Un problema inclasificable

 Quen tiña unha hora libre e pensou "veña, vou mirar algún problema do Torneo das Cidades"?

Efectivamente, o voso amigo, que parece novato. Catorce anos pasaron desde a entrada Primeiro Problema dun Libro, dous desde Un Problema do Tournament of the Towns, un feixe desde que sei dos problemas para nenos de Vladimir I. Arnold, e nada, aínda non aprendín que achegarse de xeito inocente a problemas de competicións ou libros rusos nunca sae como un espera inicialmente.

En troques de compartir o problema co seu enunciado orixinal, fagamos unhas cantas liñas.

Partimos dunha circunferencia, que dividimos en oitavos do xeito habitual:

   

Deses 8 sectores, pintemos 4 de azul e 4 de vermello do xeito que nos pete

   

E agora aparecen os números: comezando cun sector azul calquera, numeremos de 1 a 4 os sectores azuis no sentido das agullas do reloxo, e despois, comezando cun sector vermello calquera, numeremos tamén os sectores vermellos, mais neste caso, no sentido contrario ás agullas do reloxo. Un exemplo sería este:

   

E agora, a punchline: dá igual como fagamos o proceso anterior, SEMPRE vai haber un semicírculo(e por tanto, dous) no que atopemos os números do 1 ao 4. No caso anterior, marquemos o diámetro que delimita as semicircunferencias cos 4 números:

Prometo que foi ao chou que saíse o diámetro vertical
(total, só había 4 opcións)

Probemos con outra numeración dos mesmos sectores:

  

Podedes probar vós con calquera outra coloración e calquera outro xeito de numerar os sectores seguindo esas regras. Sempre ides obter dous semicírculos cos números do 1 ao 4.

Pero xa imaxinaredes que esta non é unha propiedade peculiar do 4. Podemos dividir o círculo en 16 sectores, e veremos que sucede o mesmo co número 8. Poñamos novamente un exemplo:

   

Por se queredes probar vós, déixovos o modelo para 16 sectores, para que quede bonito e teñades unha iluminación máis rapidamente.

   

Aínda que o conto é entretido, sospeito que non ten moito interese didáctico. Porque pintar de cores os sectores e logo escoller os xeitos de numeralos, como actividade, non ten nada de matemático. Mais pensar por que sucede sempre o que sucede, si. 

Uns problemas interesantes

 

Este comezo de curso vou a razón de 2 fichas novas por día de clase en 2º de ESO, co cal non tiven tempo para compartir as cousas interesantes que lin ultimamente. Aproveito esta véspera da ponte*, que pasarei cubrindo burocracia docente, para ordenar estas cuestións e problemas.

Comecemos por un problema que se presta a varios ataques, que vin nun libro de Alfred Posamentier. Sen dicir nada, xa o ides entender:

   

O segundo problema vén do American Mathematical Monthly de 1950(vol. 57), confeso que me colleu de improviso:

Amosar que calquera triángulo pode ser diseccionado mediante 4 cortes rectos en 4 pezas que poden ser recompostas para formar dous triángulos semellantes ao triángulo dado.

Recoñezo que lin unha solución antes de pensar moito na cuestión, polo que a miña opinión xa ten un nesgo claro, mais coido que é aconsellable dar unha pista: SPOILER

unha das pezas xa é un triángulo semellante ao dado. Con esta pista, só tedes que argallar como facer as outras tres. De nada.

Xa está ben de xeometría, veña un de sucesións, tirado da Olimpíada Austríaca de 2013:

Se a e b son números reais non negativos, chamamos A(a,b) e X(a,b) ás súas medias aritmética e xeométrica, respectivamente. É dicir, $A(a,b)= \frac{a+b}{2}$ e $X(a,b)=\sqrt{a b}$-

Consideramos a sucesión $a_n$ definida por $a_0=0, a_1=1$ e $a_{n+1}=A(A(a_{n-1},a_n), X(a_{n-1},a_n))$ .

a) Amosar que $\forall n, a_n=b_n^2$, sendo $b_n \in \mathbb{Q}$

b) Amosar que $\forall n >0, \left|b_n-\frac{2}{3}\right|< \frac{1}{2^n}$

Agora un da sección de resposta múltiple da Olimpíada Chinesa de 1990/91:

Sexa $\alpha \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$. Cal das seguintes afirmacións é certa?

a) $cos\alpha ^{cos \alpha} < sen\alpha ^{cos \alpha}<cos\alpha ^{sen \alpha}$

b) $cos\alpha ^{cos \alpha} < cos\alpha ^{sen \alpha}<sen\alpha ^{cos \alpha}$

c) $sen\alpha ^{cos \alpha} < cos\alpha ^{cos \alpha}<cos\alpha ^{sen \alpha}$

d) $cos\alpha ^{sen \alpha} < cos\alpha ^{cos \alpha}<sen\alpha ^{cos \alpha}$

Rematemos cun antigo da Olimpíada de Maio, de 2003:

Atopa todos os números naturais a e b que cumpren que $a$ é divisor de $8b+1$ e $b$ é divisor de $8a+1$ 

Xa tedes para pasar a ponte.

*Ao final levoume ata a mañá do festivo.