29.12.11

Triangulation

A través do comentario dunha ex-alumna no tuenti (graciñas Sandra!) chego ás figuras xeométricas de Interactive Triangulation. Este proxecto forma parte da web Triangulation, posta en marcha por Emilio Gomariz, deseñador español que traballa no marco da arte dixital.

Por se fora pouco que compartise as súas ideas e traballo no seu blog, podemos ademais embeber estas nos nosos espazos. Como mostra, un botón:





Ide á web, e pasade un anaco enleando coas figuras. Ou remexendo entre as ligazóns, que as hai ben interesantes.

22.12.11

Esa canle que bota os Simpson...

Dentro dos malos usos que se adoitan facer da estatística podemos distinguir dous casos: a pura ignorancia e a intención de manipular (en ocasións vemos os dous tipos converxendo).

Pois ben, lendo Flowing Data atopei esta gráfica sobre a taxa de desemprego no 2011, exemplo perfecto de mal uso da estatística:


Collido deste post


Case parece un pasatempo dos de "Atopa os x erros". Por buscarmos algo bo, poderiamos usar esta gráfica como exercicio para adestrar aos nosos alumnos na lectura de gráficas e na busca de erros e manipulacións.

Vexamos como quedaría unha gráfica ben feita con eses datos, aínda que con menos cores:



O problema reside en que nesta gráfica ben axeitada aos datos podemos observar a caída do desemprego no último mes. E supoño que os que crearon a gráfica de máis arriba non quererían que se amosase ese feito.

No blog que mencionei antes tamén lembran outra gráfica arrepiante, neste caso un diagrama de sectores cun uso creativo das porcentaxes:


Incompetencia matemática...

19.12.11

Estatísticas e cubos

Aínda que non teñas un interese especial na Xeometría, este vídeo en stop motion, Proteigon, onde podes ver transformacións non-demasiado-ríxidas, vaiche gustar, xa verás:



E neste vas ver unha perspectiva curiosa das estatísticas, en concreto das típicas gráficas estatísticas (diagramas de barras, diagramas de sectores...):


14.12.11

Proba de formulario en Google Docs

Nestes días finais aproveitaremos para coller algo de cultura na historia das Matemáticas. E quen mellor para tal obxectivo que un dos casos máis pintorescos deste mundo:




12.12.11

Un problema de bólas

Para hoxe luns, tempada de avaliacións, outro problema inofensivo, dos chamados "de lóxica". A ver que vos parece:

Nunha caixa temos 13 bólas brancas e 15 bólas negras. Ademais, fóra da caixa temos 28 bólas negras máis. Eliminamos dúas bólas ao chou da caixa. Se as bólas son de diferente cor, devolvemos a branca á caixa. Se as dúas bólas son da mesma cor, eliminamos ámbalas dúas e substituímolas por unha soa bóa negra de fóra. Continuamos este proceso ata que só quede unha bóla na caixa. De que cor será?

É certamente sorprendente, a priori, que podamos saber a cor. Ata que entendemos o problema.

Editado o 14-XII: Pensaba que xa o indicara, pero non foi así. O problema non é de lóxica. É un problema puramente matemático, e hai que facer un razoamento matemático para resolvelo. Aínda que o feito de que a maquinaria matemática sexa pouco sofisticada leva a algúns a pensar na lóxica.

9.12.11

Just for Fun-7

O último post Just for fun deste blog data de setembro, así que vai sendo hora de colgar un par de vídeos máis.

No primeiro vídeo ides que deixar de respirar mentres o skater fai o trick desde 0:38:




E en segundo lugar, outro vídeo de Richard Wiseman pensado para sermos os reis das festas nas (xa próximas) vacacións. Como avisa o propio Wiseman, algúns dos trucos poden ter certo perigo:


4.12.11

Un problema difícil de resolver (de verdade)

Levaba varios días pensando en colgar outro problema como o último que comentei.
Problemas que propoño nas clases, pero que non pertencen exactamente a ningunha unidade didáctica (algo así como un off-topic no blog) e por esa mesma razón normalmente son problemas que escapan da sofisticación e da maquinaria técnica para resolvelos.
Pero finalmente lembrei un problema aparentemente inofensivo que, a primeira vez que un o enfronta, leva de seguro unha boa sorpresa. Velaquí o problema:

Temos dúas escadas, unha de 10 metros e a outra de 8 metros de lonxitude. Están apoiadas nas paredes opostas dunha corredoira, de tal xeito que se cruzan nun punto que está a unha altura de 2,4 metros. A figura aproximada que forman é a seguinte:



Canto mide a separación entre as paredes da corredoira?


Un bo problema, ademais dun bo adestramento nas nosas habilidades euclidianas (para quen as teña).

24.11.11

Problema aritmético

O outro día puxen o seguinte problema nunha clase:

Cos cartos que tiña Carliños podería mercar 600 gramos de queixo ou 400 gramos de xamón. Pero decidiu usar os cartos para mercar exactamente a mesma cantidade de xamón e queixo. Cantos gramos mercou de cada cousa?

Por se alguén ten curiosidade, este problema está tirado literalmente da Olimpíada Brasileira de Matemáticas de 2008.
O problema pode (e pide claramente) ser resolto con álxebra. Pero no momento do curso no que estamos recorrer á álxebra non resulta inmediato.

Pero máis que o problema en si mesmo, o que quero salientar hoxe ten que ver co que tento transmitir nas clases. E que nas clases particulares non se pode facer por motivos de eficacia (non por outras moitas circunstancias das clases particulares).

Ás veces atopamos problemas que non podemos resolver.

En realidade, un comentario que fago nalgún momento ao longo do curso é que non dou resolto a maioría dos problemas que tento (isto, por certo, adoita ser realmente sorprendente para os meus alumnos).
E o problema de máis enriba é case imposible de resolver sen álxebra. Aos que o vexan inofensivo, recoméndolles botarlle unha ollada polo miúdo e tentar atopar a solución dun xeito sistemático, sen andar probando ao chou.

Na aula tentamos durante vinte minutos tirar conclusións sobre os datos do problema. Ao final os alumnos "botaron papas" co enfoque aritmético e tiven que levalos cara á álxebra. Polo menos, cando vexamos álxebra, verán que, ás veces, non queda outra que recorrer a ela.

18.11.11

Matthew Weathers, outra vez

Levaba varios días atento ao profesor de Matemáticas máis mencionado neste blog (agás eu mesmo, claro está). Pois arredor de Halloween Matthew Weathers sempre fai algunha broma nas súas clases na Universidade de Biola, en California. Se non chegastes a ver as dos anos anteriores, aquí están:


Este ano, en troques dun vídeo subiu dous, pero ningún coa temática do Halloween.


  • No primeiro tenta explicar a idea da "inattentional blindness" (cegueira por inatención)



  • E no segundo, fala dos símbolos do Thanksgiving:

15.11.11

Time lapse da NASA

Súmome (cun certo retraso) á blogosfera engadindo este alucinante vídeo montado con imaxes tomadas desde a Estación Espacial Internacional desde agosto ata outubro de 2011. Na páxina de vimeo aparece unha pequena explicación sobre a montaxe, entre outras cousas comentan que a altura aproximada desde a que están tomadas as fotografías é de 350 quilómetros (o que pode servir como base para o típico problema de xeometría-trigonometría sobre a distancia que se pode ver no globo terráqueo desde esa altitude).
Sen máis dilación, o vídeo:


10.11.11

Chiste matemático (nivel 2)

Hai case un mes que lin un post nun blog español chamado Zurditorium unha colección de chistes matemáticos, algúns ben coñecidos e outros que aínda nunca lera nin escoitara. Un dos novos (para min) foi este que a continuación reproduzo modificado para vacilar aos meus alumnos:

"Cada vez que un usuario de tuenti decide abandonar esa rede social e crea unha conta en facebook, a media do cociente intelectual de ámbalas dúas redes baixa"


Que vos parece? Ten bastante mala idea, na miña opinión, no que se refire ao usuario medio de tuenti. Aínda que non é boa idea ter só en conta o valor medio cando consideramos datos, pensade se non no seguinte caso:

"O galego medio ten un testículo e un ovario"

Ou aínda mellor:

"O galego medio ten menos de dous brazos"

Pregunta relacionada: Que sucederá se un usuario coma min, que ten conta nas dúas redes, decide abandonar as dúas? Sobe o CI nas dúas, sobe nunha e baixa na outra, ou baixa nas dúas?


Case o esquezo: o post orixinal, aquí.

5.11.11

Blockage

Revisando os feeds sen ler do google reader descubrín que publicaron a segunda parte dun xogo, Blockage, ao que non lle prestara atención cando fora lanzado, hai xa un ano. De tal xeito que, ao ver a secuela, decidín xogar en primeiro lugar o xogo orixinal (non podo evitar ir por orde, aínda en xogos coma este, sen historia de ningún tipo, puro puzzle).
A conclusión é que o Blockage é un gran xogo, dos que fan quentar as neuronas cun número mínimo de elementos na pantalla. Por exemplo, nesta fase tiven que pensar máis do que esperaba:



A única mágoa é que só ten vinte fases. O bo: que xa temos dispoñible a segunda parte.

1.11.11

Outro test de Educaplay

Hai uns días fixen este test sobre divisibilidade en educaplay. Consta de dez preguntas escollidas ao chou dun pequeno (moi pequeno) banco de preguntas que estiven a cargar na plataforma. Hai algunha pregunta capciosa por enleada, pero aínda así é sinxelo chegar ao 70% de acertos que require para ser aprobado.



26.10.11

Esculturas de Luz

Calquera que siga este blog asiduamente (é dicir: eu mesmo), comprobaría que nos últimos tempos a frecuencia de actualización non é moi grande. E iso aínda que estou máis horas traballando con ordenadores que nunca. Ou quizais precisamente por esa razón.

De tal xeito que o único que apetece a estas alturas é ver algo relaxante e que non requira traballo mental por parte do espectador. Velaquí tedes o que preciso:


Dev Harlan - "Parmenides I", 2011 from Dev Harlan on Vimeo.


Na páxina do artista en vimeo, Dev Harlan, hai máis instalacións do estilo.

21.10.11

Números do 1 ao 10

Estaba a revisar o libro Puzzles 101 de Nob Yoshigahara cando atopei este pequeno problema, que adapto aquí (para que sexa un pouco máis sinxelo):

Nos seguintes triángulos os números están colocados de tal xeito que o número de cada círculo é a diferenza entre os números dos dous círculos situados xusto enriba. No 1º triángulo, 3 - 1 = 2. No 2º, 6 - 5 =1, 6 - 2 = 4, 4 -1 = 3.



O desafío consiste en facer o mesmo cun triángulo cunha ringleira máis, cos números do 1 ao 10.

16.10.11

Proba de Test en Educaplay

Acabo de rexistrarme e de escribir un feixe de cálculos con números enteiros, a ver que tal queda isto aquí:





Quizais utilice este test na clase, despois de practicar en That quiz:

Sumas de Enteiros

12.10.11

The Bridge

Como poderiamos transmitir aos mozos de hoxe a alucinación que provoca o traballo de M.C. Escher, os paradoxos xeométricos, obxectos imposibles, perspectivas enganosas? Pois cun xogo, aínda en produción, chamado The Bridge. Na web oficial do proxecto hai unha galería de imaxes tiradas da mecánica do xogo. Pero mellor é ver o vídeo para ter certa intuición:



Tamén temos a posibilidade de baixar unha demo, mentres non remate o proceso de lanzamento do xogo.

7.10.11

Mentres atopamos factores primos

...ás veces saímos un pouco do camiño e aparecen outros temas. Hoxe en 3º C, por exemplo, falamos das tormentas solares:





E, despois de comentar os seus efectos sobre o campo magnético terrestre, e en consecuencia sobre os aparatos eléctricos que utilizamos a diario, xurdiu un fenómeno que ningunha descrición en palabras chega a explicar:


Por certo, ao final volvemos ao máximo común divisor e o mínimo común múltiplo.

1.10.11

Tan sinxelo como A, B, C...

Un problema sinxelo pero interesante que aproveitarei algún día, cando haxa tempo, na miña clase de 2º de E.S.O.:

Movendo as letras a cadros contiguos que estean baleiros, intercambia a posición das letras B e C:



(Por se hai algunha dúbida, os tres as teñen que rematar no mesmo sitio)



E para evitar que resolvan o problema por "aburrimento" e tentar que pensen dun xeito máis sistemático e menos aleatorio, engadirei a condición: Quen o fai no menor número de movementos?

28.9.11

Just for Fun-6

En primeiro lugar, algo simplemente incrible:






E en segundo, outra ilusión óptica de puntos en aparente movemento. Se concentrades a vosa atención no cilindro xiratorio, que lles pasa aos puntos?


24.9.11

20 anos do Nevermind



A nosa percepción do paso do tempo xoga malas pasadas. É curioso descubrir que desde a publicación de Nevermind ata, por exemplo, a estrea da primeira película do Señor dos Aneis pasou o mesmo tempo que desde esta estrea ata a actualidade. Parece que o noso cerebro percibe o tempo como un sumidoiro (un nodo atractor, se preferides), onde o que está máis preto tende de xeito acelerado a achegarse a nós.

En fin, deste tema xa pasaron 20 anos:





20 anos pasaran tamén cando naceu o autor deste blog desde a publicación do Jailhouse Rock de Elvis. Curioso, ou espeluznante, non estou seguro.


E que vai pasando neste inicio do curso 2011-12? Pouca cousa, só acabamos de comezar e do máis interesante probablemente foi como loitaron os meus alumnos de 2º de E.S.O. con este problema que con mala idea deixei caer polo medio da Pre-Avaliación:

Movendo só dous círculos tes que formar dúas liñas con 6 círculos cada unha:


18.9.11

Alá imos!

Comeza o curso e é o momento axeitado para relaxarnos, e simultaneamente ralentizar o propio ritmo para adaptarse ao tempo das aulas. Espero que este vídeo axude:

13.9.11

Un rápido de moedas



Navegando polos comentarios de blogs doutros profesores de Matemáticas atopei un par de problemas de moedas algo distintos do habitual, é dicir nin moedas que teñen un peso diferente das demais, nin voltas mínimas que se poden dar cunhas moedas dadas. Este é máis sinxelo que eses problemas, e por iso é probable que utilice este curso algún problema semellante:

Amalia, Brais, Carla e David teñen certa cantidade de moedas, todas con valores de 1, 2, 5, 10, 20, 50 ou 100 céntimos de euro. Amalia ten o dobre de cartos que Brais, Brais o dobre que Carla, Carla o dobre que David; e todos teñen dúas moedas. Cantos cartos ten cada un?

6.9.11

Echoes Reality 4D

Hai unha morea de ideas neste vídeo que aínda non teño moi claras. Aínda así, a parte meramente estética é suficiente para gozar da visualización.


27.8.11

Outro xogo topolóxico


Un xogo topolóxico ben coñecido é o de conectar tres casas coas fontes de luz, auga e gas mediante nove liñas que non se intersequen, tendo en conta que os seis puntos estean nun mesmo plano, pois no espazo tridimensional a solución é evidente.

Antes de que alguén non avisado tente ese problema, teño que comentar que esa conexión é imposible, como comentan no artigo da wikipedia sobre Teoría de Grafos, no epígrafe sobre grafos planos, e demostran no artigo da wikipedia en inglés Water, Gas and Electricity.

Hoxe traio un xogo on line, Linx, no que hai que conectar os cadrados da mesma cor, con restricións ademais sobre o número de pasos que podemos dar, é dicir, o número de celas polas que podemos pasar para efectuar a conexión. A mecánica do xogo é totalmente intuitiva: facemos clic no cadrado dunha cor, e a continuación prememos nas celas que farán o camiño, ou ben directamente arrastramos sen soltar o botón do rato. Para os que coñezan o 3D-Logic, é exactamente a mesma dinámica. De feito poderiamos dicir que Linx é a versión 2D daquel xogo, aínda que só aparentemente, pois o 3D-Logic en realidade tamén era un xogo en dúas dimensións, pois só utilizaba a superficie do cubo de xogo.

Ten duás expansións, o Easy Set e o Hard Set, esta última recomendada unicamente para xogadores expertos. Comparade a dificultade observando a octava fase de cada un dos packs:





Realmente é un bo xogo dos que fan pensar durante un anaco.

16.8.11

Ilusión para escépticos


Se formades parte dese grupo de xente que non cre que as dúas celas, A e B, teñen a mesma cor, xa non ides ter escusa. Porque agora ides ver o cambio en vídeo (visto en Fogonazos e no blog de Richard Wiseman):





Xa sabedes, non vos fiedes só dos sentidos. Lembrade a ilusión das espirais concéntricas...

10.8.11

Divertimento xeométrico


Collede un rectángulo calquera. Trazade unha liña horizontal que o divida en dous rectángulos máis pequenos. Agora dividide o rectángulo superior mediante unha liña vertical para crear dous sub-rectángulos superiores, e facede o mesmo co rectángulo inferior para crear dous sub-rectángulos inferiores. O resultado debería parecerse a algo así:


Agora collede os puntos medios deses 4 sub-rectángulos (o xeito máis sinxelo de atopar o punto medio dun rectángulo é intersecar as diagonais).

Sodes quen de adiviñar que figura se forma? E a razón da área desa figura á área do rectángulo orixinal?

Podedes fedellar neste applet:




















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



E a explicación deste feito?

6.8.11

Steiner e o xabón

Un interesante problema de optimización, coñecido como o Problema da Árbore de Steiner, consiste en trazar a rede de estradas que conecte unhas cidades dadas coa restrición de que a lonxitude total sexa a mínima posible. A razón de querer atopar tal rede é obvia: se a lonxitude total das estradas é mínima, o custo tamén será mínimo (deixando a un lado por un momento a orografía, obstáculos naturais ou artificiais...).
Collamos tres vilas de Galicia "ao chou", por exemplo Cedeira, A Rúa de Valdeorras e Oleiros, e pensemos en como trazar as estradas entre elas:

A imaxe da nosa terra, cortesía de Google


Se botades papas con este problema, non pasa nada (ademais é ben complicado), pois un matemático e prestidixitador británico, James Grime, xa nos explica no seguinte vídeo como chegar á solución. Para os que cursaron algunha materia de Xeometría Diferencial: Grime vai utilizar as Superficies Mínimas (superficies de curvatura media nula), dun xeito sorprendente para os non avisados. Para todos, vede a exposición, é perfectamente comprensible:




No problema de facer a conexión entre Oleiros, A Rúa e Cedeira, a solución sería:



A solución do problema para 3 puntos aparece no vídeo arredor do minuto 3. O punto de Steiner que aparece onde se intersecan as tres estradas é o punto de Fermat do triángulo, e sucede que os tres ángulos nese punto miden 120º. Como curiosidade, o punto de Fermat do triángulo formado pola Rúa, Cedeira e Oleiros está preto de Miño.

Se queredes saber máis:

31.7.11

Problemas para agosto

Para estar entretidos neste mes que comeza mañá vou propoñer uns cantos problemas, non todos de contido matemático (o que vén sendo habitual neste sitio). Aínda que algúns dos meus alumnos xa teñen motivos abondo para ter que facer, velaquí os problemas:

  1. Continúa a serie: 4 - 8 - 61 - 23 - 46 - 821 - ?
  2. Que hai en segundos, minutos, anos, estacións e milenios, pero non en días, meses, lustros, décadas e séculos?
  3. Un home nunca apaga tódalas luces da súa casa. Un día decide facelo, e 20 persoas morren por esa razón. Que sucedeu?
  4. Observa o seguinte rectángulo 7x5, onde están marcados os cadrados que forman o perímetro:

Os cadrados "exteriores" son 20, mentres que os "interiores" son 15. Atopa as dimensións dos rectángulos nos que hai tantos cadrados interiores como exteriores.
  1. Un de lóxica: Antón di que Bea mente; Bea di que Carlos mente; Carlos di que Antón e Bea menten. Quen mente e quen di a verdade?
Creo que xa chegan. Se alguén atopa algunha solución e a explica brevemente, colgarei outra xeira de problemas.

Editado o 1-VIII: Grazas, Patricia, por apuntar o erro do 1º problema.

23.7.11

Mala prensa

Collido de Cool Stuff

Revisando as novas sobre o radar de tramo que van colocar no túnel do Sartego na AP-9 (Neda, para quen non sexa de Ferrolterra), atopei unha mostra do xeito no que os medios adoitan tratar cuestións matemáticas, ata as máis sinxelas e cotiás, polo que me animei a emular o blog Mala Prensa (xa aparecera nalgunha ocasión por aquí). Transcribo a entrada, pero tamén podedes comprobar a fonte orixinal. Ata o título é unha necedade:


19/2/2011

Con una simple regla de tres, el dispositivo que la DGT prevé instalar este año en uno de los tubos del túnel de O Sartego, será capaz de hallar la velocidad media de un conductor con solo captar su imagen a la entrada y a la salida del subterráneo. El nuevo radar de tramo calcula el tiempo que se tarda en hacer el recorrido y deduce la velocidad del vehículo. Si rebasa el límite, remite la fotografía tomada junto a todos los datos a la central de Tráfico en León para cursar la sanción.

Unha regra de tres? En serio? Pero onde estudou este xornalista a secundaria? Aínda que, para ser estrictos, se un é moi ceporro pode facer as contas cunha regra de tres, non sería máis sinxelo dividir a lonxitude do túnel entre o tempo que lle leva ao vehículo percorrelo?

Porque, se é por matar moscas a cañonazos, poderiamos facer as contas con cálculo infinitesimal...

19.7.11

Un aritgrama sinxelo

Este aritgrama é semellante ao primeiro que propuxen aquí. Pero o que traio hoxe aínda é máis sinxelo que aquel:



SPOILER

O aritgrama presenta unha curiosidade, os tres números implicados(os dous descoñecidos e o 9) son cadrados perfectos.

13.7.11

Para perder o tempo

Avisados estades polo título do post. Nestes xogos precisas pensar algo máis do habitual, e sonche ben adictivos:

Impasse

Neste xogo só tedes que chegar da posición inicial ao círculo verde. Para iso utilizade as frechas do teclado. Sinxelo, non? Pois probade...


14 Locks


A mecánica do xogo tamen é sinxela: Tedes que rebentar 14 pechaduras cos seus respectivos 14 contrasinais.
(Aviso: está feito na plataforma Unity, así que pode que precisedes instalar o plug in)




Check Flag

Este xogo é como un xadrez con taboleiro distinto do taboleiro do xadrez, pezas distintas das do xadrez e movementos distintos aos do xadrez. Aínda así é totalmente recoñecible a semellanza ao xadrez.



100th

Puzzles e plataformas, que máis pedir? Pois que a estética sexa retro:



11.7.11

Problemas para a excelencia

O xoves apareceron en xornais de ámbito estatal os exames de acceso ao controvertido Bachillerato de Excelencia de Madrid (El Mundo, El País, Público, ABC). En realidade estas probas son as que permiten decidir os Premios Extraordinarios de E.S.O., pero este ano utilízanse ademais como medio de selección ao bacharelato mencionado.

Deixando a un lado que é posible que algunha cuestión no exame de Ciencias Sociales tivese datos confusos, voume centrar nos problemas de Matemáticas. Hoxe nun problema que apareceu tanto na opción A de 4º de E.S.O. como na B:

O cuadrilátero RSTU é un cadrado de 5 cm. de lado. O segundo cuadrilátero é construído escollendo os seus vértices P, Q, N e M a unha distancia x de R, S, T e U respectivamente, como amosa a figura. A área A dos cuadriláteros PQNM é función de x, polo que chamámola A(x).


  1. Demostra que os cuadriláteros PQNM son cadrados. (1 punto)
  2. Calcula a área A(x) en función de x. (1 punto)
  3. Canto ten que valer x para que a área A(x) sexa 13 cm²? (1 punto)
  4. Representar a función y=A(x) para 0 < x < 5. Para que valor de x é mínimo o valor da área do cadrado PQNM?(2 puntos)
Automaticamente hai varias cuestións que asaltan ao profesor de Matemáticas dese nivel:

  • O problema mestura o bloque de Análise co bloque de Xeometría, polo que o alumno precisa de certa madurez matemática.
  • No primeiro apartado solicítase unha demostración (aínda que sinxela e non moi formal) parte das Matemáticas erradicada da práctica de aula desde que existe a E.S.O.
  • No terceiro apartado é necesario resolver unha ecuación de 2º grao, contido que aparece en 2º de E.S.O. pero que os alumnos non adoitan dominar ata 3º.
  • No último ítem hai que representar unha parábola nun intervalo, e deducir o valor mínimo da función atendendo á súa gráfica.

En xeral non é un mal problema, quizais sexa esaxerado pensar que vaia distinguir entre alumnos de 4º de E.S.O. cun expediente excelente. Problemas semellantes a este son propostos nas aulas habitualmente, aínda que o profesor adoita orientar os pasos a seguir polos alumnos. Ademais os problemas dos exames de 4º de E.S.O. non teñen normalmente apartados encadeados, que provocan o fallo en cadea (neste caso, o apartado b é clave para os seguintes).

9.7.11

Anoxado en xullo

Atopei no muro dun amigo no Facebook este vídeo dunha entrevista en Redes.



Se queredes velo en versión orixinal, en RTVE a la carta tedes o vídeo (e así non teredes que aturar a Punset dobrándose a si mesmo).

Despois de velo teño unhas cantas obxecións:

  • Distingue entre coñecemento e datos o entrevistado? Pensa que o coñecemento está a un clic? Suxestión: busque o Teorema Fundamental da Xeometría Proxectiva en google (é sinxelo, está na wikipedia en inglés, aquí). Opina que agora coñece o Teorema en cuestión?

  • Coñece realmente os sistemas educativos dos que fala? Sabe algo da atención á diversidade? (Que aínda que non sexa a panacea non debe ser obviada)

  • Pensa en serio que os alumnos están a usar as novas tecnoloxías para aprender o que lles interesa, alén do estudado nas aulas? Suxestión dun servidor: vaia a desmotivaciones, por poñer un exemplo safe-for-work.

  • Coñece a división do traballo en sectores en España para vir pontificando sobre as competencias necesarias para os futuros traballadores?

  • Está de acordo coa idea de que a aprendizaxe precisa de obstáculos para ser levada a cabo, ou pola contra, e polo que transpira a súa parola, considera que ten que ser lúdica?

En fin, creo que tería sido boa idea non ver o vídeo.

6.7.11

Un pouco de maxia

En primeiro lugar un saúdo a quen estivese por aquí estes días de vacacións escolares. Eu permanecín desconectado do blog esta semana, pois aínda que este sitio teña unha compoñente esencialmente lúdica, iso non implica que non requira certo traballo.

Hoxe quería compartir un vídeo de maxia e un xogo.

No vídeo podemos ver unha reinterpretación do clásico truco de maxia da muller (sempre mulleres, por certo) aserrada en dous cachos. Enténdese bastante ben, pero aínda non entendendo todo o que din, a historia é fácil de seguir.




Os dous ilusionistas chámanse Penn & Teller, este truco aparece no seu programa "Fool Us" da cadea inglesa ITV. Teñen web propia e hai moreas de vídeos pola rede nos que "revisitan" trucos tradicionais.

Agora o xogo, Where Am I?, do que non vou explicar a dinámica, pois é o seu punto forte. Só quería salientar que o xogo foi creado en só 48 horas para o concurso Ludum Dare nº 19



28.6.11

Dous triángulos

Un problemiña rápido para estes días de avaliacións, entrega de notas, reunións...

É obvio que con dous triángulos iguais podemos facer unha figura na que atoparmos 3 triángulos facilmente:

A intersección dos dous triángulos é unha figura con 3 lados (neste caso é un triángulo equilátero).
Agora o problema:

Es quen de colocar os triángulos orixinais formando máis de 3 triángulos? Cal é o número máximo de triángulos que podes acadar?
Es quen de colocalos formando na intersección un cuadrilátero?

25.6.11

Origami e Pitágoras

A demostración seguinte é esencialmente a mesma que explicamos nas aulas, pero desde logo con Origami é moito máis espectacular:




Só de pensar en explicar a 26 alumnos simultaneamente como pregar o papel, teño suor frío...

21.6.11

Mesma área que perímetro

No post anterior comentaba un problema que puxen nun exame de Xeometría de 3º de E.S.O. No transcurso da explicación deixei caer que só había dous triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados enteiras nos que o valor numérico da área coincide co do perímetro. Hoxe veremos a explicación.

Primeiro hai que lembrar que nun triángulo rectángulo con lonxitudes dos catetos b e c e lonxitude da hipotenusa a, o perímetro é obviamente a + b + c e a área a metade de b·c, polo que estamos a buscar as solucións en números naturais da ecuación:

a+b+c=\frac{b\cdot c}{2}

Imos aló. O primeiro é desfacernos dese 2:
2a+2b+2c=b\cdot c

Agora utilizamos que o triángulo é rectángulo, polo que a hipotenusa ten un valor dependente dos valores dos catetos polo ben coñecido Teorema de Pitágoras:
a^2=b^2+c^2 \rightarrow 2 \sqrt{b^2+c^2}+2b+2c=bc \\2 \sqrt{b^2+c^2}=bc-2b-2c

Elevamos ao cadrado ámbolos dous membros (si, os dous, non como fan os meus alumnos):
4 (b^2+c^2)=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc \\
4b^2+4c^2=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Reducimos:
0=b^2c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Sacamos factor común bc:
0=bc (bc-4b-4c+8)

Como bc non pode ser nulo, ten que selo o outro factor:
0=bc-4b-4c+8

Agora vén a parte menos trivial, a de expresar o membro dereito dun xeito máis sinxelo:
0=(b-4)(c-4)-8 \\ 8=(b-4)(c-4)

E agora entra en xogo que as lonxitudes son números naturais, polo que temos que buscar os valores entre os factores do número 8. Isto só dá soamente as dúas opcións:
Ou ben:
\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=8
\\ c-4=1
\end{array}
\right\}

pola que b =12, c = 5 e a = 13, ou ben:

\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=4
\\ c-4=2
\end{array}
\right\}

onde b =8, c =6 e a = 10, que é a que apareceu no exame comentado.

18.6.11

Humor nun exame?

Non estou a falar das respostas risibles que dan algúns alumnos nos exames, das que xa hai unha ampla literatura, e que ademais non adoitan aparecer en Matemáticas senón en Historia ou Lingua. Non, hoxe vou falar dun exercicio-problema que puxen na repesca da 2ª parte da 3ª avaliación do venres (si, tamén había repesca da 1ª avaliación, da 2ª, e da 3ª completa). Póñovos en situación:

O mércores fixemos un repaso de cousas que poderían aparecer no exame do venres. Para que lembrasen que non tódolos problemas xeométricos (áreas e volumes, principalmente) teñen unha solución consistente en ir encadeando o Teorema de Pitágoras dun triángulo rectángulo a outro, propúxenlles resolver o seguinte problema, tirado do exame de Xeometría que puxo a compañeira que dá no outro 3º de E.S.O.:

Un trapecio ten por lados 13 m, 20 m, 19 m e 40 m, sendo os dous últimos paralelos. Calcula a súa área.
Aínda que este problema xa fora resolto hai menos dun mes ninguén lembraba como empezar. Moitos pretendían que as alturas desde os dous vértices superiores deixasen as mesmas lonxitudes aos lados da base inferior, como se o trapecio fose isóscele. E non, non están choscos. A solución é standard, nada fóra do común e aceptable en 3º de E.S.O.:

Utilizando o Teorema de Pitágoras dúas veces:
h^2=13^2-x^2 \\h^2=20^2-(21-x)^2
Igualando os valores de h:
13^2-x^2=20^2-(21-x)^2 \rightarrow (21-x)^2-x^2=20^2-13^2 \rightarrow \\
21 \cdot (21-2x)=33 \cdot 7 \rightarrow 21-2x=11 \rightarrow x=5
E así:
h=\sqrt{13^2-5^2}=12
e a área é
\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(40+19)\cdot 12}{2}=354 m^2

Agora que coñecemos os antecedentes, vexamos o problema que puxen no exame mencionado:

Atopar a área do triángulo seguinte:
É obvio que funciona a mesma estratexia que no caso do trapecio,neste caso algo simplificada, pois só temos unha altura ao termos un único vértice superior. A solución de xeito acelerado sería:

6^2-x^2=8^2-(10-x)^2 \rightarrow 10(10-2x)=14\cdot 2\rightarrow x=3.6 \rightarrow h=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8
E a área é:
\frac{10 \cdot 4.8}{2}=24
E onde está o humor en todo isto?
Dúas horas despois tiñamos titoría, resolvimos o problema e pregunteilles se non vían ningunha relación entre o valor da área e as dimensións do triángulo. Unha alumna observou que coincidía co perímetro do triángulo,24=6+8+10, o cal é unha coincidencia que só sucede, neste contexto, en dous triángulos. Pero alén desa curiosidade, ninguén observou que tamén 24=6·8:2
E aí está o humor, o triángulo orixinal era rectángulo e poderían ter contestado o problema nunha liña:

Como
6^2+8^2=10^2
o triángulo é rectángulo e a área é
A=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24


tl;dr Cada día que pasa son un profesor máis malévolo. Simplemente.

14.6.11

Teorema de Napoleón

Teorema de Napoleón? Napoleón descubriu un teorema? Pois a verdade é que non está moi claro, aínda que é coñecido que tiña certa afección polas Matemáticas, en particular pola Xeometría. Pero non é nada estraño que un teorema ou un concepto matemáticos leven o nome dun matemático que non foi o primeiro que os atopou. Casos famosos son a Serie de Taylor, o Teorema de Rolle, a Regra de Ruffini, a Ecuación de Pell...

E que di o Teorema de Napoleón? Algo certamente sorprendente: se colles un triángulo calquera (todo o amorfo que queiras), constrúes sobre os seus lados tres triángulos equiláteros e localizas os centros destes triángulos, sempre van formar outro triángulo equilátero. Case mellor velo:

Teorema de Napoleón


















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Coquejj, 14 de xuño de 2011, Creado con GeoGebra

Se tedes curiosidade pola razón deste sorprendente feito, pola rede hai unha morea de demostracións, por exemplo aquí.

E para os traballadores alumnos de 3º A que non saben buscar na wiki, xa poño eu as ligazóns:

10.6.11

Mira onde pisas...

Hai que ver como pensa o seu seguinte paso este viandante, mentres que os que pasan por detrás...





O título desta ilusión é Mind your Step, leva desde o día 7 instalada en Estocolmo e estará aló ata o 12. No seguinte vídeo aparece o momento da colocación e as primeiras reaccións dos cidadáns:





Atopeino fedellando en Neatorama, como en tantas outras ocasións.

8.6.11

Simulacros e máis

Aínda non me recuperei de ver que alguén chegou a este sitio ao buscar en ask.com "ludico no apremder". E tampouco de ver este espectacular vídeo da última laparada solar:





Como prometín pola mañá aquí está a versión "en cor" do simulacro do vindeiro exame:

Simulacro de Examen de Funciones Lineales y Geometría-3ºA

e a da súa solución:


Solución del Simulacro de Funciones Lineales y Geometría-3ºA

As versións para descargar están en formato doc na wiki, alí tamén podedes atopar a solución do Boletín de Problemas Métricos.

Simulacro
Solución del Simulacro

6.6.11

O problema de marras


Por fin: un problema nun libro de texto digno de ser chamado así. E non porque sexa dunha dificultade enorme, senón porque require poñer en xogo unha comprensión e unha habilidade alén do mero choio rutinario das clases. Xulgade vós mesmos:

Ejercicio 62 Página 201


O problema aparece no libro de 3º de E.S.O. da editorial Anaya,por se alguén estivese interesado.

2.6.11

Outra proba

Creo este post co único obxecto de comprobar como queda un arquivo pdf incrustado en blogger, vía scribd:



Queda, ben, non?


Para rematar, unha canción que estaba convencido que xa puxera, Feel Good Inc.:


1.6.11

Xuño, xa?


Como sempre a estas alturas de curso un se decata do que fixo mal e do que fixo... aínda peor. Coa sensación constante de batalla perdida antes de ser disputada, e co regusto amargo de ser consciente de que hai alumnos aos que non lles gustan as Matemáticas en parte por seren alumnos meus. Pero nesta ocasión só me queda resignarme: non o puiden facer mellor do que o fixen. O cal non é moito, pero é o que hai.

Aproveitando o post, aviso aos alumnos de 2º C que teñen na wiki as solucións do exame de hoxe:


(Pode alguén crer que teño alumnos de 2º que aínda non saben cal é o enderezo desta web nin das wikis?)

Hai uns días lin que investigadores estaban a estudar os efectos dun medicamento que podería bloquear as malas lembranzas. Eu vin o comentario en FayerWayer, pero a orixe era esta.
Aqueles que teñan visto "Eternal Sunshine of the Spotless Mind" ("Olvídate de mí" no máis prosaico título español), saberán que é obrigatorio incluír neste intre unha canción da película:




Quizais ese medicamento sexa a solución para a desidia de xuño...

30.5.11

A ilusión da obxectividade


Navegando pola rede atopei este vídeo das conferencias TED, "Beware online filter bubbles" (algo así como Coidado coas burbullas de filtro online). Resumindo moito, o conferenciante, Eli Pariser, advirte dos perigos de que os buscadores e as redes sociais vaian aprendendo cales son as nosas preferencias. De xeito inesperado esta intelixencia, este xeito de aprender dos motores de busca provoca que vaian desaparecendo da nosa vista (e por tanto do noso mundo global) as novas, persoas, ideas... que estes motores determinan que non nos interesan. O vídeo non ten subtítulos ao español, pero si ten ao inglés, e tamén ao portugués, que probablemente vos resulte máis sinxelo de entender:





O que daría eu porque os meus alumnos (sobre todo os de TIC de bacharelato, pero non só eles) lle botasen unha ollada a este vídeo por propio interese!