Unha actividade recorrente en 1º de ESO

Para practicar e reflexionar sobre a xerarquía de operacións en 1º de ESO adoito propoñer algún exercicio deste estilo:

Coloca parénteses(ou non) para obter o resultado indicado:

$$144-24:8-2= \hspace{1cm}140$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 139$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 20$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 143$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 13$$

É inevitable que algúen proteste porque as operacións son todas iguais, momento no que se explica o que significa o enunciado do exercicio, é dicir, por que ten sentido.

Aínda que en exemplos como o anterior, ao seren tan breves, os alumnos poden resolver o exercicio  por aburrimento, simplemente probando todas as opcións, elaborando un chisco máis a actividade sobe un chanzo a dificultade e o nivel de reflexión necesario para resolvela.

Pois ben, este ano por primeira vez pensei en improvisar unha actividade semellante a partir dos erros que van cometendo os meus alumnos. Por exemplo, ao comentarmos unha operación do libro de texto,

$$28-3 \cdot 2 \cdot 4=$$

ademais do resultado correcto, 4, escoitouse un 200. En troques de apuntar eu a evidente corrección, aproveitei para preguntar á clase que sucedera. Varias alumnas xa o sabían, polo que preguntei aos que non foran tan rápidos onde habería que colocar parénteses para obter 200.

Agora que o penso, non sei como non fixera isto antes, co natural que resulta.

Este exercicio ou algo semellante tamén ten o seu oco na unidade de Números Enteiros, onde resulta máis difícil:

$$-24:3+3= ~~~~~-4$$

$$2 \cdot 7-5-1= ~~~~~10$$

$$+7 \cdot (-5)+3= ~~~~~-14$$

$$-3+3 \cdot (-3)-(+3)= ~~~~~-21$$

$$-3-5-2= ~~~~~+7$$

Aviso: o último ten truco.

Outra actividade, que xa adoito propór na unidade de Números Enteiros, ás veces en 2º de ESO, supón un paso máis. Velaquí:

Coloca os números nos espazos para obter o maior número posible:

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square + \square-\square$$

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square - \left( \square+\square \right)$$

$$-2,0,+4 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square-\square \right)$$

$$-3,-2,+5 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square+\square \right)$$

P.D.: Non sei se estas actividades serven de algo, avaliar iso no contexto da aula resulta demasiado confuso. Na práctica diaria, o único no que se pode apoiar un profesor é na súa propia intuición, pois a administración non responde da docencia impartida baixo a súa responsabilidade, e as investigacións serias levadas a cabo nas universidades adoitan ter outros obxectivos e motivacións. Por non falar da xerga propia do gremio, que fai esotérica a maioría dos papers para os non iniciados. Pero vaia, estes exercicios son divertidos, que non é pouco no contexto das operacións combinadas.

Aproveitando a marea...

    

En 1º de ESO unha das primeiras unidades didácticas é Divisibilidade, o xeito no que aparece depende de se hai unha unidade de Números Naturais anterior ou se están fundidas nunha soa.

Mirando os estándares de aprendizaxe de 6º de Primaria:

MTB2.4.1. Coñece e aplica os criterios de divisibilidade por 2, 3, 5, 9 e 10.

MTB2.8.8. Calcula todos os divisores de calquera número menor de 100

MTB2.8.9. Calcula o mcm e o mcd

Poderíamos quedar coa impresión de que a unidade vai levar 5 ou 6 sesións. Mais, do mesmo xeito que non todos os meus alumnos van lembrar en 2º o que estamos a traballar agora, no tránsito de 6º a 1º sucede o mesmo. Ademais non estou certo da idoneidade dalgúns contidos do curriculum de Primaria, debido a que talvez excedan a capacidade dos cativos aos 10-11 anos. Como mostra, unha alumna moi boa comentoume ao comezo dos problemas desta unidade(aínda que levamos facendo problemas desde o principio, refírome á fase final da unidade) que en 6º lles ensinaran un "truco" para saber se o problema "era de mcd ou de mcm". Isto non é a usual e ignorante crítica ao profesor  do ano anterior, senón que vén amosar é que, ás veces, aos profesores non nos queda outra opción que adaptarnos ás posibilidades de comprensión dos alumnos no momento educativo no que os collemos.

Hoxe o que quero comentar é unha oportunidade que se presentou no medio dun problema "de MCD". Case todos estaredes ao tanto do que vou amosar, quizais nunca o observastes no transcurso destes contidos.

Facendo un problema do libro de texto:

"Un carpinteiro quere cortar en cadrados iguais unha táboa de 56 cm de largo por 40 cm de alto, de tal xeito que os cadrados teñan a maior lonxitude posible. Canto medirán os cadrados?"

Soa coñecido, non si? Entra dentro do que podemos denominar "puro choio de libro de texto"

Houbo varios alumnos que o resolveron do xeito obvio, unha vez entenden que é esencial que as pezas sexan cadradas para que a medida común de largo e alto sexa un divisor común de 56 e 40: calculando o MCD de 56 e 40, que é 8.

Sorprende que o problema do libro remate só pedindo a medida dos cadrados, porque é tamén interesante calcular cantos cadrados sairán desa táboa. Polo que pedín ao final que calculasen esa cantidade. E atoparon o número do xeito que agardaba: No largo haberá 56:8=7 cadrados(por ringleira), no alto haberá 40:8=5 cadrados(por columna), en total haberá 7·5= 35 cadrados.

O máis interesante vén agora. Comenteilles que había outro xeito de calcular cantos cadrados habería, que seguramente era peor que o que dixera a alumna que explicou o modo anterior, pero que tamén funcionaba. Pensaron un anaco e outra cativa viu o xeito mais trabucou nunha cousa: indicou que podíamos calcular 56·40 para saber o tamaño(área) da táboa, e despois dividir ese número por 8, en troques de 8², velaquí o erro, que rapidamente reparou. O realmente formativo está en ver que hai dous xeitos distintos de resolver o problema, e que, neste caso, veñen cunha propina:

O 1º xeito redúcese ao cálculo: $$\frac{56}{8} \cdot \frac{40}{8}$$
E o 2º xeito a: $$\frac{56 \cdot 40}{8 \cdot 8}$$

Aínda que é un só caso, e moi particular, non é fermoso ver aquí o produto de fraccións?

Nota: en forma de división é máis escuro:

1º xeito: $(56:8) \cdot (40:8)$
2º xeito: $(56 \cdot 40) :(8 \cdot 8)$

De feito, aposto a que ao rematar a ESO non todos os alumnos teñen claro que $(a:b) \cdot (c:d)=(a \cdot c) :(b \cdot d)$