27.3.15

Recursos para preparar unha olimpíada de 2º de ESO


Noli turbare circulos meos!

Este ano, por primeira vez, alumnos meus van participar nunha olimpíada matemática. O certo é que non os adestrei alén do traballo académico da aula, que todos sabemos que difire moito do que aparece nas olimpíadas. Por isto vou xuntar unhas cantas ligazóns nas que poderán atopar problemas propostos en concursos dos últimos anos. O usual nos últimos anos é colgar os problemas en formato pdf, mais os problemas máis antigos é posible que estean en formato doc.


  • A primeira ligazón é obrigada: a propia web de AGAPEMA, Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática, na que veñen recollidos os problemas (con solución) das olimpíadas desde o 2002 ata o 2013:

Hai que facer scroll na páxina ata atopar a táboa cos problemas e as solucións.

  • A páxina do Canguro Matemático presenta problemas para todos os niveis, desde 1º de ESO ata o 2º de Bacharelato. Escolle o ano no menú da esquerda e despois o nivel.
  • Do Brasil hai que salientar tanto a Olimpíada Brasileira de Matemática, OBM , como a Olimpíada Brasileira de Matemática do Ensino Público, OBMEP.



Os problemas do nivel 1 e algúns problemas do nivel 2 son semellantes á olimpíada galega. Noutros problemas do nivel 2 é necesario saber máis álxebra ou xeometría, pois tamén participan alumnos de 9º grao(~3º ESO).

  • Tamén en Portugal teñen unha web interesante con problemas. A categoría junior vén sendo para alumnos de 6º ou 7º grao e a categoría A para 8º ou 9º.

  • En Andalucía xa é veterana a Olimpíada Matemática Thales. No menú da dereita tedes todas as edicións anteriores, desde 1985. Ademais dos formatos comentados, tamén ás veces hai presentacións cos problemas (en formato pps ou on line)


Xa son problemas abondo para tolear.

22.3.15

Máis problemas de Álxebra sen ecuacións


Hai dúas semanas o fabuloso blogue Futility Closet compartiu un fermoso problema:


John e Mary viaxan de Westville a Eastville. John conduce as primeiras 40 millas, e Mary conduce o resto do camiño. Pola tarde volven pola mesma ruta, John conduce o primeiro tramo e Mary conduce as últimas 50 millas. Quen conduciu máis distancia, e por canto?


Automaticamente o lector identifica os elementos comúns a este tipo de problemas de traxectos de ida e volta. Mais a pouco que un cavile, achará algo en falta: non hai mención a velocidades nin tempos... quizais falte algo?

Déixovos esta envolvente para que pensedes...




En realidade non falta nada no problema, o que sucede é que a distancia total entre Westville e Eastville é irrelevante. A solución que achega Futility Closet fai uso deste feito, mais o meu obxectivo na aula era ben outro: propuxen este problema como starter da unidade de Álxebra en 2º de ESO para que fose patente que, ás veces, hai problemas que teñen unha solución difícil de atopar de xeito non alxébrico. E que a solución alxébrica resulta máis "natural".
Observade a solución xeométrica vs. a solución alxébrica:
Simple transcripción dos datos



Para axudar á visualización, é útil debuxar un par de segmentos:

Por se alguén non o vía xa

Cal é o problema desta solución?

...Que non queda claro que se facemos o debuxo distinto (por exemplo con máis distancia entre as dúas cidades) sirva o razoamento. Por isto é interesante debuxalo polo menos outra vez, para convencer aos escépticos. Na miña aula, na que algún alumno atopou solucións puramente aritméticas(onde se vía con palabras este razoamento xeométrico), houbo quen preguntou que pasaría se a distancia entre as cidades, Lugo e Ourense alí, fose xusto de 50 millas, curiosamente a base da solución de Futility Closet.


A solución alxébrica, como é habitual, dá máis do que agardamos:

Se a distancia entre as cidades é L, á ida John fai 40 millas e Mary L-40; á volta Mary fai 50 e John L-50. En total John fai:
$40+L-50=L-10$
e Mary
$L-40+50=L+10$

E a diferenza entre os dous condutores é

$L+10-(L-10)=20$

Que nos di a Álxebra? Que L é unha variable totalmente "xorda": non inflúe o seu valor na diferenza entre as distancias que conduciron Mary e John. En consecuencia tampouco se pode calcular.

Unha pregunta interesante que xurdiu ao ver isto foi: Profe, hai algún método que non saibamos nós que nos diga canto vale L? Como analoxía o primeiro que se me ocorreu (pensade que tiña dentro da aula a un técnico fedellando nos enchufes do armario Abalar) foi pedirlles a todos que collesen un número x calquera (pero manexable, p.ex. 7) e efectuasen os seguintes pasos:
  • Eleva ao cadrado o teu número: x² -  49
  • Colle os dous números contiguos a x, x+1 e x-1: Multiplícaos: (x+1)·(x-1) - 6·8 = 48
  • Resta os dous resultados anteriores: x²-(x+1)·(x-1) - 49-48 = 1
Non fixen os cálculos alxébricos no encerado, só co 7, e cada alumno fixo as súas contas, e todos viron que chegaban a 1. A pregunta conseguinte ao alumno que preguntou estaba cantada: "Se me dis que che deu 1, podo adiviñar dalgún xeito que número escolliches ao comezo?"

A eventual vindeira entrada sobre starters de Álxebra vai alén desta: haberá un problema que non se dea resolto sen Álxebra?




16.3.15

Dúas ferramentas

Non adoito comentar aplicacións para o ensino das Matemáticas, alén do imprescindible e ubicuo Geogebra, mais desta atopei dúas ferramentas tan curiosas que ben merecen unha entrada.

A primeira, Isometric Drawing Tool, da web Illuminations do National Council of Teachers of Mathematics, é idónea para crear patróns sinxelos con cubos, e por tanto para actividades tanto de xeometría elemental como de sucesións/termo xeral ou aínda de álxebra, ou de combinatoria, ou de...

Q*Bert?
E para os profesores de Debuxo e Tecnoloxía: na lapela Inspect podemos atopar as vistas 2D da figura 3D que creemos, ademais de poder rotar en cada eixe de xeito libre ou un número exacto de graos manipulando os esvaradores á esquerda.

Eu mesmo utilicei hai unha semana esta aplicación para crear un sinxelo patrón para 2º de ESO no que investigar sobre o incremento porcentual de superficie das figuras e tamén sobre o número de arestas en figuras posteriores:
Desmarcando "Solid" na lapela Inspect

A segunda ferramenta, GIFsmos, baseada en Desmos, está dirixida á creación rápida de gifs animados. Permite configurar a velocidade en fotogramas do gif ademais do tamaño da imaxe resultante. Exemplos inmediatos que veñen á cabeza son as sinusoidais en movemento, a cicloide, cardioide e toda a familia das curvas xeradas facilmente como lugares xeométricos.

   


O primeiro gif no que pensei eu utiliza un esvarador para mover unha gráfica, o que provoca que teñamos que estar áxiles ao darlle ao botón de gravar (lembranzas da época das cassettes de dobre pletina); tamén podemos crear os gifs fotograma a fotograma.

Elaborado, elaborado non é, mais tiven que eliminar
un fotograma que rompía a continuidade usando imgflip


En seis anos de blogue unha entrada para comentar dúas ferramentas on line non creo que cualifique como blogue de profesor...

11.3.15

O elemental non é nada elemental


O artigo de Hung-Hsi Wu What's sophisticated about Elementary Mathematics apunta a unha das verdades moitas veces obviadas do ensino das Matemáticas: aínda o elemental require dunha comprensión profunda. Un dos exemplos que utiliza Wu é o da división de fraccións (tratado noutros artigos/libros do mesmo autor). Nel comenta que as dificultades coas fraccións no ensino medio proveñen parcialmente de que o modelo estándar para o concepto de fracción, a tarta dividida en anacos iguais, resulta forzado para utilizar en fraccións maiores ca 1 e aínda peor para atacar problemas de velocidades ou razóns.
E todo isto a conto das fraccións, tema que calquera persoa educada na época da EXB/BUP (que non saiba abondo de Matemáticas) pensará que é elemental.

Pois non é complicado atopar outros exemplos de cuestións aparentemente inocentes ou obvias que poden levarnos a preguntas nada sinxelas de contestar.

O primeiro exemplo tomareino da historia da Xeometría, e aínda que procede dos Elementos de Euclides, non é o arquicoñecido postulado das paralelas. Veume á memoria revisando os Fundamentos da Xeometría de David Hilbert, ao ver os axiomas de ordenación, mais a primeira vez que dei con el foi no fabuloso The Mathematical Experience de Davis e Hersh:

Imaxinemos que A, B, C e D son catro puntos dunha liña recta. Supoñamos que B está entre A e C, e que C está entre B e D. Que podemos deducir sobre A, B e D?

Obvio, non? Forzosamente B ten que estar entre A e D. O que resulta interesante é que esta obviedade non pode ser demostrada cos 5 postulados de Euclides. E non é unha mera curiosidade, isto deu lugar a que Hilbert, apoiándose no traballo de Moritz Pasch, incorporase novos axiomas para apuntalar a Xeometría Euclidiana.

Mais non é necesario remexer na historia para atopar exemplos de cuestións elementais que pasamos por alto e merecen certa reflexión pois non son obvios, polo menos para os alumnos. Vexamos dous, un aritmético e outro xeométrico:

Por que é certa a seguinte igualdade e a súa evidente xeneralización?

$$5+5+5=3+3+3+3+3$$

Realmente creo que esta pregunta é susceptible de ser lanzada na ESO sen preámbulos para crear discusión. Vaiamos ao outro exemplo.


Todos os alumnos aprenden en Primaria que a área dun triángulo é a metade do produto da lonxitude da base pola altura correspondente. Tamén é probable que lles expliquen a fórmula a partir da área do paralelogramo. A cuestión obvia é:

Por que o valor da fórmula non varía se collemos outro dos lados como base, e por tanto cambiamos tamén a altura?

     


Só hai que dubidar das afirmacións que aparecen sen explicación/demostración e atoparemos feixes de cuestións por aclarar.

3.3.15

Dous hexágonos regulares

Dous hexágonos regulares
   


Velaquí dous hexágonos regulares. Hoxe propóñovos que fagades un hexágono regular con estes dous. Como a tarefa enunciada deste xeito é demasiado xeral, douvos unha pista: só hai que cortar o hexágono vermello en catro pezas e deixar o verde como está.

Aínda coa pista a tarefa segue a ser complicada. Polo que vou deixar ademais a  ratio entre os lados, que é boa pista tamén. Premede se queredes vela:



SPOILER
Se chamamos y ao lado do hexágono verde e x ao lado do vermello, entón $y=\frac{4x}{3}$


De vez en cando un problema difícil non está mal...