4,18

O 1.2 e o 1.3, que bonitiños

 

Esa foi a nota media da proba de Matemáticas II da PAU en Catalunya na convocatoria ordinaria, a comezos deste xuño; por darlle contexto, o ano anterior fora 6,12.

Teño que comentar, antes de proseguir, que na nova que enlacei fan o redondeo 4,18 ~ 4,1. Non tirarei ningunha conclusión diso.

O que vou tentar nesta entrada é comprender que sucedeu para que se dese esa significativa baixada. Podedes ver a proba aquí, aínda que tamén a incrusto embaixo:

 

Os rapaces teñen que facer os 3 primeiros exercicios e logo escoller entre opción A e B no 4º. Unha queixa que se leu abondo é que non daba tempo a facelos en hora e media. E pode ser que a moitos alumnos non lles dese tempo, certamente, sobre todo se non dominaban a materia ou só prepararan procedementos. Imos vendo:

Exercicio 1

Considere a función definida a anacos: $$f(x)= \begin{cases} 5 e^{2x} & x \leq 0 \\ (x+m)^2+1 & 0<x<2 \\ 1 & x\geq2 \end{cases}$$ onde m é un parámetro real.

1.1 Determine os valores de m que fan que a función f(x) sexa continua en todo o seu dominio. Xustifique a resposta. [1 punto]

1.2 Faga un esbozo da gráfica de y=f(x) para el caso m=-2, e calcule a área delimitada por esta gráfica, o eixe OX e as rectas x=-1 e x=3. [1 punto]

1.3 Para m=-2, atope un punto onde a recta tanxente a y=f(x) sexa paralela a y=-2x. Calcule a ecuación desta recta tanxente. [0,5 puntos]

Este exercicio é "tipo": hai que estudar a continuidade segundo un parámetro, debuxar un anaco de exponencial, un de parábola e unha recta horizontal, calcular unha integral definida moi sinxela, e atopar unha derivada aínda máis sinxela. Se o sabes facer ben, leva pouco. Non hai ningún punto da solución na que teñas que acometer unha bifurcación, facer un razoamento, nada. Sigamos:

Exercicio 2

Considere o seguinte sistema de ecuacións lineais, o cal está formado por tres planos no espazo e depende do parámetro real m:

$$\begin{cases} x+my+z=4 \\ x+3y+z=5 \\ mx+y+z=4 \end{cases}$$

2.1 Discuta o sistema para os diferentes valores do parámetro m.[1 punto]

2.2 Interprete xeometricamente este sistema para todos os valores do parámetro m e resólvao, se é posible, para o caso m=1. [1 punto]

2.3 Para m=1, é posible engadir unha cuarta ecuación de maneira que o sistema resultante sexa compatible determinado e teña como solución $(x,y,z)=\left( 3, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$. Razoe a resposta.[0,5 puntos]

Outro exercicio "tipo". Os dous primeiros apartados son preparados de xeito industrial nas aulas de 2º de BAC. O terceiro non é tan habitual, se un alumno non viu un exercicio semellante este apartado si sería un bo diagnóstico da súa comprensión. Incluso da súa facilidade para razoar coa relación álxebra-xeometría, pois a situación xeometricamente consiste en dous planos secantes(o 3º coincide co 1º), e un punto que está na recta de intersección.

Imos agora co contido polémico desta proba, segundo lin pola rede:

Exercicio 3

O Concello de Canet de Mar conseguiu 24 entradas gratuítas para un concerto dun grupo de rock catalán, e decidiu sortealas entre os veciños interesados en asistir. Todos os veciños do municipio seguidores deste grupo apúntanse ao sorteo, e só ao 16% tócalle unha entrada. Do resto de seguidores do grupo, seis séptimas partes tentan mercar unha entrada na web, onde a probabilidade de conseguila é do 25%.

3.1 Cantas persoas deste municipio teñen entrada para o concerto?[0,75 puntos]

3.2 Se escollemos ao chou un veciño de Canet seguidor deste grupo de rock e non ten entrada para o concerto, cal é a probabilidade de que tentase conseguila vía web?[0,75 puntos]

3.3 O día do concerto, o equipo de son mide o nivel de decibelios xerado polos berros entusiastas do público ao longo dos 5 minutos de duración da canción máis famosa do grupo; pódese aproximar pola seguinte función:

$$S(t)=-t^3+12t^2-30t+90,  \ \ \ t \in [0,5]$$

onde t é o tempo en minutos e S(t) os decibelios. Cando se superan os 100 decibelios considérase que o público está moi entregado e actívanse automaticamente uns efectos luminosos especiais. Activaranse nalgún momento durante estes cinco minutos? Se a resposta é afirmativa, calcule en que minuto se activan, aproximado ás décimas. [1 punto]

Parecía que ía ser todo o exercicio de probabilidade, pero aproveitaron a marea para chantar outro cacho de análise. E parece obvio onde estará a queixa: moitos alumnos non darían feito o 3.1, que é imprescindible para contestar o 3.2(o 3.3 é independente). O enunciado é innecesariamente enleado: os veciños interesados en asistir son os mesmos que os veciños seguidores do grupo? Mercar entradas na web é un experimento aleatorio? Que é, a web de RENFE? E como profesor de ESO e Bacharelato, podo adiviñar que haberá alumnos que, aínda entendendo correctamente o contexto, van ter dificultades para acometer  o cálculo do total de habitantes de Canet. Unha vez que atopen que se o 16% da poboación leva 24 entradas, o total é 150, por tanto 126 non acadan entrada no sorteo, 108 tentan vía web, e só outros 27 obteñen entrada, o 3.2 xa é inmediato se saben o estándar de probabilidade. No 3.3, cunha función cúbica definida nun intervalo pechado, da que se pregunta se sobrepasa certo limiar, cheira ao exercicio tipo de estudar o crecemento dunha función coa derivada e achar os extremos, PERO NON. En realidade só hai que calcular o valor S(5), e comprobar que sobrepasa os 100 decibelios. Observado isto, só hai que atopar un intervalo con extremos a unha décima de separación no que a función pase por 100, en virtude do Teorema do Valor Intermedio, ou o Teorema de Bolzano se antes restamos S(t)-100. Na práctica, ir probando coa calculadora.

E chegamos ao exercicio con opcións:

Exercicio 4

OPCIÓN A

O alcalde dunha vila de Catalunya encarga ao arquitecto municipal o deseño dun parque infantil que se construirá nun terreo público. Para cumprir coa normativa vixente, no parque ten que haber dous espazos ben delimitados: un para unha boca de rego —que segundo o arquitecto, debe ter forma circular—, e outro para unha caseta onde gardar as ferramentas de mantemento —o cual debe ter forma cadrada—. Por motivos estéticos, o arquitecto quere delimitar cada un destes dous espazos cunha varanda de forxa. Sabendo que as dúas varandas miden exactamente 10 m de lonxitude en total, que medida debe ter a varanda de cada espazo para que a suma das superficies dos dous espazos sexa o máis pequena posible? Cal é esta superficie mínima?

Exercicio trilladísimo de optimización, con texto polo medio para facer coma quen que resulte máis competencial.

OPCIÓN B

Considere os puntos do espazo $P=(1,0,-1), Q=(3,-2,0), R=(1,1,1)$ (Que raro ver os puntos e as coordenadas co igual no medio)

4.1 Calcule a ecuación do plano que contén os puntos P, Q e R. [0,75 puntos]

4.2 Comprobe que a área do triángulo $\triangle PQR$ é $\frac{3 \sqrt{5}}{2} u^2$ [0,75 puntos]

4.3 Determine as condicións que deben cumprir as coordenadas dun cuarto punto S=(x,y,z) para que P, Q, R e S formen un tetraedro de volume 1. (O volume dun tetraedro formado polos puntos P, Q, R e S é volume(PQRS)=$\frac{\acute area(\triangle PQR) \cdot altura}{3} )$[1 punto]

E este é o típico exercicio que aparece nun libro de texto xusto despois de falar dos conceptos. Como na ABAU da pandemia.

Recapitulemos: Cal pode ser a razón da hecatombe nesta proba?

Lin testemuñas de alumnos que foron a este exame que se queixaban do exercicio 3, "o de Canet", argumentando que ese os desanimara para o resto do exame. Pero como era o 3º e moitos alumnos adoitan ir por orde ou buscando o máis traballado ou que sexa máis estándar, e nesta proba ese parece ser o do sistema segundo o parámetro(o 1º tamén é moi estándar, pero é de análise), non creo que isto fose moi xeneralizado. Si puido suceder que alumnos, vendo que non lles saía o 3.1, o que pechaba o acceso ao 3.2, non fixesen tampouco o 3.3. Tamén: que interpretasen mal o 3.3, fosen de cabeza a derivar e tardasen 20 minutos nas contas alxébricas.

Porén, iso non chega para explicar o 4,18. Aposto a que tamén fixeron mal o 1.2, por non saber debuxar o anaco exponencial, o que puido levar a facer mal o resto do apartado e non descartar automaticamente no 1.3 ese anaco por ser crecente e a recta dada ter pendente -2. No de álxebra e planos, seguramente tiveron problemas para facer o 2.3 pois non é pechado como calcular rangos e ver casos. E finalmente, no exercicio 4, na opción A, se non dominan o cálculo exacto con π poden tardar máis e dubidar cos cálculos horribles que van aparecendo; a opción B é tan inmediata que só contemplo que chegasen cansos e con pouco tempo para facela mal.

Seguide sintonizados con este blog no que aparentemente/ultimamente se comentan probas estandarizadas de acceso á universidade.

"Alumnos desesperados e chorando", outra vez

 

Había tempo que non daba cun titular destes sensacionalistas sobre exames de selectividade polo mundo adiante:

    

O de hoxe refírese ao exame da selectividade escocesa, que vén de cambiar o vello organismo encargado, Scottish Qualifications Authority polo máis fresco e moderno Qualifications Scotland. Que vós sodes moi novos, pero os vellos do lugar lembramos algo semellante: a revolución que supuxo a actualización por parte da nosa ben amada Consellería da nosa vella plataforma de formación do profesorado, fprof, pola nova, fprofe. O chiste é automático.

Como é previsible, o cambio de autoridade de xestión provocou un cambio, talvez só cosmético, nalgúns exames. A queixa do alumnado, coa consabida petición online, céntrase no Higher Maths Paper 1, e explican no texto da devandita petición que non se queixan da dificultade senón de que os enunciados non estaban claros e que o novo paper rompe a continuidade cos vellos papers, o que seguramente, en certo grao, é un dos obxectivos do novo organismo.

Na miña experiencia, as novas sobre educación no Reino Unido, alén dos titulares, conteñen información de moita máis calidade cás españolas. Porén, todo o que atopei sobre este tema ignoraba o contido e a estrutura do deostado exame, que tiven que acabar atopando nunha rede social. E como sempre é formativo observar exames estandarizados doutras realidades educativas(never forget as entradas sobre selectividade no blog de Pedro Ramos, unha mágoa que tamén el deixase de publicar), velaquí os exercicios para que vexades vós se hai motivos para a queixa estudantil:

1. Expresa $2x^2+20x+3$ na forma $p(x+q)^2+r$

2. Atopa $\int{\left( 15x^{\frac{2}{3}}+ \frac{7}{x^2} \right)}$

3. Unha circunferencia ten ecuación $x²+y²+2x-4y+20=0$. O punto $A(2,6)$ pertence á circunferencia. Atopa a ecuación da tanxente á circunferencia que pasa por A. 

   

4. O diagrama amosa dous triángulos rectángulos con ángulos p e q.

   

1. Determina o valor exacto de $sen q$
2. Atopa o valor exacto de:
1. $sen(p+q)$
2. $cos(p+q)$
3. Deduce o valor exacto de $tan(p+q)$

5. As funcións f e g son definidas en $\mathbb{R}$, o conxunto dos números reais, por $f(x)=2x²+5$ e $g(x)=x+3$
1. Atopa unha expresión para 
1. $f(g(x))$
2. $g(f(x))$
2. Determina o rango de $g(f(x))$

6. ABCD,EFGH é un ortoedro. $$\vec{AB}=u, \vec{BC}=v, \vec{GC}=w$$

O punto M é o punto medio de HG

O punto N divide o segmento EA na razón 1:2

   

Expresa o vector $\vec{MN}$ en termos de u, v e w.

7. Determina a pendente da tanxente á curva con ecuación $y=2x+4 \sqrt{x}, x>0$, no punto no que $x=9$

8. Resolve $log_2 x+ log_2{(x+2)}=3$, onde x>0

9. a) Amosa que os puntos $D(-1,6,1), E(1,2,7), F(2,0,10)$ son colineares.

         Se o punto G é tal que F divide o segmento G na razón $3:4$, 

         b)Atopa as coordenadas de G

10. Atopar $$\int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{3} 6 sen \left( 3x- \frac{\pi}{2}\right)dx$$

11. a) i) Amosa que (x+2) é un factor de $x^3+7x^2+18x+16$
   ii) Explica por que (x+2) é o único factor lineal de $x^3+7x^2+18x+16$. Dá unha razón para a          túa resposta.

      b) Atopa as coordenadas do(s) punto(s) onde se intersecan as curvas con ecuacións                 $y=2x^3+20x^2+27x+9$ e $y=6x^2-9x-23$ 

12. Unha función exponencial, f, é definida para $x \in \mathbb{R}$ A figura amosa a gráfica de $y=f(x)$

    

A inversa da función, $f^{-1}(x)$, existe. 

a) Debuxa a gráfica da función inversa no espazo determinado.

A función inversa ten o aspecto $f^-1(x)=log_a(x+b)$

b) i) Determina os valores de a e b.

    ii) Indica o dominio da función inversa

Sede sinceros: non vos parece moi sinxelo? Comparado cos exames de aquí, o único que resulta estraño é o dos vectores no ortoedro, e non pide nada excepcional. E non hai nada de álxebra lineal, nin por tanto xeometría que precise dela. Mirei tamén o Paper 2 e incide máis nas funcións trigonométricas, as características das gráficas... O único inusual aquí é un exercicio de ecuacións en diferenzas.

Lembremos que existe outro nivel, o Avanced Higher Maths, no que si hai matrices e determinantes, números complexos(que están no noso curriculum de Matemáticas I pero non entra na PAU), e o realmente sorprendente, ecuacións diferenciais.

Un último comentario: polo visto é habitual que os organismos xestores destes exames publiquen unha lista de Command Words, que veñen sendo os verbos, conectores, expresións... que se van utilizar nos enunciados dos exercicios. O que, de súpeto, fixo que mirase cantos anos quedan para a xubilación.

Xeometría na Maturità italiana

 

Na miña compulsiva filantrópica pescuda de problemas na rede, acabei na web dunha academia/editorial/non sei ben que, Zanichelli, que mantén un arquivo das probas da Maturità italiana, o equivalente á nosa flamante(again) PAU. Para os interesados: a denominación oficial é Seconda Prova di Matematica.

Nesta proba hai dous problemas, dos que hai que facer un, e oito cuestións, das que hai que escoller catro(antes eran 10 e había que coller 5). Polo que vin, os últimos anos os problemas sempre tratan de análise, con certa tendencia cara ao xeométrico, cada problema adoita ter catro apartados arredor da mesma función/situación funcional; hai anos tamén podía aparecer algún problema puramente euclidiano, con cuestións tanto sintéticas como analíticas. Mentres que as cuestións versan, ademais de xeometría e análise, de probabilidade e combinatoria, aínda que en menor medida.

Deixando a un lado a ausencia da álxebra lineal, que si aparece no curriculum español, chama poderosamente a atención o tipo de exercicios de xeometría que inclúen, non restrinxidos á xeometría analítica lineal, é dicir, de rectas e planos no espazo. Dentro da analítica, tamén incorporan superficies esféricas, o que na práctica non suporía moito traballo extra aquí: basicamente consiste en manexar a expresión analítica e o feito de que o raio é perpendicular ao plano tanxente, tradución directa do que pasa en 2D. Pero o que é esencialmente distinto é a cantidade de cuestións de xeometría sintética que fan aparición, que requiren adoito certa intuición alén do rutineiro. Esta anomalía é a que me animou a saír das pseudovacacións(outro día igual falo da mesa redonda sobre o ensino das Matemáticas á que me convidaron o día 15) para escribir unha entrada no blog.

Porén, non me resisto a compartir o 2º problema da proba ordinaria deste curso, que marabilla:

A min con este diagrama xa me gañaches

Aquí inclúo a cita, que en cada problema sempre hai unha:

«La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l’infinito» – attribuita a Platone

As gráficas $\gamma_1$ e $\gamma_2$ representan ás funcións f e g, definidas sobre $\mathbb{R}$ , con expresión analítica $$f(x)=p(x) \cdot e^{p(x)}, g(x)=q(x) \cdot e^{p(x)}$$, sendo $p(x)$ e $q(x)$ polinomios de grao 2.

a) Determinar os polinomios p e q usando a información que se deduce do diagrama, considerando que $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ é a abscisa dun punto estacionario de f e que $-\phi$, abscisa do punto A, é un cero de g.

b) Dado que $p(x)=x-x^2$, estudar a función f, especificando a función asíntota, a abscisa do punto estacionario e do punto de inflexión. Verificar que a recta $x=\frac{1}{2}$ é un eixe de simetría de $\gamma_1$. Determinar o rango de f e indicar, ao variar o parámetro k, o número de solucións da ecuación $f(x)=k$

c) Despois de demostrar que $q(x)=1-x-x^2$, verificar que $\frac{1}{\varphi}$ é o outro cero de g, e que o triángulo ABC é rectángulo. Demostrar que $\gamma_1$ e $\gamma_2$ teñen un único punto de intersección, e atopar as súas coordenadas. Considerando en $\gamma_1$ e $\gamma_2$, respectivamente, os puntos $P_1$ e $P_2$ coa mesma abscisa $x \geq \frac{1}{2}$, calcular a lonxitude máxima que pode ter o segmento $P_1P_2$.

d) Calcular á área da rexión R limitada por $\gamma_1, \gamma_2$ e o eixe de ordenadas. A continuación atopar o valor de $t \geq \frac{1}{2}$ para que a recta $x=t$ delimite con coas dúas gráficas unha rexión R' equivalente a R.

Que, moi competencial, non? Igualiño que o que propoñen na FESPM para España...

Pois agora alucinade coas cuestións que considero de xeometría sintética, aínda que algunha poida admitir un enfoque trigonométrico ou analítico:

• Dado un triángulo ABC, sexa M o punto medio do lado BC e sexan B' e C' dous puntos, respectivamente, no lado AB e no lado AC, de tal xeito que $AB'=\frac{1}{3} AB$ e $AC'=\frac{1}{3} AC$. Demostrar que, se os segmentos MB' e MC' son congruentes, tamén son congruentes AB e AC.

•  O triángulo ABC é rectángulo en B. Demostrar que tal triángulo é isóscele se e só se a altura BH relativa á hipotenusa mide a metade que a hipotenusa.

• Os lados dun triángulo miden 6 cm, 6 cm e 5 cm. Tomando ao chou un punto P dentro do triángulo, cal é a probabilidade de que P diste máis de 2 cm dos tres vértices do triángulo?

• Dada unha circunferencia $\Gamma$, sexan $\angle{ACB}$ e $\angle{ADB}$ os ángulos que abranguen o arco AB na circunferencia, sendo AC paralelo a DB. Se O é o punto de intersección de AD e BC, demostrar que os triángulos ACO e BOD son isósceles e semellantes.

• Explica por que non existe ningún poliedro regular cuxas caras sexan hexágonos.

• Un triángulo ten área 3 e dous lados que miden 2  e 3. Cal é a lonxitude do terceiro lado? 

• Unha folla de papel rectangular, de dimensións a e b, ten unha área de 1 m² e unha forma tal que, ao cortala pola metade (paralela ao lado máis curto), produce dous rectángulos semellantes ao orixinal. Cales son as medidas de a e b?

• Dado un tetraedro regular, a aresta é l e a altura, h. Determinar a amplitude do ángulo que forman l e h.

• Os centros das caras dun cubo forman un octoedro. É un octoedro regular? Cal é a razón entre os volumes dos dous corpos?

• Dados un triángulo ABC rectángulo en A, r a recta perpendicular en B ao plano do triángulo e P un punto de r distinto de B. Demostrar que os tres triángulos PAB, PBC e PCA son rectángulos.

• Sexa ABC un triángulo rectángulo en A. Sexa O o centro do cadrado BCDE construído sobre a hipotenusa, do lado oposto ao vértice A. Demostrar que O é equidistante das rectas AB e AC.

  

É evidente que teñen certa querenza polos triángulos rectángulos, pero a verdade, podo pasala por alto dada a beleza das propostas.

ABAU 2018

Todos os anos boto, como a maioría de compañeiros de Matemáticas, unha ollada ao que cae na selectividade. Como en case 15 anos de docencia, só dei unha vez 2º de bacharelato(ademais no semipresencial de adultos, xa me entendedes), resolvo algún dos exercicios que aparecen para refrescar a memoria, aínda que non todos pois adoitan ser bastante aburridos. Un tipo de exercicio que si resolvo habitualmente é, se o houber, o de optimización xeométrica. Este ano o exercicio 2)b) da opción B dicía:

Calcula os vértices do rectángulo de área máxima que se pode construír, se un dos vértices é o $(0,0)$, outro está sobre o eixe X, outro sobre o eixe Y, e o outro sobre a recta $ 2x+3y=8$

   

O exercicio, a simple vista, soaba coñecido, como resolto mil veces por calquera profesor. A resolución era obvia:

Se o punto do eixe de abscisas é $A=(x,0)$, trazando a vertical que pasa por el e intersecando coa recta oblicua, obtemos o punto $B=(x,y)$, onde:

$$2x+3y=8 \rightarrow y=\frac{8-2x}{3} $$

E por tanto o punto C do eixe de ordenadas será $C=(0,\frac{8-2x}{3})$

Co cal a función área ten a expresión:

$$f(x)=x \cdot \frac{8-2x}{3}=\frac{8x-2x^2}{3}$$

Como é unha parábola cóncava, podemos identificar o máximo como o vértice da parábola ou recorrer a maximizar a función, que tamén é sinxelo:

$$f'(x)=\frac{8-4x}{3}=0 \rightarrow x=2$$

$$f''(x)=\frac{-4}{3} \rightarrow $$

Logo o punto crítico é un máximo.

O desenvolvemento anterior soa ben... pero está trabucado. Nel facemos unha suposición tácita que seguramente tamén tiña en mente quen redactou o exercicio, mais non plasmou no enunciado. E cal é?

Revisade o enunciado e decidide se a situación seguinte está permitida:

    

Ao enunciado faltoulle un "o rectángulo dentro da rexión formada polos eixes e a recta" ou "vértices coas dúas coordenadas positivas", e entón a única situación permitida sería a da primeira figura. Porén, o que me resulta máis interesante é analizar por que a solución de máis arriba é incorrecta, i.e., onde utilizamos a suposición xeométrica que non aparece no enunciado?

E o que sucede é que, se collemos un punto A como o da figura inmediatamente superior, $A=(x,0)$, a área do rectángulo non é $x \cdot \frac{8-2x}{3}$, senón $x \cdot \left( -\frac{8-2x}{3}\right)=\frac{2x^2-8x}{3}$, que claramente non ten máximo.

Arrastrade a figura e as etiquetas para ver o desexado

Incluso poderíamos arranxar dunha soa vez o problema analizando a función $|x| \cdot |\frac{8-2x}{3}|$, o que sae do que se pode pedir aos alumnos na ABAU nun exercicio que, a fin de contas, vale un punto do total de dez.

Falaba cun compañeiro de departamento(nota autobiográfica: o meu propio profesor de BUP) á mañá sobre este erro e acordamos que unha das opcións que teñen na CIUG é anular o exercicio. A outra é dar por bo tanto a quen fixese a solución trabucada de arriba como a quen analice correctamente o problema. Veremos que sucede finalmente.

Un exercicio de selectividade

Remexer nos exames de selectividade doutras comunidades é unha tarefa habitual para os profesores de bacharelato. O segundo curso, e antes o COU, está tan mediatizado pola proba final que a materia de Matemáticas (e tamén as outras) acaba sendo unha carreira co único obxectivo de aprender o tipo de exercicios que poden caer nela. Axiña isto vai suceder tamén (senón está a pasar xa) coas probas de avaliación diagnóstico doutras comunidades e coas reválidas, das que aínda non sabemos que aspecto van ter, mais os indicios que saen dos despachos de economistas que manexan o noso sistema educativo apuntan a PISA (brace yourselves...)

Todo isto vén a que estaba eu a remexer na web da selectividade de Madrid cando dei co exame de Matemáticas II de setembro de 2013, e en concreto con este inocente exercicio:

Dada a función $\small{f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}}$, pídese:

1. Atopar as asíntotas da función.
2. Determinar os intervalos de crecemento e decrecemento e calcular os seus puntos de inflexión.
3. Esbozar a gráfica da función

Poñédevos no lugar dun alumno de 2º de bacharelato diante da folla do exame en setembro. Ve este primeiro exercicio e pensa para si: "Ben, un de facer derivadas, este fágoo seguro"

Para que vos dea tempo para pensar o exercicio simulando que sodes un alumno de 2º de bacharelato nese contexto, chanto aquí no medio unha xoia de gráfica deseñada polos nosos amigos de Fox News para apoiar a súa tese de que Obama é, basicamente, o maligno:

Humpty Dumpty took the book, and looked it carefully.
"That seems to be done right" he began...

Como quedou o corpo? Veña, volvamos á función do exame e ao pelexo do noso estudante.

Para un alumno que acaba de ver hipérboles (4º de ESO e 1º de Bacharelato), a función f automaticamente lembraríalle a unha suma de hipérboles. O noso alumno de 2º de Bacharelato que ve esta función é pouco probable que teña en mente as hipérboles; porén identificará rapidamente as asíntotas verticais, pois as raíces dos denominadores son evidentes (x=4 e x=–1). Tampouco presenta complicación a asíntota horizontal. O problema verdadeiro comeza no apartado b: os alumnos de 2º están fartos de facer exercicios mecánicos de análise do crecemento e a concavidade dunha función. Como facelo neste caso? Pois obviamente, como están afeitos, arranxando en forma de función racional e derivando unha vez para o crecemento e dúas para a concavidade e o punto de inflexión.

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2} \rightarrow f(x)=\frac{35x-100}{2x^2-6x-8}$$

$$f'(x)=\frac{-35x^2+200x-440}{2(x^2-3x-4)^2}$$

O crecemento non ten máis conto, pois o signo da derivada só depende do numerador, que é un polinomio cuadrático que non corta ao eixe OX. Mais a segunda derivada...

$$f''(x)=\frac{35x^3-300x^2+1320x-1720}{(x^2-3x-4)^3}$$

Sei que moitos estades a pensar que os coeficientes do numerador teñen como factor o 5; estou a evitalo para seguir imitando a un alumno. Aínda así, o cálculo do punto de inflexión obrigaría a atopar as raíces dun polinomio cúbico con coeficientes 7, -60, 264 e -344. 

Marabillosamente, ese polinomio cúbico só ten como raíz real x=2 (e dúas complexas conxugadas, of course).

$$7x^3-60x^2+264x-344=(x-2)(7x^2-46x+172)$$

Eu espero que os que escribiron este exame pensasen nesta outra solución, moito máis enxeñosa, e por tanto menos obvia (mais atopei solucións pseudo-oficiais que utilizan o método anterior)

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}\rightarrow f'(x)=- \frac{4}{(x-4)^2}-\frac{27}{2(x+1)^2}$$

e a segunda derivada:

$$f''(x)=\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}$$

moito máis acaída para atopar  a súa raíz:

$$\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}=0 \rightarrow  \frac{-8}{27}=(\frac{x-4}{x+1})^3$$

E de aquí chegamos, en virtude da inxectividade da función elevar ao cubo:

$$\frac{x-4}{x+1}=\frac{-2}{3}\rightarrow x=2$$

Parécevos razoable esperar isto dun alumno no contexto da selectividade? Na miña opinión, o tipo de mecanismo que resolve o exercicio está máis preto das ideas das olimpíadas matemáticas que dunha proba xeralista para todo o alumnado de ciencias. E por riba, poñer este cálculo no primeiro exercicio da opción A pode perturbar o desempeño dos estudantes.

Que ben que existe o Geogebra

Non é a primeira vez que sucede algo así na selectividade. Nin é a máis grave, no 2006 xa houbera o caso dunha primitiva que resultaba imposible para os estudantes, e simplemente por omitir un expoñente 2 no denominador:

$$\int{\frac{x}{senx}dx}$$

Imaxinade o incauto estudante que, ao ver esta integral, pensa que por partes é un choio. Probade vós mesmos...