A quen non lle vai gustar unha demostración do coseno da suma?

 

Procrastinando entre pdfs e djvus Aprendendo unha morea como cada día na docencia e preparando novas actividades no American Mathematical Monthly, atopei esta nova (para min) demostración da fórmula do coseno da suma de ángulos, que parte dunha situación que xa aparecera por este blog hai anos nesta entrada, na que se demostraba precisamente o seno da suma. Lembremos a situación de partida:

   

A idea era debuxar os ángulos α e β de xeito consecutivo, e prolongar os lados dos ángulos de tal xeito que o lado común forme unha perpendicular coa unión das extensións dos outros dous. Máis sinxelo velo que dicilo, como podedes comprobar. Despois había que utilizar a expresión das áreas dos 3 triángulos da figura en función do seno dos 3 ángulos implicados, e o chisco inevitable de álxebra et voilà.

Para reutilizar a figura temos que poñer tres novas etiquetas:

Creo que é digno de mención que atopase
o ggb nun disco duro

Comezamos apelando ao Teorema do Coseno no triángulo grande:

$$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Por outra banda, 

$$c=m+n \Longrightarrow c^2=m^2+2mn+n^2$$

E usando o Teorema de Pitágoras nos dous triángulos pequenos e substituíndo na igualdade anterior,

$$\begin{cases} n^2=a^2-h^2 \\ m^2=b^2-h^2\end{cases} \Longrightarrow c^2 = b^2+2mn+a^2-2h^2$$

Igualando as dúas expresións para a medida $c^2$:

$$ b^2+2mn+a^2-2h^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Cancelamos:

$$2mn-2h^2=-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$

Dividindo os dous membros entre $-2ab$:

$$cos(\alpha+\beta)=\frac{h}{a}\cdot \frac{h}{b}-\frac{n}{a} \cdot \frac{m}{b}$$

é dicir, 

$$cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta - sen \alpha \cdot sen\beta$$

q.e.d.

Non sei que pensaredes, a min sempre me prestan as demostracións nas que atopas por camiños distintos dúas expresións diferentes para a mesma cousa. Xa temos outro exemplo no arquivo.

De ángulos e senos

No último exame de Matemáticas I puxen este exercicio:

Demostrar que a expresión $cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta $ non depende do valor de $\beta$

Habitualmente, cando poño cuestións de identidades trigonométricas en exames, tento que haxa varios camiños para atopar a demostración, para evitar frustracións alén das ordinarias. E este é un bo exemplo, pois é factible desenvolver todo o desenvolvible:

$$cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta=$$

$$(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)cos\beta+(sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen \beta) sen \beta=$$ 

$$ cos\alpha cos^2 \beta- sen\alpha sen\beta cos\beta+sen\alpha cos\beta sen \beta+cos\alpha sen^2 \beta= $$

$$\\ cos\alpha cos^2 \beta+cos\alpha sen^2 \beta=cos\alpha(cos^2 \beta+ sen^2 \beta)=cos \alpha$$

que non depende de $\beta$, q.e.d.

Aínda que un profesor con algo de experiencia ou intuición saberá que o final da demostración dos alumnos vai ser algo distinta, utilizando a fórmula fundamental para substituír unha das razóns.

Mais tamén, como adiviñaría o avezado lector, hai unha proba nunha liña:

$$cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta=cos(\alpha+\beta-\beta)=cos\alpha$$

Que é máis complicado de ver por un alumno pola dependencia nos símbolos. Comprensible.

Buscando inspiración para o exame no libro Trigonometry de Gelfand & Saul, que é unha xoia, atopei este exercicio, que xa coñecía dalgunha outra fonte (pode que fose nun libro de texto antigo) pero esquecera. E tivo a consecuencia indesexada de facerme rememorar vellas ideas da carreira, en concreto a materia Elementos de Variable Complexa de 3º. A estrutura da expresión levoume á breve demostración que se vía aló das fórmulas para o seno e o coseno da suma e da resta de ángulos.

Pero antes, lembremos as demostracións habituais:

Seguramente a que aparece na maioría dos libros de texto se basee na figura seguinte:

   

É posible que a figura non apareza na circunferencia trigonométrica, o que supón un pequeno obstáculo adicional. E é ben coñecido que esta proba só demostra directamente o caso no que a suma dos ángulos é un ángulo agudo, para ángulos maiores hai que utilizar outro argumento, relacionado coa redución ao 1º cuadrante.

Neste blog apareceu outra demostración elemental que só utiliza a expresión da área dun triángulo en función do seno dun dos ángulos, na entrada O seno da suma (cunhas poucas palabras), e que se sintetiza na seguinte imaxe:

   

Subindo un chisco o nivel de coñecementos, a representación das rotacións mediante matrices fai que a demostración sexa un mero trámite, pois o produto das matrices representa a composición das rotacións:

$$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} cos\beta & -sen\beta \\ sen\beta & cos\beta\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta & -(cos\alpha sen\beta + sen\alpha cos \beta) \\ sen\alpha cos\beta + cos\alpha sen \beta & -sen\alpha sen\beta+cos\alpha cos\beta\end{pmatrix}=\\  \begin{pmatrix} cos(\alpha+\beta) & -sen(\alpha+\beta) \\ sen(\alpha+\beta) & cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix}$$

O lector hardcore deste blog lembrará que esta idea, formalmente, xa fixera aparición hai dez anos na entrada Matrices e Pitágoras?.

E aínda podemos exprimir máis o conto:

$$e^{i \alpha}\cdot e^{i \beta}=e^{i (\alpha+\beta)}$$

Utilizamos a fórmula de Euler e temos outra demostración ultrarrápida das fórmulas de adición.

Porén, o episodio que veu á miña memoria poñendo o exame non foi isto, senón a demostración que aparecía nun libro de texto da bibliografía de Elementos de Variable Complexa, que basicamente consistía no seguinte:

Consideremos $\omega \in \mathbb{C}$ e a función $f(z)=cosz cos(\omega -z)-senz sen(\omega - z)$

Calculamos a súa derivada:

$$f'(z)=-senz cos(\omega-z)+cosz \cdot (-1) \cdot[-sen(\omega -z)]-cosz sen(\omega-z)-$$

$$senz \cdot (-1)cos(\omega -z)=-senz cos(\omega-z)+cosz sen(\omega -z)-cosz sen(\omega-z)+ $$

$$ senz  cos(\omega -z)=0$$

Polo que a función é constante, e como $f(0)=cos\omega$, temos que: $$cosz cos(\omega -z)-senz sen(\omega - z)=cos \omega, \forall z \in \mathcal{C}$$, que é un xeito alternativo de escribir a fórmula para o coseno da suma de ángulos.

Un aspecto que distingue as diferentes probas é se son demostracións de comprobación ou de descubrimento. A última que amosei, alén de usar unha idea potente, só comproba algo xa coñecido, i.e., non serve para atopar a expresión; mentres que nas outras podemos atopar a expresión sen coñecela previamente. 

Por outra banda, lembrades a demostración habitual da derivada do seno? Utiliza dúas cousas: o límite $\lim \limits_{x \to0}\frac{senx}{x}=1$ e, precisamente, o seno da suma na forma $sen(x+h)$. Sempre hai que ter coidado e traballar con xeito, non vaiamos demostrar o Teorema de Pitágoras vía o Teorema do Coseno. 

Uns problemas interesantes

 

Este comezo de curso vou a razón de 2 fichas novas por día de clase en 2º de ESO, co cal non tiven tempo para compartir as cousas interesantes que lin ultimamente. Aproveito esta véspera da ponte*, que pasarei cubrindo burocracia docente, para ordenar estas cuestións e problemas.

Comecemos por un problema que se presta a varios ataques, que vin nun libro de Alfred Posamentier. Sen dicir nada, xa o ides entender:

   

O segundo problema vén do American Mathematical Monthly de 1950(vol. 57), confeso que me colleu de improviso:

Amosar que calquera triángulo pode ser diseccionado mediante 4 cortes rectos en 4 pezas que poden ser recompostas para formar dous triángulos semellantes ao triángulo dado.

Recoñezo que lin unha solución antes de pensar moito na cuestión, polo que a miña opinión xa ten un nesgo claro, mais coido que é aconsellable dar unha pista: SPOILER

unha das pezas xa é un triángulo semellante ao dado. Con esta pista, só tedes que argallar como facer as outras tres. De nada.

Xa está ben de xeometría, veña un de sucesións, tirado da Olimpíada Austríaca de 2013:

Se a e b son números reais non negativos, chamamos A(a,b) e X(a,b) ás súas medias aritmética e xeométrica, respectivamente. É dicir, $A(a,b)= \frac{a+b}{2}$ e $X(a,b)=\sqrt{a b}$-

Consideramos a sucesión $a_n$ definida por $a_0=0, a_1=1$ e $a_{n+1}=A(A(a_{n-1},a_n), X(a_{n-1},a_n))$ .

a) Amosar que $\forall n, a_n=b_n^2$, sendo $b_n \in \mathbb{Q}$

b) Amosar que $\forall n >0, \left|b_n-\frac{2}{3}\right|< \frac{1}{2^n}$

Agora un da sección de resposta múltiple da Olimpíada Chinesa de 1990/91:

Sexa $\alpha \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$. Cal das seguintes afirmacións é certa?

a) $cos\alpha ^{cos \alpha} < sen\alpha ^{cos \alpha}<cos\alpha ^{sen \alpha}$

b) $cos\alpha ^{cos \alpha} < cos\alpha ^{sen \alpha}<sen\alpha ^{cos \alpha}$

c) $sen\alpha ^{cos \alpha} < cos\alpha ^{cos \alpha}<cos\alpha ^{sen \alpha}$

d) $cos\alpha ^{sen \alpha} < cos\alpha ^{cos \alpha}<sen\alpha ^{cos \alpha}$

Rematemos cun antigo da Olimpíada de Maio, de 2003:

Atopa todos os números naturais a e b que cumpren que $a$ é divisor de $8b+1$ e $b$ é divisor de $8a+1$ 

Xa tedes para pasar a ponte.

*Ao final levoume ata a mañá do festivo.

Triángulos en rectángulos

Hai máis dun ano e medio que escribín unha entrada cun problema xeométrico de áreas, no que inscribíamos un triángulo equilátero nun cadrado:

    

 ...e nun rectángulo:

   

E víamos que se cumpría que as áreas contiguas ao vértice común ao triángulo e o rectángulo(azuis ou violetas) coincidían coa área oposta a ese vértice (vermella ou )verde.

Unha xeralización inmediata consiste en inscribir triángulos non equiláteros e observar que sucede. Como a resposta inclúe un chisco de trigonometría, é difícil de adiviñar, polo que xa a anticipo eu:

   

Nas condicións da figura, cúmprese sempre que:

$$A cot \alpha+B cot \beta=C cot \gamma$$

Podedes argallar vós mesmos unha demostración, ou podedes ir ao artigo de Tom Apostol e Mamikon Mnatsakanian onde descubrín eu o resultado:

Triangles in Rectangles