27.1.16

A Lei Forte dos Pequenos Números-3


Lembremos que A Lei Forte dos Pequnos Números é unha expresión que inventou o teórico de números e grande divulgador Richard K. Guy que se resume en:

"Non hai números pequenos abondo para cumprir todas as expectativas que temos postas neles"

Esta frase é un xeito humorístico de apuntar ao verdadeiro significado da "lei": que un patrón sexa certo nos primeiros casos non dá ningunha seguridade sobre a súa validez xeral. Xa van dúas entradas comentando algúns dos casos máis coñecidos(1, 2), polo que hoxe imos ver un caso ben curioso e menos coñecido, que eu veño de descubrir lendo o artigo Deceptive Patterns in Mathematics de V.G.Tikekar. Antes temos que lembrar os vellos amigos dos estudantes da EXB, os diagramas de Venn:

Xente á que lle importan os diagramas de Venn e xente á que non?

O diagrama de Venn é probablemente unha das representacións máis coñecidas dentro das Matemáticas: mediante unha circunferencia(ou unha figura topoloxicamente equivalente) dividimos o conxunto universal en dous anacos, o interior e o exterior, que representan loxicamente conxuntos disxuntos. É tradicional representar o complementario do conxunto $A$ como $\overline{A}$, como aparece na figura anterior, na que contamos 2 rexións nas que queda dividido o conxunto universal.

Pois ben, vexamos en cantas rexións dividiremos o conxunto universal se utilizamos diagramas circulares unicamente para representar os conxuntos:
  • Con 2 conxuntos
4 rexións
  • Con 3 conxuntos

8 rexións

O patrón queda ben claro: cando collemos $n$ conxuntos, obtemos $2^n$ rexións, polo que o seguinte paso vai ser determinar mediante circunferencias as 16 rexións nas que vai quedar dividido o conxunto universal. Non sei que sucede, que por moito que o intento, non dou pasado de 14 rexións. Xa conto eu por vós para que non vos perdades:

   
Que pensades, será que son pouco hábil ou será que é imposible mellorar esa marca de 14? Que sucederá con 5 conxuntos? E con n?


20.1.16

Un problema de Álxebra da Olimpíada Española


Coido que foi grazas a Daniel Ruiz Aguilera, presidente da Societat Balear de Matemàtiques, que cheguei aos problemas da Fase Local a les Illes Balears da Olimpíada Matemática Española, dirixida a estudantes de bacharelato. Xa coñecía os do zonal galego, polo que tiven que comparar as temáticas dos problemas.
  • Na galega, por orde, os temas foron: 1)Progresións/divisibilidade,2)Reloxos, 3)Triángulos rectángulos, cadrados e construcións con regra e compás,4)Raíces de polinomios que son as lonxitudes dos lados dun triángulo rectángulo,5) Triángulos e concorrencias de cevianas, 6) Combinatoria xeométrica.
  • Na balear:1)O problema clásico das amigas que bailan nunha festa, cada unha cun mozo máis,2) Raíces de polinomios, 3) Un triángulo cun punto interior do que sabemos certos ángulos formados cos vértices,4) Aritgrama cunha división da que só sabemos unha cifra,5) Desigualdade xeométrica no contexto dun rectángulo, 6)Números primos.
Obsérvase certa sobrerrepresentación dos triángulos, mais isto é habitual neste tipo de olimpíadas, sendo como é un tema clásico das matemáticas elementares. Por outra banda, en moitos centros educativos adoitan preparar especificamente aos alumnos que amosan talento, e a preparación céntrase en aspectos certamente básicos mais que non entran no ámbito curricular. Este ano podemos ver exemplos extracurriculares no 2º problema galego cando piden que se constrúa o cadrado con regra e compás, no 6º galego(a Combinatoria está algo illada no curriculum) ou no 5º balear, que é case un alieníxena comparado co traballado nas aulas.

Hoxe vou compartir (e resolver, para variar) un dos problemas máis relacionados co traballo na ESO e no Bacharelato, o segundo problema das Illes Baleares:

Sabem que els polinomis $x^2+ax+b$ i $x^2+mx+n$ tenen una arrel comuna. Escriviu l'equació de segon grau les solucions de la qual siguin les respectives altes arrels d'aquests polinomis.

Nunca vira nin pensara nesta situación, polo que a curiosidade provocou que tivese que resolvelo. Collamos un exemplo de dous polinomios cuadráticos que compartan unha raíz, a ver se vemos pistas:

$x^2-5x+6$ e $ x^2-7x+10$  comparten a raíz $x=2$, as outras raíces son, respectivamente, $x=3$ e $x=5$, polo que o polinomio cuadrático buscado é $x^2-8x+15$. Hai que ter moita vista matemática aínda para albiscar a relación entre os coeficientes -5, 6, -7, 10 e -8 e 15(si, vense cousas, pero teñen que ser casuais, pois son pouco "naturais")

Como agora vai a miña supertécnica solución, recoméndovos deixar de ler e coller lapis e papel se queredes fedellar vós tamén coa Álxebra:

Vou utilizar a eito o Teorema de Cardano-Viète para o caso de polinomios cuadráticos mónicos, que afirma que se as raíces dun polinomio $x^2+px+q$ son $\alpha$ e $\beta$, entón $\alpha+\beta=-p$ e $\alpha \cdot \beta=q$.
Con isto, se chamamos ás raíces dos dous polinomios $x_0, x_1$ e $x_0, x_2$ temos que
$$\begin{cases}x_0+x_1=-a \\ x_0\cdot x_1=b \\ x_0+x_2=-m \\ x_0\cdot x_2=n \end{cases}$$
O noso obxectivo vai ser atopar a suma e o produto das outras dúas raíces dos dous polinomios, $x_1$ e $x_2$, en función dos coeficientes a, b, m e n. Vexamos:
  • Comezamos por restar as dúas igualdades coas sumas das raíces, obtemos:
$$x_2-x_1=a-m$$ (1)
  • Dividimos as dúas igualdades cos produtos das raíces:
$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{n}{b}\rightarrow bx_2=nx_1$$ (2)

  • Despexamos unha das raíces en (1)
$$x_2=x_1+a-m$$
  • Multiplicando os dous membros por b e utilizando (2):
$$bx_2=bx_1+ba-bm$$
$$nx_1=bx_1+ba-bm$$
$$(n-b)x_1=b(a-m)\rightarrow x_1=\frac{b(a-m)}{n-b}$$
  • Utilizando (2) outra vez obtemos a igualdade equivalente para $x_2$:
 $$x_2=\frac{n(a-m)}{n-b}$$

  • Tendo expresións para cada unha das raíces $x_1$ e $x_2$ en función dos coeficientes deixa pouco choio por facer:
$$\begin{cases} x_1+x_2=\frac{(b+n)(a-m)}{n-b} \\ x_1 \cdot x_2= bn \cdot (\frac{a-m}{n-b})^2\end{cases}$$
Só hai que cambiarlle o signo á primeira expresión e xa temos o coeficiente linear do polinomio.
Para que a solución sexa rigorosa tería que considerar uns casos illados nos que incurrín na "división por cero". Como os detalles son sinxelos mais aburridos, déixollos ao lector.

No exemplo de máis arriba, onde a=-5, b=6, m=-7, n=10, comprobemos o resultado:
$$-\frac{(b+n)(a-m)}{n-b}=-\frac{16 \cdot 2 }{4}=-8$$
e
$$bn \cdot (\frac{a-m}{n-b})^2=6 \cdot 10\cdot (\frac{2}{4})^2 =\frac{60}{4}=15$$
como xa sabíamos.

16.1.16

Cadrado sen esquina


Había tempo que non propoñía un problema de disección, tema recorrente e tradicional nas Matemáticas recreativas. Se non me trabuco, o último que trouxen é este, de novembro de 2014. Cando teña un anaco, hei incorporalos todos á nova etiqueta Disección.

Pois ben, hoxe tedes que tentar dividir a figura seguinte en 4 anacos de tal xeito que despois os poidades xuntar para formar un cadrado:




Se queredes compartir unha solución nos comentarios, imgur é unha solución rápida que non require rexistro.

6.1.16

E van sete anos


Sete anos xa desde que abrín este Matemáticas na Rúa, coa intención manifesta de propor problemas non curriculares aos meus alumnos e facer menos fotocopias no proceso. A Rúa de Valdeorras, onde quedou...Dous anos estiven por alá, os dous anos máis prolíficos do blogue, como é obvio ao ver o arquivo da dereita ou a gráfica ad hoc de embaixo. Como o cambio de finalidade do blogue xa foi explicitado noutros aniversarios(3 anos, p.ex.), ademais de que é obvio se o seguides, hoxe vou repasar con brevidade onde estou agora desde o punto de vista da docencia.

  













Desde que son profesor, que xa van 12 anos diante, sempre tiven un par de ideas claras: a liña principal que tería que dirixir a educación matemática é a resolución de problemas, mais algunha destreza coas operacións aritmético-alxébricas é necesaria para centrarse naquela. Isto ás veces implica a utilización mecánica de algoritmos, pois o proceso de resolver un problema non pode embarrancar porque sexa necesario reconstruír o concepto de multiplicación polo medio. Isto, que apareceu espontaneamente na miña vida docente, semella ser corroborado polos estudos sobre a carga cognitiva. Por outra banda, mentres que é interesante que se dea o descubrimento dos conceptos/procedementos matemáticos por parte dos alumnos, isto non sempre é posible, e non só polo tempo limitado e a hipertrofia do curriculum: hai desenvolvementos matemáticos que levaron séculos, sería un tanto arrogante pensar que a mediación dun simple profesor coma min puidese artellar un verdadeiro descubrimento na súa aula(haberá quen prefira dar Clever Hans por lebre)

Xunto ás ideas anteriores, sempre tiven certas tendencias, máis ou menos explícitas e máis ou menos contraditorias(chamádelle prexuízo se preferides):
  • En primeiro lugar, non sendo un tecnófilo, manteño certo grao de familiaridade co mundo da Informática. Aínda así, desconfío dos que cren que calquera ferramenta informática é automaticamente unha ferramenta docente.
  • En segundo lugar, sendo xogador de videoxogos de moitos anos, sempre quixen que os xogos tivesen un papel nas miñas aulas. A lectura de investigacións sobre o uso de xogos refreou as miñas arelas.
  • Por último, desconfío cando leo ou vexo calquera poñente que afirma que a aprendizaxe das Matemáticas pode ser sinxela; sóanme a vendedores de elixires en carromatos nos westerns; porén, tamén desconfío dos que afirman que é tan difícil que é case imposible, pois a experiencia dita o contrario(algo semellante á frecha de Zenón: se a realidade nega o teu razoamento, revisa o razoamento, non colapses coa frecha chegando ao destino). 

Con respecto ao que vou atopando na pescuda pola rede de xustificacións e negacións das miñas ideas e prexuízos, déixovos unha escolma:


Abonda por este ano. Espero vervos por acó.

Editado ás 15:22: E este é o post número 600!

3.1.16

Que ten de raro este exercicio?


Volvemos co novo ano para propor un interesante e estraño exercicio, tirado do Problems for children from 5 to 15 do polémico matemático Vladimir I. Arnold:


Nun triángulo rectángulo a hipotenusa mide 10 centímetros e a altura correspondente á hipotenusa mide 6 centímetros. Calcula a súa área.

O autor remata cunha brincadeira: comenta que os alumnos americanos o levaban afrontando dez anos sen complicacións, mentres que alumnos rusos chegados de Moscú non deron feito como os seus compañeiros americanos.


Despois de pensar un anaco neste problema, e deixando a un lado as enormes expectativas de V.I. Arnold, cal credes que sería a idade axeitada para propoñelo? Utilizaríadelo nunha aula con todos os alumnos? En caso afirmativo, como avaliaríades as respostas?


Por outra banda, se queredes saber por que cualifiquei de polémico a Arnold, lede as súas opinións:

E veredes cousas como:

"Que son as Matemáticas? As Matemáticas forman parte da Física. A Física é unha ciencia experimental, dentro da ciencia natural. As Matemáticas son a parte da Física na que os experimentos son baratos."