itch.io, ou cousas raras e infantís, como Roblox, na que velos. Ou pode que sexa eu máis vello, ou parvo, quen sabe.

 

Obviamente, se vexo que hai un novo xogo titulado Escheresque, vou probalo e raro será que non o comparta aquí. Que parece que eu son o target obxectivo dunha cousa así.

Aínda que logo, cando o probe, decida que moi Escheresque igual non é.

O xogo usa a perspectiva isométrica de moitos dos vellos xogos arcade dos 80, a mecánica inclúe cambiar entre dous mundos superpostos e isto fai que o noso ollo conxugue as imaxes dos dous mundos ata crear figuras paradoxais que non están aí. Ao contrario do Monument Valley, no que si aparecían ilusións e figuras imposibles.

Podía basearse en La Abadía del Crimen,
a verdade. Ou no Marble Madness

A principal dificultade do xogo é non ter unha visual completa do escenario, o que provoca que poidas vagar un chisco ata atopar o que hai que facer. E tendo en conta a lentitude coa que anda o nachiño, se sodes dos que vedes vídeos a 2x, non é para vós. Se sodes dos que non resolvedes un problema de todo no momento no que sabedes o que hai que facer, tampouco.

En conclusión, máis arte que xogo. Como premisa para algo máis grande si que o vexo factible.

Un xogo con sucesións(curtas) de Fibonacci

 

   

A sucesión de Fibonacci probablemente sexa a sucesión máis famosa que é chamada sucesión de xeito común. Porque en realidade os números naturais, os pares ou os impares, os números primos, etc., son ben máis coñecidas, pero é raro que se lles adhira o termo sucesión, polo menos en niveis elementais.

Fartos estaredes de ver os primeiros termos,

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \dots$$

E aínda máis de recuncar na lei de recorrencia dos termos da sucesión: cada termo é a suma dos dous anteriorezzz...

Por traer algo menos universalmente coñecido, se revisades os termos $F_n$ que son primos,

$$F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_7=13, F_{11}=89, F_{13}=233, \dots$$

veredes que, agás para n=4, os demais termos primos están nunha posición que é tamén un número primo(non tiredes conclusións rápidas, $F_{19}=4181=37 \cdot 113$).

Que só teñamos que buscar, a partir de $F_5$, números primos na sucesión de Fibonacci entre os que teñen os aspecto $F_p$, con p primo, é elemental se un sabe que a sucesión cumpre a seguinte condición:

Se a|b, entón $F_a|F_b$

(A demostración déixase como exercicio para o amable lector, e este feito ten nome)

Aproveito para lembrar que hai unha adiviña no blog desde hai 8 anos, De tres en tres, e dar unha pista: a solución que tiña eu en mente cando a escribín está relacionado cos números de Fibonacci tamén.

E por que escribo (por quinta vez) sobre os números de Fibonacci se é tan notorio que non é o meu tema preferido?

Exacto: porque vin onte un novo xogo, como xa intuístes coa imaxe da cabeceira da entrada.

O xogo chámase Knotilus, e consiste en que:

1º) Atopes cinco sucesións tipo Fibonacci de lonxitude 4 entre os 11 números propostos(esta é a parte sinxela, só hai que achar o molde a,b,a+b,a+2b entre os números)

e 

2º) Escollas entre as sucesións atopadas as tres que cumpren as condicións "só comparten un número(the knot)", "os demais números nas 3 sucesións só aparecen nunha delas"

Podedes ir directamente a xogar ou podedes analizar a solución do xogo sinxelo de hoxe:

    

Veña, que non vai ser todo ler a cantidade desorbitada de libros que teredes na cola de lectura.

Un xogo 3D de verdade

 

Unha das miñas vellas teimas consiste en anoxarme cando alguén fala de visión espacial cando realmente o único implicado na situación é a visión plana. Sendo consciente de que espacial pode referirse tamén ao plano, isto é algo superior a min. E esta teima esténdese ao ensino cando en actividades que supostamente avalían a visión espacial, o único razoamento imprescindible ten lugar no plano. E por último, tamén é habitual que no ámbito dos videoxogos tenten coar por xenuinamente 3D mecánicas que só utilizan vistas 3D, pero nas que o esencial, unha vez máis, é 2D.

Por iso levei unha grata sorpresa ao coñecer este xoguiño, Which Way Round?, no que a captura xa vos dará unha boa intuición da mecánica:

   

A figura superior é xirada no plano paralelo ao chan, é introducida na caixa de tal xeito que deixa de verse, a caixa xira no espazo, e o xogador ten que escoller cal das opcións inferiores corresponde á nova orientación da figura. O xogo comeza sendo ben sinxelo, pero despois, ao compoñer varios xiros, estou certo de que vai poñer a proba a vosa memoria operativa, e, neste caso si que se cumpre, a vosa visión espacial. Probádeo e veredes.

SineRider

 

Había tempo que non vía un xogo matemático on line con certa solidez, e lendo feeds atopei Sinerider, cuxo nome dá unha pista se xa coñecíades o vello Linerider, no que había que debuxar liñas a man alzada para que un trineo chegase a un obxectivo. Pois ben, observade unha das pantallas iniciais do xogo e xa ides adiviñar de que vai:

   

O xogo ten un mapa no que avanzamos seguindo camiños. Reparade neste título, por exemplo:

Do sementador?

 

Como adiviñastes, o xogo vai de escribir a expresión alxébrica dunha función para que o fantasma protagonista do xogo esvare pola súa gráfica. Mais ten varias innovacións con respecto aos distintos avatares desta idea que levo vendo lustros: a que vin que máis me encheu o ollo foi a de poder incluír a variable temporal na función que escribas, co cal ademais de que o fantasma esvare sobre a gráfica, esta variará simultaneamente. E nalgunhas pantallas é máis difícil do que parece cadrar isto para acadar o obxectivo, que ás veces consiste en que o fantasma pase por unhas letras en orde, noutros mover co noso protagonista un círculo por unha especie de correa, etc.

Ademais deste xogo-aventura, os autores crearon un bot en twitter que está a compartir retos, non sei ben con que frecuencia. Observade un chío de hoxe:

Sinerider Daily Puzzle #21 - This one is absolutely incredible, just wait, you'll see! https://t.co/S6wmZnRWaq

— SineRiderBot (@SineRiderBot) May 8, 2023

E hai un subreddit, SineRider, no que a xente comenta as dificultades e solucións dos retos.

Como dato curioso, o colectivo que creou o xogo, Hack Club, seica está formado por miles de mozos programadores do mundo.

Un paradoxo probabilístico

 O paradoxo que vou compartir hoxe é un vello coñecido, que vin xa en varios libros, p.ex. Nonplussed! de Julian Havil, quen adxudica a súa creación ao gran Leo Moser. Ollade que curioso:

Vai ter lugar un pequeno torneo entre tres xogadores de tenis, Álex, Brais e Carlos. Álex é peor xogador que Brais, e Brais é peor que Carlos. Álex vai xogar tres partidos, alternando entre Brais e Carlos, de tal xeito que se gaña 2 partidos seguidos, obterá un trofeo. Loxicamente, a probabilidade de que lle gañe Álex a Brais, denotémola por b, será maior que a probabilidade de que Álex gañe a Carlos, que chamaremos c. Que será mellor para gañar o trofeo, que empece xogando contra Brais ou contra Carlos? 

Para que pensedes con xeito, introduzo aquí un pantallazo dun xoguiño de cálculo aritmético que acabo de coñecer, Meganum:

    

Aposto a que nin fai falta que poña como se xoga, e que chega con poñer un pantallazo con outra modalidade de xogo(mirade toda a pantalla):

   

Veña, ao choio xa.

Imaxino que adiviñades onde reside o paradoxo: o primeiro que pensaría calquera é que para Álex é mellor xogar máis contra o seguinte peor xogador, Brais, que contra o mellor, Carlos.

Pois ese calquera pensaría mal. Vexamos por que elaborando dúas táboas, na 1ª Álex xoga contra Brais primeiro e na 2ª contra Carlos primeiro. Lembrando que b era a probabilidade de que Álex lle gañe a Brais e c a probabilidade de que lle gañe a Carlos, e supoñendo independencia, a situación é a seguinte:

Opoñente	Brais	Carlos	Brais	Probabilidade
Gaña ou Perde?	G	G	G	bcb
	G	G	P	bc(1-b)
	P	G	G	(1-b)bc

 

Opoñente	Carlos	Brais	Carlos	Probabilidade
Gaña ou Perde?	G	G	G	cbc
	G	G	P	cb(1-c)
	P	G	G	(1-c)bc

Vexamos agora cal é a probabilidade de que gañe o trofeo en cada situación.

• Se xoga primeiro contra Brais, a probabilidade de obter o trofeo é a suma das 3 opcións onde gaña 2 partidos seguidos, é dicir: $$bcb+bc(1-b)+(1-b)bc=bc(b+1-b+1-b)=bc(2-b)$$
• Se xoga primeiro contra Carlos, o mellor xogador, a probabilidade de trofeo é: $$cbc+cb(1-c)+(1-c)bc=cb(c+1-c+1-c)=cb(2-c)$$

Vedes xa a sorpresa?

As dúas probabilidades comparten aspecto, a primeira é $bc(2-b)$ e a segunda é $bc(2-c)$. Obviando o factor común $bc$, resulta que $2-b<2-c$ pois $c<b$, como deixei indicado ao principio, posto que é máis difícil que gañe a Carlos que a Brais. En conclusión, é mellor que elixa o mellor xogador  para xogar dúas veces que o peor xogador.

Agora que xa vistes o razoamento, ficades convencidos? 

No libro de Havil podemos atopar unha explicación á nosa inquedanza: se analizamos o número esperado de victorias en cada situación, aí a nosa intuición si que acerta:

• Na 1ª opción, o número esperado é $$0 \cdot (1-b)(1-c)(1-b)+1 \cdot [b(1-c)(1-b)+(1-b)c(1-b)+(1-b)(1-c)b]+ \\2 \cdot [bc(1-b)+b(1-c)b+(1-b)cb]+3 \cdot bcb=2b+c$$
• Na 2ª opción, o número esperado é $$0 \cdot (1-c)(1-b)(1-c)+1 \cdot [c(1-b)(1-c)+(1-c)b(1-c)+(1-c)(1-b)c]+\\ 2 \cdot [cb(1-c)+c(1-b)c+(1-c)bc]+3 \cdot cbc=2c+b$$

E como, esta vez si, intuímos evidente, o número esperado de victorias é maior se xogamos máis co peor xogador.

Aposto a que outro día hei volver sobre o libro de Havil, no que todos os capítulos teñen ideas interesantes. 

Un xogo de puzzles 2D no espazo 3D

O título vén dado polo autor, Peter Lavigne, e na miña opinión é imposible melloralo.

O xogo chámase Orakyubu, e mestura, como facía Continuity(que quedou no limbo pola morte morrida do Flash), os puzzles dentro dunha pantalla cos crecacabezas clásicos. Mentres que en Continuity había que fedellar con pantallas bidimensionais que tiñamos que encaixar para poder resolver os puzzles, de novo, bidimensionais, en Orakyubu as pantallas son cúbicas, e hai que fedellar con elas no espazo co mesmo obxectivo.

Captura autoexplicativa

Non conto máis. Ide probar e veredes que este xogo tiña que vir ao blog.

Preguntas sinxelas en Xeometría

 Hai unhas cantas cuestións xeométricas que nunca utilicei nas aulas debido a que non sei aínda como dar forma ás actividades de introdución. Vexamos de que estou a falar:

• Pode que lembredes unha aplicación/xogo que apareceu hai anos na que había que debuxar a pulso unha circunferencia co rato. Cando un remataba, a aplicación dicíalle como de boa era a tentativa. Compartín o xogo e o meu debuxo nesta entrada de hai 8 anos. Confeso que tardei un anaco en lembrar a app que era, pois buscando en google saen varias agora:

Draw a circle

Circular

E, finalmente, a que compartira daquela:

Circle Drawing

Xa comentara naquela entrada o xeito que tiña o gatiño ese de avaliar como de boa era a circunferencia: mediante a desigualdade isoperimétrica. Draw a circle só proporciona a %, sen indicar en que se basea, pero facendo probas intúo que fai o mesmo que Circle Drawing.

En troques, Circular utiliza varios factores: número de puntos trazados(non sei se aí inflúe máis o rato que o teu pulso), radio da circunferencia, suma de erros, erro/punto e desequilibrio. Este xeito de avaliar presenta unha dificultade obvia: como calcula o centro da circunferencia/radio, para despois calcular o erro en cada punto trazado respecto ao punto ideal? Resumindo, como determinar a "circularidade" dunha (tentativa de) circunferencia?

Todo isto lévame a pensar que quizais, este exemplo ben fermoso non é máis axeitado para unha clase de xeometría elemental. E por iso pensei en rectificar a figura tratada, e ir complicando o asunto:

Comecemos polo máis sinxelo, como de cadrado é un rectángulo calquera? Claro abondo, non si? Que sexa un rectángulo implica que os ángulos xa son os correctos, só hai que centrarse nos lados, e son os dous enfrontados iguais, co cal podemos intuír a resposta máis previsible: canto menor sexa a diferenza entre (en valor absoluto?) entre os dous lados iguais, máis cadrado será o rectángulo. Pero ademais desta resposta simple e efectiva, haberá algunha resposta alternativa? Algo relacionado coa circunferencia circunscrita? E coas diagonais, tanto coa súa lonxitude como co ángulo formado cos lados? Quizais son optimista de máis? 

Máis complicado, máis factores: como determinar como de cadrado é un paralelogramo? Aquí o obstáculo é obvio, por un lado hai que endereitar o lado/achegar a 90º un ángulo(os dous), por outro hai que igualar os lados. Se é demasiado evidente como actuar neste caso, podemos choutar a como determinar como de cadrado é un cuadrilátero? En caso de bloqueo, parar en etapas intermedias do estilo como determinar como de cadrado é un rombo, como de rectángulo é un romboide, etc.

Pasemos á seguinte cuestión:

• Se chamamos "sumar" dúas figuras planas a pegalas por un lado ou un vértice (aínda que os lados escollidos non sexan iguais), cales das figuras elementais "se reproducen" sumándoas? Por exemplo, dá igual como poñamos dous cadrados (sempre que non os superpoñamos se fosen iguais), a súa suma non vai ser un cadrado. Mentres que dous rectángulos si poden sumar un rectángulo, dous romboides un romboide, etc. Que tipo de figuras elementais son "reproducibles"? Teñen algo en común? Podes atopar algunha figura cóncava reproducible?

A seguinte cuestión asaltoume un día que coloquei unha pota na vitrocerámica sen que compartise centro co fogón:

• Se temos unha circunferencia que deixa visible un arco dunha curva por embaixo, como podemos saber se ese arco pertence a unha circunferencia tamén? Achega información que coñezamos que a curva completa sexa unha circunferencia? Ou tanto ten, e chega co arco só? Aínda máis: como contestaríamos a pregunta de se 4 puntos soamente están na mesma circunferencia?

Pareidolia minimalista

E agora, preguntas inocentes que non o son en absoluto, pero que sempre quixen compartir por aquí:

• Se che dan as dimensións de dous rectángulos, como saber se un cabe dentro do outro? Cabe un rectángulo 6x5 nun rectángulo 8x4? É suficiente, por tanto, que o rectángulo que queremos meter no outro teña menor área? Se xogamos con rectángulos grandes pero con altura pequena, veremos que non. Déixovos ligazón a un fermoso artigo do Mathematics Magazine, Rectangles in Rectangles, onde dan condicións necesarias e suficientes. Velaquí o comezo: 

Pinta de sinxelo non ten

De onde saíu este problema? Pois do análogo para o sospeitoso habitual da xeometría plana, o triángulo, do fabuloso One Hundred Problems in Elementary Mathematics(1964), de Hugo Steinhaus:

• Se che dan as dimensións de dous triángulos, como saber se un cabe dentro do outro?

 Este problema foi resolto en 1993 por K.A.Post nun artigo en Geometriae Dedicata. Cal é a vosa intuición: será máis sinxela a solución para rectángulos ou para triángulos? Que inofensivos se ven agora os cadrados e os círculos, non si?

Do artigo de Post

Como colofón, é ben curioso que soubese destes problemas bidimensionais moito tempo despois de coñecer que un cubo pode pasar por un furado practicado nun cubo do mesmo tamaño. Das tapas rectangulares dos sumidoiros supoño que xa saberedes, non?

xor

Coa desactivación do contido programado con Flash, o mundo dos xogos casuais na rede minguou, e por tanto o ínfimo campo dos xogos con contido máis ou menos matemático, que é un dos negociados tradicionais deste blog. É certo que aínda quedan os elaborados en unity, os de itch.io e algunha cousa indie máis, pero as canles habituais onde podía atopar estes xogos foron ficando descontinuas.

Hoxe atopei este xoguiño, xor, que parece feito para este blog, pois a mecánica lembra a ideas como a do espazo negativo, que teño mencionado en twitter e nas aulas. Se sabedes que significa o operador xor en lóxica xa intuiredes de que vai. E se non, fedellar un chisco coas figuras clarificará o asunto:

    

Intuitivo abondo? Parece obvio que o obxectivo é formar o modelo superior combinando as pezas de abaixo, non si? As pezas só poden ser trasladadas, non hai xiros nin reflexións, o cal é unha mágoa, podería facer máis retador o xogo.

Á dificultade inherente á mecánica do xogo súmase que ás veces o obxectivo non está á mesma escala que as pezas que tes que combinar. Parece unha parvada de obstáculo, mais se probades o xogo, veredes que non o é.

Case tres aniños sen xogos neste blog, incrible.

Máis xogos dos de pensar

Revisando as estatísticas deste blog minguante un pode detectar que segue a haber visitas á páxina de xogos que creara para a xornada de Agapema "As matemáticas de Coque". Como é habitual na rede, hai ligazóns que xa non levan aos xogos vencellados. Ademais, como non me prodigo compartindo xogos ultimamente, por unha banda porque non me prodigo en xeral no blog, e por outra porque atopo menos xogos "dos de pensar"(a época gloriosa de xogos gratuítos na rede durou mentres non se xeneralizaron as apps para os móbiles), non era sen tempo que trouxese algún. Velaquí:

• O primeiro, Squarus II, responde a unha mecánica clásica de mover bloques para chegar a un obxectivo, como un Sokoban calquera, pero inclúe tamén raios que obstaculizan o movemento do teu cadrado branco.

     

• No segundo, Illiteracy, só tes uns símbolos que poderían estar tirados dun álbum de Led Zeppelin. Deste xogo non vou explicar nada, porque parte da graza consiste en entender de que vai.

   

• Co terceiro, Hexaknot, teño una sensación de déjà vu, pois deixa a impresión de que xa o xogaches(quizais por Entanglement?). O xogo é ben sinxelo e bonito, que máis se pode pedir? Respecto á mecánica, o obxectivo é, partindo dunha situación como esta:

   

         Chegar á "solución":

    

• No último desta xeira, Cardinal Chains, nas palabras do seu creador, é un xogo centrado na idea das sucesións non decrecentes. Quizais unha definición un chisco rimbombante, na práctica é un xogo no que tes que facer camiños continuos polas celas(grafos eulerianos?), co aliciente de que a medida que avanzas no xogo, as pantallas non poden ser cubertas cun único camiño, como vemos neste exemplo sinxelo:

    

Coido que xa tedes abondo para xogar no verán.

Fragments of Euclid

Hai cousa de medio ano vin nos microsiervos a reseña dun xogo, Fragments of Euclid, do cal coa miniatura do tráiler xa captamos a idea e a razón de que o traia a este blogue:

Por se non fose obvio, o creador, Antoine Zanuttini, confirma que este xogo de exploración e resolución de puzzles está baseado na obra de M.C. Escher, e que tivo un prototipo no transcurso do Ludum Dare 37, Non Euclidean Room, do cal recupero as escaleiras de Penrose do in-game:

Penrose Stairs

Se tedes unha hora libre, mergulládevos neste pequeno xogo onde non hai un sistema de referencia estable.

Libros

Buscade abaixo o libro de David Wells para ver a relación coa Olimpíada do xoves

Esta entrada leva sendo posposta varios anos, máis por esquecemento que por outra razón. Aproveitando que un xentil anónimo (aka ML) me lembrou este propósito, é hora de que comparta unha pequena listaxe de libros que, dun xeito ou outro, me teñen marcado como profesor. Nos tempos que vivimos é obvio que non son os libros os únicos referentes de formación que temos os docentes, mais nesta listaxe vou deixar fóra as webs, blogues, etc., referencias das que xa teño falado noutras entradas.

Por se alguén non está atento, hoxe toca falar de libros no sentido clásico do termo.

O labor docente na secundaria ten varios planos: por unha banda o profesor estudou na universidade unha carreira que lle proporcionou os coñecementos esenciais da súa disciplina, despois recibiu unhas directrices sobre pedagoxía (no extinto CAP ou no actual Máster de Secundaria). A estes planos é probable que de xeito autodidacta e paralelamente á práctica da súa profesión, sumase o coñecemento da didáctica da materia. Isto ten como consecuencia que nesta lista haxa varios apartados, aínda que omitín adrede os volumes sobre aspectos técnicos do ensino e a aprendizaxe.

Tentei engadir ligazóns aos textos completos onde foi posible, i.e., onde o big brother google deixa que aparezan. En calquera caso, Library Genesis is your friend (este sería o meu lema se algún tarado me encomendase un curso de formación do profesorado novel).

Un último aviso: non podo asegurar que lese por completo todos os libros que van aparecer, sobre todo cos libros de consulta é difícil lembrar se un foi exhaustivo, ao non telos lido de xeito linear.

Antes de comezar, xa me estou a arrepentir dos que esquecín.

Matemáticas

• Calculus- Michael Spivak 

Lino enteiro despois de rematar a carreira, cos meus prexuízos sobre o Cálculo Elemental xa asentados. Este volume ten dúas características positivas: fai reformular o que se sabe, e faino cun estilo moi elegante.

• An Introduction to the Theory of Numbers, G.H.Hardy&J.E.Littlewood

Este libro, xa demodé na disciplina, contén o que consideraban esencial desa disciplina dous dos mellores teóricos de números do momento. Ten un estilo por momentos austero.

• Geometry Revisited de H.S.M. Coxeter&S.L.Greitzer e Introduction to Geometry de H.S.M.Coxeter

Aínda que os dous libros son ben distintos en contidos e propósito, xúntoos acó porque grazas aos dous son un pouco menos ignorante en Xeometría. Coxeter foi un xeómetra formidable, e o seu dominio sobre a súa materia tradúcese ao seu estilo como autor.

• A selection of problems in the Theory of Numbers- Waclaw Sierpinski

O matemático que se pon sempre como exemplo de que se pode continuar traballando ata a senectude, Sierpinski fixo esta compilación de problemas, que na miña opinión forman parte da cultura matemática.

• The Theory of Numbers. A Text and Source Book of Problems- Andrew Adler, John E. Coury

Este volume ten pouco que ver cos anteriores. Póñoo aquí porque pasei un verán resolvendo os problemas que contén, desde como calcular datas usando congruencias ata como resolver ecuacións diofánticas utilizando extensións cuadráticas dos números racionais. Cousas da xuventude.

Reflexión arredor das Matemáticas

• The Mathematical Experience- Philip Davis&Reuben Hersh

Unha xoia de libro en todos os aspectos. Por poñer un exemplo, a análise que fai do Teorema Chinés dos Restos desde a súa orixe ata a formulación moderna abriume os ollos (btw, outro problema que podería ter aparecido na entrada De que me soa a min isto?) Daquela vin mellor onde estaban algunhas ideas por embaixo da forma provisional que se lles dea. Algo semellante experimentei cando vin que a xeneralización de Euler do Teorema Pequeno de Fermat anunciaba punto por punto a demostración moderna do Teorema de Lagrange da Teoría de Grupos.

• What is Mathematics, Really? -Richard Courant&Herbert Robbins

Aínda que vendo os contidos un podería pensar que é un tour de force das Matemáticas que se estudan na facultade, o certo é que os autores van deixando a súa opinión sobre a necesidade dos conceptos matemáticos e a súa posición dentro das Matemáticas como disciplina interconectada. Non é unha obra para ler nunha tarde.

• A Mathematician's Apology, G.H.Hardy

A peculiar visión dun matemático peculiar, xa forma parte do folklore matemático a súa postura sobre a imprescindible estética das Matemáticas.

• The Enjoyment of Mathematics- Hans Rademacher&Otto Toeplitz

Unha delicia de libro. Consta de artigos independentes sobre temas moi variados, desde como crear movemento rectilíneo utilizando engrenaxes ata curvas de ancho constante ou o Problema de Waring.

Reflexión arredor do Ensino das Matemáticas

• Mathematician's Delight- W.W.Sawyer

A Sawyer mencioneino por acó de pasada. Ide á web enlazada se queredes saber do seu labor docente. Eu estou namorado da súa intuición como profesor.

• 20 years before the Blackboard- Michael Stueben

Deste tamén falei xa.

Resolución de Problemas

• Problem Solving Strategies- Arthur Engel

Está pensado para o adestramento de olímpicos (Arthur Engel foi moitos anos o capitán do equipo alemán da IMO) polo que cobre todos os temas que poden aparecer nunha olimpíada de alto nivel. Tendo isto claro, évos un compendio de matemáticas fermosas.

• Problem Solving through Problems- Loren Larson

Semellante ao anterior, aínda que sen os problemas de maior dificultade. Tamén inclúe rudimentos de cálculo infinitesimal, xa que está máis dirixido a un concurso tipo Putnam que á IMO.

• Winning Solutions-Edward Lozansky&Cecil Rousseau

 Tamén pensado como os anteriores, presenta os heurísticos tradicionais pero o rango de problemas cuberto é algo máis limitado.

• Ants, Bikes, and Clocks. Problem Solving for Undergraduates- William Briggs

Monos e cocos? Sombreiros que caen nun río? Calcetíns nun caixón? Unha viaxeira que colle un tren unha hora antes do habitual? Unha variedade inusitada de problemas é o que hai neste libro, polo que abrir unha páxina ao chou é un antídoto contra o aburrimento.

• Famous Puzzles of Great Mathematicians- Miodrag S. Petkovic

Fibonacci, Arquímedes, Euler, Gauss, Ramanujan, Steiner, Pascal,... atacaron problemas meramente lúdicos, polo menos na súa orixe. Petkovic fixo esta escolma milenaria.

• Five Hundred Mathematical Challenges- Edward Barbeau, Murray Klamkin, William Moser

A escolla de tres expertos problemistas. Non vou ser eu quen os emende.

• Mathematical Quickies-Charles W. Trigg

Souben do termo "quicky" pasando pola sección de problemas do Mathematics Magazine que había na biblioteca da facultade, para min sempre estivo relacionado con Murray Klamkin, un dos autores do libro anterior. Máis tarde dei con este volume, do que teño tirado algún problemiña.

• Mathematics as Problem Solving- Alexander Soifer

 Outra selección de problemas, que coa visión de Soifer, ten certa querenza á combinatoria e aos xogos(idiosincrática dos matemáticos da antiga URSS)

• The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles- David Wells

Wells é outro divulgador de primeiro nivel da nosa ciencia. Por poñer un exemplo de problema deste libro, observade a imaxe da cabeceira desta entrada. Tedes que cortar esa figura en dous cachos de tal xeito que se poidan unir para formar un rectángulo normal.

• Dueling Idiots and other Probability Puzzlers-Paul J. Nahin

Só ten 21 problemas probabilísticos, pero vaia problemas!

Miscelánea

• Mathematical Recreations and Essays- W.W. Rouse Ball

Outro clásico imprescindible, tan imprescindible que a última versión foi editada por Coxeter. Contén todas as Matemáticas recreativas que se coñecían a finais do século XIX, e tamén unha disquisición histórica sobre o Mathematical Tripos de Cambridge, que o lector poderá saltar sen remorsos.

•  Concrete Mathematics- Ron Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik

Orixinalmente un curso de Donald Knuth en Stanford, Concrete Mathematics é a edición completada e mellorada daquel curso. O estilo non é o dos matemáticos puros, senón que está máis enfocado cara a manipulación e o cálculo.

• The Code Book- Simon Singh

 Este libro pasoumo un amigo aínda estudando a carreira, que mercara a tradución ao castelán (lembranzas de antes dos tempos do pdf e o djvu). De lectura áxil, presenta a evolución da criptografía e da criptoloxía desde a antiga cifra César pasando pola máquina Enigma ata a actualidade.

• How to lie with Statistics- Darrel Huff

Esta é unha elección obrigada. Se non o coñecedes aínda, correde, insensatos.

• Taking chances: Winning with Probability- John Haigh

Un chisco de cultura popular, neste caso arredor dos xogos de azar, non vén mal entre tanta solemnidade. Haigh estuda o mundo das apostas, lotarías, xogos sinxelos,etc. desde o punto de vista da probabilidade.

• Pearls of Discrete Mathematics- Martin J. Erickson

Non é o único libro interesante do tristemente desaparecido Erickson, cuxo estilo é inconfundible. Neste volume presenta ao comezo de cada capítulo un feito rechamante. Por exemplo, no capítulo 8 atopamos:
"O número de triángulos non congruentes con lados enteiros e perímetro $10^{100}$ é 2083...3"(onde hai 196 treses)

• The Pleasures of Counting- T. W. Körner

Outro título enganoso: non esperedes unha colección de métodos da Matemática discreta, pois o que teredes entre mans recolle episodios históricos pasados pola peneira da intución e análise matemática. Entre eles, guerras, epidemias, Física,...

• A History of Mathematics, Carl Boyer

A referencia que temos todos ao saír da facultade. Ocupaba un lugar preeminente na bibliografía da materia optativa Historia das Matemáticas, que collín rematando a carreira. Quizais, para ampliar o inevitable eurocentrismo dunha obra como esta, sexa necesario complementar esta visión coa de The Crest of the Peacock. Non-European roots of Mathematics, de George Gheverghese.

• Ancient Problems. Classic Brainteasers and other timeless mathematical games of the last 10 centuries- Dominic Olivastro

O título engana, pois en realidade é unha historia dos sistemas de numeración, comezando polo óso Ishango.

Seguro que achades de menos varios libros, non si? Moitos van agora:

Autores dos que tento(/tentei) ler todo o que atopo

• Lewis Carroll
• Henry Dudeney
• Martin Gardner
• Ron Honsberger
• Howard Eves
• Ian Stewart
• Alfred Posamentier
• George Polya
• Anthony Gardiner
• Claudi Alsina
• Miguel de Guzmán
• Richard K. Guy
• Titu Andreescu
• John Conway
• Adrián Paenza
• Edward Barbeau

Destes ides ter que buscar vós, que xa fartei de copiar links.


Nota mental: para todo o que lin, hai que ver o mal profesor que son.

Euclidea

Dáme que non son o primeiro profesor de Matemáticas que fala do xogo Euclidea, pois eu mesmo xa lin comentarios en twitter hai tempo, calculo que haberá ano e medio. Cando souben por primeira vez del, coido que só había versión para dispositivos móbiles, agora hai tamén versión web. As capturas serán desta última versión.

Que podemos esperar dun xogo chamado Euclidea? Obviamente que sexa un xogo de Xeometría, e tamén é de supoñer que as construcións elementares estean implicadas. E así é: a dinámica do xogo é a da construción con regra e compás das figuras planas, de xeito crecente na dificultade e a sofisticación das ferramentas e dos obxectivos. Pasamos do triángulo equilátero inicial dos Elementos:

  

... a retos máis interesantes nun anaco:

  

Unha característica que mellora a idea esencial do xogo é que en cada figura hai que acadar dous obxectivos: construír a figura co menor número de liñas implicadas e construír a figura co menor número de construcións elementares(rectas e circunferencias). Dous obxectivos que apuntan a dous tipos distintos e complementarios de elegancia matemática.

Para os que estudamos baixo a mal chamada Matemática Moderna, aínda as figuras aparentemente máis sinxelas poden supoñer unha dificultade inusitada, pois a pouca xeometría non analítica que estudamos tiña como único leitmotiv a medida de magnitudes, principalmente lonxitudes. Se houbese un xogo semellante dirixido a facer diagramas de Venn ou aplicacións bixectivas, a miña xeración tería certamente máis facilidade que coas construcións de Euclidea.

Ah, e como o xogo xa é vello se consideramos a cronoloxía en tempos de internet, podedes pedir papas e esculcar os distintos walkthroughs que hai dispoñibles en youtube.

Outra idea para un xogo

...que non hei facer por falta de tempo. Aínda que, para sermos rigorosos, o seu contido non se axusta a ningún curso da ESO nin Bacharelato: para que se dean coordenadas en 3 dimensións temos que esperar a 2º de Bacharelato, pero nese curso non se chega a ver nada que non sexan puntos, rectas e planos. En realidade, un alumno pode aprobar a parte de Alxebra Linear e Xeometría en 2º de bacharelato sen imaxinar nin un só plano.

roTopo

Peza L do Blockout?

Non sei como se me pasara este xogo, roTopo, que xa foi publicado en marzo deste ano. Trátase dun xogo de puzzles topolóxicos, a priori dun tipo ben coñecido: tes que pasar por todas as baldosas dunha figura para pasar a pantalla, e as celas polas que pasas desaparecen(como o cliché das películas de aventuras). Mais, ao contrario que por exemplo o Tilox, non se trata dun xogo de puzzles estrito, pois podes modificar a túa estratexia a medida que o teu personaxe vai andando. O Tilox, en troques, é un xogo no que cada pantalla queda determinada desde a presentación. Podemos afirmar en consecuencia que o roTopo está a medio camiño entre o puzzle e o xogo de habilidade.

En roTopo, ademais, os puzzles non se constrinxen ao plano como no Tilox, o que incrementa a dificultade e tamén mellora a estética, aínda minimalista. Rexistrándovos con google ou Facebook poderedes xogar máis niveis cós da demo e tamén gardar o voso progreso.

Un nivel do grupo de aneis

E un nos que tes que moverte por dentro da figura

Outro bo xogo para a longa lista dos que amosan moitas Matemáticas das que non caben no curriculum.