Uns triángulos nunha grella

 

Tiña este problema gardado hai unhas semanas, xa era hora de compartilo. Non é moi enleado, e hai varios enfoques para atacalo, que máis podemos pedir?*

Atopa a área do cuadrilátero maxenta.

*Pois que dea un período ben curioso.

Unha avaliación diagnóstico en Xapón

 

Facendo unha pescuda sobre a variation theory en Xapón, acabei mirando as avaliacións diagnóstico que se fan aló ao final da secundaria obrigatoria. Traducido ao noso sistema vén sendo 3º de ESO, pois aló a secundaria post-obrigatoria (o noso bacharelato) dura tres anos.

E, sinceramente, o que debería ser sorprendente, é dicir, a distancia entre o que fan alí e o que facemos por acó, pois a estas alturas xa non o resultou. Aínda que unha sorpresa si ides levar ao final da entrada, pero polo motivo contrario ao que credes agora. Observade antes dúas cuestións xeométricas da avaliación de 2022, que alí, se google traduce ben, se chama "Enquisa nacional sobre a capacidade académica e estado de aprendizaxe en 2022".

A 1ª:

Yuma pensa se a seguinte conxectura é sempre certa:

Se nun cuadrilátero dous lados opostos son paralelos e os outros dous lados opostos teñen a mesma lonxitude, entón o cuadrilátero é un paralelogramo.

A cuestión continúa, non se trata de que argumenten arredor da veracidade deste enunciado; parade de ler se queredes pensar nisto, que semella tan inusual na educación matemática española, actual e tradicional. E sobre todo, se queredes cavilar en que pensarían os vosos alumnos. 

A continuación no cuestionario aparece a seguinte imaxe:

    

Yuma debuxa o diagrama anterior para pensar a conxectura. Na figura vese que debuxou os 3 puntos en A, B e D en dúas liñas paralelas, l e m. A continuación, con centro en D debuxou unha circunferencia con raio igual á lonxitude do segmento AB. A circunferencia corta á recta m en dous puntos, C e E, e traza dous cuadriláteros, ABCD, que é un paralelogramo, e ABED, que non o é.

Para amosar se a conxectura é certa, escolle cal das seguintes catro afirmacións é correcta:

a) Para demostrar que a conxectura é certa, é suficiente que haxa un cuadrilátero ABCD que é un paralelogramo, como vemos na figura.

b) Para demostrar que a conxectura é certa, é necesario variar a posición dos puntos A, B e D, e atopar outro cuadrilátero que sexa un paralelogramo.

c) Para demostrar que a conxectura é falsa, é suficiente que nunha figura haxa un cuadrilátero ABED que non é un paralelogramo.

d) Para demostrar que a conxectura é falsa, é necesario variar as posicións de A, B e D, e atopar outro cuadrilátero ABED que non sexa un paralelogramo.

Custoume un chisco, utilizando outros tradutores on line ademais de google, discernir a sutileza escondida entre as opcións similares. En conclusión: a cuestión avaliada é máis a comprensión do que é unha demostración e un contraexemplo que o feito de coñecer propiedades dos paralelogramos. O que non evita o obstáculo de que, se un alumno non domina o concepto de paralelogramo, non vai chegar ao que pide a pregunta. Que é unha característica habitual das competencias ou como queirades chamalas: non se pode construír con vapor de auga, senón con contidos xenuinamente matemáticos.

Vexamos a 2ª: 

A figura amosa un rectángulo ABCD e nos seus lados AD e DC dous triángulos equiláteros ADE e DCF. O punto E únese co punto B, e o punto B con F.

   

Kotone predixo o seguinte para os segmentos EB e BF:

Sempre se cumpre que EB=BF

Contesta as cuestións 1) e 2)

1) Demostramos a conxectura do xeito seguinte.

Como os tres lados dun triángulo equilátero son iguais, temos que EA=AD. Como os lados opostos dun rectángulo son iguais, AD=BC. Por tanto, EA=BC.

Do mesmo xeito, temos que AB=CF.

Tamén, como o ángulo interior dun triángulo equilátero mide 60º, e o ángulo interior dun rectángulo mide 90º, $\angle{EAB}=60º+90º=150º$ e $\angle{BCF}=60º+90º=150º$

Por tanto, $\angle{EAB}=\angle{BCF}$

Por todo o anterior, os triángulos ABE e CFB son iguais, de onde deducimos que os lados correspondentes, EB e BF son iguais.

Escribe como denominamos ao tipo de demostración anterior

(Nota: a tradución literal era Escribe as palabras que se aplican á demostración anterior, escollín "tipo de demostración" porque imaxino que será o que entendan os alumnos xaponeses, dentro do traballo de demostracións xeométricas que fagan nas aulas, ao estilo AAA, ASA, SAS dos anglosaxóns)

2) Kotone debuxou as dúas figuras seguintes

As lonxitudes dos lados do rectángulo ABCD foron modificadas de varios xeitos, como amosan as figuras 2 e 3. De novo, dado que os triángulos ABE e CFB son congruentes, podemos afirmar que EB=BF. Kotone investigou se é posible afirmar algo máis sobre os lados e ángulos da figura ademais de que EB=BF.

    

Pola súa investigación, Kotone agardaba que a magnitude do ángulo $\angle{EBF}$ se mantivese constante e igual a 60º. Ela razoou do xeito seguinte:

• Como $\angle{ABC}=90º$, e temos que $\angle{ABE}+\angle{CBF}=30º$, entón podemos afirmar que $\angle{EBF}=60º$
• $\angle{ABE}+\angle{CBF}=30º$ dedúcese da igualdade dos triángulos $\triangle{ABE}$ e $\triangle{CFB}$. O feito de que haxa ángulos iguais e que $\angle{EAB}=150º$ permiten demostrar $\angle{ABE}+\angle{CBF}=30º$  

Demostrando que $\angle{ABE}+\angle{CBF}=30º$ (explicación máis abaixo) podemos explicar que a magnitude de $\angle{EBF}$ é sempre igual a 60º, aínda que varíen as lonxitudes do rectángulo ABCD.

A idea de Kotone-san de utilizar a igualdade entre os triángulos e que $\angle{EAB}=150º$, que xa coñecemos, pode axudar a probar que $\angle{EBF}$ é sempre igual a 60º.

Demostra abaixo que $\angle{ABE}+\angle{CBF}=30º$ e completa a explicación de que a magnitude do $\angle{EBF}$ é sempre 60º

(Procedo a copiar a imaxe do cuestionario onde hai que rematar a demostración e traduzo embaixo o texto)

Como acabamos de amosar que $\angle{ABE}+\angle{CBF}=30º$, 
$\angle{EBF}=90º-\left( \angle{ABE}+\angle{CBF}\right)$
$\angle{EBF}=90º-30º=60º

Que, como doutro planeta, non si? Pero como avancei ao comezo da entrada, e dado que levo anos mirando un chisco para o ensino de Xapón (un exemplo, outro) sinceramente isto xa mo cheiraba.

Velaquí a sorpresa de verdade, a primeira cuestión da avaliación foi:

Descompón en factores primos o número 42

E a segunda cuestión, resolve o sistema $\begin{cases} 2x+y=1 \\ y=x+4 \end{cases}$ 

Esta sorprendeume menos, pero a primeira? En serio, Xapón?