29.5.13

Non só pentágonos...


Atopei nunha tenda a seguinte publicidade:

Estará patentado de verdade? E a forma esférica?

Non puiden evitar fixarme na frase "gracias al ensamblaje de sus 24 paneles pentagonales". Porque se un entende que o balón está composto soamente por 24 pentágonos, digamos que o balón non pode existir. Por que? É unha pregunta de certo nivel, apta para topólogos...

A outro nivel creo posible traballar esta situación nunha aula de 3º de E.S.O. na unidade de Corpos Xeométricos. Por exemplo:

Cantos hexágonos ten o balón se ten 24 pentágonos?

Quizais sexa necesario mirar mellor o balón, poñamos acó unha imaxe en 2D do balón en 3D:

Vese mellor a ensamblaxe de hexágonos e pentágonos?

Outra pregunta interesante pero de distinta índole podería ser:

Cales son as medidas dos ángulos dos pentágonos se os hexágonos son regulares?

Ou:

Como é o desenvolvemento plano do balón?

Máis lúdico e de fedellar:

Con cantas cores podes pintar o balón se non pode haber dúas caras contiguas da mesma cor?


E como en tantas outras ocasións, Euler é o noso amigo. O que non sei é se o balón bota mellor, moita diferenza na tenda non notei...

Editado ás 20:50: se queredes ver como se fan os balóns, ide a "Como se fabrica o balón de fútbol oficial do Mundial 2010", entrada do fantástico blogue tecnoloxia.org, un dos clásicos en galego. No vídeo veredes a fabricación do balón jabulani, que tamén está formado por pentágonos e hexágonos, aínda que algúns menos.

21.5.13

Problemas varios

Aproveitando o tempo libre que teño estiven a resolver algúns problemas, tirados tanto da rede como da miña biblioteca e tamén de Brilliant, unha páxina da que souben hai uns días e que presenta problemas típicos de olimpíadas ademais de exercicios e problemas puramente curriculares.

Estes son algúns dos problemas que capturaron a miña precaria atención:


  • O primeiro, de xeometría elemental, vino en Brilliant e préstase a varias estratexias:
Temos un rectángulo ABCD de base BC 12 cm. e altura BA 5 cm. No lado BC podemos atopar dous puntos E e F tales que os ángulos AED e AFD son rectos (por que? que ten que cumprir o rectángulo para que haxa dous puntos así?) Atopa a distancia entre E e F.

A Álxebra dá máis do que lle pedimos...
  • O segundo, unha ecuación diofántica tirada da olimpíada polaca:
Atopa tódalas solucións da seguinte ecuación, onde x e y son números enteiros: 


$$x^4+y=x^3+y^2$$



  • E o terceiro, unha brincadeira clásica, proposta no século XIX polo matemático francés Édouard Lucas  na súa discusión do 15 de Sam Loyd (si, Lucas é o das sucesións de Lucas que amplían o concepto da sucesión de Fibonacci).

Na figura hai 4 tarxetas coas letras A, B, C e D que ocupan totalmente as celas nas que están colocadas. Movendo as tarxetas por esta figura, sen levantalas, es quen de intercambiar a posición de A e B e a posición de C e D? 

Le jeu du Taquin

Oxalá o pasedes tan ben coma min pensando nas solucións!


15.5.13

Xogos matemáticos

Matemáticas por todos lados

Calquera que saiba algo de videoxogos ten claro que nunha parte importante deles os creadores tiveron que utilizar as Matemáticas para crealos. Isto é debido, entre outras razóns, a que en moitos xogos o programador ten que implementar o movemento dos personaxes. Para este fin haberá que ter en conta tipos de colisións, movementos en 2D ou 3D (translacións, rotacións,...), vistas, iluminación,... Así que necesitará traballar, por exemplo, coas transformacións xeométricas, trigonometría, vectores e álxebra linear. Como curiosidade, para resolver problemas que aparecen na interpolación de animación e a orientación de obxectos resulta moi útil traballar no corpo dos cuaternións, en concreto con cuaternións normalizados. Para quen queira unha explicación rápida deste feito, o creador de Miegakure, Marc Ten Bosch, escribiu esta entrada no seu blogue.

Ademais un programador de videoxogos ten que pelexar, como calquera outro programador, coa  almacenaxe dos números reais na memoria, o que leva a tratar coas dúas principais representacións, o punto fixo e o punto flotante. Matemáticas por todos lados...

Pero se algún profesor de Matemáticas aí fóra pretende utilizar este feito para motivar o estudo das Matemáticas na Educación Secundaria, un aviso: non adoita funcionar. Á maioría dos alumnos non lles importa que os videoxogos estean baseados en Matemáticas. Fai falta saber Matemáticas para xogar? Non. Fin da conversa.(Tampouco funciona que os móbiles bla bla bla nin que Internet bla bla bla. Síntoo. E moito. De verdade).

Hai uns días lía nos blogues de Jason Dyer e Dan Meyer os seus comentarios sobre o que denominaron "Tiny Math Games". Na época na que nos movemos, na que unha das solucións universais para a motivación dos alumnos é a Gamification (non aturo "gamificación"), é relevante analizarmos que entendemos por xogo matemático nun contexto educativo (en niveis teóricos está perfectamente determinado). E non é sinxelo, pois hai unha liña difusa entre os xogos que utilizan Matemáticas e as Matemáticas que resultan lúdicas. Coincido con Dan Meyer en que esta secuencia de chíos de Jason Dyer dá no cravo, ademais de ser hilarante:

Seguindo esta liña de pensamentos hoxe quero compartir dous "xogos" que poderiamos encaixar nesas categorías. Obviamente onde os encaixemos depende tanto dos xogos mesmos como do ollo do xogador que os enfronte.


  • O primeiro é Circle Drawing Challenge, de Thomas Denney, que atopei en Math Munch (moi recomendable revisión semanal das Matemáticas pola rede) no que o obxectivo é debuxar co rato unha figura que se asemelle a unha circunferencia. Aquí deixo un exemplo casual que fixen eu:

En Coristanco ou na Limia agroman da terra...
Con este tubérculo obtiven un 98'25% de "circularidade". O máis interesante para un profesor de Matemáticas non é o xoguiño, senón a pregunta inmediata que suscita: e como determina a aplicación como de boa é a figura? Pois dun xeito ben intelixente: utiliza a propiedade isoperimétrica das circunferencias, que vén dicir que de tódalas figuras planas pechadas que teñen certo perímetro, a que pecha a maior superficie é a circunferencia. Así que a aplicación calcula o perímetro da túa figura e a súa área, e computa cal sería a área do círculo con ese mesmo perímetro. Despois só fai a razón das áreas para devolver o nivel de "circularidade". Moi elegante.
Se vos gustan estes xogos, lembro un que compartín por acó alá polo 2009, na entrada Xeometría a ollo, no que había que mover liñas e puntos para tentar achegar a bisectriz dun ángulo, o centro dunha circunferencia,  o punto medio dun segmento... A ligazón do xogo é The eyeballing game.
Si que é posible


  • E o segundo xogo, probablemente "máis xogo" que o anterior, é A Game of Numbers, creado por JoeDev en 48 horas para a competición Ludum Dare. Como no xogo non dan as regras e temos que atopalas nós, déixovos soamente a captura dunha pantalla:
Working Backwards, obviously
Lembro outro xogo deste estilo, Prime Attack
Quizais os profesores de Matemáticas non lles atopemos utilidade no marasmo de contidos e competencias nos que naufragamos a diario, pero polo menos poderán pasar un bo anaco. Se queredes máis, sempre tedes dispoñibles as páxinas de xogos da miña primeira e vella wiki e do meu delicious:

E eu que só viña a comentar uns xogos matemáticos!

2.5.13

Un dos meus problemas preferidos

Non sei moi ben por que, hoxe veume á memoria un problema xeométrico que apareceu hai anos nunha olimpíada matemática dos primeiros cursos de secundaria. Creo que era nunha competición de Uruguay, mais non estou certo. Se a atopo xa editarei esta entrada.
Como este blogue xa vai tendo unha idade, fun buscar na etiqueta Xeometría, pois tiña a sensación de que xa falara del hai dous ou tres anos. Mentres lle daba á roda do rato para abaixo, pensei que bonitos eran os debuxos que fixen co geogebra para ilustrar os diferentes teoremas e (principalmente) problemas que fun propoñendo. Ata que, baixando máis, é dicir, indo máis para atrás no tempo, esa sensación mudou ao ver cantas veces teño escrito dos mesmos problemas. Hai un do que escribín  tres veces, e polo menos outro do que escribín dúas. Por iso pasei un anaco buscando o problema do que vou falar hoxe. (Aínda cabe a posibilidade de que estea perdido nas arañeiras deste blogue, nalgunha entrada que non leu ninguén, nin eu)

O problema, un pouco modificado, é o seguinte:

Se trazamos a diagonal dun rectángulo, collemos un punto P calquera nesa diagonal e trazamos as perpendiculares aos lados, podemos formar dous novos rectángulos:


Como sempre, o debuxo explica mellor ca min


Se collemos o punto P de tal xeito que un dos rectángulos sexa ademais un cadrado (que a ollo sucede en dúas ocasións), que área é maior, a vermella ou a azul?


É obvio cal é o outro lugar onde podería estar P, non si?

Sen necesidade de editar a entrada atopei a fonte do problema: Com-Partida Matemática del Uruguay, 2006, que podedes consultar nesta web.