27.10.15

Bojagi


Lembrei tarde este xogo, pois xa rematara a unidade de Divisibilidade en 1º de ESO. Porén, leveino onte á aula para que xogasen os alumnos que remataran a folla de problemas de introdución aos números enteiros (i.e., aos números negativos).

A pantalla de inicio do Bojagi só amosa un xogo, ben básico. Premendo no botón List veredes os últimos niveis creados polos usuarios, trocando o número do final da URL podedes xogar tamén os anteriores. 
Coido que creara un nivel eu mesmo cando atopara o xogo, mais como a listaxe non é moi amigable, non me quedou outra que crear un novo nivel. A imaxinación non me deu para máis e chameino 13². É sinxeliño, pódese resolver linearmente:

Outro día fago un cheo de cadrados con números primos


Polo visto o xogo non é orixinal, o cal non é unha sorpresa dado o natural que é a súa mecánica. Na web de Simon Tatham atoparedes unha versión (el mesmo recoñece a un programador previo, nikoli, pola invención do seu xogo Shikaku), chamada laconicamente Rectangles, que é menos atractiva visualmente pero con máis opcións de xogo. 

Para os profesores: Non vos parece axeitado para practicar os divisores e o modelo do produto como área?


23.10.15

Pensando un chisco


Revisando as alertas que me deixa o Big Brother no gmail, concretamente as da comunidade Mathematics Educators en Stack Exchange, atopei How do you explain why perpendicular lines have negative reciprocated slopes?. (Non vaiades aínda á ligazón)

Ao ver o título, e como este ano dou Matemáticas I, antes de entrar no fío estiven a pensar no que adoito facer nese curso para amosar esta coñecida propiedade, tradución alxébrica dunha propiedade xenuinamente xeométrica. E creo que non me trabuco se digo que o habitual é utilizar trigonometría, pois previamente os alumnos ven as relacións entre as tanxentes de dous ángulos e a da súa suma/resta, e tamén como escribir a pendente dunha recta como tanxente do ángulo asociado naturalmente.

Pero, é necesario? Cando un fai o debuxo, que é o primeiro que ve?

   


Observemos máis de preto esta figura:


   


Se as rectas son perpendiculares, non é obvio que estamos nas condicións do Teorema da Altura?


Supoño a obxección didáctica: temos que considerar que os números $m_1$ e $m_2$ teñen signo(no exemplo o segundo é negativo), co cal realmente teríamos demostrado que os seus valores absolutos son inversos, e faltaría comentar este feito para rematar a proba. Ademais disto, vedes algún problema que eu non vexa nesta demostración?


Agora xa podedes ir ao fío de Math Educators. Paga a pena.

20.10.15

O seno da suma (cunhas poucas palabras)


Lendo un manual sobre como ensinar Matemáticas, How to Teach Mathematics de Steven G. Krantz, atopei esta estratexia para demostrar a fórmula do seno da suma de ángulos. Como este ano estou a dar Matemáticas I, aproveito o blogue para ter a imaxe a man.

Imos ver que $$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta$$

A idea é ben sinxela: creamos dous triángulos rectángulos cun cateto común e con ángulos $\alpha$ e $\beta$ (isto vai representar unha eiva na demostración, a que se adoita facer tampouco funciona para ángulos non agudos) e xuntámolos de tal xeito que formen un triángulo cun ángulo $\alpha + \beta$:

   


Agora razoamos sobre as áreas dos triángulos implicados:

A área do triángulo rectángulo superior é $\frac{a h sen\alpha}{2}$, a do triángulo rectángulo inferior é $\frac{b h sen\beta}{2}$, mentres que a área do triángulo grande é $\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}$
Igualando:

$$\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}=\frac{a h sen\alpha}{2}+\frac{b h sen\beta}{2}$$ (1)

Traballando nos triángulos rectángulos obtemos:

$cos\alpha=\frac{h}{a}\rightarrow h=a cos\alpha$
e
$cos\beta=\frac{h}{b}\rightarrow h=b cos\beta$

Utilizando estas dúas igualdades en (1):

$$\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}=\frac{a b \cdot sen\alpha cos\beta + b a \cdot  cos\alpha sen\beta }{2}= \frac{ab \cdot (sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta)}{2}$$

De onde obtemos a consabida igualdade:

$$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta$$

Esta estratexia non funciona directamente para probar a fórmula do coseno da suma, para isto teremos que argallar previamente co Teorema do Coseno.

14.10.15

Number Sense


Onte colleume o timbre comezando o apartado de Notación Científica en Matemáticas B de 4º de ESO (si, son deses profesores...) polo que improvisei sobre a marcha algo para comezar. Como creo que pode ser útil para comprobarmos o sentido numérico dos alumnos, déixooo por acó.


Coloca no seguinte segmento o número $\small{10^5}$

   

Coloca no seguinte segmento o número $\small{10^{-2}}$ e $\small{10^{-4}}$


   

No momento non se me ocorreu que tamén sería interesante colocar números como $\small{5\cdot 10^{4}}$ ,$\small{8'7\cdot10^{-2}}$ ou $\small{-2'1\cdot10^{-3}}$, cousas de improvisar...

Para rematar: a actividade é axeitada para introducir a unidade de potencias de expoñente negativo ou notación científica cando non sexa a primeira vez que a vexan os alumnos. Tendo en conta que estas cousas xa foran traballadas en Matemáticas e Tecnoloxía en 2º e 3º, en Ciencias Naturais en 2º e 3º e en Física e Química en 3º, os alumnos xa terían que ter claro o concepto de orde de magnitude. 

6.10.15

Solución do problema de optimización de Princeton


Non é habitual que escriba solucións neste blogue, pero xa que unha lectora fixo un comentario ao problema aludido no título, o post de hoxe vai ser unha excepción.

Lembremos o problema:

Como vemos na figura, os cadrados ABCD e CEFG están colocados xuntos (i.e., C está entre B e E e G está entre C e D). Se CE=14, AB>14, calcula a área mínima do triángulo AEG.


 
Para axudar á intuición sempre temos dispoñible o Geogebra, que introduce movemento nas figuras dun xeito moi sinxelo:


Podedes facer scroll coa roda do rato e mover o esvarador 


O texto que aparece no applet é dinámico, aínda que non o pareza, pois sempre toma o valor 98. Se for deste xeito, a solución do problema é inmediata: o valor mínimo desa área é 98. Vexamos que este feito é case obvio, marcando un punto máis no debuxo:

   
A área do trapecio rectángulo ABCG coincide coa área do triángulo rectángulo ABE, pois a suma das bases do trapecio coincide coa base do triángulo (AB+GC=BC+CE) e as alturas tamén (BC=AB). De aquí deducimos que o triángulo AGH ten a mesma área que o triángulo HCE (pois sumando estas áreas á do trapecio ABCH obtemos, respectivamente, as áreas de ABCG e ABE). Finalmente deducimos que a área buscada do triángulo AEG coincide coa do triángulo CEG (que é a metade do cadrado fixo), pois as dúas proceden de sumarlle á área GHE os valores idénticos (AGH) e (HCE). Por tanto a área de AEG é sempre 14·14:2, independentemente do valor do lado AB, q.e.d.