A criba de Eratóstenes

 Esta é unha das actividades que aparecen todos os anos nas miñas aulas de 1º de ESO. É un asunto practicamente obrigado, ata adoita vir nos libros de texto. Por exemplo no que temos este mesmo ano:

   

E como é habitual, os libros de texto quítanlle toda a diversión que pode ter unha tarefa.

Vou contar como fago eu esta actividade nas clases de 1º de ESO e, máis importante, que preguntas vexo interesantes cando xa temos a criba á vista. Algún ano, aproveitando que o alumnado estaba sentado por parellas, mandei facer a un da parella a criba na forma cadrada habitual, e ao outro, na disposición da espiral de Ulam. A última vez coido que foi hai 4 anos. É moi divertido, pero hai que saber que alumnos tes, e pode ser esgotador(a cantidade de erros que pode haber en 5 minutos colocando números en espiral é inimaxinable se nunca traballaches en 1º de ESO)

O 1º é, claro, debuxar a táboa cos 100 números, máis ou menos cadrada, no encerado(Outra sorpresa para o novato: o tempo que lles leva facer a táboa aos cativos. Hai que vivilo). 

    

O procedemento é ben coñecido: marcamos o 1 dun xeito distinto(eu recádroo por exemplo), marcamos o 2 como número primo(de novo: nun óvalo p.ex.), e riscamos todos os números múltiplos de 2. Chegado este momento sempre fago a brincadeira malévola de que podíamos escribir 51 números e non 100, porque total iamos riscar 49 números. E comezo a riscar de arriba abaixo adrede: 4, 6, 8, 10, 12, etc., cunha liña horizontal(se os cativos teñen cores, pois aínda mellor) Sempre hai algún que se decata de que é mellor riscar ringleiras enteiras, e entón facémolo. Rematamos cos pares, marcamos o 3 co óvalo e veña cos múltiplos de 3, neste caso con liña vertical. Facemos o mesmo co 5(cun slash), que rapidamente alguén se decatará de que é aínda máis sinxelo que o caso dos pares. Pasamos ao 7 (cun backslash), e aquí sempre lle boto teatro ao chegar ao 49 e ao 77 e sobre todo, ao 91: por que aínda non estaba riscado o 49? Sempre hai alguén que ve a razón. Con 77 é un chisco máis difícil, e con 91 aínda máis. Con este último múltiplo de 7 adoito dicir que é o número composto mellor disfrazado entre 1 e 100. Pero que o verán cando rematemos a criba.

E aínda que non sería estritamente necesario, mando facer o mesmo cos múltiplos de 11(cun riscado curvo dalgún tipo, como o símbolo de semellanza p.ex.). Primeiro, para que vexan que efectivamente non riscamos ningún número novo. Segundo, porque é moi fermoso ver a recta que forman os múltiplos de 11, o que vai avanzar algunha pregunta do final da actividade.

Finalmente, comento que non imos seguir porque non riscaríamos ningún número máis, pola mesma razón pola que non buscamos divisores dun número cando chegamos á súa raíz cadrada enteira: se houbese algún número posterior, veríamolo na súa parella anterior (é dicir, se $a \cdot b=N, b> \sqrt{N}$, entón $a<\sqrt{N}$. E como $11> \sqrt{100}$, o choio está feito. Só queda marcar co óvalo cada número supervivente, pois todos son primos. E que os conten, que é outro momento no que vai haber un feixe de erros. En conclusión: o 1, 25 primos e 74 compostos. Así de bonitiño:

A ver se non hai erros, que non me manexo cos selos do Paint 3D

• A 1ª observación xa a comentei antes: onde están os múltiplos de 11? Por que? Que pinta teñen? Esta é sinxela.

Pero hai máis, e non tan inmediatas:

• Por que 57 está riscado só unha vez? 81? 64? 91?

• Que números están riscados en laranxa(horizontal), azul(vertical) e verde (slash)?

• Parade a mirar os múltiplos de 5. Cada cantos hai un riscado en vertical(azul)? Por que? Funciona se cambiamos aos múltiplos de 2?

• Isto é sinxelo, pero hai que decodificalo: mira os múltiplos de 17. Por que está riscado cada un , desde 34 ata 85?

• Cal é o número que está riscado máis veces? Cantas veces está riscado? Hai máis números nesa situación?

• Por que dixen antes o do 91?

• Observa agora todos os múltiplos de 3. Detectas algo na súa disposición? Será algo exclusivo do 3? Pasa co 2 e co 5? E co 7? Por que será?

• Colle calquera ringleira. Cantos números son múltiplos de 3? Como van aparecendo?

• Neste momento non sería adecuado, pero cando xa coñezan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo podemos facer preguntas máis afinadas.

Seguro que o amable lector ten máis cuestións axeitadas para esta, na miña opinión, fermosa actividade. E mellores cás miñas. 

Unha crítica ao novo curriculum

 

Conectando os Paralelogramos con algún obxectivo na LOMLOE

É unha verdade universalmente recoñecida que un curso no que hai nova lei educativa é un curso no que vai haber unha cantidade de traballo desorbitada.

Dazaoito anos ás costas, comecei a traballar coa LOXSE, en 2002 esquivamos a LOCE por sorte, en 2006 chegou a LOE, en 2013 a LOMCE...(continuará)

Este ano, coa chegada da LOMLOE, cúmprese o aforismo. Mais o rebumbio que observamos nos centros responde a distintas razóns:

• A elaboración das programacións é especialmente enleada, responsabilidade compartida pola lei estatal e polo labor da Consellería, que argallou unha aplicación, PROENS, que, institucionalizando as programacións, probablemente vai uniformizalas (iso si, sen deixar de atribuír a responsabilidade ao profesorado, que xa imos coñecendo con quen xogamos).
• Por outra banda, hai a novidade de que nos cursos impares a programación corre a cargo do profesorado que dea neses cursos, en contra da tradición, na que a elaboración lle correspondía á xefatura de departamento. Polo que hai profesorado que nos comezos de curso tiña que preocuparse exclusivamente do seu traballo docente, programación de aula incluída(que non é pouco) e que este ano vai ter que facer horas extra, cun traballo máis administrativo.
• O profesorado que dá nos primeiros cursos de secundaria, que é onde se concentra o alumnado con NEE, ten que elaborar adaptacións curriculares sen que haxa directrices actualizadas da Consellería. As últimas que temos datan de outubro de 2021, coa LOMCE.

Porén, as miñas inquedanzas van por outro lado. Despois de facer o curso da FESPM co que xa vos martiricei abondo, quedei coa impresión de que se descoidaba a comprensión instrumental das Matemáticas, que, alén doutras consideracións de índole interna, é a que van utilizar nas demais materias cando teñan que levar a cabo procedementos e razoamentos cuantitativos. E sendo consciente de que nas comunidades autónomas nas que goberna o PP ían tentar impugnar o curriculum estatal, a lea que se formou entre as cuestións prescritas explicitamente pola LOMLOE e o Real Decreto derivado(competencias, descritores, obxectivos, perfís de saída) e as que quedaron ao albedrío dos decretos autonómicos(os contidos, basicamente) é formidable.

Concretando, vexo un desfase monumental entre os contidos, propios das Matemáticas como disciplina científica(cuasiempírica, se seguimos a Lakatos ou Putnam, tanto ten para isto), e os criterios de avaliación, denominados tamén competencias específicas. No proceso de elaboración das Bases eu chegara a ler que un dos modelos era o sistema portugués, pois algúns en España acababan de descubrir as probas da súa ABAU, o Exame Final Nacional, mais a conexión que hai no seu curriculum entre obxectivos e contidos é plenamente funcional, na miña opinión. Observade este extracto ao chou do documento de Aprendizagens Essenciais de 7º ano, as columnas son "TEMAS, Tópicos e Subtópicos", "OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: Conhecimentos, Capacidades e Atitudes", "AÇOES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR" e "Áreas de Competências do Perfil dos Alunos"

   

Comparade agora o que temos acó no curso equivalente, 1º de ESO, no sentido numérico. Primeiro os criterios de avaliación:

Póñoo en 2 imaxes, que está en páxinas distintas no DOG

  

E agora os contidos:

   

Reparades nas diferenzas? Alén de erros clamorosos como o de non incluír potencias en 1º de ESO (cousa que me apuntou a compañeira María en twitter) cando van facer falta xa nos contidos de divisibilidade e, aínda peor, cando si están as raíces cadradas no propio curso, vedes a distancia sideral entre os contidos que temos que traballar e os criterios que imos ter que aplicar para avaliar a aprendizaxe do alumnado?

Por exemplo, un docente calquera traballará a divisibilidade de xeitos variados, máis ou menos explícitos, pero en calquera caso ensinará os conceptos de múltiplo/divisor, números primos/compostos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, quizais os criterios de divisibilidade, etc. Que esperaríamos avaliar namentres e despois dese traballo? Pois algo do estilo "Saber se un número é múltiplo ou divisor doutro", "Resolver problemas utilizando estratexias propias da divisibilidade", "Determinar se un número é primo", "Descompoñer en factores primos...", etc. Mais imos ter que avaliar o das dúas primeiras imaxes:

CA1.1. Interpretar problemas matemáticos organizando e relacionando os datos dados e elaborando representacións matemáticas que permitan atopar estratexias para a súa resolución.

CA1.2. Resolver problemas matemáticos mobilizando os coñecementos necesarios e aplicando as ferramentas e as estratexias apropiadas.

CA1.3. Expor variantes dun problema dado modificando algún dos seus datos ou algunha das súas condicións.

CA1.4. Recoñecer situacións susceptibles de ser formuladas e resoltas mediante ferramentas e estratexias matemáticas, establecendo e aplicando conexións entre o mundo real e as matemáticas e usando os procesos inherentes á investigación científica e matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar e predicir.

CA1.5. Identificar conexións coherentes entre as matemáticas e outras materias, recoñecendo a achega das matemáticas ao progreso da humanidade.

Vedes que xerais son os criterios? E que esaxeradamente ambiciosos? Eu hai días que non sairía ben parado se me aplicasen algún criterio... Claro que logo vexo o que chaman outros docentes e expertos avaliar eses criterios, e daquela entendo que se poidan cumprir...porque non están a ensinar, senón a divulgar, e quedan satisfeitos con que pareza que hai aprendizaxe. Todo na miña opinión, claro.

 

Ante esta distancia entre contidos e criterios de avaliación, eu vexo dúas saídas para o profesorado:

• Ou ben que avalíe clandestinamente criterios como os que inventei un pouco máis arriba nas súas probas escritas, rúbricas ou co instrumento que vexan conveniente, e que conecten "Descompoñer en factores primos" co CA1.2., de xeito, digamos, un tanto desenfadado. Resumindo, facer o de sempre pero contentar á administración cun salto de fe.

• Ou ben avaliar realmente o CA1.3. nunha clase de 1º de ESO. Criterio que en moitos situacións problemáticas non sei nin eu moi ben a que se refire, como para poñerme a avaliar con el a cativos de 11-13 anos.

Para mellorar o asunto, na ferramenta PROENS temos que indicar un peso porcentual de cada criterio que vincules a cada unidade didáctica. Dándose o paradoxo de que os criterios van estar en máis dunha unidade, e teremos que avaliar algúns criterios varias veces.

Reparastes que nin falei do sentido socioafectivo? Non sendo eu un hater do asunto (lembraredes esta entrada), teño serias dúbidas de se criterios como estes:

CA6.2. Xestionar as emocións propias e desenvolver o autoconcepto matemático como ferramenta para xerar expectativas positivas ante novos retos matemáticos.

CA6.3. Mostrar unha actitude positiva e perseverante aceptando a crítica razoada ao lles facer fronte ás diferentes situacións de aprendizaxe das matemáticas.

son funcionais na práctica da aula da ESO.

Ademais, os criterios vinculados ao sentido socioafectivo obviamente van aparecer en todas as unidades, engadindo confusión ao paradoxo mencionado máis arriba.

  

En conclusión: vai ser simpático falar cos inspectores este ano. Ou, na linguaxe típica de expertos, estamos ante un reto interesante, e temos que saír da nosa zona de confort. Claro que si.