Outro problema de álxebra sen ecuacións, o último

 

O bo de ter certa idade é que xa che deu tempo a ler os clásicos das matemáticas elementais e recreativas; o malo, que xa che deu tempo a esquecelos e/ou mesturalos na memoria.

Coa miña teima de propoñer problemas xenuínos no ámbito da álxebra elemental fun esquecer un dos máis clásicos, veño hoxe a emendar esta omisión. teño que recoñecer que non dei resolto no seu día, do que pasaron tantos anos que xa non sei se foi nun libro collido na biblioteca municipal de Ferrol ou onde. A estas alturas, o problema aparece centos de veces pola rede, mais non dou atopado nas fontes da matemática recreativa de David Singmaster cando xurdiu. É probable que non fose exhaustivo na miña pescuda, pois o traballo de Singmaster é formidable.

Imos ao problema, que, sen que sirva de precedente, resolverei ipso facto:

Nunha mesa hai 20 moedas, 13 amosando cara e 7 amosando cruz. Na penumbra non se ve que amosa cada moeda, pero podes coller as moedas sen problema. O teu choio consiste en separar as moedas en dúas moreas de tal xeito que haxa o mesmo número de cruces nas dúas moreas. O único permitido é mover as moedas e voltealas.

Antes da solución inclúo este lugar xeométrico rarecho que atopei sen querer. Deste xeito tedes outro problema, este de enxeñería inversa: como creei o lugar, dado que ocultei obxectos imprescindibles no gif?(Outros deixeinos, se non sería imposible de resolver)

    

A idea feliz da solución, que como adoita ocorrer, resulta natural cando un xa é familiar con ela, consiste en dividir ao chou as 20 moedas en dúas moreas de 13 e 7(non hai outro xeito, se non podes ver que amosan) e darlle a volta ás 7 moedas da morea pequena. Resolto.

Resolto?

Pois si. A álxebra axuda a iluminar o conto.

Imaxina que na morea aleatoria de 7 moedas hai x cruces. Isto implica necesariamente que nesa mesma morea hai 7-x caras, e na outra morea, tamén 7-x cruces. Ao voltear a morea pequena, quedas con x caras, 7-x cruces, e a morea grande non variou, polo que segue con 7-x cruces. Q.E.D.

Que sinxelo, non si? É o que sucede coas ideas felices, que son imposibles ata que se converten en necesarias(no sentido filosófico).

Observades como agroma o mesmo fenómeno que no problema das bolsas con bólas brancas e negras? Fenómeno semellante tamén ao do problema do baile e as parellas que se daban as mans.

Seica espetei cun patrón case unívoco de problemas de álxebra sen ecuacións. Coido que non seguirei con esta serie ata que atope un problema realmente distinto.

 

Un(?) problema para roer

 

Un dos libros que consulto cando teño tempo para pelexar cun problema fermoso é Five Hundred Mathematical Challenges de Barbeau, Klamkin e Moser. Está pola rede en pdf, non o comparto nin poño o número de problema para que arrabeedes.

Observade a seguinte sucesión:

$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, \dots $$

Adiviñastes a lei de formación? Estou certo que si. Porén, vou engadir aquí unha animación que fixen arredor da circunferencia goniométrica, e de paso, tedes outro problema para pensar:

   

Dado o norte e un punto móbil da circunferencia goniométrica, consideramos o punto medio do segmento que forman(azul), e 3 puntos homotéticos ao devandito punto medio desde o corte das tanxentes(o gris a $\frac{9}{10}$, o vermello a $\frac{2}{3}$, o laranxa a $\frac{-3}{2}$). Observades os estrafalarios lugares xeométricos, sobre todo o do punto gris? Pois se vos prestan os problemas técnicos, ánimo.

Volvamos á sucesión.

Como xa vistes, comeza con 1, logo veñen 2 números pares, logo 3 impares, 4 pares, 5 impares... Sinxelo, non si?

 O difícil é amosar o termo xeral, que xa viñades osmando que ía pasar agora. Non vos queixedes, que vou poñer a expresión(como vén no libro), se $u_n$ é o termo xeral da sucesión,

$$u_n=2n- \left[ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{8n-7})\right]$$

onde, como é usual, os corchetes indican a función parte enteira.

Un problema clásico de circunferencias

Andaba argallando como debuxar circunferencias tanxentes cando pensei que esta cuestión merecía vir ao blog. Xulgade vós.

   

Na figura atopamos tres circunferencias tanxentes, as dúas pequenas exteriormente, e a grande contendo ás outras dúas. O voso traballo consiste en achar o valor do perímetro do triángulo ABC, formado polos centros das tres circunferencias.

E tedes sorte, que dunha das ferramentas máis útiles para pelexar con circunferencias e rectas tanxentes  falou hai nada Cibrán.