13.10.17

Fragments of Euclid



Hai cousa de medio ano vin nos microsiervos a reseña dun xogo, Fragments of Euclid, do cal coa miniatura do tráiler xa captamos a idea e a razón de que o traia a este blogue:




Por se non fose obvio, o creador, Antoine Zanuttini, confirma que este xogo de exploración e resolución de puzzles está baseado na obra de M.C. Escher, e que tivo un prototipo no transcurso do Ludum Dare 37, Non Euclidean Room, do cal recupero as escaleiras de Penrose do in-game:


Penrose Stairs
Penrose Stairs


Se tedes unha hora libre, mergulládevos neste pequeno xogo onde non hai un sistema de referencia estable.

4.10.17

Conferencia de Claudi Alsina no CIBEM 2017


Saio da escuridade do limbo dos blogues que non se actualizan para...

criticar, obviamente.



A raíz dun rechouchío da conta IberMatemática, vin o vídeo publicado pola OEI da conferencia plenaria de Claudi Alsina. Como vou criticar un chisco a súa conferencia, tedes que vela antes para comprender esta entrada:





"Adiós a la cabra, a la col y a la barca"


De todos é sabido que Alsina sabe como entreter a un auditorio de profesores de Matemáticas, como escoller os exemplos, e, por suposto, que ten sentido do humor.

Nesta conferencia mestura comentarios cos que concordo no esencial(só faltaría, é cuestión de probabilidade) con outros que me parecen pouco axeitados. Estes últimos son os que vou debullar.


  • En primeiro lugar, non máis importante, o título da conferencia.
Xa falei dos problemas lúdicos clásicos, algúns milenarios, na entrada De que me soa a min isto?
E aló xa comentei que eses problemas seguen a ser interesantes. Polo menos na miña experiencia. Ademais, non estou certo de que se usen moito nas aulas.

  • O que menciona sobre as cousas que non se usan fóra de clase.
Se a educación ata os 18 anos só tivese que ensinar cousas que se usan fóra de clase, non se trata de que en Matemáticas tivésemos que mutilar os contidos(asunto que non me quita o sono), senón que habería que eliminar a maior parte de materias que transmiten "meramente" o acervo cultural.

  • Do que podemos prescindir.
Comenta algunhas cousas que xa non son habituais nas aulas e apunta outras das que creo que non hai que prescindir.
    • As que xa non son tan habituais: o algoritmo da raíz cadrada baseado en $(a+b)^2$ xa non se emprega para facer raíces como $\sqrt{75920495}$ (eu fíxenas como alumno na EXB), as táboas de logaritmos(!?), que xa non nin usei eu nos 90(si usei as táboas trigonométricas).

    • As non prescindibles: as operacións aritméticas elementares, ata certo punto. Aquí Alsina parece descoñecer un feito básico: aprendemos as propiedades dos números cando traballamos con eles de xeito concreto. Do mesmo xeito que os que estudamos baixo a New Math non aprendemos Xeometría Euclidiana automaticamente ao estudarmos as estruturas alxébricas comúns, os alumnos de agora non van poder resolver problemas interesantes se non teñen un coñecemento concreto previo dos números cos que terán que traballar. Tampouco creo que poidamos prescindir sen máis dos símbolos formais.

  • As actualizacións dos temas que propón.
Algúns exemplos parecen tirados de libros de texto reais da actualidade(forenses, claves secretas, apostas, política electoral, recollida de datos, enquisas, etc.). Noutros parece gustar de fórmulas que non poderíamos facer entender aos alumnos, como o de $x^{\frac{3}{4}}$ que xorde no modelo depredador-presa ou o da data ideal da voda.
  • En ocasións non sei se fala de Primaria ou de Secundaria.
Isto pode que sexa a miña responsabilidade.
  • As frases grandilocuentes dos expertos educativos.
José Antonio Marina. Non hai máis preguntas, señoría.

  • A inevitable mención aos profesores que odian a súa materia.
Aí non é orixinal. Cada vez que se xuntan 3 profesores falan mal dun cuarto profesor-modelo abstracto, exemplo de inútiles e espello de malvados. Vén sendo como o comentario do taxista dos monologuistas ou os aforismos-'cuñao' en twitter.

Porén, non me desgusta toda a conferencia, aínda coa súa cadencia fatigosa. Se algún xentil lector chegou ata aquí, pode deixar a súa opinión nos comentarios, prometo non mandar raíces cadradas para casa.

26.8.17

Como sumar cunha parábola



Navegando ao chou na web da descontinua(?) web da Universidade de Cambridge Underground Mathematics atopei este feito, tan elemental que case dá vergonza recoñecer que non o coñecía xa.

Despois de ver esta entrada ide á de Underground Mathematics, que ten feixes de recursos interesantes. Pero antes, fedellade con este pequeno applet.

Do mesmo xeito que na entrada Como multiplicar cunha parábola, só tedes que introducir os números que queirades(case: restrinxidos ao intervalo [-10,10]) e ver como agroma a súa suma na construción.
Mentres que no applet da multiplicación, para multiplicar os números a e b había que introducir -a e b, aquí non hai que utilizar o oposto.

Analizando a elemental construción e como varía en función do tamaño relativo dos números, observamos, unha vez máis, como a álxebra pensa por nós en ocasións.



24.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3 RELOADED


Esta entrada é obrigada pois, para unha vez que comparto a solución dun problema, fun resolvelo mal. E non me decatei ata que Efe o apuntou nun comentario: x e y teñen que ser impares. Na miña solución non só non eran impares, senón que utilizaba potencias de dous(o colmo do non impar). Como a nobreza obriga, e tiven sorte axiña, veño escribir unha solución correcta(a saber).

Lembremos que o problema pedía demostrar que para calquera potencia de 2 con expoñente positivo, $2^n$, podíamos atopar x e y impares positivos tales que $$2^n=5xy-x^2-2y^2$$

Que fixen para subsanar o erro cometido? Seguir fedellando, número 1 no meu decálogo, como xa comentara.

Desta volta tentei atopar números impares para os primeiros casos, e tampouco foi moi difícil:
$$2^1=f(1,1)$$
$$2^2=f(3,1)$$
$$2^3=f(13,3)$$
$$2^4=f(59,13)$$

Despois de rematar a solución, atopei moitas parellas que non cumpren o patrón que se albisca nestas, supoño que tiven sorte.

Que se ve nas que puxen?
Obviamente, que a abscisa do par ordenado que representa a $2^n$ aparece como ordenada no par que representa a $2^{n+1}$. Para atopar a relación coa abscisa do par seguinte hai que ter algo de ollo, tampouco moito:
$$5 \cdot 1-2 \cdot 1=3$$
$$5 \cdot 3-2 \cdot 1=13$$
$$5 \cdot 13-2 \cdot 3=59 \dots $$

Para quen non o vise a simple vista, o coeficiente 5 vén da expresión alxébrica da función.

Xa tiña unha hipótese para traballar, só faltaba comprobala:
Se $(x,y)$ representa a $2^n$, entón $(5x-2y,x)$ representa a $2^{n+1}$

O difícil era chegar aí, o resto é Álxebra na peor das súas acepcións:

Demostración: Supoñamos que $2^n=5xy-x^2-2y^2$, e vexamos que sucede con $f(5x-2y,x)$

$$f(5x-2y,x)=5 \cdot(5x-2y) \cdot x-(5x-2y)^2-2x^2=$$
$$25x^2-10xy-25x^2+20xy-4y^2-2x^2$$
$$=10xy-2x^2-4y^2=2(5xy-x^2-2y^2)=2f(x,y)=2\cdot 2^n=2^{n+1}$$
,q.e.d.

E só falta axustar o detalle técnico que podería ter esquecido perfectamente: eses valores de x e y son impares?
Pois si, pois partindo dun par (x,y) onde x e y sexan impares, a transformación $5x-2y$ conserva a paridade. Como comezamos co par (1,1), todos os pares así obtidos cumprirán que as dúas coordenadas serán impares.


22.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3


Editado o 24/07/2017: Esta entrada non resolve o problema proposto, como ben apunta Efe nos comentarios. Na entrada seguinte aparece unha solución de verdade. Déixovos que atopedes vós o erro.


Da Olimpíada de Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa xa falei por acó, e tamén da ausencia dunha web en condicións para consultala. Por sorte o ano 2016 foi celebrada no Brasil, onde xa teñen unha infraestrutura formidable arredor das olimpíadas, envexa de moitos outros países.

6ª Olimpíada de Matemática da CPLP


Na olimpíada do 2016 houbo varios problemas interesantes, por exemplo o 4º, sobre unha competición de futebol, que non reproduzo por ter un aire semellante ao da entrada previa. Mais o problema no que reparei foi o último, o 6º, que trataba de números:

Considere as potências de 2 com expoente inteiro positivo, ou seja, os números da forma $2^n$ em que n é um inteiro positivo: 2,4,8,16,... Prove que toda potência de 2 com expoente inteiro positivo pode ser escrita na forma

$$5xy-x^2-2y^2$$

com x e y ímpares positivos.

Vou compartir a secuencia que me levou a resolver o problema, pero antes, para non subtraer a diversión de resolvelo aos amables lectores, velaquí unha adiviña sinxela. A ver se descubrides que cuestión matemática representa a seguinte imaxe minimalista:

A solución, nesta páxina, e o resto de obras de Crockett Johnson aquí

Onde estabamos? Ah, si, con

$$5xy-x^2-2y^2$$

Outra persoa con máis intuición ca min seguramente poderá ver xa con claridade o asunto. Como eu non teño tanta vista, cando tento resolver un problema destes o primeiro que fago é, vaia,... fedellar, termo non recollido literalmente nas recomendacións de Polya mais que recolle o seu espírito.

Neste caso fedellar significa probar con casos pequenos das potencias de 2 e ver se observamos un patrón:
A primeira sae rápido:
$$2^1=5 \cdot 1 \cdot1-1^2-2\cdot1^2$$
Para escribir menos LATEX, vou chamar
$$f(x,y)=5xy-x^2-2y^2$$
A segunda(xa coa nova notación), tamén:
$$2^2=f(2,1)$$
As sucesivas:
$$2^3=f(2,3)$$
$$2^4=f(3,5)$$

Chegado a este punto, que foi o que vin? Pois si, números de Fibonacci. Neste momento pensei que tiña solucionado o conto, pois xa ía elucubrando como obter a representación dunha potencia de 2 desde a representación da anterior, ou das dúas anteriores...
Se lembrades a sucesión de Fibonacci,
$$1,1,2,3,5,8,13,21,...$$
E comparades coas primeiras representacións que obtiven,
$$(1,1),(2,1),(2,3),(3,5),...$$
Parece razoable pensar que os pares van aparecendo de xeito consecutivo na sucesión de Fibonacci.
Pasei uns minutos dándolle voltas porque non vía a zoca que metera, ao crer que o patrón dos pares ordenados era
$$(F_{n},F_{n-1})\rightarrow (F_{n+1},F_{n})$$
Pero os pares non cumpren nin ese patrón nin nada semellante. Se avanzamos na sucesión, vemos que o par $(5,8)$ falla:
$$f(5,8)=47$$
$$f(8,5)=86$$
Se temos en conta que a paridade dos números de Fibonacci é impar-impar-par-impar-impar-par-... veremos que o par impar-par nunca vai funcionar  nesa orde, pois  f(impar,par) é claramente impar.

A sensación de que unha idea que un cre exitosa resulta un fracaso é tremenda, e moitas veces é aí cando se deixan de lados os problemas, polo menos a min xa me ten pasado un feixe de veces.

Que fixen ante este fracaso (parcial)? Seguir fedellando.

Entón, for no particular reason, escribín a función en forma matricial:
$$f(x,y)=\left( \begin{array}{ccc} x & y \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc}
-1 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) $$

Tiven unha epifanía cando vin a matriz? Non. Aí quedou. A resolución de problemas non é como as TV movies, unha mágoa.

Mais, de súpeto, mirando para a expresión alxébrica $f(x,y)$ obviei as variables e fixeime só nos números, e vin...
$$5-1-2=2$$

O que provocou, agora si, a iluminación: se considero pares cos dous números iguais,obterei o dobre dun cadrado. Vedes por que isto é útil?
$$f(x,x)=5x \cdot x-x^2-2x^2=2x^2 $$
Collendo $x=2^n$, obtemos $f(2^n,2^n)=2(2^n)^2=2\cdot 2^{2n}=2^{2n+1}$

Que case, case, resolve o problema: xa o temos resolto para potencias impares de 2.

O que veu despois para resolver o caso de potencias pares, supoño que é inmediato, pero non sei como se me ocorreu:

Collendo pares ordenados nos que o primeiro número é o dobre do segundo, vemos o camiño:
$$f(2x,x)=5 \cdot 2x \cdot x-(2x)^2-2\cdot x^2=4x^2$$
Só temos que considerar $x=2^{n-1}$ para obter $f(2^n,2^{n-1})=4(2^{n-1})^2=(2^n)^2=2^{2n}$

E así representamos as potencias pares de 2. Xunto ao anterior, queda demostrado que todas as potencias de 2 de expoñente positivo poden ser escritas dese xeito, agás erratas. Se alguén atopa unha solución distinta, pode deixala nos comentarios.

16.7.17

Outro problema elemental e interesante


Remexendo polas páxinas de competicións dei na web da Olimpíada de Maio, e atopei esta fermosura de problema na proba de 2016:


Nunha competición deportiva na que se realizan varias probas, só participan os tres atletas A, B e C. En cada proba, o gañador recibe x puntos, o segundo y puntos e o terceiro z puntos. Non hai empates, e os números x, y, z son enteiros positivos que cumpren x>y>z.
Ao rematar a competición resulta que A acumulou 20 puntos, B acumulou 10 puntos e C acumulou 9 puntos. Sabemos que A foi segundo na proba de 100 metros. Determinar cal dos 3 atletas quedou segundo na proba de salto.



Coido que este problema cualifica dentro da categoría "faltan datos ou estou parvo?". Para sentirdes o momento de iluminación, non vos queda outra opción que poñervos a resolvelo. Ánimo.

2.7.17

Georg Mohr 2017


Agora que teño algo de tempo, estou a revisar ligazóns que deixara sen ler. Entre elas, a web dunha olimpíada matemática de instituto na que sempre atopo ideas interesantes, a danesa Georg Mohr.
Nun primeiro momento quedei prendado por varios problemas da 1ª rolda, probablemente pola miña tendencia a buscar cuestións arredor do comezo da Álxebra, en suspenso este ano por dar só 4º de ESO.

Observade uns poucos:

  • Na área dunha exposición de dimensións n x n metros, a audiencia é conducida por un camiño de ancho 1 metro desde a esquina A ata a esquina B. Cantos metros cadrados quedan dispoñibles para a exposición descontando a área do corredor?
 
O problema dá 5 opcións, non recomendo propoñelo dese xeito
  •  A figura amosa dous círculos de radio 1 e 2, respectivamente. A área de cada área gris é a. A área do círculo branco é b. Canto vale $\small{\frac{a}{b}}$?
É sinxelo, mais colleume de improviso
  • Un guindastre ten un pé triangular plano. A figura amosa o pé visto desde arriba. O pé pode rotar libremente arredor un eixe vertical montado no punto indicado. A rexión do firme que pode cubrir o pé e pintada de amarelo. Cal é a área desa rexión amarela?
    Gústame porque imaxino a inseguridade que teñen que afrontar os alumnos
Nesa primeira rolda hai moitos máis problemas interesantes, algúns máis axeitados para 3º-4º de ESO. Mais o que me chamou realmente a atención foi este da 2ª rolda:

  • A figura amosa un arco l na circunferencia unidade e dúas rexións A e B. Demostrar que a suma das áreas A e B coincide coa lonxitude do arco l.


 
Deixei abertas varias características no applet, como arrastrar obxectos, pois dependendo
da pantalla pode que non se vexa todo.


Unha pista: hai solución elementar, deixade por hoxe as integrais. Aínda que, por sorte, os arcos da circunferencia unidade non se calculan con integrais de arco...

18.6.17

Un problema viral


Rematando o curso o traballo burocrático increméntase de xeito notable, o que provocou que non vise ata hoxe un problema dos que lles prestan aos editores dos xornais (dos anglosaxóns, polo menos) que fixo a súa rolda hai un mes.

Sabendo que o seguinte problema foi proposto a cativos de Singapur de menos de 7 anos, cal é a solución?

    


Aínda que non vexades o que pon en inglés, todos adiviñades que hai que encher os círculos de tal xeito que se manteña certo patrón descoñecido. A ver se dades feito.


Para tapar o que vai vir, mirade que cousa máis bonita:









E agora o plot twist.

E se vos digo que o problema ten un erro, atopades agora a solución?

29.5.17

Outro problema da Friendly Competition


Se os puntos P, Q e R poden moverse libremente nos lados BC, AD e CD, respectivamente, observades algún invariante nesta figura?

É mellor que movades vós os puntos, se utilizades o botón de geogebra, o movemento estará sincronizado.Tamén podedes mover os vértices libres do paralelogramo.




En realidade a pista é xa practicamente a solución.


Vin este problema no libro A Friendly Mathematics Competition. 35 years of teamwork in Indiana. A primeira vez que souben desta competición, pensei que 'friendly' faría referencia á dificultade dos problemas. Estaba trabucado: hainos ben complicados. O termo refírese ao ambiente de compañeirismo que se tentou desde o comezo, en 1966, que se vivise entre os participantes das distintas facultades de Indiana.

E atopei de novo o problema cando estaba a remexer no disco duro para a entrada Libros. Haberá unha solución vía o Teorema das Alfombras?

13.5.17

Un problema distinto


Imaxe obrigada dun puzzle, de xkcd

Na última fonte que engadín en feedly, Puzzle Critic, que coñecín vía Solve my Maths, hai unha chea de problemas interesantes, cun rango de dificultade tan amplo como para incluír desde pequenos puzzles ata retos de olimpíadas nacionais.

Fedellando no arquivo do blogue, atopei este pequeno problema da Olimpíada Surafricana Junior do 2011 que captou a miña atención automaticamente. Espero que vos preste:

Varias persoas esperan en ringleira. Chega unha persoa máis á ringleira. Amosar que sempre é posible colocala na ringleira de tal xeito que o número de homes que lle queden diante coincida co número de mulleres que lle queden detrás.


Resulta interesante observar que o autor de Puzzle Critic e eu resolvemos o problema exactamente do mesmo xeito, mentres que un alumno seu utilizou unha estratexia totalmente distinta. Se queredes ver as solucións, ide á entrada orixinal.

1.5.17

Libros

Buscade abaixo o libro de David Wells para ver a relación coa Olimpíada do xoves

Esta entrada leva sendo posposta varios anos, máis por esquecemento que por outra razón. Aproveitando que un xentil anónimo (aka ML) me lembrou este propósito, é hora de que comparta unha pequena listaxe de libros que, dun xeito ou outro, me teñen marcado como profesor. Nos tempos que vivimos é obvio que non son os libros os únicos referentes de formación que temos os docentes, mais nesta listaxe vou deixar fóra as webs, blogues, etc., referencias das que xa teño falado noutras entradas.
Por se alguén non está atento, hoxe toca falar de libros no sentido clásico do termo.

O labor docente na secundaria ten varios planos: por unha banda o profesor estudou na universidade unha carreira que lle proporcionou os coñecementos esenciais da súa disciplina, despois recibiu unhas directrices sobre pedagoxía (no extinto CAP ou no actual Máster de Secundaria). A estes planos é probable que de xeito autodidacta e paralelamente á práctica da súa profesión, sumase o coñecemento da didáctica da materia. Isto ten como consecuencia que nesta lista haxa varios apartados, aínda que omitín adrede os volumes sobre aspectos técnicos do ensino e a aprendizaxe.
Tentei engadir ligazóns aos textos completos onde foi posible, i.e., onde o big brother google deixa que aparezan. En calquera caso, Library Genesis is your friend (este sería o meu lema se algún tarado me encomendase un curso de formación do profesorado novel).

Un último aviso: non podo asegurar que lese por completo todos os libros que van aparecer, sobre todo cos libros de consulta é difícil lembrar se un foi exhaustivo, ao non telos lido de xeito linear.



Antes de comezar, xa me estou a arrepentir dos que esquecín.

Matemáticas
Lino enteiro despois de rematar a carreira, cos meus prexuízos sobre o Cálculo Elemental xa asentados. Este volume ten dúas características positivas: fai reformular o que se sabe, e faino cun estilo moi elegante.
Este libro, xa demodé na disciplina, contén o que consideraban esencial desa disciplina dous dos mellores teóricos de números do momento. Ten un estilo por momentos austero.
Aínda que os dous libros son ben distintos en contidos e propósito, xúntoos acó porque grazas aos dous son un pouco menos ignorante en Xeometría. Coxeter foi un xeómetra formidable, e o seu dominio sobre a súa materia tradúcese ao seu estilo como autor.

O matemático que se pon sempre como exemplo de que se pode continuar traballando ata a senectude, Sierpinski fixo esta compilación de problemas, que na miña opinión forman parte da cultura matemática.
Este volume ten pouco que ver cos anteriores. Póñoo aquí porque pasei un verán resolvendo os problemas que contén, desde como calcular datas usando congruencias ata como resolver ecuacións diofánticas utilizando extensións cuadráticas dos números racionais. Cousas da xuventude.
Reflexión arredor das Matemáticas
Unha xoia de libro en todos os aspectos. Por poñer un exemplo, a análise que fai do Teorema Chinés dos Restos desde a súa orixe ata a formulación moderna abriume os ollos (btw, outro problema que podería ter aparecido na entrada De que me soa a min isto?) Daquela vin mellor onde estaban algunhas ideas por embaixo da forma provisional que se lles dea. Algo semellante experimentei cando vin que a xeneralización de Euler do Teorema Pequeno de Fermat anunciaba punto por punto a demostración moderna do Teorema de Lagrange da Teoría de Grupos.
Aínda que vendo os contidos un podería pensar que é un tour de force das Matemáticas que se estudan na facultade, o certo é que os autores van deixando a súa opinión sobre a necesidade dos conceptos matemáticos e a súa posición dentro das Matemáticas como disciplina interconectada. Non é unha obra para ler nunha tarde.

A peculiar visión dun matemático peculiar, xa forma parte do folklore matemático a súa postura sobre a imprescindible estética das Matemáticas.
Unha delicia de libro. Consta de artigos independentes sobre temas moi variados, desde como crear movemento rectilíneo utilizando engrenaxes ata curvas de ancho constante ou o Problema de Waring.

Reflexión arredor do Ensino das Matemáticas
A Sawyer mencioneino por acó de pasada. Ide á web enlazada se queredes saber do seu labor docente. Eu estou namorado da súa intuición como profesor.
Deste tamén falei xa.
Resolución de Problemas
Está pensado para o adestramento de olímpicos (Arthur Engel foi moitos anos o capitán do equipo alemán da IMO) polo que cobre todos os temas que poden aparecer nunha olimpíada de alto nivel. Tendo isto claro, évos un compendio de matemáticas fermosas.
Semellante ao anterior, aínda que sen os problemas de maior dificultade. Tamén inclúe rudimentos de cálculo infinitesimal, xa que está máis dirixido a un concurso tipo Putnam que á IMO.
 Tamén pensado como os anteriores, presenta os heurísticos tradicionais pero o rango de problemas cuberto é algo máis limitado.
Monos e cocos? Sombreiros que caen nun río? Calcetíns nun caixón? Unha viaxeira que colle un tren unha hora antes do habitual? Unha variedade inusitada de problemas é o que hai neste libro, polo que abrir unha páxina ao chou é un antídoto contra o aburrimento.
Fibonacci, Arquímedes, Euler, Gauss, Ramanujan, Steiner, Pascal,... atacaron problemas meramente lúdicos, polo menos na súa orixe. Petkovic fixo esta escolma milenaria.

A escolla de tres expertos problemistas. Non vou ser eu quen os emende.
Souben do termo "quicky" pasando pola sección de problemas do Mathematics Magazine que había na biblioteca da facultade, para min sempre estivo relacionado con Murray Klamkin, un dos autores do libro anterior. Máis tarde dei con este volume, do que teño tirado algún problemiña.
 Outra selección de problemas, que coa visión de Soifer, ten certa querenza á combinatoria e aos xogos(idiosincrática dos matemáticos da antiga URSS)
  • The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles- David Wells
Wells é outro divulgador de primeiro nivel da nosa ciencia. Por poñer un exemplo de problema deste libro, observade a imaxe da cabeceira desta entrada. Tedes que cortar esa figura en dous cachos de tal xeito que se poidan unir para formar un rectángulo normal.
Só ten 21 problemas probabilísticos, pero vaia problemas!
Miscelánea
Outro clásico imprescindible, tan imprescindible que a última versión foi editada por Coxeter. Contén todas as Matemáticas recreativas que se coñecían a finais do século XIX, e tamén unha disquisición histórica sobre o Mathematical Tripos de Cambridge, que o lector poderá saltar sen remorsos.
Orixinalmente un curso de Donald Knuth en Stanford, Concrete Mathematics é a edición completada e mellorada daquel curso. O estilo non é o dos matemáticos puros, senón que está máis enfocado cara a manipulación e o cálculo.
 Este libro pasoumo un amigo aínda estudando a carreira, que mercara a tradución ao castelán (lembranzas de antes dos tempos do pdf e o djvu). De lectura áxil, presenta a evolución da criptografía e da criptoloxía desde a antiga cifra César pasando pola máquina Enigma ata a actualidade.
Esta é unha elección obrigada. Se non o coñecedes aínda, correde, insensatos.
Un chisco de cultura popular, neste caso arredor dos xogos de azar, non vén mal entre tanta solemnidade. Haigh estuda o mundo das apostas, lotarías, xogos sinxelos,etc. desde o punto de vista da probabilidade.
Non é o único libro interesante do tristemente desaparecido Erickson, cuxo estilo é inconfundible. Neste volume presenta ao comezo de cada capítulo un feito rechamante. Por exemplo, no capítulo 8 atopamos:
"O número de triángulos non congruentes con lados enteiros e perímetro $10^{100}$ é 2083...3"(onde hai 196 treses)
Outro título enganoso: non esperedes unha colección de métodos da Matemática discreta, pois o que teredes entre mans recolle episodios históricos pasados pola peneira da intución e análise matemática. Entre eles, guerras, epidemias, Física,...
A referencia que temos todos ao saír da facultade. Ocupaba un lugar preeminente na bibliografía da materia optativa Historia das Matemáticas, que collín rematando a carreira. Quizais, para ampliar o inevitable eurocentrismo dunha obra como esta, sexa necesario complementar esta visión coa de The Crest of the Peacock. Non-European roots of Mathematics, de George Gheverghese.
  • Ancient Problems. Classic Brainteasers and other timeless mathematical games of the last 10 centuries- Dominic Olivastro
O título engana, pois en realidade é unha historia dos sistemas de numeración, comezando polo óso Ishango.

Seguro que achades de menos varios libros, non si? Moitos van agora:

Autores dos que tento(/tentei) ler todo o que atopo
  • Lewis Carroll
  • Henry Dudeney
  • Martin Gardner
  • Ron Honsberger
  • Howard Eves
  • Ian Stewart
  • Alfred Posamentier
  • George Polya
  • Anthony Gardiner
  • Claudi Alsina
  • Miguel de Guzmán
  • Richard K. Guy
  • Titu Andreescu
  • John Conway
  • Adrián Paenza
  • Edward Barbeau
Destes ides ter que buscar vós, que xa fartei de copiar links.


Nota mental: para todo o que lin, hai que ver o mal profesor que son.

22.4.17

Euclidea


Dáme que non son o primeiro profesor de Matemáticas que fala do xogo Euclidea, pois eu mesmo xa lin comentarios en twitter hai tempo, calculo que haberá ano e medio. Cando souben por primeira vez del, coido que só había versión para dispositivos móbiles, agora hai tamén versión web. As capturas serán desta última versión.

Que podemos esperar dun xogo chamado Euclidea? Obviamente que sexa un xogo de Xeometría, e tamén é de supoñer que as construcións elementares estean implicadas. E así é: a dinámica do xogo é a da construción con regra e compás das figuras planas, de xeito crecente na dificultade e a sofisticación das ferramentas e dos obxectivos. Pasamos do triángulo equilátero inicial dos Elementos:

  
... a retos máis interesantes nun anaco:

  
Unha característica que mellora a idea esencial do xogo é que en cada figura hai que acadar dous obxectivos: construír a figura co menor número de liñas implicadas e construír a figura co menor número de construcións elementares(rectas e circunferencias). Dous obxectivos que apuntan a dous tipos distintos e complementarios de elegancia matemática.

Para os que estudamos baixo a mal chamada Matemática Moderna, aínda as figuras aparentemente máis sinxelas poden supoñer unha dificultade inusitada, pois a pouca xeometría non analítica que estudamos tiña como único leitmotiv a medida de magnitudes, principalmente lonxitudes. Se houbese un xogo semellante dirixido a facer diagramas de Venn ou aplicacións bixectivas, a miña xeración tería certamente máis facilidade que coas construcións de Euclidea.

Ah, e como o xogo xa é vello se consideramos a cronoloxía en tempos de internet, podedes pedir papas e esculcar os distintos walkthroughs que hai dispoñibles en youtube.

2.4.17

Ambigüidades


O outro día estiven a pensar na notación funcional, na que se presenta certa confusión entre:
  • O xeito que temos de expresar a composición dunha función consigo mesma, $f^2(x)=(f\circ f)(x), f^n(x)=(f\circ f \circ \dotsc \circ f)(x)$
  • A potencia dunha función como produto repetido, $(f \cdot f \cdot f \dotsc \cdot f)(x)$
  • A derivada n-ésima da función, $f^{(n)}(x)$, que en valores constantes de n adoita aparecer en números romanos, $f^{IV}(x)$
Por se fose pouco, a convención de que o índice $^n$ representa a composición e non a potencia non se conserva no contexto da trigonometría, onde:

$sen^2(x)=sen(x) \cdot sen(x)$ 

e a composición simplemente non ten abreviatura e escribimos, por exemplo:

$sen(sen(sen(x)))$

Pois ben, isto levoume a considerar os casos nos que a notación que utilizamos é ambigua, no sentido seguinte:

Que notación, utilizada de xeito estándar a nivel 4º de ESO, supón que se a escribimos no encerado da aula, os alumnos non poden estar seguros de como a deben ler?

Eu teño en mente a coincidencia de dous conceptos concretos, mais estou certo de que vós coñeceredes máis.

26.3.17

LIII Olimpiada Matemática Española



Esta fin de semana celebrouse en Alcalá de Henares a LIII Olimpíada Matemática Española para alumnos de bacharelato. Souben dos problemas que caeron nun grupo de profesores de Matemáticas no que participo en Facebook, e non puiden evitar roerlle ao primeiro, que adoita ser o máis sinxelo, e que este ano tiña que ver con números naturais. Observade:

Determina o número de valores distintos da expresión
$$\frac{n^2-2}{n^2-n+2}$$
onde $n \in \{1,2,3,\dots,100\}$

Por variar un pouco, vou compartir a solución que atopei; e para que non vexades a miña solución antes de terdes oportunidade de pensar unha vós mesmos, déixovos unha interesante figura que vin en xaneiro en futility closet:


Ide a Futility Closet por máis información

Eis a solución:

A estratexia vai consistir en calcular os valores distintos do 1 ao 100 que teñen a mesma imaxe pola función $f(n)=\frac{n^2-2}{n^2-n+2}$

O certo é que resulta máis sinxelo do que vaticinei ao ver a expresión. Supoñamos que n e m son valores distintos entre 1 e 100 que cumpren que $f(n)=f(m)$. Entón:

$$\frac{n^2-2}{n^2-n+2}=\frac{m^2-2}{m^2-m+2}$$
$$(n^2-2)(m^2-m+2)=(n^2-n+2)(m^2-2)  $$
$$n^2m^2-n^2m+2n^2-2m^2+2m-4=n^2m^2-2n^2-nm^2+2n+2m^2-4 $$
$$nm^2-n^2m+4n^2-4m^2+2m-2n=0 $$
$$nm(m-n)+4(n+m)(n-m)+2(m-n)=0 $$
$$ (m-n)[nm-4(n+m)+2]=0 $$ 
Como n e m son distintos, o segundo factor ten que anularse:
$$nm-4n-4m+2=0$$
Esta ecuación pode resolverse de varios xeitos, por exemplo despexando unha das incógnitas e impoñendo posteriormente que tome valores naturais, mais observando a simetría do polinomio é máis limpo así:
$$(n-4)(m-4)-14=0 \rightarrow (n-4)(m-4)=14 $$
$$\Longrightarrow \begin{cases} \begin{cases}n-4=14 \\ m-4=1 \end{cases} \\ \ \ \ ou \\ \begin{cases}n-4=7 \\ m-4=2 \end{cases} \end{cases} $$
A priori podería haber divisores negativos de 14, p.ex. $n-4=-2$, pero provocaría que o outro factor fose $m-4=-7$ e por tanto m non sería natural.
En conclusión, só temos as solucións $$(n,m)=(18,5) \ e  \ (n,m)=(11,6)$$
Isto implica que todos os números do 1 ao 100 dan valores distintos da función f(n) agás estas dúas parellas, polo que hai 98 valores distintos

11.3.17

Divertimento xeométrico(7)


Revisando o fantástico libro de Ross Honsberger Mathematical Gems II (táboa de contidos en Cut the Knot) atopei esta propiedade dos triángulos.
Como é usual nos divertimentos, non vou explicar nada; tócavos a vós adiviñar que sucede na figura:



9.3.17

A voltas co octógono


Na anterior entrada propoñía a seguinte figura, na que aparece un octógono que tiña algo de curioso:

  

Non obtiven resposta no blogue, mais si en twitter:

Efectivamente o curioso do octógono, polo menos para min, é que tendo todos os lados iguais, non é regular debido a que os seus ángulos non son iguais, senón que hai dous tipos: os dos vértices N-O-S-L son menores cós dos vértices NO-SO-SE-NE.

Na seguinte figura podedes comparar a situación dos vértices do noso octógono(·) coa dos vértices(x) do octógono regular que comparte co noso o centro e a medida do lado:

  
Como actividade para levar á aula da ESO, o interesante sería pedir aos alumnos que atopasen distintos xeitos de amosar que o octógono non é regular. Ademais de adestrar a 'vista' xeométrica, a idea serviría tamén para practicar as demostracións informais: 'se fose regular, a propiedade ___ tería que cumprirse, mais non se cumpre, por tanto...'

Aínda no bacharelato, se houbese tempo, podería ampliarse a lista de métodos para demostrar que non é regular, co cálculo explícito das coordenadas das interseccións, o produto escalar, etc.

3.3.17

Un octógono calquera


No capítulo 3, Espacio y forma, do libro Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria, de Cecilia Calvo et al. dei con esta situación. Aínda sendo elementar, como eu non sabía dela, compártoa aquí.


 
  

Partimos dun cadrado, unimos cada vértice cos puntos medios dos dous lados nos que non está, obtendo 8 segmentos. Consideramos os puntos de intersección, violetas na figura, que forman un octógono.

Pois ben:

Que ten de curioso este octógono?

11.2.17

Reflexionemos, pois


A penúltima entrada nos Retallos de Matemáticas trouxo á memoria un vello problema que utiliza a mesma poderosa idea. Xulgade vós mesmos:


Imaxinade que temos unha bóla de billar colocada no punto de coordenadas (10,3). Dámoslle co taco sen efecto e a bóla, despois de rebotar en dúas bandas, chega ao punto (5,5). Cal foi a lonxitude do percorrido total da bóla?


Poño os ángulos por se alguén non lembra a propiedade fundamental


O que máis me presta deste problema é que pode resolverse por "forza bruta", dominando un chisco de Trigonometría. Mais non é necesario...

31.1.17

Outro problema de dobrar cousas


Os problemas nos que dobramos figuras xeométricas son habituais nos concursos matemáticos, probablememente porque adoitan incorporar a xeometría euclidiana elementar: congruencia, semellanza e Teorema de Pitágoras. Cunha situación sinxela de base podemos chegar a complicar moito as cousas. Eu mesmo compartín un problema dese estilos hai ano e medio:


Hoxe quería compartir un problema dese tipo, aínda que non tan enleado:


Temos unha faixa rectangular de papel de 4 decímetros de ancho. Dobrámola arredor da liña AX, de tal xeito que a esquina C cae no punto C', que forma con outra esquina A e co punto de solapamento B un triángulo rectángulo 3-4-5. A que distancia está X de C?

   


20.1.17

Matemáticas para Profesorado de Educación Secundaria


Tal é o nome dunha materia impartida na Universidade de Santiago de Compostela polo actual departamento de Matemáticas(Álxebra, Xeometría e Topoloxía, Análise, NEVER FORGET) no Máster de Profesorado de Secundaria. Cando vin que profesores da facultade onde estudei impartían unha materia dirixida a futuros profesores coma min, non puiden evitar analizar os contidos. E isto é o que atopei.

O primeiro que pode ver un da materia é que o seu obxectivo é "Coñecer e reflexionar sobre os contidos máis relevantes das Matemáticas, obxecto do ensino nos distintos niveis da educación secundaria." Nada que obxectar ante ese obxectivo, só que quizais nunha materia de 5 créditos non dea tempo. Vexamos.

Os contidos da materia están organizados en 3 bloques, que aínda que oficialmente non teñen título, poderíamos denominar respectivamente Xeometría, Análise, Resolución de Problemas.
O bloque 1 ten dous apartados, 1.1 A curvatura e  1.2 Xeometría Analítica versus Xeometría Sintética no ensino secundario. O apartado da curvatura fai referencia ao tema 43 da oposición, no que se tratan as proxeccións no plano e os distintos mapas da Terra. Un tema que eu tiven a sorte de estudar na materia Teoría Global de Superficies, en 3º de carreira. Na unidade na que se traballan tales contidos no instituto, en 3º de ESO, faise dun xeito case divulgativo e despois de moitas conversas con compañeiros diría que se tende a minimizar o tempo dedicado a eses contidos por non seren rigorosos nin seren necesarios para o desenvolvemento posterior.
No apartado sobre as perspectivas no estudo da Xeometría, o programa parece obviar dúas cuestións: o feito de que as coordenadas xa se introducen en 1º de ESO, e o estudo elementar de rectas no plano con coordenadas en 2º; e que desde a LOXSE algo(pouco) de xeometría sintética hai no curriculum, non como sucedía na época post-New Math da EXB-BUP.

O segundo bloque ten os contidos Números Reais. Sucesións de números reais. Funcións reais de variable real. Cálculo Diferencial e Integral. Sen saber máis do trato que se lle dá a eses contidos na materia, é difícil valorar se é axeitado. O número real no instituto debe de ser un dos conceptos peor tratados(non se pode facer ben, probablemente), os profesores simplemente agardamos que os alumnos se vaian afacendo ás propiedades que maxicamente van herdando dos números racionais(e que estes previamente herdaron dos enteiros). Como di Hung-Hsi Wu, este é un dos postulados das Matemáticas do instituto(que eu xa mencionara nesta entrada). En xeral estes contidos son máis propios do bacharelato que da ESO(e como os profesores novatos tenden a dar clase só no 1º ciclo da ESO, de moito non lles vai valer ata que se fagan vellos). Quizais quen escolleu estes contidos estaba pensando máis no antigo BUP que na secundaria actual.

O último bloque estuda a resolución de problemas, e ten un feixe de contidos:

3.1 Os problemas en matemáticas. Tipos de problemas. Estratexias e técnicas de solución de problemas.
• Problemas versus exercicios. Tipos de problemas: Problemas recreativos, de concurso e abertos.
• Estratexias na solución de problemas: debuxar figuras e diagramas, examinar casos especiais, formular problemas equivalentes, modificar o problema, cambiar o método de razoamento (contradición).
• Técnicas de solución de problemas: simetría (simetría xeométrica, simetría alxébrica), o principio do extremo, principio do pombal, transformacións e invariantes (paridade, aritmética modular e coloración, monovariantes).
• Uso de software matemático libre na resolución de problemas: GeoGebra, Maxima.

Na miña opinión, parecen máis axeitados para unha preparación de olimpíadas matemáticas e outros concursos que para formar a futuros profesores de secundaria. Sen dúbida, e este blogue é proba abondo, coido que certa formación en resolución de problemas é necesaria, e que é positivo que se faga de xeito regrado, non baseándonos só no autodidactismo e voluntarismo dos profesores. Pero a secuencia invariantes, principio do pombal, principio do extremo, etc. semella o índice dun dos famosos libros que inclúen heurísticos, como Problem Solving Strategies de Arthur Engel, Problem-Solving through Problems de Loren C. Larsson ou o inevitable How to Solve It de George Pólya.
Con respecto ao uso de software, geogebra é seguramente o programa que máis utilizo na aula, tanto na Xeometría como no Análise, polo que vexo necesario que se introduza aos futuros profesores no seu manexo. De novo, o que se poida facer nesta materia será escaso claramente. En canto ao Maxima, é obvio que se tenta apoiar o uso de software libre tamén nos programas de cálculo simbólico, fronte aos comerciais Derive ou Mathematica. Como contrapartida, Maxima non ten a repercusión no ensino daqueles(polo mesmo que Libre Office non ten a de Microsoft Office ou mesmo Linux a de Windows). Eu adoito utilizar nas clases a demo do Wiris, que está dispoñible on line e depende de Java, aínda que non sexa software libre.

Para rematar, aínda que agradezo a existencia desta materia, coido que posúe certa tendencia ao anecdótico. Cando atope un anaco hei buscar as demais materias do Máster de Secundaria, xa que no programa de enriba acho en falta máis didáctica da materia. Tendo en conta que o coñecemento da disciplina queda máis que probado ao estudar a carreira e que as xeneralidades pedagóxicas están afastadas da práctica cotiá, probablemente a necesidade máis perentoria dun futuro profesor sexa o coñecemento da didáctica específica das Matemáticas (o que se deu en chamar Pedagogical Content Knowledge in Mathematics Education, PCK, que xa está discutido, como non). Quedades emprazados.

6.1.17

Matemáticas na Rúa: os primeiros 8 anos


Outro día 6 de xaneiro, outro día que lembro o aniversario deste blogue grazas a que o da Carta Xeométrica é un día antes. Este ano, en troques de revisar o rumbo do blogue, vou compartir unha escolma dos posts que agora mesmo vexo máis interesantes, a razón dunha entrada por ano e en orde cronolóxica inversa:

Hai entradas mellores neste ano, seguro, escollo esta porque coido que o simple feito que amosa non é moi coñecido.
Este post é o paradigma do que me gustaría ter atopado na miña formación como profesor novel: que facer na aula para facilitar a aprendizaxe? Por desgraza, dáme que segue a non ser o habitual.
Deste ano hai varias entradas que vexo recuperables, optei por esta porque resulta abraiante descubrir a longa historia de moitos problemas que seguimos a utilizar nas aulas.
 Esta entrada coido que non a leu ninguén(25 visitas, LOL), e nela presentei un problema orixinal, ou iso cría eu daquela.
Este problema atopou, de xeito excepcional, solución neste mesmo blogue, na entrada seguinte.
O primeiro divertimento dunha serie que non rematou, espero.
Realmente é unha parvada de animación no geogebra, mais unha parvada que fixen eu.
Non é tampouco a mellor entrada das non moi elaboradas 140 daquel ano, cando usaba o blogue para propoñer problemas aos alumnos da Rúa, pero ten un problema curioso e a ligazón a un xogo que mestura algunha idea matemática. É dicir: dúas das miñas principais afeccións.

Xa tedes para ler a fin de semana.

3.1.17

Outra idea para un xogo


...que non hei facer por falta de tempo. Aínda que, para sermos rigorosos, o seu contido non se axusta a ningún curso da ESO nin Bacharelato: para que se dean coordenadas en 3 dimensións temos que esperar a 2º de Bacharelato, pero nese curso non se chega a ver nada que non sexan puntos, rectas e planos. En realidade, un alumno pode aprobar a parte de Alxebra Linear e Xeometría en 2º de bacharelato sen imaxinar nin un só plano.