Unha marabilla da Teoría de Números

    Non sei se nestes anos cheguei a comentar nalgunha ocasión que, despois de aprobar a oposición, no meu ano de prácticas, comecei o programa de doutoramento de Matemáticas(Álxebra, Análise, Xeometría e Topoloxía). Como o seu nome insinúa, este programa é tan xeral dentro das Matemáticas Puras que no curso de docencia hai que escoller entre materias dos 3 departamentos clásicos, o que fai necesario coller materias que un xa non cursaría se puider. Pois eu, que tiña interese especial na Teoría de Números, acabei cursando tamén Xeometría Alxébrica(un bo complemento) pero tamén Álxebra Computacional(:/) e unha de Xeometría e Topoloxía da que nin lembro o nome xa. Ironicamente, tiven que coller menos materias non desexadas das estipuladas porque alguén trabucara o número de créditos de Teoría de Números.

Que nin rematase o período de docencia do 1º curso é outra historia, só fixen este introito para amosar algo que non sei se quedou claro nestes anos de blog: a miña disciplina favorita dentro das Matemáticas Puras é a Teoría de Números. E dentro da Teoría de Números, as Ecuacións Diofánticas probablemente sexa, sempre na miña opinión, a máis fermosa das sub-divisións.

Coido que só falei explicitamente desta materia na entrada As ecuacións diofánticas, mais levando case 775 entradas en 13 anos menos dúas semanas non estou en condicións de garantilo. E xa tiña ganas hai tempo de compartir unha demostración fermosísima dun feito ben coñecido. Seguídeme se aínda estades por acó.

O teorema di o seguinte:

Todo número primo da forma p=4k+1 é suma de dous cadrados, i.e., pode escribirse como $p=x^2+y^2$ para certos $x,y \in \mathbb{N}$

Ademais a expresión como suma de 2 cadrados é única, pero esa é a parte inmediata, deixámola para o amable lector.

O problema de expresar un número natural como suma de dous cadrados apareceu tan cedo como na Aritmética de Diofanto, aínda que implicitamente no libro II, onde si aparece o problema de expresar un cadrado como suma de dous cadrados(II.8) ou o de atopar outro xeito de expresar como suma de dous cadrados un número que se sabe que é expresable(II.9). A páxina da Aritmética de Diofanto onde aparecen estas dúas cuestións pasou á historia debido a que na marxe da versión de Bachet escribiu a anotación máis famosa da historia das Matemáticas.

Como sucede en varias ocasións, Fermat enunciou sen demostración o teorema e houbo que esperar a Euler para atopar a primeira demostración(en De numeris, qui sunt aggregata duorum quadratorum). As demostracións que vou compartir hoxe son máis modernas, comezando por unha que utiliza congruencias(que como é ben sabido, foron introducidas por Gauss no s.XIX). Na miña opinión é unha fermosura elemental:

En primeiro lugar, un primo da forma 4k+1 cumpre que -1 é un residuo cuadrático módulo p*, é dicir, $\exists s / s^2 \equiv -1 (modp)$. Consideremos os enteiros $sx-y$ onde $0 \leq x,y<\sqrt{p}$. Hai $\lfloor{\sqrt{p}+1}$ eleccións para cada un dos números x e y, e como $\left( \lfloor{\sqrt{p}}+1\right)^2>\left(\sqrt{p} \right)^2=p$, como mínimo dous dos valores de $sx-y$ teñen que ser congruentes módulo p, digamos:

$$sx_1-y_1 \equiv s x_2-y_2(mod p)$$

Sexan $x=x_1-x_2$ e $y=y_1-y_2$, entón x e y son non nulos porque os pares $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ son distintos.

Entón, $sx\equiv y(mod p)$ e por tanto $s^2x^2\equiv y^2(mod p)$, é dicir, $-x^2\equiv y^2(mod p)$

Deducimos que $x^2+y^2$ é múltiplo de p, e como $0<x^2+y^2<2\left(\sqrt{p} \right)^2=2p$, concluímos que $x^2+y^2=p$ q.e.d.

*Como haberá algún lector non familiarizado cos residuos cuadráticos, ao final da entrada amoso unha demostración.

Hai dúas demostracións semellantes que utilizan converxentes de fraccións continuas, unha delas ademais no contexto da Ecuación de Pell, e e que parte tamén da condición do feito de que -1 sexa un residuo cuadrático módulo p. Non a inclúo aquí porque habería que falar algo de fraccións continuas previamente. Quizais para outra entrada.

Pero si vou compartir a demostración que utiliza os enteiros de Gauss, que parte tamén do mesmo feito:

Como -1 é un residuo cuadrático de p, $\exists x \in \mathbb{Z} /x^2 \equiv -1(modp)$, de onde $p | x^2+1$ e entón $p |(x-i)(x+i)$. Se p fose un primo gaussiano, tería que suceder que $p | x-i$ ou $p | x+i$, como isto non é certo(p non é divisor dos coeficientes de i nos dous casos), p non pode ser un primo gaussiano. De tal xeito que existen enteiros gaussianos $\alpha$ e $\beta$, non unidades, tales que $p=\alpha \beta$. Como $N(p)=p^2=N(\alpha) N(\beta)$ e nin $N(\alpha$ nin $N(\beta)$ son iguais a 1, temos que $N(\alpha)=N(\beta)=p$, polo que, se $\alpha=u+iv$, entón $p=u^2+v^2$,q.e.d.

Vexamos para rematar que efectivamente -1 é un residuo cuadrático de calquera primo da forma 4k+1.

Coñecedes o Teorema de Wilson? Non? Pois se p é un número primo, entón:

$$(p-1)! \equiv -1(mod p)$$

(En realidade é que sexa primo é ademais necesario, pero como non se usa ese sentido do teorema, non o vou amosar)

A demostración é ben sinxela, se p é un primo impar(para o 2 é evidente):

Como $\mathbb{Z}_p$ é un corpo co produto, todo elemento non nulo ten inverso multiplicativo, e este inverso é ademais único. Aínda máis: supoñamos que un elemento a é inverso de si mesmo, é dicir, $a^2 \equiv 1(mod p)$, entón $p | (a^2-1)=(a+1)(a-1)$, polo que $p|a+1$ ou $p|a-1$. En conclusión, só $p-1$ e $1$ son inversos de si mesmos. De tal xeito que no produto $$(p-1)(p-2)(p-3) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1$$

todos os números do medio están emparellados entre eles, cancelando todos os produtos, e só quedan sós p-1 e 1, que multiplicados obtemos -1,q.e.d.

Pois agora collamos $m=\frac{p-1}{2}$, e escribamos o factorial deste xeito:

$$(p-1)!=(p-1)(p-2) \dots (p-m) \cdot m \dots 3 \cdot 2 \cdot 1= $$

Agrupando por opostos, 

$$1 \cdot (p-1) \cdot 2 \cdot(p-2) \dots m \cdot (p-m)\equiv 1 \cdot(-1)\cdot 2 \cdot (-2) \dots m \cdot (-m) \equiv -1 (mod p)$$

Que escrito de xeito compacto, 

$$\prod \limits_{k=1}^m (-1)^m k^2 \equiv -1(mod p)$$

ou o que é o mesmo

$$\prod \limits_{k=1}^m  k^2 \equiv (-1)^{m+1}(mod p)$$

ou ben

$$\left( m!\right)^2 \equiv (-1)^{m+1}(mod p)$$

Para rematar, se o primo p é da forma 4k+1, m+1 é impar(=2k+1), e por tanto, 

$$\left( m!\right)^2 \equiv -1(mod p)$$

Como estabamos a buscar desde hai un bo anaco.

Problems for the Million

 

O triángulo ABC é isóscele e P está na base.
Vedes algo?

Xa teño comentado en varias entradas que na época na que tiña que preparar as oposicións para acceder á docencia, hai case 20 anos, eu basicamente estaba dedicado a resolver os problemas elementais que daba atopado pola rede. Como sempre comento, o pragmatismo non é unha das miñas virtudes, aínda que esta situación tivo un xiro de guión interesante: na oposición que aprobei, caeron dous problemas de olimpíadas matemáticas. Problemas que non fixera antes, pero é de supoñer que o meu non-adestramento tivo que axudar.

Desa época gardo dous arquivos de problemas resoltos, supostamente un con problemas sinxelos e outro con problemas menos sinxelos, aínda que esa clasificación que fixera agora resulta case arbitraria. (agarrádevos: os sinxelos ocupan 200 folios e os menos sinxelos, 340) Case nunca reviso eses arquivos, hoxe ao rematar unha tarefa deume por mirar, e pensei en traer uns cantos problemas vellos para que as miñas hordas de lectores poidan divertirse como fixen eu naquel momento.

Sen un criterio claro, velaquí:

• Canadá 1985: Un triángulo ten lados 6, 8 e 10. Amosar que existe unha única recta que biseque tanto a área como o perímetro do triángulo.
• Australia 1988: Se o natural n ten k uns na súa representación binaria, entón o número $\frac{n!}{2^{n-k}}$ é un natural impar.
• Wisconsin 2006: Sexa S={2,3,22,23,32,33,222,...} o conxunto de naturais cuxas cifras son unicamente 2 e 3. Amosar que non hai 3 termos distintos en S que estean en progresión aritmética.
• Tau Beta Pi, Spring 2000: Unha urna contén 80 bólas, 72 verdes e 8 azuis. Extraemos bólas ao chou, unha a unha, ata que quitarmos todas as bólas azuis da urna. Cal é o valor esperado de bólas verdes na urna nese momento?
• Mathematical Reflections J123: Resolver en números primos a ecuación $x^y+y^x=z$
• Canadá 1982: Amosar que o número de permutacións de 1,2,..., n sen puntos fixos diferénciase nunha unidade do número de permutacións con exactamente un punto fixo.
• Eire 2002: Definamos a sucesión $a_n$ mediante $a_1=a_2=a_3=1$ e $a_{n+3}=\frac{a_{n+2} a_{n+1}+2}{a_n}$. Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.

E agora algúns deses problemas que caberían ao final dun boletín do instituto:

• Michigan Autumn 1996: O coche 1 percorre 27 millas a 43 mph e logo 27 millas a 56 mph. O coche 2 circula 27 minutos a 43 mph e logo 27 minutos a 56 mph. Cal dos dous coches ten maior velocidade media?
• Argentina Intercolegial, 2006: Nun parque só hai gatos de dúas cores: brancos e negros. Os gatos machos representan o 55% do total de gatos do parque. A proporción entre machos brancos e machos negros é igual á proporción entre gatos brancos e gatos negros. Achar a proporción entre machos brancos e femias brancas.
• Memorial's Local Undergraduate Competition Winter 2001: Amosar que $\frac{\sqrt{y^2+1}+y+x}{x \sqrt{y^2+1}-xy+1}$ é independente de x, supoñendo que o denominador é non nulo.
• Croacia 1999: Partimos da terna de números $(a_1,a_2,a_3)=(3,4,12)$. Levamos a cabo o seguinte proceso un número finito de veces: escollemos dous números $x, y$ da terna e substituímolos por $0,6x-0,8y$ e $0,8x+0,6y$. É posible obter a terna $(2,8,10)$(onde podemos permutar os elementos)? 
• Kömal B 4092: Atopar naturais a, b, c e d tales que o máximo común divisor de cada parella é maior que 1 pero o máximo común divisor de cada terna é 1. É dicir, (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)>1 e (a,b,c)=(a,b,d)=(a,c,d)=(b,c,d)=1
• Niels Henrik Abel 1994-95: Se $x,y \in \mathbb{R}$ tales que $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$, entón $x+y$=0
• Problemas de práctica para a Olimpíada Española, 80: As parábolas $y=cx^2+d$ e $x=ay^2+b$, con $c,a>0$ e $b,d<0$ córtanse en 4 puntos. Amosar que estes 4 puntos están nunha mesma circunferencia.
• Canadá 1969: Determinar cal dos dous números, $\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$ e $\sqrt{c}-\sqrt{c-1}$ é maior para calquera $c \geq 1$

Intúo que xa tedes problemas abondo desta xeira.

Máis problemas de Portugal

Cometín o erro de pasar pola web das Olimpíadas Matemáticas Portuguesas, como se fose novato no choio, pois xa tiven que pasar un anaco pensando varios dos problemas que atopei na proba final da categoría B, 10º/12º anos. Problemas que consisten, se tivésemos que resumir, en sumar números. Sumar, ahá. Iso non pode ser moi complicado. Vexámolos:

A Joana dividiu 365 por todos os inteiros desde 1 a 365 e somou todos os restos. Depois dividiu 366 por todos os inteiros desde 1 a 366 e também somou todos os restos. Qual das duas somas é maior e qual é a diferença entre elas?

Coido que nunca pensara unha cousa semellante, polo que tiven que poñerme. Despois do enunciado do outro problema, a miña solución.

Consideram-se todas as sequências de k elementos $(a_1, a_2, \dots, a_k) $ onde cada $a_i$ pertence ao conjunto $ \lbrace 1,2, \dots ,2021 \rbrace$  Qual é a soma dos menores elementos de todas estas sequências?

Este tamén me prestou, pero lembro lixeiramente resolver algún problema relativamente similar na época na que debería preparar as oposicións, hai case 20 anos. Polo que non me abraiou do mesmo xeito que o outro. Último aviso, que vén a miña solución.

O primeiro no que pensa un que estudou Matemáticas é en formalizar ao máximo o que sucede. Neste caso, para expresar a suma referida ao número 365, hai que atopar un xeito de escribir os restos das divisións. Pensemos na división por un número calquera, poñamos 34, a ver que sucede:

$365=34 \cdot 10+25$

De tal xeito que $25=365-34 \cdot 10$, polo que se atopamos un xeito de expresar o cociente, automaticamente expresaremos o resto.

E claro, haino:

Quen é 10? A parte enteira da división $365:34$, coa notación estándar, $10=\left[\frac{365}{34}\right]$

Polo que a suma dos restos que deixa 365 queda $$\sum \limits_{n=1}^{365} \left( 365- n \cdot \left[\frac{365}{n} \right] \right)$$

E a de 366, $$\sum \limits_{n=1}^{366} \left( 366- n \cdot\left[ \frac{366}{n}\right]\right)$$

Se un bota unhas poucas contas das implicadas nas sumas, verá que os sumandos respectivos adoitan coincidir, aínda que ao comezo non se vexa ben:

$$\left[\frac{365}{1} \right]=365 \neq 366=\left[\frac{366}{1}\right] $$

$$\left[\frac{365}{2} \right]=182 \neq 183=\left[\frac{366}{2}\right] $$

$$\left[\frac{365}{3} \right]=121 \neq 122=\left[\frac{366}{3}\right] $$

$$\left[\frac{365}{4} \right]=91=\left[\frac{366}{4}\right] $$

$$\left[\frac{365}{5} \right]=73=\left[\frac{366}{5}\right] $$

$$\left[\frac{365}{6} \right]=60 \neq 61=\left[\frac{366}{6}\right] $$

Vese xa a pauta?

Que teñen de característico os valores onde non coinciden os restos? Os primeiros son 1, 2, 3, 6, ...

Védelo? Unha pista?

O seguinte valor no que os restos respectivos son distintos é 61, pois

$$\left[\frac{365}{61} \right]=5 \neq 6=\left[\frac{366}{61}\right] $$

E aínda que non se vexa a razón, a simetría que se percibe nos cálculos anteriores ten que facer pensar nos divisores dun número, que como os donuts, veñen de dous en dous(comentario que deixei de facer hai unha década nas miñas clases). E con isto en mente, será máis evidente que os números nos que os restos difiren son os divisores precisamente de 366, que é $2 \cdot 3 \cdot 61$, i.e. $\lbrace 1,2,3,6, 61,122,183,366 \rbrace$

A razón é a seguinte: para que 

$$\left[\frac{365}{n} \right] \neq \left[\frac{366}{n}\right] $$

 ten que suceder que 

$$m=\frac{365}{n} < m +1 \leq  \frac{366}{n}$$

e como a distancia entre as dúas fraccións é só $\frac{1}{n}$ , para que

$$m +1 \leq  \frac{366}{n}$$

ten que suceder que 

$$m +1 =  \frac{366}{n}$$

i.e., 

$$\frac{366}{n} \in \mathbb{N}$$

e finalmente n ten que ser divisor de 366, como afirmara ao comezo.

Despois destas voltas, xa estamos en condicións de calcular a diferenza entre as sumas. Cada vez que a parte enteira coincide, é dicir, en todos os sumandos agás os correspondentes a 1, 2, 3, 6, 61, 122, 183 e 366, o resto vai ser unha unidade máis, é dicir, a diferenza entre 366 e 365. Pero nos casos enumerados arriba, temos que os restos de dividir 366 entre eles son nulos, pero os de 365 son 0, 1, 2, 5, 60, 121 e 182.

En conclusión, por un lado a suma dos restos ao dividir 366 ten unha vantaxe de 358 uns e a outra suma unha vantaxe de 1+2+5+60+121+182=371, o que implica que a suma dos restos de 365 sobrepasa á outra en 13 unidades.

Ou o que é o mesmo, pero queda máis chulo e esotérico,

$$\sum \limits_{n=1}^{365} \left( 365- n \cdot \left[\frac{365}{n} \right] \right)-\sum \limits_{n=1}^{366} \left( 366- n \cdot\left[ \frac{366}{n}\right]\right)=13$$

Como propina, déixovos esta fermosura que puxeron na proba final da categoría A, 8º/9º anos:

Na sua loja de botões, o Luís tem à venda apenas caixas com a botões azuis, caixas con b botões brancos e caixas com c botões castanhos. O  Luís só vende caixas completas. Sabe-se que:

• se um cliente quiser comprar tantos botões azuis como brancos, tem que comprar pelo menos dois milhares de botões.
• se um cliente quiser comprar tantos botões brancos como castanhos, tem que comprar pelo menos cinquenta centenas de botões.
• se um cliente quiser comprar tantos botões castanhos como azuis, tem que comprar pelo menos mil dezenas de botões 

Quantos botões tem cada caixa? Indica todas as possibilidades.

Solución da adiviña de visualización

No que vai de ano 2021 a entrada coa adiviña de visualización é a terceira con máis visitas(180), despois de O último flame co ensino das Matemáticas)225) e Exercicios tan malos que son bos(198). Isto unido a que sei que algúns dos que a lestes estades intrigados, animei a escribir esta entrada. Xa avisaba aló de que o contido non era matemático, así que agora non veñades con reclamacións(nin con sonoros Boooohs).

Sinceramente, pensei que era máis sinxelo do que se acabou vendo, pois para min os números de columnas e ringleiras xa eran abondo. Sen máis, observade as figuras que compartín naquela entrada sen borrar as etiquetas:

    

  

    

   

Concretemos a solución do misterio: as gráficas amosan as puntuacións medias de cada capítulo das temporadas de 4 series de televisión. Puntuacións dadas por usuarios rexistrados na impresionante web imdb(the internet movie database). O programador Jim Vallandingham creou a ferramenta SeriesHeat, na que podes pescudar calquera serie e observar un mapa térmico semellante aos anteriores, e Flowing Data falou de SeriesHeat a comezos de outubro, aí souben dela.

Desvelado o misterio, só queda unha cousa interesante: Que series estarán representadas nas 4 gráficas da entrada?

Déixovos unha animación do clásico matthen para ocultar o nome das series un anaco:

A Reuleaux triangle is built from 3 circles

Rematemos:

A 1ª serie, con 5 temporadas e entre 10 e 13 capítulos cada unha, é The Wire, a 2ª, The Sopranos, a 3ª, Dexter(observade a nota do último capítulo), a 4ª, Game of Thrones(toda a última temporada...) e a última, Doctor Who, famosa pola súa lonxevidade.

E agora, o comentario máis matemático: pensades que habería outro xeito máis acaído de presentar estes datos? Quizais contrastar estas puntuacións medias co número de votos de cada serie en imdb, a ver se amosa algunha correlación? Sería interesante ver algún parámetro de dispersión das puntuacións, non só a media?

Un trapecio e moitas paralelas

A primeira revista SUMA da FESPM que teño na casa é a número 56, de novembro de 2007. O outro día collina da balda, abrín ao chou e atopei un artigo de Claudi Alsina titulado Necesitamos más medios... y más medias. Ao final deste artigo aparece un problema que xoga con segmentos dentro dun trapecio. Alsina atribuía a autoría do problema a E.Beckenbach e R. Bellman, mais non indicaba a fonte, polo que fun buscar que libro era destes autores, que teñen unha fermosa Introduction to Inequalities e unha obra previa, laconicamente titulada Inequalities, que só recomendaría a fans hardcore das desigualdades(confeso que só mirei o índice e xa pedín papas; quizais fixeron a posterior Introduction por algo).

Sen máis dilación, ao choio.

Observade o seguinte trapecio, de bases a e b:

    

O exercicio consiste en calcular as lonxitudes dos segmentos paralelos ás bases marcados na figura:

• EF, que pasa polo punto de corte das diagonais.

• KL, que cumpre que os dous trapecios KLCD e ABLK son semellantes.

• GH, que está á mesma distancia de AB e de CD.

• MN, que fai que os dous trapecios ABNM e MNCD teñan a mesma área.

E loxicamente, se vistes o título do artigo de Claudi Alsina e o libro onte atopei logo o problema, teredes que facer algo con eses valores. Non digo máis.

Unha adiviña de visualización

Podedes dicir que esta entrada non é exactamente matemática, pero vaia, se vedes as entradas dos dous/tres primeiros anos do blog(exemplo 1, exemplo 2) tampouco é que isto fose Gaussianos.

Porén, isto é tan fermoso que non podía reprimirme.

Veña, sen máis dilación, que é isto?

Que blogger poña embaixo das fotos "Engadir lenda" neste caso cobra máis sentido

    

    

    

     

Pero esta adiviña tamén ten un aspecto matemático, relevante para a docencia en secundaria:

Unha vez que xa saibades de que vai o conto, hai algunha outra visualización axeitada para representar os datos? Que parámetros estatísticos contarían a historia tras estas gráficas?

Se acertades a adiviña e estades interesados, xa porei a fonte das gráficas.

Un xogo de puzzles 2D no espazo 3D

O título vén dado polo autor, Peter Lavigne, e na miña opinión é imposible melloralo.

O xogo chámase Orakyubu, e mestura, como facía Continuity(que quedou no limbo pola morte morrida do Flash), os puzzles dentro dunha pantalla cos crecacabezas clásicos. Mentres que en Continuity había que fedellar con pantallas bidimensionais que tiñamos que encaixar para poder resolver os puzzles, de novo, bidimensionais, en Orakyubu as pantallas son cúbicas, e hai que fedellar con elas no espazo co mesmo obxectivo.

Captura autoexplicativa

Non conto máis. Ide probar e veredes que este xogo tiña que vir ao blog.

Un asunto controvertido das Matemáticas de instituto

Todos os anos, cando chego á continuidade de funcións en Matemáticas I e introduzo o concepto e tento que a definición resulte natural, os alumnos non o saben, pero eu estou morrendo por dentro. Levaba un tempo coa idea de dedicar unha entrada a este fenómeno, e deume por buscar pola rede e resultou que dúas investigadoras da didáctica das Matemáticas na Simon Fraser University, Gaya Jayakody e Rina Zazkis, escribiron un artigo en For the Learning of Mathematics, Continuous Problem of Function Continuity, plasmando punto por punto as miñas ideas. Se ledes con fluidez inglés, tedes permiso para marchar deste blog e non mirar atrás.

A continuidade non aparece de xeito explícito no curriculum da ESO, aínda que se entende que en 3º e sobre todo en 4º é unha das "características das funcións" que aparecen nos contidos, xunto co crecemento, a periodicidade, os cortes cos eixes, etc. Se es un profesor dos que non mira o DOG, nos libros de texto sempre vén, problem solved. E se ves un libro de texto onde non se mencione como definición de continuidade que se poida debuxar a gráfica sen erguer lapis ou xiz, chanta captura nos comentarios. Obrigado.

En 1º de bacharelato, aproveitando a maquinaria que proporcionan os límites, xa é posible introducir o concepto contemporáneo de continuidade, mais o certo é que a definición rigorosa é esvaradía. Habitualmente a definición de función continua nun punto adoita ir así:

f é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se:

• $c \in Dom(f)$
• $ \exists \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)$ 
• $ \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$

E f non é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se algunha das condicións anteriores non se satisfai.

Claro, non?

Tres condicións que hai que cumprir para que unha función sexa continua nun punto, se non se cumpre unha, non será continua. E logo adóitase definir función continua como a que é continua en cada punto. Parece lóxico e pulcro, non?

E despois veñen os exemplos:

Función continua no punto que queiras,
OK, bonita, fermosa, TODO BEN

A ese punto despistado chamámolo descontinuidade evitable.
Se non hai o punto cheo azul, tamén

A isto salto finito

E a isto salto infinito

Estándar, non?

Pois algo tan aparentemente ben definido dá lugar a moitos problemas, algúns puramente nominais e outros máis profundos. Vexamos antes unha cuestión das non esenciais. 

Como lle chamaríades a esta descontinuidade?

Que é descontinua está en discusión?

Esta cuestión non é esencial porque, simplemente, non temos por que poñerlle nome a todas as eventualidades que xurdan. Vaiamos a cousas máis serias.

Observade a seguinte gráfica:

Que diríades agora? A función é continua en x=-4, poñamos por caso? E que opinades da función globalmente, é continua?

E esta outra?

Ten que haber un fenómeno semellante á pareidolia cando
ves gráficas e recoñeces formas máis complexas, seguro.
Estou ben, estou ben.    

Ides vendo o problema da definición? Se o punto non está no dominio, non hai continuidade, pero parece obvio que iso só soa ben a descontinuidade cando o punto que non está no dominio está preto de puntos do dominio. Para saber que significa preto, necesitamos a noción topolóxica de punto de acumulación. Na gráfica anterior, por exemplo, o punto x=0 non é de acumulación do dominio, polo cal non se ve axeitado considerar aló a continuidade. Mentres que nunha descontinuidade evitable o punto é o límite dunha sucesión de puntos do dominio; pensade vós que sucede nun punto onde hai un salto finito, nun cun salto infinito ou nun onde os dous límites laterais valen $+\infty$.

 

Cando un estuda o concepto de continuidade na carreira, ve que o contexto natural é o dos espazos topolóxicos, onde chegamos á definición global:

Unha función f entre dous espazos topolóxicos A e B é continua se a imaxe recíproca de calquera aberto V do espazo B é un aberto no espazo A, i.e., $$f^{-1}(V) \in \mathcal{T_A} \  \forall V \in \mathcal{T_B}$$

E nese contexto, considerando que en $\mathbb{R}$ temos a topoloxía usual como espazo métrico(a métrica é o valor absoluto ou calquera das infinitas equivalentes), podemos pensar agora nos exemplos anteriores se existe algún aberto cuxa imaxe recíproca non sexa un aberto, para o cal chega con analizar a imaxe recíproca dos intervalos abertos, que forman unha base da topoloxía.

Se imos á continuidade local, unha función será continua nun punto $x \in A$ se para toda veciñanza V de $f(x)$, existe unha veciñanza U de x tal que $f(U) \subset V$ (vedes o $\epsilon $ e o $\delta$ como se achegan reptando por aí?)

E aínda podemos utilizar unha caracterización secuencial da continuidade:

f será continua en $x \in A$ se a imaxe de calquera sucesión converxente a x é unha sucesión converxente  a $f(x) \in B$

Parade un chisco e notade que estas definicións presupoñen que o punto no que analizamos a continuidade forma parte do dominio da función. 

Concluíndo, a miña opinión é que a confusión coa definición de continuidade de instituto emana de 2 factores:

• A necesidade dos libros de texto de compendiar, de crear unha falsa ilusión enciclopedista. Todos os casos teñen que estar clasificados e enumerados.

• O feito de trabucar que unha función sexa continua con que a súa gráfica sexa homeomorfa á recta real, é dicir, que se poida establecer unha bixección continua coa recta real que ademais teña inversa continua. Que é unha propiedade ben máis forte que a mera continuidade.

Recoñezo que esta é unha teima persoal(si, outra), pois sempre que o falo con compañeiros, todos están contentos coa situación. E como finalmente na ABAU o que van ter que facer é calcular o valor duns parámetros para que unha función sexa continua, pois todo correcto, señor axente. Só padecerán as consecuencias os alumnos se estudan Matemáticas máis avanzadas e os seus profesores. Pero iso é noutra xanela.

Procedementos que nunca levei á aula

 Observade esta inecuación:     $$2 \left| x-2 \right| \geq \left|x+1\right|$$

Unha inecuación así podería aparecer nunha folla de exercicios do comezo de Matemáticas I, mais  dada a dificultade técnica que entraña, non estou certo de se algunha vez puxen algo semellante. O típico exercicio nese curso ten un aspecto como este, despois de manipulacións alxébricas: $$ \left| x-1 \right| \geq 3$$

, onde vemos que só aparece un valor absoluto, o que fai que poidamos fundamentar o algoritmo de resolución na caracterización do valor absoluto como distancia á orixe ou $\left| x-a \right|$ como distancia ao número a, que é consecuencia do anterior.

Pero utilizar esa aproximación á inecuación orixinal implicaría ter que buscar os números reais x que cumpren que o dobre da distancia de x ao 2 é maior ou igual que a distancia de x ao -1. Non parece moi operativo.

Co cal, o procedemento estándar(coido) para resolver unha inecuación así consiste en eliminar os valores absolutos utilizando de xeito intelixente que $\left| x\right|^2=x^2$, xunto co feito de que en $(0,+\infty)$, a función elevar ao cadrado é crecente:

$$\left[2 \left| x-2 \right| \right]^2 \geq \left[\left|x+1\right|\right]^2$$

$$4 \left( x-2 \right)^2 \geq \left(x+1\right)^2$$

E queda unha inecuación de 2º grao, propia de 4º de ESO, neste caso obtemos como solución $\left(-\infty,1 \right] \cup \left[5,+\infty\right)$

Ata aquí o que fixen/faría eu na aula. Pero nunca levei a cabo un enfoque máis obvio e menos artificioso, case dá vergonza dicilo: DEBUXAR AS GRÁFICAS DAS MALDITAS FUNCIÓNS.

Podería parecer que este método gráfico só vai dar unha aproximación á solución, pero o mero feito de debuxalas e notar que cada valor absoluto é unha función con dous anacos, fai que sexa máis sinxelo resolvelo tamén de xeito alxébrico, exacto.

Observade as gráficas:

Calquera variación vén dando unha figura análoga

Vemos que a rama decrecente da gráfica verde está por riba da vermella ata o 1, e a crecente da verde está por riba da vermella desde o 5. Isto tamén pode servir como inicio dunha discusión: cambiando as pendentes das funcións verde e vermella podemos obter solucións con aspecto distinto á inecuación?

Quizais sexa máis sinxelo razoalo cos cadrados, por iso de que os alumnos a estas alturas xa saben o nº máximo de solucións dunha ecuación de 2º grao?

Vexamos outro exemplo dun método que nunca levei á aula. En 1º de bacharelato unha das técnicas que se ensinan é o cálculo das asíntotas dunha función elemental, do estilo $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$

A técnica que emprego eu sempre vai así:

1. Observamos rapidamente que puntos teñen pinta de dar problemas, neste caso x=-2, e comprobamos se existe o límite neses puntos, se é finito ou non. No exemplo o límite pola esquerda é $-\infty$ e o límite pola dereita é $+\infty$, polo que hai unha asíntota vertical aí. Isto é o máis sinxelo do exercicio, pero algúns alumnos, influídos polo que fan en clase particular, cren que se o punto non está no dominio xa vai haber asíntota vertical, o que é obviamente falso, como podemos ver con $g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$
2. Despois pasamos ás asíntotas horizontais e ás oblicuas, que son excluíntes "polo mesmo lado". Miramos o límite en $\infty$ e $-\infty$, se o límite é finito e igual a k, temos asíntota horizontal $y=k$, se non é finito, pode que teñamos asíntota oblicua, para o cal hai que ver a "velocidade" do límite, comparando coa recta y=x
3. E dicir, calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$, que nos vai dar a pendente da asíntota se é finito e igual a m. E finalmente calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-mx]$ que nos dará a ordenada na orixe da asíntota oblicua.

Pois ben, cando un profesor (ou un alumno que entenda) ve unha función como $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$ sabe perfectamente que vai ter unha asíntota oblicua, dado que a función no infinito é como un polinomio de 1º grao. De feito vin compañeiros en twitter falar de que sempre facían o seguinte:

1. Efectúan a división implícita na función racional, $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$
2. Á vista da expresión de cociente e resto, como a fracción do final é nula no infinito, f(x) compórtase como a recta $y=3x-7$

E xa temos a expresión da asíntota oblicua. Dependendo do aspecto do cociente, teremos asíntota horizontal(se é un escalar), oblicua (se é un polinomio de grao 1) ou ramas parabólicas(se é de grao superior a 1). Por que nunca levei isto á aula, aínda que o teño comentado e boto as contas de memoria* usualmente? Basicamente porque en ningún lugar do curriculum restrinxe o cálculo de asíntotas a funcións racionais, aínda que é o que máis se fai, e vai aparecer noutros momentos, como no do crecemento das funcións na unidade de derivadas. Que pasaría coas seguintes funcións daquela?

$$h(x)=\sqrt{4x^2+1}\ ,\ \ i(x)=\log\left( \frac{1}{x}+3\right)$$

*En realidade o que fago é  $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=\frac{3x^2+6x-7x-14+14+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$, pero vaia, vén sendo o mesmo.

Por último, outra técnica que nunca levei á aula é o famoso novo método para resolver a ecuación de 2º grao que resultou non ser novo, como amosa esta entrada no blog de Don Steward. Esta situación é distinta ás anteriores, nas que si coñecía os métodos había tempo. Lembremos as posibilidades para resolver a ecuación xeral de 2º grao:

• Podes resolvela coa fórmula, o que semella ser o máis común a nivel español.
• Podes completar o cadrado, de xeito alxébrico ou de xeito puramente xeométrico, sendo isto último o máis raro por aquí(estou supoñendo).
• Se a ecuación é sinxela abondo, podes utilizar as identidades de Cardano-Vieta a ver se tes sorte.

Hai máis xeitos, pero normalmente necesitan que a ecuación sexa moi sinxela. Vexamos agora o non-tan-novo método cunha ecuación que non meta moito medo, $x^2-2x-3=0$

Esencialmente imos utilizar as identidades de Cardano-Vieta para reformular a ecuación. Como as dúas raíces da ecuación teñen que sumar 2, podemos escribir sen perda de xeralidade que terán o aspecto $1+y$ e $1-y$; e como o seu produto ten que ser -3, teremos a ecuación: $$(1+y)(1-y)=-3$$

E obtemos unha ecuación incompleta, que polo menos eu traballo previamente na aula:

$$1-y^2=-3 \rightarrow y^2=4 \rightarrow y= \pm 2$$

Só quedaría desfacer o cambio de variable, se $y= \pm2$, entón as raíces da ecuación orixinal son $-1, 3$

Vexo claro que este xeito de resolver ecuacións non é axeitado para 2º de ESO, cando aparecen por primeira vez no curriculum, pero en 4º xa é a segunda vez que amoso Cardano-Vieta, e tamén aproveito para introducir algunha ecuación cun parámetro, do estilo $x^2-(2n+1)x+n^2+n=0$, se este ano dou 4º pode que apareza dalgún xeito. Quen sabe.

O último flame co ensino das Matemáticas

Como xa saberedes todos, o flame desta semana de agosto veu provocado pola filtración interesada do borrador de curriculum de Educación Primaria, nada menos que a un xornal tradicionalmente tan preocupado pola educación como é El Mundo, e a aparición do enfoque socioemocional e a perspectiva de xénero no ensino das Matemáticas nese borrador. A estas alturas xa todos leríades os fíos de twitter e os artigos online que saíron co gallo desas 'novidades', agás os xornais cun paywall permanente:

• O fío de Anabel Forte
• O fío de Clara Grima
• O fío de Picanúmeros
• O fío de César Boullosa
• O fío de Daniel Ruiz Aguilera sobre o artigo de Amaya Michelena en Última Hora Mallorca
• Matemáticas con empatía, artigo de Anabel en El Diario
• Por qué es una buena noticia que las Matemáticas incluyan perspectiva de género, artigo de Marina Velasco no Huffington Post, con entrevistas a Anabel, Clara e ao compañeiro Alejandro Gallardo
• Si yo fuera geómetra, artigo de María Ramírez en El Diario
• Género, matemáticas y talento digital, de Liliana Arroyo en El País

Hai máis, non podo nin pretendo ser exhaustivo, eses son os que me pasaron a min por diante por twitter.

Tamén veríades as reaccións pretendidamente xocosas ao artigo orixinal do Mundo, con esta pescuda en twitter xa podedes coller o estilo e calidade dos chistes: Números, númeras 

E algúns menos veríades o borrador de curriculum, que unha inspectora de educación compartiu en twitter. Fixen unha copia no meu drive, por se acaso a inspectora pasa a ser ex-inspectora.

Tentei entrar en debate en twitter sobre o asunto, sen éxito. Así que lembrei que podía escribir a miña opinión neste blog, referente do ensino das Matemáticas entre os profesores do IES Canido que estudaron no IES Canido e viviron en Canido na súa infancia e adolescencia. Velaquí:

A primeira vez que fun consciente da dimensión emocional no ensino das Matemáticas foi relativamente tarde, cando collín, haberá ~12 anos, o libro Matemáticas para aprender a pensar. El papel de las creencias en la resolución de problemas, de María Luz Callejo de la Vega e Antoni Vila Corts; despois descubrín que xa era un tema recorrente na investigación sobre o ensino das Matemáticas, particularmente na resolución de problemas(mirade por exemplo este artigo de Schoenfeld de 1985). Lendo ese libro recoñezo que tiven momentos de pensar "claro, como non verbalicei isto antes?". E aínda que eu non son optimista sobre a magnitude do que se pode chegar a aprender na resolución de problemas, sendo eu licenciado en matemáticas e resolvendo/non resolvendo problemas case a diario, son consciente de que hai certa marxe con respecto ao ensino tradicional. Aproveito para compartir unhas liñas do libro que xustifican o dito:  

"Papel del profesor

La educación matemática está mediatizada por personas, fundamentalmente por profesores, que introducen a los alumnos en la cultura matemática. El profesorado planifica, desarrolla y evalúa su intervención educativa, toma decisiones acerca de las actividades a proponer, la metodología a utilizar o la manera de valorar el trabajo de los alumnos"

Neste blog xa falei hai ben tempo de cuestións relacionadas, mirade a entrada de hai 8 anos O medo ás Matemáticas, por exemplo. 

Volvendo á polémica da semana, confeso que son partidario de introducir o enfoque socioemocional no ensino vía BOE, aínda que todos saibamos que ninguén sabe que fai cada docente nas súas aulas e como vai repercutir o articulado dunha outra lei educativa niso. Tamén vexo ben a perspectiva de xénero en disciplinas onde tradicionalmente non houbo/hai mulleres que sirvan como referentes visibles. Non vou profundar no meu apoio, podedes ler os links de antes nos que xa debullan as razóns. 

A razón xenuína de escribir esta entrada é comentar as miñas obxeccións:

A obxección esencial é o feito de que esta introdución se apoie no desempeño das rapazas en PISA, e non se faga ningunha mención a datos académicos, máis sinxelos de interpretar e apegados ao curriculum de Matemáticas, non ao que opinan uns cantos economistas da educación e sectarios variados sobre o que teñen que ser as Matemáticas. Se a miña opinión como profesor serve a alguén, en media a nota das cativas na miña materia é algo mellor que a dos cativos, e apostaría que na ABAU sucede o mesmo; si é certo que a participación voluntaria en concursos competitivos como Olimpíadas, Canguro, etc., é menor. Pero vaia, que é o relevante, a súa aprendizaxe nas materias académicas, o seu desempeño no xoguete de economistas e sociólogos, a súa participación en competicións marxinais? Quizais haxa certa desconfianza implícita na métrica que supoñen as notas académicas?

Por outra banda, se analizamos a ratio de mulleres nos estudos superiores, veremos que en carreiras de Ciencias como Bioloxía ou Ciencias Aplicadas como Medicina, as mulleres son maioritarias, non falemos xa de Enfermería. En Química pasa algo semellante, de xeito máis paritario, e en Matemáticas no intervalo [1993,2008], como amosa o gráfico que compartiu Clara e aparece tamén no artigo do Huffington, houbo máis mulleres que homes, mais preto do 50/50. Onde hai realmente brecha, e houbo sempre, é en Física, na maioría das Enxeñerías e, de xeito abafante, no ámbito da Informática. Que transloce entón esta iniciativa desde o ministerio? Ademais de que desde o ensino se pode combater a estrutura da sociedade(penso agora no teito de cristal das científicas, provocado entre outros factores, na composición das estruturas de poder), que a área fundamental para combater esta situación é Matemáticas. Vaia, outra vez máis, que Matemáticas ten un lugar no ensino obrigatorio preponderante, o que levamos vivindo arredor de 40 anos. Non sei se volver salientar este papel non será contraproducente. Cando unha materia xoga o rol de determinar quen pode continuar estudos, que itinerario tomar, etc., non produce iso precisamente ansiedade nos alumnos?

Un aspecto no que nin reparara antes de poñerme a escribir esta entrada é como explicar a brecha que se dá nos estudos de formación profesional en campos nos que as Matemáticas que se necesitan son triviais, básicas ou polo menos non prohibitivas. Paréceme axeitado consultar datos do ingreso en ciclos superiores máis que en medios ou básicos, pois nos superiores non se dá o efecto do alumnado que non remata a ESO, maioritariamente masculino. Collín os datos do último ano que ten o Ministerio en EDUCABASE, quitei celas irrelevantes e apliquei un formato condicional. Podedes ver o resultado nesta folla incrustada ou aquí a folla orixinal:

Ordenei de xeito ascendente da ratio das mulleres para que non teñades que ir buscando. O nesgo é terrible.

Pois ben, xa que ninguén quere debater comigo, queda aquí a miña opinión. [/rant]

Preguntas sinxelas en Xeometría

 Hai unhas cantas cuestións xeométricas que nunca utilicei nas aulas debido a que non sei aínda como dar forma ás actividades de introdución. Vexamos de que estou a falar:

• Pode que lembredes unha aplicación/xogo que apareceu hai anos na que había que debuxar a pulso unha circunferencia co rato. Cando un remataba, a aplicación dicíalle como de boa era a tentativa. Compartín o xogo e o meu debuxo nesta entrada de hai 8 anos. Confeso que tardei un anaco en lembrar a app que era, pois buscando en google saen varias agora:

Draw a circle

Circular

E, finalmente, a que compartira daquela:

Circle Drawing

Xa comentara naquela entrada o xeito que tiña o gatiño ese de avaliar como de boa era a circunferencia: mediante a desigualdade isoperimétrica. Draw a circle só proporciona a %, sen indicar en que se basea, pero facendo probas intúo que fai o mesmo que Circle Drawing.

En troques, Circular utiliza varios factores: número de puntos trazados(non sei se aí inflúe máis o rato que o teu pulso), radio da circunferencia, suma de erros, erro/punto e desequilibrio. Este xeito de avaliar presenta unha dificultade obvia: como calcula o centro da circunferencia/radio, para despois calcular o erro en cada punto trazado respecto ao punto ideal? Resumindo, como determinar a "circularidade" dunha (tentativa de) circunferencia?

Todo isto lévame a pensar que quizais, este exemplo ben fermoso non é máis axeitado para unha clase de xeometría elemental. E por iso pensei en rectificar a figura tratada, e ir complicando o asunto:

Comecemos polo máis sinxelo, como de cadrado é un rectángulo calquera? Claro abondo, non si? Que sexa un rectángulo implica que os ángulos xa son os correctos, só hai que centrarse nos lados, e son os dous enfrontados iguais, co cal podemos intuír a resposta máis previsible: canto menor sexa a diferenza entre (en valor absoluto?) entre os dous lados iguais, máis cadrado será o rectángulo. Pero ademais desta resposta simple e efectiva, haberá algunha resposta alternativa? Algo relacionado coa circunferencia circunscrita? E coas diagonais, tanto coa súa lonxitude como co ángulo formado cos lados? Quizais son optimista de máis? 

Máis complicado, máis factores: como determinar como de cadrado é un paralelogramo? Aquí o obstáculo é obvio, por un lado hai que endereitar o lado/achegar a 90º un ángulo(os dous), por outro hai que igualar os lados. Se é demasiado evidente como actuar neste caso, podemos choutar a como determinar como de cadrado é un cuadrilátero? En caso de bloqueo, parar en etapas intermedias do estilo como determinar como de cadrado é un rombo, como de rectángulo é un romboide, etc.

Pasemos á seguinte cuestión:

• Se chamamos "sumar" dúas figuras planas a pegalas por un lado ou un vértice (aínda que os lados escollidos non sexan iguais), cales das figuras elementais "se reproducen" sumándoas? Por exemplo, dá igual como poñamos dous cadrados (sempre que non os superpoñamos se fosen iguais), a súa suma non vai ser un cadrado. Mentres que dous rectángulos si poden sumar un rectángulo, dous romboides un romboide, etc. Que tipo de figuras elementais son "reproducibles"? Teñen algo en común? Podes atopar algunha figura cóncava reproducible?

A seguinte cuestión asaltoume un día que coloquei unha pota na vitrocerámica sen que compartise centro co fogón:

• Se temos unha circunferencia que deixa visible un arco dunha curva por embaixo, como podemos saber se ese arco pertence a unha circunferencia tamén? Achega información que coñezamos que a curva completa sexa unha circunferencia? Ou tanto ten, e chega co arco só? Aínda máis: como contestaríamos a pregunta de se 4 puntos soamente están na mesma circunferencia?

Pareidolia minimalista

E agora, preguntas inocentes que non o son en absoluto, pero que sempre quixen compartir por aquí:

• Se che dan as dimensións de dous rectángulos, como saber se un cabe dentro do outro? Cabe un rectángulo 6x5 nun rectángulo 8x4? É suficiente, por tanto, que o rectángulo que queremos meter no outro teña menor área? Se xogamos con rectángulos grandes pero con altura pequena, veremos que non. Déixovos ligazón a un fermoso artigo do Mathematics Magazine, Rectangles in Rectangles, onde dan condicións necesarias e suficientes. Velaquí o comezo: 

Pinta de sinxelo non ten

De onde saíu este problema? Pois do análogo para o sospeitoso habitual da xeometría plana, o triángulo, do fabuloso One Hundred Problems in Elementary Mathematics(1964), de Hugo Steinhaus:

• Se che dan as dimensións de dous triángulos, como saber se un cabe dentro do outro?

 Este problema foi resolto en 1993 por K.A.Post nun artigo en Geometriae Dedicata. Cal é a vosa intuición: será máis sinxela a solución para rectángulos ou para triángulos? Que inofensivos se ven agora os cadrados e os círculos, non si?

Do artigo de Post

Como colofón, é ben curioso que soubese destes problemas bidimensionais moito tempo despois de coñecer que un cubo pode pasar por un furado practicado nun cubo do mesmo tamaño. Das tapas rectangulares dos sumidoiros supoño que xa saberedes, non?

Como non resolver un problema

 Esta mañá lendo cousas de Matemáticas e ensino tiña de fondo vídeos de youtube, e o algoritmo fixo que aparecese como recomendado un vídeo da canle Mind your Decisions, de Presh Talwalkar. Usualmente non vexo eses vídeos, pero teño entrado no blog cando vexo algún problema ou exercicio técnico prometedor, que foi xusto o que sucedeu hoxe. E que pode ocorrer cando vexo un exercicio técnico que me soa familiar? En efecto, cagala varias veces. Seguídeme neste percorrido repleto de fracasos parciais:

O problema era este(poño a imaxe enlazada e transcribo a LATEX por se acaso nun futuro a ligazón está rota):

Isto resólvoo eu en medio minuto...(spoiler: NON)

Se a e b cumpren que

$$\begin{cases} a \sqrt{a}+b\sqrt{b}=183 \\ b \sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 \end{cases} $$

Encontrar o valor de $$\frac{9}{5}(a+b)$$

O primeiro que pensei foi "ha, a ver que sinxelo é para min". E procedín a facer desaparecer as raíces para evitar a molestia de escribilas, $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b}$

$$\begin{cases} x^3+y^3=183 \\ y^2 x+x^2 y=182 \end{cases} $$ Restemos esas ecuacións...

$$x^3+y^3-y^2 x -x^2 y=1 \rightarrow x(x^2-y^2)+y(y^2-x^2)=1 \rightarrow$$

$$x(x^2-y^2)-y(x^2-y^2)=1 \rightarrow (x-y)(x^2-y^2)=1$$

E aquí, de memoria, intuín o que viña se sumaba as ecuacións, 

$$(x+y)(x^2+y^2)=365$$

E, confeso, que como non vin ningunha saída, pensei en desenvolver os produtos e quizais sumar ou restar os membros...

Experiencia abondo para non teimar 

Aí tiven unha crise de fe, e pensei en resolver o exercicio aínda que fose dun xeito feo, e xa volvería ao rematar ao comezo para resolvelo de xeito elegante. E comecei, avergoñado, como se fose un sistema das clases da ESO, despexando:

$$\begin{cases}  a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}=183 \\ b a^{\frac{1}{2}}+a b^{\frac{1}{2}}=182 \end{cases} $$

$$b^{\frac{3}{2}}=183-a^{\frac{3}{2}} \rightarrow b= \sqrt[3]{(183-a^\frac{3}{2}}$$

Chegado aquí, mirei para a outra ecuación, $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$ e pensei como despexar tamén b en función de a, co obxectivo de igualar as dúas expresións. Incrible ata onde cheguei:

$$b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$$

Que pensei? Pois considerar a ecuación como cuadrática en $\sqrt{b}$ con coeficientes en a:

$$\sqrt{b}=\frac{-a \pm \sqrt{a^2+4\sqrt{a} \cdot 182 }}{2\sqrt{a}}$$

E vin que ía saír unha ecuación de 6º grao, e por aí xa non ía pasar...

E agora que? Pois de súpeto pensei... E funcionará dividir as ecuacións? Non sería moi elegante, pois vai aparecer unha fracción fea moi preto de 1, pero outra cousa...

$$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{183}{182}$$

O que vén xa o intuídes:

$$\frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(b\sqrt{a}-a\sqrt{b})}{b^2a-a^2b}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a^2b-a^2\sqrt{ab}+b^2\sqrt{ab}-ab^2}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{ab(a-b)-\sqrt{ab}(a^2-b^2)}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{(a-b)\sqrt{ab}[\sqrt{ab}-(a+b)]}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}-1=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{365}{182}$$

Outra encrucillada. E agora?

Pois como un xa ten uns anos, ve as funcións simétricas automaticamente, polo que fixen o cambio $s=a+b, p=\sqrt{ab}$

$$\frac{s}{\sqrt{p}}=\frac{365}{182}$$

Claro que cunha soa ecuación non fas nada, polo que había que fedellar para atopar outra, e con certa esperanza, sumei as dúas:

$$(a+b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})=365$$

Se quería usar a estratexia previa, necesitaba escribir esa suma de radicais como función de s e p, o cal non é demasiado difícil:

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b=s+2\sqrt{p}$$

Polo que cheguei a:

$$s \sqrt{s+2\sqrt{p}}=365$$

Xa tiña dúas ecuacións en s e p:

$$\begin{cases} \frac{s}{\sqrt{p}}=\frac{365}{182} \\ s \sqrt{s+2\sqrt{p}}=365\end{cases}$$

Xa vai quedando pouco, despexei s na 1ª ecuación e utilicei a expresión na 2ª:

$$\frac{365\sqrt{p}}{182} \sqrt{\frac{365\sqrt{p}}{182}+2\sqrt{p}}=365$$

$$\sqrt{p} \sqrt{\frac{365\sqrt{p}}{182}+2\sqrt{p}}=182$$

$$\sqrt{p} \sqrt{\frac{729 \sqrt{p}}{182}}=182 \rightarrow p \cdot \frac{729\sqrt{p}}{182}=182^2$$

$$p \sqrt{p}=\frac{182^2}{729} \rightarrow p^\frac{3}{2}= \frac{182^3}{729}$$

$$p^3= \frac{182^6}{9^6} \rightarrow p=\frac{182^2}{9^2}$$

$$s=\sqrt{p} \frac{365}{182}=\frac{182}{9}\cdot \frac{365}{182}=\frac{365}{9}$$

Agora só quedaba atopar o valor de a e b utilizando a ecuación de 2º grao:

$$t^2-st+p=0\rightarrow t^2-\frac{365}{9}t +\frac{182}{9}=0$$ Este cálculo vóuvolo aforrar, e obter:

$$a=\left( \frac{14}{3}\right)^2, b=\left( \frac{13}{3}\right)^2$$

e a solución simétrica, claro.

E o resultado solicitado polo exercicio é $\frac{9}{5}(a+b)=73$

Pois vale.

Mirei a duración do vídeo, nin 6 minutos. Non pode ser. Que pasei por alto? Mirei outra vez

$$\begin{cases} a \sqrt{a}+b\sqrt{b}=183 \\ b \sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 \end{cases} $$

Fixen outra vez o cambio $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}$, agora que xa sabía que entón $x=\frac{14}{3}, y=\frac{13}{3}$

$$\begin{cases} x^3+y^3=183 \\ y^2 x+x^2 y=182 \end{cases} $$

E pensei "non pode ser, vai ser a idade, será que non vin veces a identidade":

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$

Agora xa é unha trapallada, sumando a 1ª ecuación máis o triplo da 2ª:

$$(x+y)^3=729 \rightarrow x+y=9$$

$$xy(x+y)=182\rightarrow xy=\frac{182}{9}$$ 

E o que queda xa o faría utilizando as funcións simétricas. Nun minuto. Algún de vós viu esta solución cando pasei rozando ao comezo da entrada? Como cando o protagonista dunha película non dá atopado o quid nunha situación? Pensade que peor sería que me gravase para que me vísedes fracasar en tempo real, como fixo Timothy Gowers varias veces. 

Seguídeme para ver máis desastres como este.

Unha actividade elemental para 1º de ESO

O outro día observei no contaquilómetros do coche que levaba 036452 quilómetros. Non é a primeira vez que reparo nestas situacións, mais desta levoume a pensar en como traducir a miña curiosidade por cuestións similares a unha actividade de aula.

Se seguides contas famosas no mundo do edutwitter-sección Matemáticas teredes visto iniciativas como a de atopar matrículas de multiplicar de tocamates (chantade esta pescuda e veredes), que é interesante, supoño, para traballar o cálculo mental(ou como insiste Pedro Ramos, cálculo pensado). Coa imaxe do seu blog non é necesario explicar máis:

Pode que sexa interesante buscar regularidades nesta imaxe

Pero para a aula de 1º de ESO (que felizmente volverei dar o ano que vén, probablemente) coido que é mellor outro tipo de actividade, unha actividade que fomente unha destreza que, confeso, non adoito fomentar. Coméntovos antes algunha actividade que si é recorrente na aula de 1º:

Cun número como 36452, omitamos o 0 inicial que non vai ter ningún papel aquí, é habitual pensar en:

• É múltiplo de 3? 

Isto é un exercicio automático para quen atenda en clase. Poden dividir entre 3 e ver que dá resto 2; poden utilizar o criterio tradicional e ver que 3+6+4+5+2=20 non é múltiplo de 3; poden utilizar o criterio pero riscando múltiplos de 3, 3, 6, 4+5 e quedar co 2; poden ver directamente que 36450 é múltiplo de 3, etc.

Cambiando 3 por outro número que non teña un criterio de divisibilidade dos estudados,

• É múltiplo de 99?

Este número é relativamente común nas tarefas das miñas clases pola súa factorización, $99=3^2 \cdot 11$, que reduce o exercicio ao mesmo có apartado previo. Coñecendo os criterios do 9 e do 11, é un simple exercicio de práctica. Se o alumno non os domina, ou non os ve, sempre pode facer a división.

Pero máis interesante é preguntar:

• É múltiplo de 37? (escollo esta base para que sexa áxil) En caso contrario(=non vai ser múltiplo de 37), cal é o seguinte múltiplo de 37 despois de 36452? Ou mellor aínda, cal é o múltiplo de 37 que está máis preto de 36452? 

Por sorte non se estuda un criterio de divisibilidade para o 37, polo que o exercicio resulta máis interesante. O camiño máis obvio para moitos alumnos consiste en dividir 36452 entre 37 e mirar para o resto. Como as calculadoras actuais fan divisións con resto, obtemos rapidamente, C=985, R=7.

E vemos que 36452-7 é múltiplo de 37, polo que o seguinte múltiplo de 37 é 36452-7+37, ou directamente, 36452+30. Pero pode ser que algún alumno vexa que 36452 está preto de 37000, e a partir de aquí, ou ben razoar sobre 37000-36452=548(isto non o vin moitas veces nas aulas), ou ben traballar sobre 37000-370=36630, 36630-37·5=36445, e quedamos a 7 do número da pregunta( esencialmente isto si o vin nas aulas, e case sempre en perfís de alumnado moi mangante)

Ata aquí, nada novo. Imaxino que este tipo de exercicios fácemolos todos nas aulas de 1º de ESO. Ata pode que nalgún libro de texto inclúan todas estas posibilidades, aínda que seguramente sen pretender buscar camiños distintos, xa falei deste fenómeno por aquí.

Vaiamos ao que pensei eu pola AP-9 ao ver a quilometraxe 036452, que aviso, pode que xa o fagades todos e sexa eu o último que o pensou. Pero claro, non tedes un blog.

Os 6 números que aparecen son case consecutivos, temos o 0 desconectado e logo 2-3-4-5-6 desordenados. A pregunta que me asaltou automaticamente conducindo foi: cantos quilómetros faltan para que o número do display conteña 6 números consecutivos? Hai cantos quilómetros sucedeu?

Podemos enlear máis a pregunta, pero basicamente trataría de razoar sobre a notación posicional. 

O exercicio non é especialmente difícil para 1º de ESO, pero ten unha cousa boa, á que me refería ao principio: serve para que os alumnos teñan que explicar por que o número que atoparon efectivamente é a solución ao exercicio, cousa que non sucede con ningunha das tarefas comentadas previamente. E como haberá solucións trabucadas, serve tamén para que modifiquen explicacións erróneas, que parezan correctas nun primeiro momento pero que caian pola evidencia de ver un número con 6 cifras consecutivas menor que o atopado polo propio alumno.

Tedes algunha pregunta elemental axeitada para 1º de ESO que non leve a exercicios mecánicos?

Agardo.