29.12.15

O 2015 neste blogue


Uns días antes de que remate o ano é o momento de revisar as vicisitudes deste blogue.

En total escribín 67 entradas, 16 máis có ano previo. A explicación do aumento radica principalmente na crónica que fixen da Olimpíada Matemática Galega, que levou 10 posts, un por problema (fase local e final), e nunha mínima suba do ritmo de publicación.
Respecto ás etiquetas:

  • Problemas: houbo 37 entradas con problemas, dentro do rango habitual deste blogue(desde problemas de aula e olimpíadas da ESO ata problemas que requiran un chisco de técnica) 
  • Xeometría: 27 entradas tiveron este tema principal, obviamente moitas delas incluían problemas xeométricos, aínda que algunha houbo con teoremas ou vídeos.
  • Aula: A terceira categoría máis numerosa foi esta, na que cabe calquera cousa: desde problemas ou aproximacións que teña utilizado, comentarios a experiencias, ideas para aulas futuras... 18 entradas foron.
As entradas máis lidas este ano foron:

  1. Cousas que só atoparás nunha Avaliación Diagnóstico
  2. Un triángulo dobrado, que ademais foi a entrada máis comentada do ano.
  3. Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final
Como curiosidade, a entrada máis lida no 2014, Que avalía a Avaliación Diagnóstico?, tamén tivera o mesmo tema. Nótase que hai interese, quizais por obriga, nas avaliacións que nos impoñen desde as administracións e as empresas do ramo. Por outra banda, estas 3 entradas ocupan xa un posto no particular Top Ten de visitas nos case 7 anos do blogue.

Este ano trouxo unha novidade serodia: a creación dunha páxina específica de xogos para o obradoiro que dei na Xornada de Matemática Recreativa de finais de novembro. En menos dun mes xa levaba máis de 400 visitas, só por detrás da entrada máis visitada do blogue, Se algunha vez estás de mal humor. Estou certo de que son os meus alumnos os causantes desta explosión de visitas, despois de dárllela a coñecer nunha clase despois da avaliación. A páxina non aparece, como é habitual, nas lapelas superiores do blogue, pois modifiquei hai anos o html do deseño para anchear o corpo e isto provoca que certas características comúns de blogger non se vexan. Se teño tempo e ganas, un día hei fedellar no html para solucionalo.

 As entradas menos lidas foron, exceptuando as dúas últimas, que aínda non tiveron percorrido:
  1. Remate e ilusión
  2. Pensando un chisco e A complexa Xeometría do deseño islámico, co mesmo número de visitas
  3. Sumar, multiplicar, tanto ten

Se non fose eu o autor deste blogue coido que as entradas que me resultarían máis interesantes serían Un problema do TIMSS 1999 Study Video, onde tedes unha grande lección dun profesor xaponés, e Por pura lóxica-2, pois os fallos do razoamento dentro da Lóxica son unha teima que comparto con moitos colegas profesores.

Nada máis por este ano. Un saúdo aos amables lectores da NSA ;)

24.12.15

Un problema sen palabras


Por un rechío do sempre activo James Tanton cheguei a este fermoso problema. Botádelle unha ollada:





O vídeo foi publicado por The Global Math Project, nova iniciativa pola divulgación das Matemáticas á que eu veño de apuntarme.

Despois de ver o vídeo, varias xeralizacións abrollan:

  • Que sucede se o cadrado non ten as dimensións 5x5?
  • Que sucede se o taboleiro é un rectángulo non cadrado?
  • E outras formas?
  • ... 
Ben, creo que abonda con este problema e os seus derivados para esta noitiña. Permanecede expectantes á revisión deste ano no voso blogue preferido de Matemáticas de educación matemática dun profesor de Matemáticas.

21.12.15

Máis anamorfoses


Estes días de 2ª avaliación antes do Nadal fixeron que me decatara de que os vídeos e imaxes de ilusións deste blogue xa están moi vistos, pois non hai nada mellor que unha chea de adolescentes displicentes para facelo notar; simultaneamente atopei este novo vídeo, secuela dun abraiante de hai dous anos. A pantalla completa impresiona máis:


11.12.15

Triángulos en rectángulos

Hai máis dun ano e medio que escribín unha entrada cun problema xeométrico de áreas, no que inscribíamos un triángulo equilátero nun cadrado:
    
 ...e nun rectángulo:

   

E víamos que se cumpría que as áreas contiguas ao vértice común ao triángulo e o rectángulo(azuis ou violetas) coincidían coa área oposta a ese vértice (vermella ou )verde.

Unha xeralización inmediata consiste en inscribir triángulos non equiláteros e observar que sucede. Como a resposta inclúe un chisco de trigonometría, é difícil de adiviñar, polo que xa a anticipo eu:

   
Nas condicións da figura, cúmprese sempre que:
$$A cot \alpha+B cot \beta=C cot \gamma$$

Podedes argallar vós mesmos unha demostración, ou podedes ir ao artigo de Tom Apostol e Mamikon Mnatsakanian onde descubrín eu o resultado:

5.12.15

A indución


Se ledes o Decreto 86/2015, veredes que na materia Matemáticas I do bacharelato, dentro do "Bloque 1: Procesos, métodos e actitudes en Matemáticas" incluíron os seguintes contidos:

B1.4. Iniciación á demostración en matemáticas: métodos, razoamentos, linguaxes,etc.
B1.5. Métodos de demostración: redución ao absurdo, método de indución, contraexemplos, razoamentos encadeados, etc.
B1.6. Razoamento dedutivo e indutivo.
B1.7. Linguaxe gráfica e alxébrica, e outras formas de representación de argumentos.

Co criterio de avaliación:

B1.3.Realizar demostracións sinxelas de propiedades ou teoremas relativos a contidos alxébricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos.

E co estándar de aprendizaxe:

MA1B1.3.1 Utiliza diferentes métodos de demostración en función do contexto matemático e reflexiona sobre o proceso de demostración(estrutura, método, linguaxe e símbolos, pasos clave, etc.)


Pois ben, como este ano teño que dar esta materia/maratón, e como co cambio de curriculum eliminaron moitos procedementos da unidade de Sucesións, optei por introducir estes contidos sobre demostracións nesa unidade.

O exemplo obrigado de demostración por indución é a arquicoñecida suma dos primeiros n números naturais:

$$\sum_{k=1}^n{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$

 O proceso forma parte xa do folklore matemático:
  • Comprobamos que a propiedade é certa para n=1 (guindamos a primeira ficha do dominó)
O membro da esquerda vale 1, pois é a suma co único sumando 1. O membro da dereita tamén vale $\frac{1(1+1)}{2}=1$, polo que efectivamente se cumpre para n=1
  • Supoñemos que a propiedade é certa para n e demostrámola para n+1 (cada ficha do dominó guinda a seguinte)
$$\sum_{k=1}^{n+1}{k}=\sum_{k=1}^{n}{k}+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=(n+1) \cdot \Big(\frac{n}{2}+1 \Big)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
q.e.d. (mellor que c.q.d.)


Unha eiva que se adoita apuntar sobre o método de indución é que non explica a razón dos feitos matemáticos. Comparade a demostración anterior co razoamento do pequeno Gauss:
  • Se escribimos a suma desde 1 ata n en orde crecente, repetímola embaixo en orde decrecente e sumamos en vertical:
    
Velaí a explicación do feito. (Nota: sempre propoño a suma desde 1 ata 100 cun par de pistas en 3º de ESO. Coido que é o momento para ter esa epifanía matemática)

Aínda podemos comparar coa demostración sen palabras que aparece en Art of Problem Solving:

   
Creo que queda claro que a indución é o método dos tres que dá menos intuición sobre a idea que queremos probar.


Como os alumnos de 1º de bacharelato non están maduros matematicamente falando, e moito menos con respecto ao tema das demostracións, hai que ter moito coidado con mecanizar o método de indución. Non estou certo sobre o traballo que fixen este trimestre, pois os teoremas accesibles a este nivel están relacionados case sempre con sumas de sucesións sinxelas ou propiedades elementais de sucesións como a de Fibonacci. Non ousei coller exemplos de desigualdades nin de propiedades aritméticas como a divisibilidade. O que si fixen foi propoñer unha demostración falsa que coñecín nos tempos da carreira no libro Basic Mathematics do prolífico Serge Lang. Lede con atención e pescudade o erro:


Todas as bólas de billar teñen a mesma cor

Indución no número de bólas:

  • A propiedade é obviamente certa cando n=1, é dicir, cando só temos unha bóla.
  • Supoñamos que a propiedade é certa para n bólas e demostrémola para n+1.
Se temos n+1 bólas, fixémonos nas primeiras n bólas. Pola hipótese de indución, as n bólas teñen a mesma cor. Agora fixémonos nas últimas n bólas(i.e., todas agás a primeira). Pola hipótese de indución, todas teñen a mesma cor. Polo tanto, como as primeiras n comparten cor, e as últimas n tamén, deducimos que as n+1 bólas teñen a mesma cor. Q.e.d.

Atopar erros matemáticos interesantes debería ser unha actividade común nas aulas. Xa está ben de que todo estea perfecto sempre.