Unha caracterización dos números compostos

 

Todo o mundo sabe que son os números compostos, a definición é ben simple e é introducida moi cedo na educación dos cativos. Ademais, pódese visualizar xeometricamente, aínda que non estou seguro de que iso axude á maioría da xente que teña dificultades de comprensión, pois a miña experiencia di que os que teñen dificultades cun concepto, tamén lles vai resultar un obstáculo(ás veces formidable) tentar conectar con outra representación/caracaterización do concepto. De aí as protestas habituais do alumnado ante varias explicacións/presentacións da mesma idea.

Por se hai alguén despistado, lembremos que un número n é composto se pode ser expresado como produto de dous números menores que n. Formalmente, $\exists \ a, b \in \mathbb{N}, \ 1<a,b<n  \mid n=a \cdot b $

E a representación xeométrica habitual consiste en debuxar tantos puntos como indica o número, dispoñéndoos en cuadrículas que non teñan nin altura nin ancho 1. É dicir: 

O 12, cantas veces será factorizado en 1º e 2º de ESO?

Utilizamos a representación rectangular porque é a natural na aprendizaxe desde o comezo da nosa aprendizaxe, pero como vimos hai ben tempo cos diagramas animados de Data Pointed, tamén serve calquera representación que resalte os grupos iguais:

30=5·3·2

Porén, hai moreas de resultados que caracterizan os números compostos, ou, o que é equivalente, que caracterizan os números primos. Persoalmente, lembro aprender o Teorema de Wilson na carreira e pensar, candidamente, que nese curto enunciado estaba o segredo dos números primos, etc. Xulgade vós a miña candidez:

Se p é un número primo, entón $(p-1)!\equiv -1 (mod p)$

Se non estades familiarizados* coa linguaxe de congruencias, o que quere dicir é  que (p-1)! deixa resto p-1 ao dividilo entre p. Por exemplo, se p=7, (7-1)!=6!=720, que dividido entre 7 dá obviamente resto 6(pois $721=\dot 7$). Para comprender por que digo que eu era un inocente, podedes ver a entrada da wikipedia sobre os Tests de Primalidade.

*Por sorte iso ten fácil solución, non tedes máis que ler o último capítulo dos Bocados Matemáticos do compañeiro Paulo Ogando, "A aritmética do reloxo", onde mediante exemplos da vida moderna ides entender esta xoia que nos legou Gauss.

Aproveito para compartir aquí a Gauss fibrilando ante o pampo que era eu en 1º de carreira:

A miña magna obra, o meu legado para a posteridade: os gifs 

Agora que xa todos sabemos (frase que adoita ser falsa nas clases) o que son os números compostos, imos co motivo real desta entrada.

Hai dúas entradas aludín ao arquivo que gardo de problemas desde hai 20 anos, arquivo que non revisito adoito porque cada vez que collo unha páxina, acabo perdendo media tarde. Pero esta xoia, tirada  da Olimpíada de Estonia de 1997(que non está na web, curiosamente, a saber onde a vira eu), e que esquecera completamente, merecía tamén ser comentada:

Demostrar que n é composto se e só se existen $x, y, a, b\in \mathbb{N}$ tales que

$$\begin{cases}\large{a+b=n} \\ \large{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1} \end{cases}$$

E que significará xeometricamente esta condición, que aos máis vellos do lugar nos traerá á memoria a ecuación segmentaria da recta?

Outro problema de álxebra sen ecuacións, o último

 

O bo de ter certa idade é que xa che deu tempo a ler os clásicos das matemáticas elementais e recreativas; o malo, que xa che deu tempo a esquecelos e/ou mesturalos na memoria.

Coa miña teima de propoñer problemas xenuínos no ámbito da álxebra elemental fun esquecer un dos máis clásicos, veño hoxe a emendar esta omisión. teño que recoñecer que non dei resolto no seu día, do que pasaron tantos anos que xa non sei se foi nun libro collido na biblioteca municipal de Ferrol ou onde. A estas alturas, o problema aparece centos de veces pola rede, mais non dou atopado nas fontes da matemática recreativa de David Singmaster cando xurdiu. É probable que non fose exhaustivo na miña pescuda, pois o traballo de Singmaster é formidable.

Imos ao problema, que, sen que sirva de precedente, resolverei ipso facto:

Nunha mesa hai 20 moedas, 13 amosando cara e 7 amosando cruz. Na penumbra non se ve que amosa cada moeda, pero podes coller as moedas sen problema. O teu choio consiste en separar as moedas en dúas moreas de tal xeito que haxa o mesmo número de cruces nas dúas moreas. O único permitido é mover as moedas e voltealas.

Antes da solución inclúo este lugar xeométrico rarecho que atopei sen querer. Deste xeito tedes outro problema, este de enxeñería inversa: como creei o lugar, dado que ocultei obxectos imprescindibles no gif?(Outros deixeinos, se non sería imposible de resolver)

    

A idea feliz da solución, que como adoita ocorrer, resulta natural cando un xa é familiar con ela, consiste en dividir ao chou as 20 moedas en dúas moreas de 13 e 7(non hai outro xeito, se non podes ver que amosan) e darlle a volta ás 7 moedas da morea pequena. Resolto.

Resolto?

Pois si. A álxebra axuda a iluminar o conto.

Imaxina que na morea aleatoria de 7 moedas hai x cruces. Isto implica necesariamente que nesa mesma morea hai 7-x caras, e na outra morea, tamén 7-x cruces. Ao voltear a morea pequena, quedas con x caras, 7-x cruces, e a morea grande non variou, polo que segue con 7-x cruces. Q.E.D.

Que sinxelo, non si? É o que sucede coas ideas felices, que son imposibles ata que se converten en necesarias(no sentido filosófico).

Observades como agroma o mesmo fenómeno que no problema das bolsas con bólas brancas e negras? Fenómeno semellante tamén ao do problema do baile e as parellas que se daban as mans.

Seica espetei cun patrón case unívoco de problemas de álxebra sen ecuacións. Coido que non seguirei con esta serie ata que atope un problema realmente distinto.

 

Un(?) problema para roer

 

Un dos libros que consulto cando teño tempo para pelexar cun problema fermoso é Five Hundred Mathematical Challenges de Barbeau, Klamkin e Moser. Está pola rede en pdf, non o comparto nin poño o número de problema para que arrabeedes.

Observade a seguinte sucesión:

$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, \dots $$

Adiviñastes a lei de formación? Estou certo que si. Porén, vou engadir aquí unha animación que fixen arredor da circunferencia goniométrica, e de paso, tedes outro problema para pensar:

   

Dado o norte e un punto móbil da circunferencia goniométrica, consideramos o punto medio do segmento que forman(azul), e 3 puntos homotéticos ao devandito punto medio desde o corte das tanxentes(o gris a $\frac{9}{10}$, o vermello a $\frac{2}{3}$, o laranxa a $\frac{-3}{2}$). Observades os estrafalarios lugares xeométricos, sobre todo o do punto gris? Pois se vos prestan os problemas técnicos, ánimo.

Volvamos á sucesión.

Como xa vistes, comeza con 1, logo veñen 2 números pares, logo 3 impares, 4 pares, 5 impares... Sinxelo, non si?

 O difícil é amosar o termo xeral, que xa viñades osmando que ía pasar agora. Non vos queixedes, que vou poñer a expresión(como vén no libro), se $u_n$ é o termo xeral da sucesión,

$$u_n=2n- \left[ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{8n-7})\right]$$

onde, como é usual, os corchetes indican a función parte enteira.

Dúas ferramentas

Non adoito comentar aplicacións para o ensino das Matemáticas, alén do imprescindible e ubicuo Geogebra, mais desta atopei dúas ferramentas tan curiosas que ben merecen unha entrada.

A primeira, Isometric Drawing Tool, da web Illuminations do National Council of Teachers of Mathematics, é idónea para crear patróns sinxelos con cubos, e por tanto para actividades tanto de xeometría elemental como de sucesións/termo xeral ou aínda de álxebra, ou de combinatoria, ou de...

Q*Bert?

E para os profesores de Debuxo e Tecnoloxía: na lapela Inspect podemos atopar as vistas 2D da figura 3D que creemos, ademais de poder rotar en cada eixe de xeito libre ou un número exacto de graos manipulando os esvaradores á esquerda.

Eu mesmo utilicei hai unha semana esta aplicación para crear un sinxelo patrón para 2º de ESO no que investigar sobre o incremento porcentual de superficie das figuras e tamén sobre o número de arestas en figuras posteriores:

Desmarcando "Solid" na lapela Inspect

A segunda ferramenta, GIFsmos, baseada en Desmos, está dirixida á creación rápida de gifs animados. Permite configurar a velocidade en fotogramas do gif ademais do tamaño da imaxe resultante. Exemplos inmediatos que veñen á cabeza son as sinusoidais en movemento, a cicloide, cardioide e toda a familia das curvas xeradas facilmente como lugares xeométricos.

   

O primeiro gif no que pensei eu utiliza un esvarador para mover unha gráfica, o que provoca que teñamos que estar áxiles ao darlle ao botón de gravar (lembranzas da época das cassettes de dobre pletina); tamén podemos crear os gifs fotograma a fotograma.

Elaborado, elaborado non é, mais tiven que eliminar
un fotograma que rompía a continuidade usando imgflip

En seis anos de blogue unha entrada para comentar dúas ferramentas on line non creo que cualifique como blogue de profesor...