Unha adiviña nos números complexos

 

Viñeta obrigada de xkcd cada vez que aquí se fale de complexos

En xaneiro pasei unhas sesións moi frutíferas todo contento dando complexos en Matemáticas I, proporcionalidade en 2º e ecuacións en Matemáticas A. A ledicia en Matemáticas I proviña de non estar apurado ao non ir demasiado atrasado e só foi algo botada a perder por non ter máis tempo para amosar o feixe de aplicacións dos complexos dentro das propias Matemáticas.

Para resarcirme un chisco, hoxe traio unha pequena adiviña dentro do Plano de Argand. A ver se vos presta tanto como a min:

Se a, b e c son os afixos de tres números complexos, a que coñecida propiedade equivale a anulación deste determinante?

$$\begin{vmatrix} a&b&1\\ b&c&1 \\ c&a&1\end{vmatrix}=0$$ 

Unha cuestión sobre funcións

Mirando por riba vellos números do Puzzle Corner do MIT Technology Review, sección mantida por Allan Gotlieb durante máis de 50 anos, reparei nun problema en principio inocente. Observade a primeira das dúas cuestións que propoñía:

• Atopa unha función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Para deixarvos cavilar, velaquí unha pequena digresión:

A condición que aparece é o que se denomina unha ecuación funcional, pois é unha condición que se impón sobre unha función incógnita. É un contido habitual nas olimpíadas matemáticas de instituto e e universidade, mais no ensino regrado non se traballa. Si que aparece nos estudos universitarios, polo menos na forma de ecuacións diferenciais, que efectivamente piden atopar unha función que cumpra unha condición, mais daquela a condición xa incorpora a variación da función(a derivada, vaia). No grao tamén aparecen algunhas ecuacións integrais no contexto da Análise Funcional, e se tiveches a sorte de seguir un curso de Teoría Analítica de Números, tamén nas ecuacións que cumpren as funcións Gamma, Zeta de Riemann, etc. Despois aparecerá, se estudas as oposicións de secundaria, no contexto das funcións elementais, que quedan determinadas por ecuacións funcionais ben simples, como $f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ou $f(x \cdot y)=f(x)+f(y)$, ás veces con certas restricións adicionais de regularidade.

Volvendo ao problema, está claro por que pensei de entrada que era un problema sinxelo, non si? A propia función identidade, $f(x)=x$, cumpre a condición, non hai que buscar máis alá. Outro exemplo? Pois a función $f(x)=-x$ tamén serve.

Sodes quen de atopar outra función que cumpra a condición? Deixádea nos comentarios se vos presta.

Pero este problema tiña outra parte, igual de inocente en apariencia, mais con sorpresa oculta:

• Atopa unha función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x))=-x \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Tan semellante, tan diferente.

En que pensei instantaneamente ao reparar nesta cuestión?

Nos números complexos.

Se reescribimos con outra notación para a composición reiterada a ecuación funcional, $f^2(x)=-x$, non fai pensar na raíz cadrada? Aínda mellor se escribimos, utilizando o símbolo habitual para a función identidade:
$$f^2=-id$$
Non albiscades unha raíz cadrada ben coñecida? Pois esta feble conexión dá unha pista.

Pensade nun número complexo $a+bi$, tendo en conta que multiplicar por $i^2=-1$ fai que obteñamos o número complexo $-a-bi$, e cada produto por $i$ xira 90º arredor da orixe o afixo do número, é dicir:
$$a+bi \to -b+ai \to -a-bi$$

Complexos ou vectores? Preguntádelle a xkcd

Problema? A súa restrición aos números reais non serve, pois pasa da parte real á imaxinaria, só na composición volve á parte real. Porén a idea da rotación si que funciona, aínda que é necesario adaptala ao contexto das funcións reais de variable real.
Analizando a ecuación funcional $f(f(x))=-x$ polo miúdo, vemos que se $f(a)=b$, entón:
$$f(b)=f(f(a))=-a \to f(-a)=f(f(b))=-b \to f(-b)=f(f(-a))=a$$
De onde deducimos que se o punto $(a,b)$ está na gráfica da función buscada f, tamén van estar os puntos $(b,-a), (-a,-b), (-b,a)$, é dicir, este cadrado pertence á gráfica:

Non movestes a cabeza para ver o cadrado do xeito habitual?

A obxección inmediata é que esta imaxe está ben preto de contradicir a definición de función, se completamos a imaxe ata conseguir unha función continua.

E ata aquí podo ler... Déixovos como exercicio debuxar a gráfica dunha función que cumpra esta ecuación funcional. Porque escribir a expresión alxébrica pode que sexa excesivo.

Un problema do Baccalauréat général

É ben sabido que o exame de Matemáticas II da ABAU é, e foi sempre, un exame tipo. Entre as dúas ocpións atopamos sempre un exercicio técnico de matrices cunha ecuación matricial, a discusión dun sistema lineal con 3 ecuacións e 3 incógnitas, o comportamento dunha función, o estudo da derivabilidade/continuidade dunha función, o cálculo da área baixo unha curva, un problema de optimización, un exercicio de puntos simétricos, planos e rectas perpendiculares, e coa LOMCE, un exercicio de cálculo aritmético de probabilidades (onde aparezan probabilidades condicionadas, intersección e unión de sucesos) e un de cálculo de distribución binomial/normal.

Cada vez que nun exercicio cae algo que se escapa minimamente do esperado, notamos unha perturbación na Forza. Sabedes por que? Porque, en contra do que din moitos, as Matemáticas son difíciles, e ensinar Matemáticas a grupos heteróxeneos, tamén. Se tentas ensinar aos alumnos as ideas que aparecen no curriculum de bacharelato e despois avalías esas ideas xunto aos procedementos, vas ter todo tipo de obstáculos. Para ter éxito nesa intención, vas ter que apoiarte nun traballo por parte dos alumnos que obvia que teñen, como mínimo, outras 9 materias en 1º de bacharelato e outras 7 en 2º.

Isto vén a conto de que hai moitos profesores, sobre todo de universidade, pedindo que cambie o tipo de cuestións que se avalían no exame de Matemáticas da ABAU. Por isto estiven a pescudar un chisco pola rede os equivalentes á nosa ABAU noutros países europeos. Salvando as distancias, pois non sei se o sistema segregador de Alemaña pode compararse co noso (segregador tamén, pero distinto: funciona de facto por clase social), fun buscar o Abitur alemán e o Baccalauréat francés, que aparecían xunto ao Maturitá italiano no único artigo español que vin sobre o tema, ¿Qué se pregunta en Europa en las matemáticas de selectividad?, na revista SUMA. E atopei varias cousas curiosas polo distintas que resultan. Observade esta xeira de cuestións do exercicio 3 do Baccalauréat deste mes:

1. No conxunto $\mathbb{C}$ dos números complexos, consideramos a ecuación $$(E):z^2-2 \sqrt{3}z+4=0$$
Chamemos A e B aos puntos do plano que son os afixos das raíces da ecuación (E)
Afirmación 1: O triángulo OAB é equilátero.

2. Chamemos u ao número complexo $u=\sqrt{3}+i$ e $\overline{u}$ o seu conxugado.
Afirmación 2: $u^{2019}+\overline{u}^{2019}=2^{2019}$

3. Sexa n un enteiro natural non nulo. Consideremos a función $f_n$ definida no intervalo $[0,+\infty)$ por $f_n(x)=x e^{-nx+1}$
Afirmación 3: Para todo enteiro natural $n \geq 1$, a función $f_n$ admite un máximo.

4. Chamemos C á gráfica da función f definida en $\mathbb{R}$ por $f(x)=cos(x) e^{-x}$
Afirmación 4: A curva C admite unha asíntota en $+\infty$

5. Sexa A un número real estrictamente positivo. Consideremos o algoritmo seguinte

$I \leftarrow 0 \\ Mentres\ 2^I \leq A \\ I  \leftarrow I+1  \\ Fin \ do \ bucle $
Afirmación 5: $15 ln2 \leq lnA \leq 16 ln 2$


A primeira vista, non é como ver a selectividade dunha civilización alieníxena?

Un bo problema, a varios niveis

Este curso adiantamos as avaliacións respecto ao "calendario natural", pois a volta da Semana Santa, Chamorro para os ártabros do norte, cadra coa Feira de Moeche; ou se sodes doutras latitudes, co Día do Libro. Polo que xa rematei os exames e xuntas da 1ª Avaliación, e tiven un anaco nesta ponte para revisar pdfs e djvus do disco duro.

No cartafol Miscelánea estiven a botar unha ollada a Hidden Connections, Double Meanings, do sempre interesante David Wells(antes neste blog, aínda antes), e atopei un problema, se ben lixeiramente familiar, coido que nunca o vira deste xeito.

Imaxinemos un insecto que parte dun punto A e anda 1 metro nunha certa dirección, chegando a un punto B. En B xira 90º á esquerda e anda medio metro, chegando a un punto C, onde volve xirar 90º á esquerda e avanzando un cuarto de metro. Se continúa o seu camiño espiral deste xeito, sempre xirando 90º á esquerda e avanzando a metade do tramo anterior, a onde chegará no límite?

Como sempre, cun debuxo, mellor:

    

Este problema enche o capítulo 11 do libro, One problem, many solutions, onde o autor propón 3 solucións distintas: unha xeométrico-aritmética, unha puramente xeométrica e finalmente unha puramente aritmética. (Nota: ningunha desas solucións foi a que atopei eu).

Porén, o que me resulta máis atractivo do problema é a posibilidade de darlle un tratamento experimental. No curriculum de Matemáticas I temos que facer estudos xeométricos mediante programas informáticos, que é un xeito de aludir ao geogebra sen nomealo. Quizais este ano mande estudar configuracións semellantes a esta, onde poidamos combinar certos movementos, supostamente estudados na ESO. Verei.

Déixovos unha pista para a 1ª solución que achega David Wells. Unha fermosura:

    

Por último: de que xeito resolvín eu o problema? Pois

SPOILER

Sumando unha serie xeométrica de números complexos.

Cando teña ganas de escribir solucións pode que a comparta.

De tres en tres

Revisando alertas de google no gmail pasei por riba dun problema do que eliminei a fonte. O voso traballo vai ter dúas partes: a primeira saber cal era a pregunta e a segunda, atopar unha solución mellor.

O primeiro:

Cal é a pregunta se

$$a_n=\frac{4 Re(\omega^n)-1}{3}$$

onde $\omega$ é unha raíz cúbica imaxinaria da unidade (i.e., $\omega^3=1, \omega \neq 1$)

é a solución?

A segunda:

Dás atopado unha solución máis sinxela?

"Escrito en 5 anos, pode durar milenios"

Cardano, who plagiarised before it was cool

O asunto de hoxe ten case 500 anos de historia, e comenza no Renacemento italiano. Sigamos a Girolamo Cardano cando resolveu a ecuación cúbica simplificada, $x^3+px=q$, ou se preferides, cando colleu prestada de Tartaglia a súa solución:

Collamos dous números $u$ e $v$ que cumpran $u-v=x$ e $u \cdot v=\frac{p}{3}$

Traballando con estas dúas novas variables:

$$(u-v)^3+p(u-v)=q$$

$$(u-v)[(u-v)^2+p]=q$$

$$(u-v)(u^2-2uv+v^2+3uv)=q$$

$$(u-v)(u^2+uv+v^2)=q$$

$$u^3-v^3=q$$

$$u^3-\Big(\frac{p}{3u}\Big)^3=q$$

$$u^6-qu^3-\Big(\frac{p}{3}\Big)^2=0$$

Resolvendo esta ecuación cuadrática en $u^3$:

$$u^3=\frac{q+-\sqrt{q^2+4\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}{2}$$

$$u^3=\frac{q}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}$$

Obtendo finalmente u e v como as dúas solucións da ecuación cuadrática, e desfacendo o cambio, a solución da ecuación orixinal:

$$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}$$

Cardano só traballaba con valores positivos dos coeficientes, mais o método pode ser replicado sen problemas para casos como $x^3=15x+4$ (collendo x=u+v). Aínda que hoxe en día usamos exactamente o mesmo método e traballamos con $p=-15, q=4$.

Observamos ademais a ecuación do exemplo ten a solución x=4.

Aplicando o método adaptado, obtemos:

$$x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}$$

O que, en nomenclatura contemporánea, ten o aspecto

$$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$$

Como xa sabíamos que $x=4$ era unha solución da ecuación, significa isto que $\small{4=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}}$?

Polo visto Cardano xa atopara estes números esvaradizos estudando as solucións de problemas como o seguinte:

"Divide 10 en dúas partes que multiplicadas dean 40"

Este ten o aspecto típico dos primeiros problemas non lineares que propoñemos aló por 2º de ESO. Resolto cunha soa ecuación, chegamos a:

$$x(10-x)=40 \rightarrow x^2-10x+40=0 \rightarrow x=\frac{10 \pm \sqrt{100-160}}{2}=$$ 

$$\frac{10 \pm \sqrt{-60}}{2}= 5 \pm \sqrt{-15}$$

Que escribimos hoxe $$x=5 \pm i\sqrt{15}$$

Imaxinarios, chamaríadelos agora?

P.D.: levaba uns anos querendo falar un anaco da ecuación cúbica. Que sexa a primeira vez en 12 anos de choio que dou os números complexos é a escusa perfecta para esta entrada. Cardano escribiu o seu libro en 5 anos, estimou que o seu contido duraría milenios, e agora en 1º de Bacharelato miniaturizamos estas ideas en 5 ou 6 sesións. Dalgún xeito tiña que resarcirme.

Un problema de piratas

Estaba a pensar uns exercicios de sistemas de ecuacións non lineares cando, de súpeto, me veu á memoria un problema que coñecín vai para dez anos e que non ten relación algunha co que estaba a barallar. O problema falaba do típico tesouro pirata agochado nunha illa, e que por suposto tiña un críptico mapa para atopalo. Púxenme a buscalo pola rede coas seguintes pistas: había unhas árbores e unhas estacas  no mapa, e o problema aparecera nunha olimpíada de Matemáticas de Suramérica, quizais a Com-Partida del Uruguay ou a de Chile. Non o dei atopado nesas fontes, mais quixo a casualidade que Arthur Lee, un matemático que sigo en Facebook, compartise publicamente un workshop en geogebra da Asociación para a Educación Matemática de Hong Kong, e alí estaba o problema da illa do tesouro. Investigando un pouco (é dicir, chantando algunhas das palabras traducidas ao inglés no campo de busca de google) cheguei á orixe do problema, que resultou ser One, Two, Three... Infinity do científico e divulgador George Gamow.

Atendede a este fermoso problema que xa forma parte do acervo matemático:

Un mozo atopou entre os papeis do seu bisavó un anaco de pergamiño que revelaba a localización dun tesouro agochado. As instrucións dicían:

"Navega ata o lugar a ___ graos de latitude norte e ___ graos de lonxitude oeste, onde atoparás unha illa deserta. Na costa norte da illa hai un grande prado onde repousan un solitario carballo e un solitario piñeiro. Verás tamén unha vella forca onde se adoitaba colgar aos traidores. Comeza a andar desde a forca ata o carballo contando os pasos. No carballo tes que xirar á dereita 90º  e andar o mesmo número de pasos. Cando remates, espeta unha estaca no chan. Agora volve á forca e anda ata o piñeiro contando tamén os pasos, no piñeiro xira á esquerda 90º e anda a mesma distancia; chanta outra estaca no punto final. Cava no punto medio entre as dúas estacas que chantaches, o tesouro estará xusto alí"

As instrucións eran ben claras e explícitas, así que o noso mozo fretou un barco e navegou aos mares do sur. Atopou a illa, o prado, o carballo e o piñeiro, pero para a súa desgraza, o patíbulo desaparecera por completo. Aínda así, anoxado, comezou a cavar ao chou polo prado. Mais os seus esforzos foron baldíos, e navegou de volta coas mans baleiras.

Illa do tesouro low-cost

Que tiña que facer o mozo para atopar o tesouro?

Solución da adiviña de onte

Tendo en conta o espertos que son os meus lectores (poucos pero de calidade) xa non sería necesario desvelar a solución da adiviña, porén vou comentar onde atopara o aparello e o seu creador. Se por calquera misterio do universo hai algún lector novo do blogue que caese accidentalmente nesta entrada, recoméndolle que vaia primeiro ao anterior post , E isto que é?, onde propoño a adiviña. Para evitar que vexa a solución porei algo comestible como obstáculo:

Outro día falamos de Topoloxía

A imaxe, titulada "Curiosum", representa (como adiviñaron Cadoi e Cibrán nos comentarios), unha regra de cálculo complexa Fuller-Wythe, encamiñada a atopar o produto de dous números complexos. Apareceu no número 2 de "The Mathematical Intelligencer" de 2009 e non é unha fotografía dun obxecto real senón unha imaxe creada por ordenador, en concreto cun programa de modelado 3D chamado POV-Ray, Persistence of Vision Raytracer. Pensándoo ben, ten o seu aquel que a imaxe dunha regra de cálculo complexa non sexa "real".

O autor, Robert J. MacG. Dawson, (profesor de Matemáticas na St Mary's University en Halifax) mantén unha páxina na súa web para a fabricación dunha regra real, ademais duns apuntamentos sobre a historia das regras complexas (hai que baixar pola galería de imaxes elaboradas co POV-Ray para velos). Aló afirma que, aínda que non ten por que ser complicado facer en madeira e papel unha regra real, un modelo dun tamaño práctico presentaría problemas de lectura das escalas. Tamén explica polo miúdo o funcionamento dunha regra plana DuMond e a súa escala logarítmica, máis sinxelo do que agardaba.

A circunstancia de atopar esta imaxe no Intelligencer levoume a pasar unhas horas remexendo entre as ligazóns da web de Robert Dawson. O ubicuo google tamén axudou a atopar outras páxinas interesantes como este compendio sobre a historia do cálculo.

Estas son as cousas que un pode facer no verán, cando non hai fichas/exames que corrixir nin problemas/actividades que imaxinar. Para sermos precisos, son as cousas que un pode facer no verán sen ter a sensación de estar a procrastinar.