Oposicións a profesorado de secundaria de Matemáticas 2018

Onte, sábado 23, celebrouse a presentación e a proba práctica do concurso-oposición de profesorado de secundaria. Este ano, como novidade, os opositores podían escoller entre dúas opcións no exame práctico, cada unha con 5 exercicios para resolver, o que lembra á estrutura da ABAU. Polo que se dicía fóra do IES Elviña da Coruña(unha das dúas sedes do proceso) e o resultado dunha enquisa nun grupo de profesores de Matemáticas en Facebook, a opción B foi a máis escollida por moita diferenza. Tendo en conta que na opción A había un exercicio no que se falaba de ideais maximais, que é un tema que non aparece moito nos prácticos, é posible que iso botase para atrás aos opositores. Ou tamén que o último exercicio falaba da parametrización da cicloide, que está nos propios temas teóricos da oposición, e é unha cousa que ou ben sabes ou é complicado que che saia nas condicións dunha oposición.

Pois ben, nesa opción minoritaria, A, había un pequeno problemiña, probablemente o máis sinxelo da opción, que a min me prestou moito. Observade:

Nunha división coñecemos o dividendo, 258728, e os restos sucesivos que se obtiveron ao ir efectuando a división, que son 379, 480 e 392. Atope o divisor e o cociente. Existe máis dunha división? Xustifique a relación deste problema co currículo dunha materia desta especialidade.

Mentres pensades na solución e para afastar a miña, déixovos unha imaxe fermosa da sucesión de Recamán que vin en reddit:

Inspirada polo vídeo de Numberphile sobre a sucesión

Vexamos o problema entón. Se o dividendo ten 6 cifras e obtemos sucesivamente 3 restos parciais distintos, podemos concluír que o divisor ten polo menos 3 cifras pero como moito 4. Vendo os restos parciais, o divisor ten que ser maior que 480.

Con isto xa podemos comezar a traballar sobre a imaxe seguinte, que bastante choio me deu facela no Libre Office Math:

    

Realmente o que hai que facer é razoar sobre como funciona o algoritmo da división. Para comezar, dividimos 2587 entre d e obtemos de resto 379, en linguaxe de congruencias, $2587 \equiv 379(mod \ d)$. Por tanto, $2587-379$ é múltiplo de d. Sucesivamente, ocorre o mesmo con $3792-480$ e con $4808-392$. Por tanto:

$$\begin{cases} 2208=\dot{d} \\ 3312=\dot{d} \\ 4416=\dot{d} \end{cases}$$

Deducimos que d é divisor dos números 2208, 3312 e 4416, polo que é divisor do  máximo común divisor deses tres números, é dicir,
$$(2208,3312,4416)=(2208,3312)=(2^5 \cdot 3 \cdot 23, 2^4 \cdot  3^2 \cdot 23)=2^4 \cdot 3 \cdot 23=1104$$
Aínda que 1104 ten 20 divisores, só nos interesan os que sexan maiores que 480, polo que nos restrinximos a 552 e 1104. E os dous valores dan lugar a solucións:

    

      

O lector avisado detectará a reutilización do código da división de arriba no Math.

Ah, e a parte de relacionar co curriculum queda como exercicio para o lector...

ABAU 2018

Todos os anos boto, como a maioría de compañeiros de Matemáticas, unha ollada ao que cae na selectividade. Como en case 15 anos de docencia, só dei unha vez 2º de bacharelato(ademais no semipresencial de adultos, xa me entendedes), resolvo algún dos exercicios que aparecen para refrescar a memoria, aínda que non todos pois adoitan ser bastante aburridos. Un tipo de exercicio que si resolvo habitualmente é, se o houber, o de optimización xeométrica. Este ano o exercicio 2)b) da opción B dicía:

Calcula os vértices do rectángulo de área máxima que se pode construír, se un dos vértices é o $(0,0)$, outro está sobre o eixe X, outro sobre o eixe Y, e o outro sobre a recta $ 2x+3y=8$

   

O exercicio, a simple vista, soaba coñecido, como resolto mil veces por calquera profesor. A resolución era obvia:

Se o punto do eixe de abscisas é $A=(x,0)$, trazando a vertical que pasa por el e intersecando coa recta oblicua, obtemos o punto $B=(x,y)$, onde:

$$2x+3y=8 \rightarrow y=\frac{8-2x}{3} $$

E por tanto o punto C do eixe de ordenadas será $C=(0,\frac{8-2x}{3})$

Co cal a función área ten a expresión:

$$f(x)=x \cdot \frac{8-2x}{3}=\frac{8x-2x^2}{3}$$

Como é unha parábola cóncava, podemos identificar o máximo como o vértice da parábola ou recorrer a maximizar a función, que tamén é sinxelo:

$$f'(x)=\frac{8-4x}{3}=0 \rightarrow x=2$$

$$f''(x)=\frac{-4}{3} \rightarrow $$

Logo o punto crítico é un máximo.

O desenvolvemento anterior soa ben... pero está trabucado. Nel facemos unha suposición tácita que seguramente tamén tiña en mente quen redactou o exercicio, mais non plasmou no enunciado. E cal é?

Revisade o enunciado e decidide se a situación seguinte está permitida:

    

Ao enunciado faltoulle un "o rectángulo dentro da rexión formada polos eixes e a recta" ou "vértices coas dúas coordenadas positivas", e entón a única situación permitida sería a da primeira figura. Porén, o que me resulta máis interesante é analizar por que a solución de máis arriba é incorrecta, i.e., onde utilizamos a suposición xeométrica que non aparece no enunciado?

E o que sucede é que, se collemos un punto A como o da figura inmediatamente superior, $A=(x,0)$, a área do rectángulo non é $x \cdot \frac{8-2x}{3}$, senón $x \cdot \left( -\frac{8-2x}{3}\right)=\frac{2x^2-8x}{3}$, que claramente non ten máximo.

Arrastrade a figura e as etiquetas para ver o desexado

Incluso poderíamos arranxar dunha soa vez o problema analizando a función $|x| \cdot |\frac{8-2x}{3}|$, o que sae do que se pode pedir aos alumnos na ABAU nun exercicio que, a fin de contas, vale un punto do total de dez.

Falaba cun compañeiro de departamento(nota autobiográfica: o meu propio profesor de BUP) á mañá sobre este erro e acordamos que unha das opcións que teñen na CIUG é anular o exercicio. A outra é dar por bo tanto a quen fixese a solución trabucada de arriba como a quen analice correctamente o problema. Veremos que sucede finalmente.