Algunhas aproximacións de π

Debido a unha conversa cun compañeiro sobre xeometría en 2º de ESO, decateime de que nunca xogara coas aproximacións clásicas do número π. E tiven que fedellar un chisco, claro, e o resultado é este applet que comparto.

Nel aparece a construción clásica de Arquímedes, que aproximou o número π utilizando polígonos regulares inscritos na circunferencia. É ben coñecida a lentitude na converxencia deste proceso, e iso que non afrontamos problemas de cálculo como tivo Arquímedes, que necesitaba primeiro avaliar as raíces cadradas que ían aparecendo.

Engadín tres aproximacións en serie de π, a de Gregory-Leibniz, a do Problema de Basilea de Euler e a de Ramanujan-Sato, esta última é unha licenza cómica que me permitín. O meu obxectivo neste applet é que se vise a velocidade de cada aproximación, non incluín o cálculo dos erros porque, ademais de que as simples aproximacións xa son elocuentes, non quería sobrecargar máis de información o applet, que como veredes, xa case pide papas. Pensei en introducir tamén o algoritmo de Chudnovsky, pero coido que co de Ramanujan xa era abondo.

Pois iso, oxalá vos preste tanto como a min:

Vedes por que creo que coa aproximación de Ramanujan abonda?

Uns puzzles só para pensar

Par+Impar=Par? Descansa, Wiles.

Na anterior entrada compartín uns puzzles cun certo aquel físico, nos que había a posibilidade de coller coas mans os obxectos que aparecían neles para axudar ao razoamento. Os problemas de hoxe, en troques, son puramente técnicos. O que ten o seu lado bo, como entenderedes neste chiste:

Un día estaba o director do departamento de Física dunha universidade preocupado polos gastos de laboratorios e equipamentos. "Por que non podedes ser como os vosos compañeiros de Matemáticas? Eles só necesitan cartos para lapis, papel e papeleiras. Ou mellor aínda, sede como os compañeiros de Filosofía. Só necesitan lapis e papel"

Pois ben, hoxe abonda con papel e lapis, e nalgún caso nin papel nin lapis son necesarios.

• Por que non pode existir un poliedro que teña exactamente 7 arestas?


• Sodes quen de atopar unha curva no espazo que corte a todos os planos mais só nun número finito de puntos?(Bonus: e se é finito pero sen límite superior?)


• É ben sabido que $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é numerable, pois é consecuencia dun teorema moito máis forte: o produto cartesiano finito de conxuntos numerables é numerable. Por tanto non debe ser difícil atopar explicitamente a expresión alxébrica dunha bixección entre $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$  e $\mathbb{N}$. É máis, pódese atopar unha bixección polinómica. Ánimo.


• Na unidade de Divisibilidade de 1º ou 2º de ESO cabe a posibilidade de que apareza a seguinte igualdade: $$[a,b] \cdot (a,b)=a \cdot b$$, onde [a,b] representa o mínimo común múltiplo de a e b, e (a,b) o seu máximo común divisor. A demostración é sinxela se un sabe previamente como calcular o m.c.m. e m.c.d. a partir dos factores primos de a e b. Pensemos agora en tres números, a, b e c. Haberá unha fórmula análoga para o produto de a, b e c? A analoxía perfecta non se cumpre, como podedes ver cun caso calquera, p.ex. 6·8·15=720, mentres que [6,8,15](6,8,15)=120 · 1


• Collamos nun cubo dúas diagonais que se crucen, na figura debuxei BD e EG. Se collemos puntos calquera M en BD e N en EG, e atopamos o punto medio do segmento MN, P, que lugar xeométrico percorre P cando M e N varían?

E se as diagonais non se cruzan?

Xa tedes para pensar un anaco cando descansades de limpar a casa.

Confinamento

Hai unha vella brincadeira sobre militares que, algo modificada, vén dicir:

O capitán encomenda a un tenente, que ten baixo o seu mando a un sarxento e catro soldados, a misión seguinte:

"Tenente, ten que erguer perpendicularmente nesta chaira un mastro de 10 metros de altura que estea suxeito desde o extremo superior ao chan por dous cabos que miden, respectivamente, 5 e 8 metros de lonxitude."

O tenente, moi espelido el, acata as ordes e acomete a misión do único xeito posible:

"Sarxento, ten que erguer perpendicularmente..."

(Tiña a figura desta entrada como alternativa, mais a imposibilidade xa me pareceu demasiado enleada)

Pois ben, sirva esta brincadeira como metáfora para a situación extraordinaria actual.

A Xunta, despois dunha semana de confinamento, publica este anuncio na web da Consellería de Educación:

Educación publica unha guía para a aprendizaxe a distancia durante a suspensión das clases polo COVID-19

Nese anuncio hai unha ligazón a:

Directrices para o exercicio do teletraballo do profesorado galego

Onde, finalmente, enlazan ao seguinte documento:

Servizos e recursos para o desenvolvemento da aprendizaxe a distancia

Ben, unha vez que na Consellería, con todas estas voltas, demostraron que saben utilizar hipertexto, nese documento atopamos os seguintes puntos:

• Instrucións en relación co COVID-19

Poñen a ligazón ao DOG, e este extracto:

"Todos os empregados públicos cuxas funcións se realicen dentro de edificios ou instalacións administrativas que permitan o seu desenvolvemento a distancia prestarán o servizo desde o seu domicilio na modalidade de traballo non presencial. Para tales efectos, a Administración facilitará fórmulas de teletraballo ou de traballo a distancia." (o suliñado é meu)

• Orientacións para o desenvolvemento do ensino non presencial

Neste epígrafe enlazan un artigo do profesor da UGR Fernando Trujillo Sáez na versión en español de The Conversation, Deberes escolares en tiempo de confinamiento:¿son eficaces?, e ademais enumeran as 4 ideas clave do seu artigo, a segunda é especialmente reveladora:

"2)Facer un deseño de tarefas axeitadas: instrucións claras, tarefas que teñan en conta a realidade socioeconómica das familias e con estratexias de andamiaxe (exemplos, guías, titorías telefónicas ou telemáticas) para que poidan levalas a cabo de xeito autónomo. É prioritario que os recursos e as tarefas non xeren desigualdades entre o alumnado " (suliñado meu outra vez)

• Espazos virtuais con recursos educativos

Enumeran portais de recursos, máis ou menos actualizados(fío de Cibrán comentando un), máis ou menos útiles, máis ou menos en inglés e máis ou menos en (horreur!) Flash.

• Ferramentas específicas

Neste apartado inclúen unha listaxe de ferramentas, indo desde as ofimáticas tipo Libre Office ata as de creación e edición de vídeo, pasando por webs de museos ou encerados colaborativos.  Mencionan tamén o proxecto Aulas Galegas, que un grupo de docentes galegos acaba de lanzar, intúo que precisamente polo desleixo da administración, para dar respostas ás necesidades das familias e profesorado. E achegan exemplos de hashtags en twitter para estar á última.

• Teleformación e asesoramento específico para o profesorado

Neste último apartado mencionan PLATEGA, a plataforma de teleformación galega, o CAFI, Centro autonómico de Formación e Innovación, animando a seguilos en redes(non poñen as contas) e achegando un correo de contacto.

Alén do hilarante de que o documento teña 10 páxinas pero o índice chegue á 12, cousa que non detectaron antes de publicalo seguramente porque non as numeraron (contei algunha vez que iso mesmo fixen eu na programación que entreguei na oposición que pasei?) e de que só lles faltou poñer unha ligazón ao teletexto, hai algo que sobrevoa todo o documento que me anoxa particularmente. En primeiro lugar, é de supoñer que o profesorado ten os medios na súa casa para crear recursos, compartilos cos alumnos, e facer seguimento do traballo destes. Seguramente sexa así, os profesores temos internet na casa, ordenador para traballar, etc. pois levamos moitos anos tendo que utilizar ferramentas on line desde casa, xade e correo profesional as principais, e estes medios nunca foron proporcionados pola administración. Tamén se supón que os profesores dominan unhas ferramentas, por exemplo moodle, que ninguén pode dar por supostas; se fose así, teríamos que facer cursos obrigatorios. Xa vos aseguro eu que non é así. Pero sendo un problema, todo isto é secundario agora mesmo. O esencial é:

Quen garante que as familias teñen os recursos nas casas para seguir ensino non presencial?

Quen garante que teñen conexións á rede que permitan utilizar ferramentas, síncronas ou asíncronas, cos profesores?

Se es docente, sabes perfectamente das diferenzas socioeconómicas das familias dos teus alumnos. Fóra da educación hai moitas suposicións, e moita desconfianza, que se plasma en lugares comúns "están en twitch todo o día", "para subir fotos a instagram si que teñen acceso", e demais comentarios cuñaos. Aposto que fan eses comentarios os mesmos que pensan que os cativos poden parar xogos on line.

Se desde a administración fomentan que os docentes sigamos traballando como se estivese garantido o acceso das familias, a xeración de desigualdades nos alumnos(máis ben, o provocar que se agranden as preexistentes) é a súa responsabilidade. 

Repito a pregunta:

Quen garante que as familias teñen os medios axeitados para esta situación?

QUEN?
déanme maiúsculas máis grandes

Esa é tarefa da administración, o contrario é adxudicarlle un problema insoluble ao sarxento.

O que teríades que facer os profesores de Matemáticas é...

A fin de semana pasada celebrouse a fase final da Olimpíada Matemática Española en Ourense(web oficial). Isto provocou que lle prestasen certa atención ao evento os medios folcloristas e provincianos, o que fixo que vise esta entrevista a un novo matemático galego, Óscar Rivero Salgado. No medio da entrevista aparece esta afirmación:

«Creo que o que falla é que nos institutos insístese moito en traballar con problemas mecánicos e rutinarios. Non se consegue entusiasmar moito aos alumnos. As matemáticas son moi útiles e moi atractivas se se plantexan ben. Non son unha serie de conceptos e fórmulas para memorizar»

Que logo continúa:

«A clave e saírse dos problemas tipo e enganchar a través do pensamento. O profesor tampouco pode deixar de facerse preguntas a si mesmo»

A que soa razoable? Calquera persoa que pense no ensino das Matemáticas en secundaria... e non se dedique ao ensino de Matemáticas en secundaria podería subscribir esa opinión. Case podería afirmar que eu, ao comezo da miña carreira docente, tiña unha opinión semellante, aínda que por sorte nunca a levei á práctica por completo. Por que afirmo "por sorte"? Porque co que sei agora, e cos estudos que hai, parece claro que as alternativas máis ou menos antigas á instrución explícita non son tan efectivas co groso do alumnado como aquela. E aínda que teño certa tendencia visceral cara o ensino baseado en problemas, tento controlala.

Pois ben, durante esta ~sesquidécada que levo na docencia, teño oído opinións máis ou menos estrambóticas, ridículas ou simplemente ignorantes sobre o que teríasmos que facer os profesores de Matemáticas de secundaria, probablemente debido a ser educado e aberto a discusións(agora xa son moito máis cortante, mencionando estudos para calar a boca, life is too short to waste on idiots). Agarrádevos, que veñen opinións case literais, tal e como as vou lembrando.

"O que tiñades que facer os profesores de Matemáticas é deixarvos de explicar tanto e dicir como se fan as cousas, que non son tan difíciles"

"Non sei que opinas ti, pero o que había que tentar é que lles gusten, que total as contas xa as fan as calculadoras"

"Eu non entendín as Matemáticas ata que, en Maxisterio, me ensinaron a relación das Matemáticas coa vida cotiá. Antes pensaba que eran abstractas, pero cando vin a conexión co concreto, xa lle vin sentido"

"Pero se só hai que practicar moito as contas e xa está!"

"Tes que machacalos a deberes para que entendan as Matemáticas, que mandas moi poucos"

"O que desmotiva á miña filla é que ela estuda e saca boas notas, pero os que non fan nada tamén van pasando de curso. Se suspendesen sería distinto"

"Pero que é o que non entenden? Letras para un lado, números para outro e xa está"

"Pois se algo non ten aplicación á vida diaria, non o deberíades dar"

"Fai falta que saiban as táboas de multiplicar? Se todos teñen calculadora no móbil"

"O mellor é explicar un só xeito de facer as cousas, para que non enleen"

"Non sei que facedes os profesores de Matemáticas, que logo saen sen entender unha hipoteca"

"Que máis dará que acaben a ESO sen saber Matemáticas, a min sempre se me deron mal e non pasou nada"

"Eu non entendo como un cativo pode suspender Matemáticas na ESO. Todos os cativos terían que aprobar ata 4º, sempre"

"Habería que facer todo co ordenador"

"En Matemáticas o importante é seguir os pasos"

"Eu xa lle digo: tes que estudar Matemáticas para pasar de curso"

En fin, cando todos sabemos por que hai que estudiar Matemáticas...

    

O mellor truco de cartas

Facendo unha pescuda polos arquivos dun disco duro atopei un artigo titulado "The best card trick", que polo visto descarguei aló polo 2006(hai 3 institutos!), que explica un truco que ata esta semana non sabía que era coñecido como Fitch Cheney's Five Cards Trick, en honor ao mago que o introduciu, e que acadou popularidade grazas ao libro Math Miracles de Wallace Lee(Telephone Stud, páxina 49).

O comezo do artigo segue a resultar tan intrigante como a primeira vez que o lin, polo que pensei en traer aquí o seu contido. Ao poñerme a escribir, fixen unha busca na rede e achei que en NRICH xa comentaran o truco, non enlazo os vídeos que fixeron alí porque non están colgados nunha das plataformas habituais.

En que consiste o truco? O xeito tradicional vai así: un voluntario colle cinco cartas dunha baralla, e entrégallas ao asistente. Este escolle unha carta das cinco, déixaa tapada e coloca as catro restantes á vista do mago, quen finalmente adiviña deduce a carta cuberta.

E por que gardei este artigo todos estes anos? Pola explicación voluntariamente trabucada do comezo de por que este truco é imposible. Xulgade vós:

O asistente amosa 4 cartas ao mago, polo que a 5ª carta, que hai que adiviñar, pode ser calquera das 48 restantes da baralla(francesa, que aínda non o dixera). Pero 4 cartas só poden ser ordenadas de 4!=4·3·2·1=24 xeitos, o que provoca que as ordenacións só poderían codificar 24 cartas, non 48.

Ide pensando en cal é o erro deste razoamento, mentres observades este vídeo, no que Brian Brushwood, da canle Scam School, fai o efecto (e inclúe a explicación en 1:11)

Vistes xa cal é o erro da "demostración" da imposibilidade?

Aínda non?

Queredes un anaco máis para pensar? Espazo cortesía de Randall Munroe:

Complex Numbers 

Agora si, imos ao choio: o erro está en que en realidade non hai 4 cartas a escoller para transmitir a mensaxe de cal é a 5ª: hai que incluír a 5ª carta, que tamén é unha escolla do asistente. E tendo en conta que nunha baralla hai 4 paus, é obvio que haberá dúas cartas do mesmo pau(instancia sinxela do Principio do Pombal ou Dirichlet). O asistente colocará de 1ª carta visible unha co mesmo pau que a oculta. Co cal as opcións para a carta que hai que deducir son só 12(na baralla francesa hai 13 por pau), e as permutacións das 3 restantes son 3!=6, polo que aparentemente aínda non parece posible o truco. O que indica que hai que pensar algo máis que facer coas dúas cartas do mesmo pau.

Se visualizamos as 13 cartas dese pau en círculo, sempre podemos "sumar" pola circunferencia un número do 1 ao 6 a unha das cartas e obter a outra. Por exemplo, se as cartas son o 4 e o 10 dun pau:

No outro sentido serían 7 pasos

Agora só queda atopar un xeito de que as 3 cartas restantes poidan codificar os números do 1 ao 6. Unha posible elección é usar a orde alfabética nas cartas(en inglés, clubs, diamonds, hearts and spades)combinada coa ascendente dos números, aínda que entre magos hai unha orde máis habitual, coñecida como CHaSeD. Entre as 3 cartas haberá unha co menor valor(l), unha co valor intermedio(m) e unha co maior(h), só hai que atribuír os números do 1 ao 6 a unha das permutacións, por exemplo do seguinte xeito:

l-m-h=1
l-h-m=2
m-l-h=3
m-h-l=4
h-l-m=5
h-m-l=6

Curioso, non si? Agora só necesitades un asistente e xa podedes deixar abraiados aos colegas.


Nota: Polo visto todo o mundo publicou un artigo sobre este truco, non só NRICH. Buscando o pdf do artigo do Mathematical Intelligencer tamén vin unha entrada en Futility Closet, que non lera no seu día, chamada The Fifth Card. Se buscades por Fitch Cheney's  Five Card Trick, Fifth Card, etc., acharedes miles de entradas similares, eu descubrín deste xeito unha nova referencia con problemas interesantes, Matheon Kalender.

Datos que me gustaría coñecer mais é pouco probable que o vaia facer

Procrastinando polo twitter o outro día tiven a idea peregrina de facer esta parvada co meme Drake Approves:

Drake knows better

E despois quedei pensando na idea que transmite nas clases a miña insistencia en que a 1ª opción non é correcta. Da miña experiencia falando con compañeiros, estou certo de que moitos pensarán que son un teimudo, que non ten maior importancia. Aínda que todos saben, quero pensar, que a única xustificación válida do procedemento é a da segunda imaxe. Polo menos os que son matemáticos, que no ámbito galego son a maioría. Entón que explica que, aínda sabendo da incorrección matemática, haxa quen(e teño a intuición de que son os máis) traballe as ecuacións mal?

Tendo en conta que todos os profesores fan o que ven máis axeitado para que os alumnos aprendan, o que sucede, coido, é que sacrifican a corrección matemática en favor da comprensión dos alumnos. Cónstame que isto non ocorre unicamente no contexto da resolución de ecuacións, senón que está xeneralizado ao longo do curriculum. As miñas inquietudes ante isto son:

• Escollen os profesores dar o xeito mecanizado e non a explicación matemática despois de anos de experiencia ou ao comezo da súa carreira profesional?
• Cambian os profesores de estratexia dependendo do alumnado que teñan cada ano?
• Os profesores que utilizan o pasar restando tamén proban con números nas inecuacións de 2º grao?
• Os alumnos dos profesores que utilizan o de pasar restando teñen máis dificultades despois con ecuacións do tipo $-2x=1$? E os que cursen Matemáticas en 2º de Bacharelato, teñen máis dificultades coas ecuacións matriciais?
• E o meu principal medo: pode ocorrer que os alumnos que aprenden coas mecanizacións resolvan mellor os exercicios mecánicos? Non me sorprendería, a verdade...

Se un busca na bibliografía de educación matemática, atopará moitos artigos sobre o uso e a comprensión do símbolo igual en educación primaria, sobre todo en revistas anglosaxonas. Haberá un éxito menor se un tenta atopar artigos sobre a ensinanza da resolución de ecuacións. Un artigo onde se relacionan as dúas cuestións é Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations, de Eric J. Knuth, Ana C. Stephens, Nicole M. McNeil e Martha W. Alibali(versión abreviada dos mesmos autores, The importance of equal sign understanding in the middle grades). Pero dado que o estudo se restrinxe a ecuacións moi elementais e inclúe métodos de resolución non alxébricos(os participantes eran alumnos desde 6º de Primaria), non responde as miñas preguntas. Outro artigo  relevante é Concepts associated with the equality symbol, de Carolyn Kieran, no que analiza a evolución da comprensión ao longo do sistema educativo, desde a escola infantil ata ao estudo do calculus.

Ah, se queredes ler artigos de expertos españois, deséxovos sorte: só tedes que avanzar con machete entre unha xungla de enfoques ontosemióticos e metacognicións.

Para rematar, permitídeme unha digresión: cando oio falar sobre o máster de secundaria, novos procedementos de selección do profesorado, a necesidade dunha fase de prácticas real, o "MIR educativo", etc., sempre penso se os futuros profesores, nalgunha fase deses procesos, van recibir algún tipo de formación sobre, p.ex., como ensinar métodos de resolución de ecuacións aos alumnos de 1º de ESO. Ou se van recibir, como fixen eu no CAP, historia das leis de educación españolas e frases soltas de Paulo Freire ou Dewey. Frases que, por certo, non ían convencer a ninguén que non estivese previamente convencido. Eu, como xa imaxinades, son pesimista.

O cociente de intelixencia, tuenti e A Rúa

Hai un feixe de anos, aló pola época na que abrín este blog traballando na Rúa de Valdeorras, chegábanme moitas peticións de amizade de alumnos na conta de Facebook. A todos contestáballes o mesmo: esta conta é persoal e só teño familia e amigos(e como moito, coñecidos), non vou aceptar alumnos actuais, pois non me parece apropiado. Polo que algúns do 3º de ESO que daba suxeriron que fixera unha conta en tuenti, ao que accedín finalmente pola insistencia. Daquela atopei por algures a brincadeira seguinte, que obviamente tiven que compartir en clase, para revolver:

Cada vez que un usuario pecha a súa conta en tuenti e abre conta en twitter, o CI medio das dúas redes sociais baixa.

Dez anos despois, sigo a rir con esta parvada, que considero un bo chiste matemático.

Por que lembrei esta anécdota? Pois a razón vén da entrada Estafar na estafeta, na que compartín un fermoso problema sobre tamaño de ortoedros do prolífico Peter Winkler, que tamén aparecera no Tournament of the Towns, e avancei que ía traer un problema dese concurso. Velaquí:

O cociente de intelixencia(CI) dun país defínese como a media dos cocientes de intelixencia de toda a súa poboación.

1. 1. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B. Amosar que pode suceder que, como resultado, o CI dos dous paises se incrementase.
   2. Despois disto, un grupo de xente do país B, que pode incluír inmigrantes de B, emigra a A. Pode suceder que o CI de ambos os dous países se incremente outra vez?
2. Un grupo de xente do país A emigrou ao país B, e un grupo do país B emigrou simultaneamente ao país C. Sábese que, como resultado, o CI dos tres países se incrementou. Despois disto, un grupo de C emigra a B e un grupo de B emigra a A. Pode suceder de novo que o CI dos tres países se incremente?

Para o ano hei propoñer este problema, ou polo menos o anaco sinxelo, nas miñas clases de 1º ou 2º de ESO.

Cousas que só atoparás nun libro de texto-3

A tradición deste blogue obriga a que o título desta entrada continúe a serie "Cousas que só atoparás nun libro de texto" (previously 1 e 2), pero o título alternativo "Por que coido que o meu libro de texto me odia?" tamén lle acaía, veredes a razón. Pero antes, algo de contexto.

Despois de 6 anos no mesmo centro, este curso estou de volta no meu instituto de toda a vida: está no barrio no que nacín, estudei nel con amigos que sigo tendo con algún profesor que aínda traballa aló,e por se fose pouco, é o centro no que fixen o ano de prácticas cando aprobei a oposición. Ademais de ser o primeiro curso nun centro "novo", é tamén a miña primeira vez nun equipo directivo, pois os únicos cargos que tivera foran os de titor e a coordinación Abalar/TIC. Como ocupo a xefatura de estudos, en troques de dar clase, teño unha chea de horas para as funcións específicas do cargo (imaxino que queda claro ao ler este blogue que esta situación non é voluntaria). En conclusión: só dou unha materia nun grupo, Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas de 4º de ESO. Os alumnos desta materia teñen un libro de texto da editorial Santillana prescrito antes de chegar eu. Xa teño usado libros desta editorial, neste propio centro e no da Rúa no que estiven dous cursos hai oito anos. Teño memorias pouco nítidas dos libros que usei en Oleiros, lembro algún de Xerais e de Algaida(este unha edición especial de Anaya, aquel a tradución ao galego); en Cedeira tiñamos libros de Anaya ata o último ano que cambiamos a SM na ESO, non así no Bacharelato porque a editorial non tiña libros de Matemáticas en galego e aló tiñamos Matemáticas I na nosa lingua. O rango da calidade dos libros que coñezo vai desde o pésimo ata o regular, sendo o deste ano malo con avaricia. Axiña estaredes de acordo comigo.

Comecemos vendo como un libro de texto pode boicotear a estratexia do profesor para que os alumnos entendan un concepto:

Receitas, receitas everywhere

Continuemos cun exemplo no que comprobamos que o autor do libro utiliza certas calculadoras Casio que implementan unha xerarquía de operacións modificada:

Falta algo no c e d do 102?

Isto require explicación, supoño: nas calculadoras científicas hai un botón rotulado EXP(nas últimas ·10^x ou algo semellante) que serve para adosarlle á mantisa a súa orde de magnitude. Sucede que se na calculadora facemos 8,3 EXP 6 : 5,37 EXP 2, o resultado é o axeitado para dividir eses dous números en notación científica, e obtés algo de orde 10^4. Pero se un é rigoroso, o apartado c dá un resultado de orde 10^8.

Prosigamos cun malabarismo na marxe(menos mal que só lemos os que deixa Fermat):

Recuerda?

Agora, na unidade de Álxebra, vén algo que tampouco axuda moito:

O feito de que os tenistas falen en Comic Sans só incrementa o pánico

Fagamos un inciso para amosar unha figura absurda no medio duns exercicios mecánicos:

Figura ilustrativa dos métodos utilizados(ains)

 E finalicemos coa voráxine final, na folla dobre á que, imaxino, menos caso se lle fará nas aulas:

 

En la vida cotidiana...

Primeiro, meten moito texto nun exercicio que se pode facer moito antes deste curso(lembremos:Matemáticas Académicas de 4º de ESO), para, ademais, introducir dun xeito puramente artificial o contido máis básico da unidade(xa nin considero como erro que o exercicio 94 só sirva para valores de x maiores que -2)

En que anel do Inferno de Dante estaban os autores de libros de texto?

E, finalmente, a apoteose: como proxecto de traballo cooperativo non deberon de dar atopado nada relacionado coa Álxebra, así que chantaron o primeiro que lles veu á cabeza. Embaixo, unha actividade PISA que non se pode considerar un problema matemático, pois a única dificultade que tería xa está resolta no enunciado.

Dáme que esta non vai ser a derradeira entrada dedicada a este libro de texto...

Editado ás 12:38: Esquecera que Dan Meyer mantén un xogo os sábados con exemplos de pseudocontexto atopados en libros de texto. Ide aló se queredes botar unhas risas: Pseudocontext Saturdays

Cousas que só atoparás nun libro de texto-2

Van case tres anos da primeira vez que trouxen un exemplo de estupidez manifesta nun libro de texto. A entrada, Cousas que só atoparás nun libro de texto, colleitou certo éxito en visitas desde aquela, chegando ao modesto top ten deste blogue.

Hoxe, como xa compartira en twitter o primeiro exemplo que ides ver, non tiña pensado traelo tamén por acó. Foi a aparición do segundo o que me convenceu. Xulgade vós:

Polo menos intuíron que era máis obtuso que agudo

Este exemplo está tirado do libro de "Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas" de 3º de ESO da editorial SM, que foi o escollido este ano polo meu departamento. Imaxino aos autores do libro buscando números que fixesen obvio que non había proporcionalidade(24 e 6 son o dobre de 12 e 3, respectivamente, pero 12 non é o dobre de 7), e esquecendo que eses números tiñan que servir como lados dun triángulo, para o cal tiñan que cumprir a desigualdade triangular(surprise, surprise). Un pouco máis adiante, na mesma unidade, hai un exemplo de aplicación directa do Teorema de Tales na que non dan suficientes datos para atopar as lonxitudes(os triángulos non "pechan"), mais non teño foto do libro e na versión on line está corrixido, o cal amosa que é unha simple errata.

En contra do que parece, o libro de texto anterior non é especialmente malo, para ser un libro de texto quero dicir. Xa teño falado destes libros editados para a LOMCE, e o certo é que podían ser peores. Coido que o que máis noxo me dá deste libro é a linguaxe que utiliza, xa no libro de 1º de ESO:

Deberían poñer actividades onde se collese un avión fóra de España

En realidade, nos libros de texto adoita haber erros moito máis graves que o dos triángulos de Cheshire anteriores. Observade como un autor de libro de texto(Santillana, 1º de ESO) pode acabar coa estratexia do profesor en dúas liñas:

A materia da que están feitos os pesadelos dos profesores de Matemáticas

Claro que o libro continúa a súa razzia contra a didáctica das Matemáticas tres páxinas máis adiante, neste caso facendo revolver ao pobre George Polya na súa tumba:

Os alumnos aplauden agradecidos ao leren isto

Exemplos hai miles, se non traio máis é pola pouca atención que lles presto aos libros. E menos que lles prestaría se dependese de min...

Cousas que só atoparás nunha Avaliación Diagnóstico

Se os libros de texto están inzados de pseudo-problemas, datos ridículos, textos alambicados e absurdos e trapalladas varias, o mesmo podemos dicir das probas externas organizadas polas administracións educativas. Estas probas que, seguindo a norma contemporánea de traducir os usos anglosaxóns, deron en chamarse "Avaliacións Diagnóstico", sen preposición, os dous nomes seguidos.

Observade uns exemplos de ítems trapalleiros aparecidos nas avaliacións externas por España:

    

Esta trapallada apareceu nunha proba de Andalucía no 2006. É o mellor exemplo que teño atopado de pseudo-contexto. Queres comprobar se os alumnos memorizaron os nomes de corpos xeométricos? Pois comenta que son uns globos, quen lle gustan a todo o mundo. A proba ía dirixida a alumnos de 2º de ESO, imaxinade o entusiasmo dos alumnos...

Pero está visto que o dos globos non é un caso illado, mirade este ítem que caeu na proba de Murcia do 2010:

   

Non hai maneira de que apelen á memoria dos alumnos sen redactar un ítem ridículo. Teñen que crear un contexto artificial, se non, non lles coce. Significatividade 100%.

     

Este "problema" foi proposto na Prueba CDI (Conocimientos y Destrezas Indispensables) de 3º de ESO de Madrid do 2008, pero podía perfectamente ter aparecido nun exame do bacharelato elemental dos anos 50. Só lle falta dar os cartos en céntimos, motas e reais.

A proba na que saíu o conto do xarope deparaba máis exemplos. Un par de follas adiante achamos unha narración apaixonante sobre a compra dun piso por parte duns noivos. Primeiro dan cunha escaleira:

Vaia ocasión perdida. Observade a escaleira: das tres dimensións que interveñen, cal é a máis difícil de atopar? E se reparamos nun escalón: é difícil de calcular a altura? Pódese medir directamente? A medida 10 m. que sae na figura, depende de que os escalóns sexan todos congruentes ou isto non inflúe? Que ten que suceder para que poidamos medir directamente eses 10 m.? Poden ter calquera forma os triángulos rectángulos (con hipotenusa invisible) que forman os escalóns? E sendo rigorosos: Que é exactamente o que mide 10 m.? 

Despois preséntaselles un dilema cun albanel:

Imaxino perfectamente a algún cativo pensando que terán que ver as redes móbiles co peso do saco...

A ver se dades lido todo o texto do seguinte ítem, do modelo B de Asturias 2013:

   

Ben traído, non si? Probablemente ese texto puxo a súa parte na procura de que os alumnos descubran o pracer da lectura.

Aínda que o que vén agora non é dunha avaliación da ESO, non podería rematar sen incorporar nesta pequena galería unha proba de 4º de Primaria de Andalucía que deu que falar hai dous anos, non só pola súa calidade (que ides comprobar axiña) senón tamén porque foi filtrada días antes da realización nos centros:

Hoxe na web de Educación de Andalucía o pdf da proba está corrixido, eu tirei a imaxe da filtración previa. Probade a debuxar un sexto neses "hexágonos"...

Calquera outro día volvo a remexer nos pdfs, por material non vai ser...

Un exercicio de selectividade

Remexer nos exames de selectividade doutras comunidades é unha tarefa habitual para os profesores de bacharelato. O segundo curso, e antes o COU, está tan mediatizado pola proba final que a materia de Matemáticas (e tamén as outras) acaba sendo unha carreira co único obxectivo de aprender o tipo de exercicios que poden caer nela. Axiña isto vai suceder tamén (senón está a pasar xa) coas probas de avaliación diagnóstico doutras comunidades e coas reválidas, das que aínda non sabemos que aspecto van ter, mais os indicios que saen dos despachos de economistas que manexan o noso sistema educativo apuntan a PISA (brace yourselves...)

Todo isto vén a que estaba eu a remexer na web da selectividade de Madrid cando dei co exame de Matemáticas II de setembro de 2013, e en concreto con este inocente exercicio:

Dada a función $\small{f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}}$, pídese:

1. Atopar as asíntotas da función.
2. Determinar os intervalos de crecemento e decrecemento e calcular os seus puntos de inflexión.
3. Esbozar a gráfica da función

Poñédevos no lugar dun alumno de 2º de bacharelato diante da folla do exame en setembro. Ve este primeiro exercicio e pensa para si: "Ben, un de facer derivadas, este fágoo seguro"

Para que vos dea tempo para pensar o exercicio simulando que sodes un alumno de 2º de bacharelato nese contexto, chanto aquí no medio unha xoia de gráfica deseñada polos nosos amigos de Fox News para apoiar a súa tese de que Obama é, basicamente, o maligno:

Humpty Dumpty took the book, and looked it carefully.
"That seems to be done right" he began...

Como quedou o corpo? Veña, volvamos á función do exame e ao pelexo do noso estudante.

Para un alumno que acaba de ver hipérboles (4º de ESO e 1º de Bacharelato), a función f automaticamente lembraríalle a unha suma de hipérboles. O noso alumno de 2º de Bacharelato que ve esta función é pouco probable que teña en mente as hipérboles; porén identificará rapidamente as asíntotas verticais, pois as raíces dos denominadores son evidentes (x=4 e x=–1). Tampouco presenta complicación a asíntota horizontal. O problema verdadeiro comeza no apartado b: os alumnos de 2º están fartos de facer exercicios mecánicos de análise do crecemento e a concavidade dunha función. Como facelo neste caso? Pois obviamente, como están afeitos, arranxando en forma de función racional e derivando unha vez para o crecemento e dúas para a concavidade e o punto de inflexión.

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2} \rightarrow f(x)=\frac{35x-100}{2x^2-6x-8}$$

$$f'(x)=\frac{-35x^2+200x-440}{2(x^2-3x-4)^2}$$

O crecemento non ten máis conto, pois o signo da derivada só depende do numerador, que é un polinomio cuadrático que non corta ao eixe OX. Mais a segunda derivada...

$$f''(x)=\frac{35x^3-300x^2+1320x-1720}{(x^2-3x-4)^3}$$

Sei que moitos estades a pensar que os coeficientes do numerador teñen como factor o 5; estou a evitalo para seguir imitando a un alumno. Aínda así, o cálculo do punto de inflexión obrigaría a atopar as raíces dun polinomio cúbico con coeficientes 7, -60, 264 e -344. 

Marabillosamente, ese polinomio cúbico só ten como raíz real x=2 (e dúas complexas conxugadas, of course).

$$7x^3-60x^2+264x-344=(x-2)(7x^2-46x+172)$$

Eu espero que os que escribiron este exame pensasen nesta outra solución, moito máis enxeñosa, e por tanto menos obvia (mais atopei solucións pseudo-oficiais que utilizan o método anterior)

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}\rightarrow f'(x)=- \frac{4}{(x-4)^2}-\frac{27}{2(x+1)^2}$$

e a segunda derivada:

$$f''(x)=\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}$$

moito máis acaída para atopar  a súa raíz:

$$\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}=0 \rightarrow  \frac{-8}{27}=(\frac{x-4}{x+1})^3$$

E de aquí chegamos, en virtude da inxectividade da función elevar ao cubo:

$$\frac{x-4}{x+1}=\frac{-2}{3}\rightarrow x=2$$

Parécevos razoable esperar isto dun alumno no contexto da selectividade? Na miña opinión, o tipo de mecanismo que resolve o exercicio está máis preto das ideas das olimpíadas matemáticas que dunha proba xeralista para todo o alumnado de ciencias. E por riba, poñer este cálculo no primeiro exercicio da opción A pode perturbar o desempeño dos estudantes.

Que ben que existe o Geogebra

Non é a primeira vez que sucede algo así na selectividade. Nin é a máis grave, no 2006 xa houbera o caso dunha primitiva que resultaba imposible para os estudantes, e simplemente por omitir un expoñente 2 no denominador:

$$\int{\frac{x}{senx}dx}$$

Imaxinade o incauto estudante que, ao ver esta integral, pensa que por partes é un choio. Probade vós mesmos...

Como cortar unha pizza en 10 anacos

Quen non tivo algunha vez o problema de convidar a nove amigos e non saber como cortar unha pizza nos 10 anacos correspondentes? Implicitamente, estamos a supoñer que os dez anacos serán da mesma superficie.

Tranquilos, a resposta está en youtube
:

Despois de ver o vídeo estiven a inspeccionar outros vídeos desa canle do youtube, esperando atopar algunha pista que deixase claro que o que acabades de ver foi humor voluntario, porque se non, como poden subir iso á rede?

36 degrees again... Podía melloralo dicindo $\frac{\pi}{5}$ radiáns...

Just for Fun-8

Xa van máis de dous anos desde o último post puramente lúdico. E como nos últimos tempos sigo unha liña demasiado solemne, creo que é hora de relaxarse.

En primeiro lugar, oístes falar de Vine? Non? Seguramente os gurús tecnófilos aínda non o descubriron, pois esta app para facer microvídeos é unha opción evidente para ferramenta-panacea nas clases da ESO, Primaria, Infantil... (o feito de que para usar Vine haxa que ter conta en twitter, o que é ilegal ata os 14 anos non representaría obstáculo algún).

Pois ollade o tipo de cousas que fai este rapaz con esa aplicación:

Imaxino que ningún gatiño foi danado na elaboración dos vídeos

E agora un vídeo para que aqueles que, coma min, non dan feito malabares nin con dúas bólas:

Carpool Lane from Tom Gaasedelen on Vimeo.

E para rematar, o incombustible Richard Wiseman vén de publicar o seu décimo vídeo con 10 apostas que non podes perder. Se vistes os anteriores, xa saberedes que podedes agardar:

Que sorprende pola mañá a un matemático?

Imaxinade que unha mañá calquera, indo ao choio as présas, un baixa ao garaxe e atopa este panorama:

Ningún vehículo foi danado na produción desta imaxe

Veña, adiviñade, que é o que pensa un matemático que é inusual no garaxe para pararse e tirar unha instantánea da escena? Estou certo que algún pode adiviñalo.

Se botas papas, fai click

Obviamente, non pode substraerse a retratar o 7!

Perdoade a brincadeira, estes días de comezo do curso son duros no choio...

Seguidillas en Matemáticas?

Acabo de ver isto nun libro de Matemática Moderna (que cousas máis raras leo, xa sei). É tan pintoresco que tiña que compartilo por acó. Escusade a calidade da imaxe, non houbo maneira de escanealo mellor:

A definición de infinito éche ben complicada

Como a única definición de seguidilla que coñezo está relacionada coa poesía e a música, fun buscar ao dicionario da RAE e atopei o seguinte na segunda acepción, axeitada para o libro, procedente de Arxentina:

2. f. Arg., Bol. y Ur. Sucesión de hechos u objetos que se perciben como semejantes y próximos en el tiempo.

Isto xa vai tendo máis sentido, aceptamos seguidilla entón (ou sigue-sigue!).

Pero que vos parece que o libro, de 1968, estivese destinado a alumnos de 12 anos?

Cousas que só atoparás nun libro de texto

Seguramente ao lerdes o título moitos pensaredes no tradicional problema no que alguén merca 50 sandías ou algo así. Non é o caso, unha busca rápida en google fai que variemos a nosa opinión:

En efecto, existe, pero quizais non estea
homologado pola escasa visibilidade

No folklore propio dos libros de texto podemos atopar:

• xente que cobra por andar camiños (isto xa está demodé, por sorte);

• irmáns que reciben cartos dos seus pais de xeito inversamente proporcional ás súas idades;

• labregos que coñecen a superficie da súa leira mais non o seu perímetro;

• parellas de curmáns que van ver á súa avoa cada 5 e 7 días, co obxectivo implícito de non coincidir moito, supoño;

• gandeiros que non adquiren máis penso aínda que merquen 30 vacas...

E moitos outros máis que calquera que estudase na antiga E.X.B. ou na actual E.S.O. podería proporcionar.

Porén quero salientar outro tipo de estupidez que adoita aparecer nos libros de texto: a ficción narrativa que mora nos prólogos das unidades didácticas, eses textos imprescindibles que teñen menos lectores que os contratos de uso de software (as introducións das leis educativas tampouco desmerecen).

Deixo aquí un exemplo que me chegou á alma:

Que lle pasa a Laura para ter esa cara?

Aínda que o texto completo tería que formar parte das escolmas da boa literatura mundial contemporánea, a parte enmarcada é sublime. A maioría dos alumnos tecleando na calculadora observan que poden poñer letras e por tanto (nivel 2) palabras, mais esta Laura ve definicións de funcións.

Non podería rematar sen comentar unha teima persoal: cando empezou a haber o erro de separar suxeito e predicado cunha coma? Nin sequera podemos botarlle a culpa aos móbiles...

O medo ás Matemáticas

Seica unha tartaruga cun cadrado máxico
 no lombo non ten medo ás Matemáticas?

Colles un libro calquera da túa colección matemática. Ano 1943, Mathematician's Delight, W.W.Sawyer. Miras o índice, ves que ten un capítulo (o primeiro) titulado "O pavor ás Matemáticas". Les as primeiras liñas e dás con isto:

"The fear of mathematics is a tradition handed down from days when the majority of teachers knew little about human nature, and nothing at all about the nature of mathematics itself. What they did teach was an imitation."

Mathematician's Delight, Walter Warwick Sawyer, capítulo The Dread of Mathematics.

En galego máis ou menos vén sendo:

O temor ás Matemáticas é unha tradición que provén dos días nos que a maioría dos profesores sabía pouco sobre a natureza humana, e nada en absoluto sobre a natureza das propias Matemáticas. O que eles ensinaban en realidade era unha imitación.

A primeira reacción ante esta reflexión é de acordo. Alén da coincidencia que moita xente pode ter con esa idea nebulosa de profesores incompetentes (pouca xente non tivo algún contacto cun profesor así, e iso adoita mediatizar a visión sobre a educación), o feito de incidir na ignorancia sobre as Matemáticas dos profesores é novidoso, tendo en conta que o libro é de 1943.

Pero... só iso xustifica a existencia do medo ás Matemáticas?

Vexamos: se por si mesma a incompetencia (humana e intelectual) dos profesores de Matemáticas provocase o fenómeno do devandito pavor, imaxino que tal fenómeno debería aparecer noutras materias escolares. Supoñendo, claro está, que o grao de incompetencia dos profesores sexa unha variable equitativamente distribuída entre as distintas disciplinas (falta dicir: e incorreladas...). Non atopo razón que me faga pensar que non fose así na época da que fala o autor. E ben: existe o fenómeno do medo ás Ciencias Sociais, á Lingua ou ás TIC? Non chegou ao meu coñecemento, polo menos, a súa existencia. E en calquera caso, o medo ás Matemáticas si resulta ter unha entidade de tal magnitude que ocupa artigos e libros de expertos en educación e psicoloxía. Ata existe a Mathematics Anxiety Rating Scale (MARS)!

En consecuencia: non haberá algún outro factor que produza a "Mathematical anxiety"? 

Como mínimo veñen dous á mente: a busca de solucións exactas e unívocas nas escolas e a dificultade intrínseca da materia.

Dun xornal noruegués no que falaban do mal que
 o facían os cativos  do país en PISA. Esperemos que
fose un exemplo do que non había que facer...

Con respecto á primeira, moito se ten escrito e falado sobre a burremia dos profesores que non admiten solucións alternativas e imaxinativas aos problemas que propoñen. É curioso, pero podo falar por min e por moitos compañeiros se digo que propoñemos certos problemas con ánimo de motivar solucións distintas ás "canónicas" (non valoro se o traballo que facemos facilita a aparición de tales solucións, só a nosa disposición posterior ante as eventuais solucións). Pero tamén é certo que, ao nivel de Matemáticas que calquera cidadán tivo que estudar, que inclúe principalmente a Aritmética, a énfase recae sobre actividades mecánicas máis que en problemas. E nese ámbito é complicado que haxa creatividade. Hai unha solución boa, e infinitas solucións malas. Que lle imos facer... Aínda por riba existe a patoloxía da discalculia, fatal no momento no que se traballa basicamente a Aritmética, mais tamén existe a dislexia no ámbito lingüístico.

Volvendo á busca de solucións únicas por camiños de baldosas amarelas, esa circunstancia tamén se dá nos exercicios de gramática de calquera lingua, ou nas actividades de Xeografía, nos exercicios de circuítos eléctricos... Así que a univocidade das respostas correctas non define ás Matemáticas. Probemos coa outra característica.

Pois ben, que sucede coa dificultade da materia? Tampouco parece ser razón suficiente, pois sempre houbo outras materias tan (ou máis) complicadas como as Matemáticas. Hoxe temos a Física, que en cursos altos da secundaria é probablemente máis complicada que as Matemáticas. Noutros tempos o Latín ocupou un lugar preponderante en dificultade. Incluso levamos certo tempo vendo como o número de suspensos na ESO vai migrando cara ás materias lingüísticas (quen sabe a razón?).

Onde nos deixa isto? Outra vez na saída. Ningún dos dous factores é exclusivo das Matemáticas. Pero nalgures ten que estar a orixe. Algúns autores teñen argumentado que os profesores que teñen escasa formación matemática poden proxectar nos seus alumnos a ansiedade que lles producen a eles mesmos as Matemáticas. Quizais iso funcione como explicación noutros países; aquí en España os profesores están máis ben sobrecualificados (como mostra: nos 9 anos que levo dando clase non atopei ningún concepto dos que tiven que traballar que non coñecese e dominase cando tiña 17 anos- e esa foi a idade coa que empecei a carreira). Non me queda outra opción que a de botar papas fronte a este medo ás Matemáticas. Quizais , como afirma Sawyer, provén doutras épocas nas que estes factores si eran determinantes, e a análise da situación actual non leve a ningures. Quen sabe.

E así chegamos ao final doutro post máis no que, despois de debullar certos aspectos do ensino das Matemáticas, quedamos como estabamos, pero coa sensación de sermos un pouco máis ignorantes. Xenial. Bo momento para tentar crear un par de actividades sobre ecuacións...

Ai! As funcións

Dan Piraro, Bizarro Comics
"...e aquí temos unha gráfica que amosa o que podes ver se miras
a unhas montañas a través dunha raqueta de tenis"

Escoitando as novas sobre o rescate dos bancos españois (ou como queiran chamarlle) e as repercusións sobre os servizos sociais, a deformación profesional fixo inevitable que me detivese no uso de termos matemáticos elementais implicados. Diante dunha frase máis ou menos así:

"En troques de ser linear, a suba das taxas farase en función da renda"

(quizais estou a confiar demasiado na memoria)

Todos recoñecemos este tipo de frases pronunciadas por xornalistas e políticos. O principal problema que presentan é que non teñen ningún significado concreto. Vexamos a razón:

Tódolos anos estudamos o bloque de funcións na E.S.O., bloque que comeza de xeito testimonial cunha única unidade e vai cobrando importancia desde 3º. E unha das primeiras cuestións que abordamos é a de como definir con rigor unha función. Con este obxectivo imos loitando coas dificultades  inherentes: o concepto de función é abstracto; os alumnos, loxicamente, tentan levalo ao concreto, de tal xeito que é habitual que confundan función con gráfica (por exemplo); diariamente nos medios utilízanse mal... Por último, pero tamén importante: como tódolos contidos suficientemente interesantes non ten aplicación directa na vida cotiá.

Unha teima dos profesores de Matemáticas radica na necesidade de que teñamos datos abondo para definir unha función particular, ademais dos distintos "formatos" nos que a función veña dada (táboas, gráficas, expresións alxébricas...), é dicir, que para coñecer cabalmente unha función temos que saber, ademais da relación entre os datos, os conxuntos nos que collemos eses datos. E o exemplo de antes erra precisamente neste punto:

"En troques de ser linear, a suba das taxas farase en función da renda"

Que unha función sexa linear quere dicir que a relación entre as variables vén sendo algo así como proporcional (o significado real de "linear" en máis dimensións éche máis complicado, pero cunha única variable dependendo doutra chega abondo co significado de proporcional; tamén hai o problema de considerar linear calquera función cunha gráfica con forma de liña recta). Por exemplo, se o valor da variable x é duplicado, tamén se duplica o valor da variable y. O problema do "titular" do xornalista é que entendemos que a suba das taxas é a variable y, que depende dunha variable x de xeito linear, pero non sabemos quen é x. Erro grave. Aínda que tentemos adiviñar quen é x non temos moitas perspectivas de éxito: se x é a renda per cápita, o que parece negado pola segunda frase, quere dicir que unha estudante universitario cunha renda de 10000 € vai pagar a metade que un cunha renda de 20000 €? Eu apostaría a que non, a que en realidade tamén habería umbrais mínimos, pero isto non é clarificado por ningures. E incluso pode suceder que a suba das taxas se faga en función das taxas previas, complicando máis o estudo (podemos chegar a entender o proceso como unha función composta: primeiro a taxa previa en función da renda e despois a suba en función da taxa previa)

E na segunda frase hai o erro "inverso": falan da variable x pero non da relación entre as variables. Porque a subas das taxas pode ser unha función cuadrática da renda ou ben unha linear, ou ben unha expoñencial... En conclusión, a frase do xornalista é un bodrio. Por desgraza, isto é máis a regra que a excepción.

Para rematar, outro exemplo humorístico deste tipo de erros:

Married to the Sea
"Non vexo cal é o problema... oh. "Mortes" É o gráfico das mortes.
 Perdoa, pensei que eran as cifras de ventas."