Coido que xa falei aquí das demostracións habituais de que a suma dos ángulos internos de calquera triángulo plano é 180º, a saber:
1) Temos a que adoita vir nalgúns libros de texto, que utiliza o feito básico sobre ángulos nunha recta formados por rectas paralelas, que cunha imaxe estática queda claro:
 |
Reivindicando os triángulos obtusángulos
|
Esta demostración é da que se pode facer unha comprobación pedindo aos alumnos que corten os ángulos en B e C e os poñan xunto a A.
2) E temos a demostración "dinámica", que eu normalmente fago despois da anterior en 1º de ESO, botándolle teatro movéndome pola aula(supoño que como moitos de vós). Observade a figura de abaixo, e poñámonos, virtual ou fisicamente, no punto A mirando para B, andamos cara B, ao chegar aló xiramos para enfilar cara C, xiramos de novo para regresar a A, e finalmente en A, xiramos para poñernos mirando para B como ao comezo. Despois de tanto andar, simplemente estamos no punto de partida e na mesma posición, para o que tivemos que facer un xiro de 360º. E observando os ángulos de xiro, o que fixemos foi $180º-\widehat{B}+180º-\widehat{C}+180º-\widehat{A}=360º \rightarrow540- (\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})=360º \\\ \rightarrow 180º=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ , q.e.d.
O obstáculo desta demostración é, obviamente, o chisco de traballo con símbolos que ten. En 1º de ESO moitos alumnos non a van entender esencialmente polo uso e manipulación desas tres letras. E falar dos ángulos de xiro sen utilizalas é excesivo para a memoria de traballo da maioría da xente.
E hai cativos que presentan dificultades para asumir que o xiro resultante é un xiro completo, para resolver o obstáculo a estratexia é colapsar o triángulo a un punto, como neste gif que vin en Resourceaholic:
(Se un día teño tempo e ganas, tentarei facer un gif específico para un triángulo)
Esas dúas son as demostracións (coido que) xa mencionadas neste blog. Vexamos agora a que me motivou a escribir esta entrada, que coñezo hai tantos anos que non lembro a fonte onde a vin por primeira vez, pero que volvín atopar en
To prove, why and how?, de A.G.Van Asch, artigo que empecei a ler (grazas,
library genesis) interesado polo que indica no resumo pero do que, como sucede tan a miúdo, acabei collendo detalles transversais ou accesorios. Velaquí:
3) Collamos un triángulo calquera, este acutángulo, para variar. No lado BC, por exemplo, un punto calquera D, que unimos con A. Deste xeito temos dous novos triángulos dentro de $\triangle{ABC}$
 |
| Aquí cansei de formatear triángulos para que quedasen bonitos |
De aquí deducimos que, chamando x á suma dos ángulos do triángulo:
$$ \begin{cases}\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{D_1}=x \\ \widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{D_2}=x \end{cases} $$
, e sumando,
$$ \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=2x $$
Usando o que pasa co ángulo A e os suplementarios en D,
$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+180º=2x$$
Pero entón
$$x+180º=2x$$
De onde
$$x=180º$$
q.e.d.
Bonito, eh?
Pois deixo choio:
Por que o argumento anterior en realidade non demostra o que pretende?
