Tropos en Matemáticas

 

No dicionario da RAG

Supoño que o amable lector saberá dos seus tempos de educación primaria e secundaria o que é un tropo. Eu estudei os recursos estilísticos en 7º de EXB, clasificados en semánticos, morfosintácticos e fonéticos, e dentro dos semánticos, que o profesor de Castelán comentase que a metáfora, a metonimia e a sinécdoque eran tropos. E lembro pensar como se parecía ao que contaban en Naturais dos fototropismos , xeotropismos e hidrotropismos(o gusto polas clasificacións será común en todos os sistemas educativos do mundo?) Estrañamente, non dixen nada en clase, a explicación máis probable é que estaría falando con alguén.

Mais na linguaxe cinematográfica en inglés hai un termo, movie trope, que parece facer referencia a estes tropos da literatura mais en realidade ten un significado máis próximo a tópico, tema ou motivo recorrente, ou incluso cliché ou estereotipo. Cuns exemplos entenderedes perfectamente de que estamos a falar:

Cantas veces vistes unha escena na que un personaxe esperta de ter un pesadelo e incorpórase case sen folgos?

Un protagonista metendo a zoca falando mal doutro personaxe, que está xusto detrás do primeiro?

Un vilán que ten deformidades faciais?

O policía que é moi eficiente pero ten problemas coa autoridade e con cumprir coas leis/dereitos humanos?

Deixando a un lado o oportuno destes temas recorrentes ou o preguiceiro que resulta o estilo, o certo é que supoñen atallos na narrativa. No momento que aparece unha escena, situación ou personaxe con estas características, todos os afeitos á linguaxe cinematográfica recoñece dunha ollada o que quere transmitir. 

A este significado quería referirme co título da entrada, i.e., cantas imaxes, exemplos, etc., son facilmente recoñecibles se as vemos nun encerado dunha aula de Matemáticas?

Vou poñer algúns das miñas propias clases e algúns que vin en innumerables ocasións en libros ou documentos pola rede. Estou certo de que ides recoñecer todos instantaneamente:

Depende de se están marcados os ángulos ou non, pensamos
 en algo que aparece en 1º ou en 2º de ESO

Outra, habitual en números racionais en 3º:

   

Un exemplo da aritmética/álxebra:

   

Recoñezo que a imaxe anterior, sorprendentemente, a utilicei desde o meu primeiro ano de traballo, mentres que as seguintes, que ilustran propiedades máis elementais, tardei uns anos en ver a necesidade:

  

Nesta tiven que facer trampa. Na aula non amoso un gif, senón que debuxo só a cuadrícula da esquerda e fago que todos os cativos xiren 90º a cabeza para ver o rectángulo con base e altura intercambiados. Coido que xa o contara por aquí.

 E aínda máis elemental, aínda máis recente a incorporación ás miñas aulas,

   

Neste caso o que fago é poñerme á esquerda e mirar desde aló á secuencia de puntos e logo moverme á dereita e mirar no sentido contrario.

Pero quizais estas últimas imaxes non sexan tan habituais das aulas en xeral, volvamos a algo recoñecible como estándar.

É unha verdade universalmente recoñecida que cando os triángulos
rectángulos están pousados na hipotenusa, vas aviado

Cúbicas bonitas, claro

E a imaxe anterior admite variacións para converterse nunha das imaxes máis típicas:

Cando animo os puntos no geogebra fago ruidiños polo baixo,
simulando un one button game dos tempos do Flash

 

E que dicir desta?

 

Aposto a que a anterior aparece moito máis que este outro caso, por que será, eh?

  

Outro clásico:

   

Agora mesmo xa só veñen exemplos rebuscados á memoria. Imos deixar que repouse e quizais volva con outra entrada. Podedes mandar as vosas suxestións, serán benvidas.

Que avalía a Avaliación Diagnóstico? (again)

Hans Freudenthal looking right into your soul

 

Dez anos despois da entrada que dediquei aos contidos da avaliación diagnóstico, probas que daquela seguían os preceptos da LOE, volven estas probas. Mirade se pasaron anos, que ademais de que neste intervalo xa padecemos unha lei que marchou felizmente e outra que chegou desgrazadamente, o termo Wordle non evocaba un xogo de palabras ao estilo do aforcado, senón unha nube de palabras. Sic transit gloria mundi.

Mellorando as cantigas de amigo gratuitamente.
De nada, Galiza

O motivo de que volvan de xeito universal a 4º de Educación Primaria e a 2º de ESO é que están prescritas no artigo 144 da LOMLOE. Por que levamos tanto tempo sen probas deste tipo? Pois porque a LOMCE estaba máis enfocada a facer reválidas, que tamén foron un fracaso e non se levaron a cabo.

E de súpeto temos que ocupar dous días nos institutos en que os alumnos de 2º de ESO fagan probas de Castelán, Galego, Inglés e Matemáticas. Setenta minutos para contestar uns cuestionarios cun feixe de texto, moito irrelevante, posto para facer que os alumnos teñan que pescudar o imporante. E logo os profesores que non dan clase neses niveis teñen que volcar os datos dos cuestionarios, que maioritariamente teñen items de resposta múltiple, nunha plataforma da administración. É dicir, eses profesores van ter que picar en menús nunha web. Estupenda utilización dos docentes. Nas materias lingüísticas si hai moito que roer, polo que me contaran unhas compañeiras, e a rúbrica que teñen que aplicar para volcar logo as respostas é kafkiana.

Ben, antes de entrar nos contidos da proba de Matemáticas, procedo a contar o que fixen eu con estes alumnos en 1º e 2º(cos cambios de grupo, deilles clase a máis do 75%). Son especialmente lento dando clase, o que contrasta con que falo especialmente rápido. Pero globalmente, son lento. En 1º pasei un mes revisando a aritmética elemental, propoñendo distintos contextos, algúns lixeiramente relacionados coa combinatoria, para afondar na comprensión(iso pretendía eu) da multiplicación e a división. Isto provocou un atraso que aínda inflúe no que damos. Despois o habitual de Aritmética: Divisibilidade, Enteiros, Fraccións, Decimais, Proporcionalidade, e Potencias de xeito máis ou menos transversal. De aí cambiamos á introdución á Álxebra, que comecei, como fago hai máis de dez anos, traballando o concepto de variable a partir da identificación e construción de patróns xeométricos(e en menor medida, aritméticos), traballando inicialmente os monomios como na Álxebra Xeométrica de Euclides. Logo ecuacións e problemas susceptibles de ser resoltos alxebricamente. E xa deu tempo nada máis a iniciar a Xeometría, lonxe do que se fai nos libros de texto, insistindo nos razoamentos, aínda que fose humildemente, facendo caza de ángulos, razoando as propiedades elementais das figuras. E acabou o curso estudando un chisco as propiedades métricas das figuras planas. Con respecto ao programado, que correspondía coa lei loxicamente, non vimos nada da introdución ás Funcións nin á Estatística. E quedaron cousas de Xeometría. En 2º no que vai de curso, afondamos na Aritmética de 1º, e contidos novos de Álxebra só chegamos a ver Polinomios e Ecuacións de 2º grao. No que queda de curso veremos Sistemas de Ecuacións e as cuestións fundamentais da Xeometría do Triángulo. Pois aínda queda máis de mes e medio de traballo ordinario. Xa contei algunha vez, por aquí ou por twitter, que no meu centro decidimos, dada a magnitude do curriculum e o traballo de unidades 0 en 1º de ESO, comezar 3º de ESO polo bloque de Estatística e Probabilidade, para logo continuar por Funcións. Os que levamos anos traballando xuntos pensamos que é impracticable traballar ben todo todos os anos.

Pero que saberemos nós.

Dito isto,  que entrou na avaliación diagnóstico? Velaquí unha explicación sucinta de cada ítem

• P1: mandaba identificar a representación axeitada para unha táboa de datos.
• P2: pedía que tomasen unha decisión nunha votación obtendo porcentaxes.
• P3: o mesmo que a P2 despois dun cambio nos datos da votación.
• P4: usar unha escala nun mapa.
• P5: identificar unha cantidade expresada en notación científica.
• P6: decidir como aloxar uns peregrinos nun hotel que ten cuartos dobres e triples.
• P7: na situación anterior, botar contas sobre o orzamento que teñen para aloxarse noutro hotel.
• P8: decidir que dimensións son necesarias para saber cantas tendas de campaña caberían nun galpón, sen operacións.
• P9: comparar o número de mochilas que caben nunha cesta da que se coñecen as dimensións sabendo cantas caben noutra da que tamén coñecemos todo.
• P10: decidir entre dous modelos de cestas de base cadrada cal habería que usar para levar unha mochila, da que se coñecen as tres dimensións.
• P11: decidir cal de 4 expresións radicais é a axeitada para calcular a diagonal especial dun ortoedro.
• P12: identificar cantas racións de torta venderon 3 rapaces sabendo cantas venderon en total e cantos cartos gañou cada un, e dicir se son V ou F tres enunciados.
• P13: ter en conta un feixe de cantidades de cartos(prezo dun bus, transporte de equipaxe, aloxamento, etc.) para determinar  cantos cartos pagará cada alumno e distribuílos en cotas mensuais.

Observades a (non) sofisticación? Tendo en conta que na pregunta da notación científica só había unha das opcións na que a cantidade estivese expresada en notación científica, que na P10 había que identificar unha raíz cadrada(este vai ter poucas respostas correctas porque cadrada estaba oculto entre moito texto), e sobre todo, que en toda a proba o único uso explícito da álxebra aparece no contexto do Teorema de Pitágoras (e para nada, ademais, era cousa de identificar soamente $\small{D=\sqrt{60^2+d^2}}$). Se fixesen esta proba en 3º ou 4º, estou certo de que si habería máis álxebra, pero só como escusa para que tivesen que chantar números en fórmulas, como en certos exemplos infames liberados de PISA, como

M047

ou

M124

Se queredes ver as fontes, velaquí.

A primeira reacción quizais sexa pensar que un profesor de aula podería guindar ao lixo o curriculum e centrarse en facer actividades con moito texto, nas que haxa que facer sumas, restas, multiplicacións, divisións, e pode ser, algunha raíz cadrada. Pero ademais de que, como amosa o feito de que os alumnos que mellor contestan os items de PISA son os que teñen unha formación máis técnica(non son preparados explicitamente con tarefas como pide PISA ou esta avaliación), como profesor, responsable dos seus alumnos, un ten que saber que restrinxindo o ensino das Matemáticas a esta visión timorata faría un fraco favor aos seus alumnos. Se o que se pretende que saiban ao rematar 2º de ESO é aritmética moi elemental e pelexar con textos innecesariamente abstrusos, afirmo rotundamente que non van poder continuar con estudos máis avanzados.

Claro que pode ser que quen deseña esta avaliación non teña en conta esa eventualidade.

Procurando Bonus

 

Con tanto esvarador, para facer o gif tiven que recorrer a capturar a pantalla

Falei por aquí algunha vez dos bonus nos meus exames? Supoño que algo diría, pero indo case por 850 entradas, nin google atopa de xeito rigoroso os termos, polo que haberá que explicar minimamente o que son:

Non sei exactamente cando, dando clase en Cedeira pensei que sería boa idea engadir ao final dos exames un problema baixo o título de Bonus. Tal problema é voluntario, en consecuencia non conta na cualificación do exame, e ten que ser algo difícil, un chisco alternativo, aínda que nestas característica recoñezo que son moi laxo. A función orixinal do Bonus era valorar que algún alumno resolvese problemas fóra dos mínimos habituais; simultaneamente cumpre a función de ter entretidos aos alumnos que acaban cedo os exames(aínda que veño notando que cada vez hai menos).

De onde saen os Bonus? Maioritariamente das miñas fontes habituais, que xa comentei por aquí: do concurso Log1 de Mu Alpha Theta, da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, dos concursos da University of Waterloo, algunha vez do Canguro Matemático. E a estas alturas da partida, tamén de cousas que se me ocorren a min lin nalgún sitio que xa non lembro. Velaquí uns exemplos ao chou, capturados de exames(como se fosen in game):

Este caeu a 1ª vez en Matemáticas I en Cedeira, collino no Log1, e hai uns
anos en Canido deu lugar a dúas solucións distintas ben fermosas

Esta preciosidade, en 1º de ESO en Canido en 2019

Matemáticas I, Canido 2022, inventado por min(o que non ten moito mérito)

Canido, 3º de ESO, 2019. Orixe tradicional

Podedes intuír que un problema sirva como Bonus ou non depende de varios factores, sendo un dos máis relevantes o momento do proceso de aprendizaxe no que estean os alumnos. Un problema auténtico a comezos de 1º de ESO pode ser un exercicio mecánico dous meses despois, por exemplo.

Co terceiro trimestre comezamos o bloque de Funcións, que vai desde os rudimentos ata a Derivada e as súas aplicacións. Os contidos que hai que tratar son ben coñecidos por calquera profesor que estea na aula(sobre a opinión dos lexisladores habería moito que roer), o tempo é limitado para o denso que é o que hai que asimilar, co cal hai certos procesos polos que hai que pasar en voo rasante. No mellor dos casos.

E dei en pensar que podería incluir o recoñecemento de funcións como bonus ou como exercicios algo fóra do habitual nun boletín ordinario, aínda non sei que farei. Déixovos por aquí varias ideas, todas no formato de "Atopa a expresión alxébrica das funcións que teñen estas gráficas":

Está claro por onde hai que mirar, pero hai que axustar ben a orde. 

E cando un ve esta outra, é máis sinxelo distinguir o que sucede na anterior

Pero vaia, que se as dúas primeiras quizais son demasiado enleadas para comezar, podemos introducir antes estas:

     

É interesante relacionar estas dúas coas dúas previas

A relación e diferenza entre esta e a seguinte encántanme

 Non diredes que non prestan, eh?   

E agora, cambiando a función que aparece nas anteriores todo o tempo,

    Como canas dobrando ao vento

Son o único que lle pon son aos anacos da gráfica, algo como "IIIIIEEEEEEHHH"?
(Si, seguramente é tara miña)

É ou non é a composición de funcións un rebumbio fenomenal?

Aínda que ningún exemplo dos anteriores vai substituír o exemplo da non conmutatividade ao poñer os calcetíns e os zapatos, ou os calzóns e os pantalóns, que nun caso define á xente normal, e no outro, aos superheroes.

Unha pregunta recorrente na aula

 

Resultado de poñer Math Education Wars na IA de Bing.
Atención á dobre regra-transportador

Hoxe nunha aula de 2º de ESO inventei sobre a marcha este contexto sen preocuparme de que non tivese sentido ningún:

Nun instituto o 6% do alumnado ten astigmatismo. Sabendo que son 21 alumnos, atopa o número total de alumnos do centro.

(Mirei logo na casa e atopei que en España a prevalencia vén estando polo 25%)

Este tipo de problemas xa foron traballados en 1º de ESO, o que non quere dicir que todos os alumnos os saiban resolver. Para alguén cun chisco de dominio do contido, simplemente habería que dividir 21 entre 0,6, mais eu non son moi partidario de introducir en 2º os tantos por un para todo o grupo, pois a maioría simplemente aprendería de memoria o procedemento. En calquera caso, estamos comezando as porcentaxes, aínda non saberían manexalos.

Pois ben, se o problema non é nin difícil nin sequera exclusivo deste curso, que veño a comentar hoxe?

Pois algo que supoño que moitos compañeiros, senón a maioría, farán nas súas aulas(a estas alturas xa saberedes que eu non fago nada espectacular), que é, antes de resolver o problema, preguntar:

Se vos deixo cambiar un número dos que aparecen, cal escolleriades e por que outro número o substituiriades? E por que?

As respostas de hoxe foron:

• Cambiar o 6% por un 5%, porque era máis sinxelo facer "paquetes" de alumnos a partir do 5%

• Cambiar o 6% por un 50% ou por un 25%, que son porcentaxes sinxelas e podemos recuperar o 100% cunha conta evidente.

• O anterior deu lugar comicamente a cambiar o 6% polo 100%, aínda tardou en saír.

• Cambiar os 21 alumnos con astigmatismo por 6 alumnos.

• Cambiar  6% por 7%, porque así a relación entre a % e o número absoluto era máis evidente(o 1% equivalería a 3 alumnos)

Non botades en falta ningunha escolla obvia? Efectivamente, tiven que ser eu quen apuntase que tamén sería sinxelo resolver o problema se 6 alumnos fosen o 1% do total do alumnado.

Despois desta conversa, na que non participou toda a aula, como é habitual, deixei un anaco para que resolvesen o problema orixinal. Pedín ideas pero eu no encerado amosei o xeito "canónico", o que funciona independentemente de que números estean implicados; chamando x ao número total de alumnos,

$$\frac{6}{100}=\frac{21}{x}\rightarrow x= \frac{100 \cdot 21}{6}=350$$

E finalmente indiquei a relación que hai entre o procedemento para calcular unha porcentaxe dun número e este, no que calculamos o número coñecendo unha porcentaxe. Que esencialmente é a relación que hai entre a multiplicación e a división, outra vez máis.

Esta "estratexia" de pedir que modifiquen datos dun problema ou exercicio para que resulte máis sinxelo ou inmediato é común nas miñas clases. A principal eiva que ten é a indicada previamente, depende da implicación nas conversas de aula. Non pido que o fagan en grupos por optimizar o tempo, como é común nas miñas clases. E sempre ten como obxectivo identificar as relacións entre as compoñentes do problema, e adoita rematar co xeito(ou xeitos) canónico de resolver o problema.

E o amable lector, emprega unha estratexia similar? Feel free to comment, etc.

De ángulos e senos

No último exame de Matemáticas I puxen este exercicio:

Demostrar que a expresión $cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta $ non depende do valor de $\beta$

Habitualmente, cando poño cuestións de identidades trigonométricas en exames, tento que haxa varios camiños para atopar a demostración, para evitar frustracións alén das ordinarias. E este é un bo exemplo, pois é factible desenvolver todo o desenvolvible:

$$cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta=$$

$$(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)cos\beta+(sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen \beta) sen \beta=$$ 

$$ cos\alpha cos^2 \beta- sen\alpha sen\beta cos\beta+sen\alpha cos\beta sen \beta+cos\alpha sen^2 \beta= $$

$$\\ cos\alpha cos^2 \beta+cos\alpha sen^2 \beta=cos\alpha(cos^2 \beta+ sen^2 \beta)=cos \alpha$$

que non depende de $\beta$, q.e.d.

Aínda que un profesor con algo de experiencia ou intuición saberá que o final da demostración dos alumnos vai ser algo distinta, utilizando a fórmula fundamental para substituír unha das razóns.

Mais tamén, como adiviñaría o avezado lector, hai unha proba nunha liña:

$$cos(\alpha+\beta)cos\beta+sen(\alpha+\beta)sen\beta=cos(\alpha+\beta-\beta)=cos\alpha$$

Que é máis complicado de ver por un alumno pola dependencia nos símbolos. Comprensible.

Buscando inspiración para o exame no libro Trigonometry de Gelfand & Saul, que é unha xoia, atopei este exercicio, que xa coñecía dalgunha outra fonte (pode que fose nun libro de texto antigo) pero esquecera. E tivo a consecuencia indesexada de facerme rememorar vellas ideas da carreira, en concreto a materia Elementos de Variable Complexa de 3º. A estrutura da expresión levoume á breve demostración que se vía aló das fórmulas para o seno e o coseno da suma e da resta de ángulos.

Pero antes, lembremos as demostracións habituais:

Seguramente a que aparece na maioría dos libros de texto se basee na figura seguinte:

   

É posible que a figura non apareza na circunferencia trigonométrica, o que supón un pequeno obstáculo adicional. E é ben coñecido que esta proba só demostra directamente o caso no que a suma dos ángulos é un ángulo agudo, para ángulos maiores hai que utilizar outro argumento, relacionado coa redución ao 1º cuadrante.

Neste blog apareceu outra demostración elemental que só utiliza a expresión da área dun triángulo en función do seno dun dos ángulos, na entrada O seno da suma (cunhas poucas palabras), e que se sintetiza na seguinte imaxe:

   

Subindo un chisco o nivel de coñecementos, a representación das rotacións mediante matrices fai que a demostración sexa un mero trámite, pois o produto das matrices representa a composición das rotacións:

$$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} cos\beta & -sen\beta \\ sen\beta & cos\beta\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta & -(cos\alpha sen\beta + sen\alpha cos \beta) \\ sen\alpha cos\beta + cos\alpha sen \beta & -sen\alpha sen\beta+cos\alpha cos\beta\end{pmatrix}=\\  \begin{pmatrix} cos(\alpha+\beta) & -sen(\alpha+\beta) \\ sen(\alpha+\beta) & cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix}$$

O lector hardcore deste blog lembrará que esta idea, formalmente, xa fixera aparición hai dez anos na entrada Matrices e Pitágoras?.

E aínda podemos exprimir máis o conto:

$$e^{i \alpha}\cdot e^{i \beta}=e^{i (\alpha+\beta)}$$

Utilizamos a fórmula de Euler e temos outra demostración ultrarrápida das fórmulas de adición.

Porén, o episodio que veu á miña memoria poñendo o exame non foi isto, senón a demostración que aparecía nun libro de texto da bibliografía de Elementos de Variable Complexa, que basicamente consistía no seguinte:

Consideremos $\omega \in \mathbb{C}$ e a función $f(z)=cosz cos(\omega -z)-senz sen(\omega - z)$

Calculamos a súa derivada:

$f'(z)=-senz cos(\omega-z)+cosz \cdot (-1) \cdot[-sen(\omega -z)]-cosz sen(\omega-z)- \\ senz \cdot (-1)cos(\omega -z)=-senz cos(\omega-z)+cosz sen(\omega -z)-cosz sen(\omega-z)+\\senz  cos(\omega -z)=0$

Polo que a función é constante, e como $f(0)=cos\omega$, temos que: $$cosz cos(\omega -z)-senz sen(\omega - z)=cos \omega, \forall z \in \mathcal{C}$$, que é un xeito alternativo de escribir a fórmula para o coseno da suma de ángulos.

Un aspecto que distingue as diferentes probas é se son demostracións de comprobación ou de descubrimento. A última que amosei, alén de usar unha idea potente, só comproba algo xa coñecido, i.e., non serve para atopar a expresión; mentres que nas outras podemos atopar a expresión sen coñecela previamente. 

Por outra banda, lembrades a demostración habitual da derivada do seno? Utiliza dúas cousas: o límite $\lim \limits_{x \to0}\frac{senx}{x}=1$ e, precisamente, o seno da suma na forma $sen(x+h)$. Sempre hai que ter coidado e traballar con xeito, non vaiamos demostrar o Teorema de Pitágoras vía o Teorema do Coseno. 

Un método curioso que funciona(ás veces)

 

Cando traballamos a divisibilidade nas aulas de 1º de ESO habitualmente aparecen dous xeitos de calcular o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo: por inspección dos divisores ou múltiplos dos números, ou mediante a descomposición factorial. Vexamos un exemplo con números xeitosos, 63 e 105.

$$D(63)=\{1, 3, 7, 9, 21, 63 \}$$

$$D(105)=\{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \}$$

Logo a simple vista o máximo común divisor é 21. Coa descomposición, $63=3^2 \cdot 7, 115=3 \cdot 5 \cdot 7$, xa sabedes o mantra, "os factores comúns elevados ao menor expoñente", $mcd(63,115)=3\cdot7=21$

Para o mínimo a inspección pode ser ben árida:

$$M(63)=\{63, 126, 189, 252, 315, 378, \dots \}$$

$$M(105)=\{105, 210, 315, 420, \dots \}$$

O exemplo está collido para non ter que avanzar moito na lista dos múltiplos, podía ser moito peor (no peor dos casos habería que poñer a·b múltiplos). Neste caso vemos que o mínimo común múltiplo é 315

E coa descomposición, o mantra neste caso era "os factores comúns elevados ao maior expoñente, os non comúns, todos", que se presta a malinterpretacións no caso de traballar con máis de dous números.

Polo que $mcm(63,105)=3^2 \cdot 5 \cdot 7=315$

Haberá uns anos que colleu pulo un vello método de cálculo do mcd e do mcm, non sei se pola difusión que lle deu Jo Morgan en Resourceaholic, que consiste en ir gastando os divisores comúns dos números ata que non quede ningún, e nese momento multiplicar todos para obter o mcd. A imaxe xa se autoexplica:

    

A aparición do máximo común divisor aí é consecuencia directa da definición, pero algo máis oculto está o mínimo común múltiplo, para o que hai que multiplicar os divisores da columna esquerda cos resultados finais da ringleira inferior, é dicir,

    

Pensando un chisco vese o que sucede: o 3 e o 5 da ringleira inferior é o que lles queda a 63 e 105 unha vez quitamos o máximo común divisor, son os factores imprescindibles que necesitamos incluír para que un número sexa múltiplo de 63 e de 105. De aí o mínimo.

Pero funciona o método este chulo con máis de 2 números? A primeira ollada parece dicir que si:

 

Pero imaxino que reparastes na trampullada que fixen.

Observando as descomposicións, $60=2^2\cdot3\cdot5, 54=2 \cdot 3^3 ,42=2 \cdot3 \cdot 7$

Modifquemos o exemplo anterior para que non funcione:

   

E resulta que $mcm(60, 54, 126)=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7=3780$

Co cal, hai que facer algún tipo de modificación ao método para que funcione nestes casos. Sinceramente, eu comento este método para dous números pero non para máis (ás veces si no caso do mcd). Imaxinades vós como arranxar o problema?

Para rematar, un bo exercicio teórico, que aproveita que as calculadoras científicas actuais calculan o mcd e o mcm mais só de dous números, é pedirlles aos alumnos como usando a calculadora poden aínda así calcular o mcd de tres ou máis números. A min encántanme estas cousiñas elementais, recoñezo.

Outra demostración dun feito ben coñecido

 Coido que xa falei aquí das demostracións habituais de que a suma dos ángulos internos de calquera triángulo plano é 180º, a saber:

1) Temos a que adoita vir nalgúns libros de texto, que utiliza o feito básico sobre ángulos nunha recta formados por rectas paralelas, que cunha imaxe estática queda claro:

Reivindicando os triángulos obtusángulos

Esta demostración é da que se pode facer unha comprobación pedindo aos alumnos que corten os ángulos en B e C e os poñan xunto a A.

2) E temos a demostración "dinámica", que eu normalmente fago despois da anterior en 1º de ESO, botándolle teatro movéndome pola aula(supoño que como moitos de vós). Observade a figura de abaixo, e poñámonos, virtual ou fisicamente, no punto A mirando para B, andamos cara B, ao chegar aló xiramos para enfilar cara C, xiramos de novo para regresar a A, e finalmente en A, xiramos para poñernos mirando para B como ao comezo. Despois de tanto andar, simplemente estamos no punto de partida e na mesma posición, para o que tivemos que facer un xiro de 360º. E observando os ángulos de xiro, o que fixemos foi $180º-\widehat{B}+180º-\widehat{C}+180º-\widehat{A}=360º \rightarrow540- (\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})=360º \\\ \rightarrow  180º=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ , q.e.d.

O obstáculo desta demostración é, obviamente, o chisco de traballo con símbolos que ten. En 1º de ESO moitos alumnos non a van entender esencialmente polo uso e manipulación desas tres letras. E falar dos ángulos de xiro sen utilizalas é excesivo para a memoria de traballo da maioría da xente.

E hai cativos que presentan dificultades para asumir que o xiro resultante é un xiro completo, para resolver o obstáculo a estratexia é colapsar o triángulo a un punto, como neste gif que vin en Resourceaholic:

Collido de Resourceaholic/Gifs, descargado e subido por se o link está roto

(Se un día teño tempo e ganas, tentarei facer un gif específico para un triángulo)

Esas dúas son as demostracións (coido que) xa mencionadas neste blog. Vexamos agora a que me motivou a escribir esta entrada, que coñezo hai tantos anos que non lembro a fonte onde a vin por primeira vez, pero que volvín atopar en To prove, why and how?, de A.G.Van Asch, artigo que empecei a ler (grazas, library genesis) interesado polo que indica no resumo pero do que, como sucede tan a miúdo, acabei collendo detalles transversais ou accesorios. Velaquí:

3) Collamos un triángulo calquera, este acutángulo, para variar. No lado BC, por exemplo, un punto calquera D, que unimos con A. Deste xeito temos dous novos triángulos dentro de $\triangle{ABC}$

Aquí cansei de formatear triángulos para que quedasen bonitos

De aquí deducimos que, chamando x á suma dos ángulos do triángulo:

$$ \begin{cases}\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{D_1}=x \\  \widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{D_2}=x \end{cases} $$

, e sumando, 

$$ \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=2x $$

Usando o que pasa co ángulo A e os suplementarios en D,

$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+180º=2x$$

Pero entón

$$x+180º=2x$$

De onde

$$x=180º$$ 

q.e.d.

Bonito, eh?

Pois deixo choio:

Por que o argumento anterior en realidade non demostra o que pretende?

Aproveitando un problema estándar

 

Creo que xa comentei que este ano dou dúas aulas de 1º de ESO, que por tanto segue a ser o curso que máis veces dei nos case vinte anos que levo no choio(isto lembra a un problema clásico de TIMSS, a ver se o atopo¹). E aínda que a LOMLOE viña coa pretensión de reducir o número de contidos, o certo é que aínda temos máis cousas que dar, ao incluír o pensamento computacional no sentido alxébrico. Cousa que, non é por botar flores, xa vaticinara eu hai tres anos:

, na práctica, leve a ENGADIR CONTIDOS. E a proposta que acabo de ler que conecta as Matemáticas e a Informática, https://t.co/FhY372Pfu1, é un caso claro. Case todo soa ben(hai moito que roer no que din sobre modelización) pero, alguén cre que a Administración adoptaría unha 2/5

— J.J. Rodríguez (@jjcanido) June 10, 2020

Isto, sumado a outros factores, leva a que en maio estea aínda no sentido alxébrico, botando contas de cantas cousas importantes non van ver. E iso que, sendo rigoroso, non estou a cumprir co espírito da avaliación LOMLOE, porque como xa expliquei en varias ocasións, é unha trangallada que non permite determinar o que sabe facer un alumno.

E hoxe tocou resolver problemas co método alxébrico, para o que usei o libro de texto que tiven que escoller eu, cando a miña opción era non ter libro de texto. Cousas da vida. 

O anódino problema do libro dicía algo así como:

Atopa dous números cuxa suma é 241 e cuxa diferenza é 27.

Expliqueilles eu como resolvelo de varios xeitos. Os dous evidentes a este nivel:

• Utilizando a diferenza para determinar as incógnitas, a e a+27, e logo usando a condición sobre a suma para establecer a ecuación
• Utilizando a suma para determinar as incógnitas, b e  245-b, e logo usando a condición sobre a diferenza para establecer a ecuación.

Como todos saberedes, o segundo xeito é máis complicado, pola tendencia a crer que a condición "Suman 241" se traduce como b e b-241.

Mirando para as solucións, pregunteilles se querían saber algo máis deste problema, varios querían, así que avisei de que en 2º ían ver sistemas de ecuacións que ían resolver automaticamente estes problemas, pero que se podía facer doutro xeito. E o que fixen foi chantar unha táboa no encerado:

 

1º número	2º número	Suma	Diferenza
134	107	241	27
		10	4
		43	13
		26	26
		16	6

E pedín que completasen eles as outras. E para moitos non foi, nin de lonxe, inmediato. Agás un cativo, que resolvera o problema orixinal sen álxebra, que o fixo rapidísimo.

1º número	2º número	Suma	Diferenza
134	107	241	27
7	3	10	4
28	15	43	13
26	0	26	26
11	5	16	6

En realidade había máis ringleiras, pero con estas xa facedes unha idea. 

E pedín que mirasen para cada ringleira, a ver se vían algo. E despois de respostas como "Si restas el 1º y el 2º, te da la diferencia" (a resposta é ben parva, pero deixa claro o nivel de implicación na actividade que tiñan algúns), tardou en decatarse unha rapaza do que estaba pasando, explicou o asunto dun xeito críptico, pero a idea estaba aí: o 1º número é a semisuma da suma e a diferenza (a media da suma e a diferenza), o 2º número é a semidiferenza da suma e a diferenza. E todo o mundo entendeu o xeito de calcular os dos números, pero non entendeu por que funcionaba. Polo que tiven que facer o seguinte:

 

                Figura non feita a escala, bla, bla, bla...

Como só estaba a usar xiz branco, non se viu a mestura de cores. Pero iso non foi o problema, o problema foi que moitos seguían sen ver por que funcionaba o que vira aquel alumno ao principio e a alumna agora.

Preguntei explicitamente como poderíamos ver con estas barras que o 1º número coincidía con esa semisuma e o 1º con esa semidiferenza, e custou, vaia se custou... E observade que coa colocación da parte amarela e a verde, que son iguais, o da semidiferenza é case obvio, non si?

Pois houbo que facer algo semellante a isto:

    

Agora si?

E tamén algo como isto:

   

Onde collín o cacho azul de abaixo da 1ª figura e leveino a continuación da parte de arriba, co cal temos dúas veces seguidas o 1º número. 

Este segmento de clase levou ben vinte minutos, perfectamente. E tampouco teño claro que conseguise gran cousa co alumnado, pero tiven que improvisalo, sentín a obriga. En realidade estou convencido de que este tipo de actividades son máis propias de Primaria que de Secundaria, onde chegan moitos alumnos con escasa familiaridade cos números e con aínda menor capacidade para relacionar números e figuras. Deixádeme pontificar por unha vez: non insistiría moito nas divisións longas e nas multiplicacións en caixa e si máis en actividades variadas. Deixo de pontificar e aclaro: amigos mestres, xa sei que os alumnos que teñen dificultades coa reprodución de algoritmos aínda ían ter(ou teñen xa) máis dificultades coas actividades desta índole. E igual insistir nisto é unha perda total de tempo con ese alumnado, só serviría para sentirnos ben nós.

---

1 Ah, atopei o ítem de TIMSS, é este do grao 8 de 1995:

P5. Tres quintos dos estudantes dunha clase son rapazas. Se 5 rapazas e 5 rapaces son engadidos á clase, cal das seguintes afirmacións é certa?

1. Hai máis rapazas que rapaces
2. Hai o mesmo número de rapazas que de rapaces
3. Hai máis rapaces que rapazas
4. Non podes afirmar se hai máis rapazas ou rapaces coa información proporcionada.

Se estades interesados, podedes atopar aquí os ítems daquel ano, o que comparto está na páxina 92 coa súa numeración(101 do pdf)

^↩

(Aínda máis) Problemas de Álxebra sen ecuacións

 A estas alturas xa saberedes que unha das miñas teimas é darlle máis amplitude de miras á álxebra elemental, alén do cálculo formal e da resolución de ecuacións. Se aínda non as lestes, hai dúas entradas previas, Problemas de Álxebra sen ecuacións e Máis problemas de Álxebra sen ecuacións, que incluén tres problemas ben fermosos que plasman perfectamente a idea da miña teima: as variables teñen utilidade aínda que non haxa condicións de igualdade entre expresións(e moito antes de que introduzamos o concepto de función).

Lamentablemente, non é sinxelo atopar problemas de Álxebra sen ecuacións que sexan axeitados para traballar nas aulas. Ás veces porque non son problemas xenuinamente, ás veces porque necesitan coñecementos previos que o alumnado aínda non ten. Por isto adoito aceptar problemas que rematen cunha ecuación, sempre que o interesante(i.e., o difícil) veña antes, na parte relacional. Un deses exemplos, non tan fermoso, e ben coñecido nas aulas, sería o do mago, que compartín na entrada Traballos de Álxebra:

Un mago afirma que pode adiviñar calquera número que penses, só tes que dicirlle o resultado final das seguintes operacións:

• Pensa un número.
• Súmalle 2.
• Multiplícao por 3.
• Réstalle 7.
• Réstalle o número pensado ao comezo.
• Multiplícao por 2.
• Súmalle 2.

Que número pensaras se o resultado final é 68?

Apostaría que este tipo de exercicio é común en libros de texto, aínda que non lembro ningunha referencia concreta.

Outro problema que xa apareceu neste blog e que é susceptible de ser atacado con Álxebra é esta fermosura:

Unha caixa contén mazás e peras. Sabemos que hai o mesmo número de mazás podres que de peras podres. Tamén sabemos que $\frac{2}{3}$ de todas as mazás están podres, e que $\frac{3}{4}$ de todas as peras están podres. Que fracción do total de froitas da caixa está podre?

Nun receso entre facer fichas e facer máis fichas, remexín un anaco polo disco duro e atopei un libro de preparación para a Olimpíada de Singapur no que inclúen algúns exercicios deste estilo. Como disclaimer, no prólogo do libro indican que é axeitado para alumnos de 5º ou 6º de Primaria. Facede o que vexades con esa información. Traduzo e modifico algún problema:

Nun exame de Matemáticas, a media de 10 alumnos é a. A media dos 8 alumnos con mellores notas é b. O alumno coa 9ª mellor nota sacou c máis que o 10º. Atopa a peor nota da clase.

O seguinte si inclúe igualdades, pero me prestou tanto o feixe de variables que o traio igual:

Un coche e un camión saen respectivamente das cidades A e B, en sentidos contrarios. O coche chega á cidade B en x horas e o camión chega á cidade A en y horas. Se o coche circula z km/h máis rápido que o camión, calcula canto tempo tardadon en cruzarse.

Aproveito para traer un problema clásico de Lewis Carroll, que o incluíu nos seus Pillow Problems (probade a tentar un deses problemas de memoria xusto antes de durmir, probade...):

Se $\epsilon, \alpha, \lambda$ representan fraccións exactas, e nun certo hospital $\epsilon$ dos pacientes perdeu un ollo, $\alpha$ perdeu un brazo e $\lambda$ unha perna, cal é o número mínimo posible de pacientes que perderon as 3 cousas?

E remato esta xeira cun problema fóra de concurso pero que, se resolvedes, entenderedes a razón de incluílo:

Regatando cun tendeiro, a túa primeira oferta é a €, a súa é b €. Incrementas a túa 1ª oferta certa porcentaxe, o vendedor baixa a súa 1ª oferta a mesma porcentaxe... e chegades ao mesmo prezo!

Cal é este prezo, en función de a e b?

Adiviña lineal

 

Por unha vez, esta adiviña vai dirixida a un grupo concreto: o profesorado de Matemáticas que non dea/dese clase en 2º de Bacharelato(e tamén para calquera que domine abondo a linguaxe da Álxebra Lineal).

No contexto das posicións de 3 planos, cal é o caso máis difícil de entender para o alumnado? Quizais entender non sexa a palabra precisa, quizais sexa mellor preguntar cal é o caso no que lles custa máis ver a relación entre a Xeometría e a Álxebra. Ou aínda máis preciso: cal é o caso no que lles custa máis poñer un exemplo axeitado de ecuacións/matriz?

A criba de Eratóstenes

 Esta é unha das actividades que aparecen todos os anos nas miñas aulas de 1º de ESO. É un asunto practicamente obrigado, ata adoita vir nos libros de texto. Por exemplo no que temos este mesmo ano:

   

E como é habitual, os libros de texto quítanlle toda a diversión que pode ter unha tarefa.

Vou contar como fago eu esta actividade nas clases de 1º de ESO e, máis importante, que preguntas vexo interesantes cando xa temos a criba á vista. Algún ano, aproveitando que o alumnado estaba sentado por parellas, mandei facer a un da parella a criba na forma cadrada habitual, e ao outro, na disposición da espiral de Ulam. A última vez coido que foi hai 4 anos. É moi divertido, pero hai que saber que alumnos tes, e pode ser esgotador(a cantidade de erros que pode haber en 5 minutos colocando números en espiral é inimaxinable se nunca traballaches en 1º de ESO)

O 1º é, claro, debuxar a táboa cos 100 números, máis ou menos cadrada, no encerado(Outra sorpresa para o novato: o tempo que lles leva facer a táboa aos cativos. Hai que vivilo). 

    

O procedemento é ben coñecido: marcamos o 1 dun xeito distinto(eu recádroo por exemplo), marcamos o 2 como número primo(de novo: nun óvalo p.ex.), e riscamos todos os números múltiplos de 2. Chegado este momento sempre fago a brincadeira malévola de que podíamos escribir 51 números e non 100, porque total iamos riscar 49 números. E comezo a riscar de arriba abaixo adrede: 4, 6, 8, 10, 12, etc., cunha liña horizontal(se os cativos teñen cores, pois aínda mellor) Sempre hai algún que se decata de que é mellor riscar ringleiras enteiras, e entón facémolo. Rematamos cos pares, marcamos o 3 co óvalo e veña cos múltiplos de 3, neste caso con liña vertical. Facemos o mesmo co 5(cun slash), que rapidamente alguén se decatará de que é aínda máis sinxelo que o caso dos pares. Pasamos ao 7 (cun backslash), e aquí sempre lle boto teatro ao chegar ao 49 e ao 77 e sobre todo, ao 91: por que aínda non estaba riscado o 49? Sempre hai alguén que ve a razón. Con 77 é un chisco máis difícil, e con 91 aínda máis. Con este último múltiplo de 7 adoito dicir que é o número composto mellor disfrazado entre 1 e 100. Pero que o verán cando rematemos a criba.

E aínda que non sería estritamente necesario, mando facer o mesmo cos múltiplos de 11(cun riscado curvo dalgún tipo, como o símbolo de semellanza p.ex.). Primeiro, para que vexan que efectivamente non riscamos ningún número novo. Segundo, porque é moi fermoso ver a recta que forman os múltiplos de 11, o que vai avanzar algunha pregunta do final da actividade.

Finalmente, comento que non imos seguir porque non riscaríamos ningún número máis, pola mesma razón pola que non buscamos divisores dun número cando chegamos á súa raíz cadrada enteira: se houbese algún número posterior, veríamolo na súa parella anterior (é dicir, se $a \cdot b=N, b> \sqrt{N}$, entón $a<\sqrt{N}$. E como $11> \sqrt{100}$, o choio está feito. Só queda marcar co óvalo cada número supervivente, pois todos son primos. E que os conten, que é outro momento no que vai haber un feixe de erros. En conclusión: o 1, 25 primos e 74 compostos. Así de bonitiño:

A ver se non hai erros, que non me manexo cos selos do Paint 3D

• A 1ª observación xa a comentei antes: onde están os múltiplos de 11? Por que? Que pinta teñen? Esta é sinxela.

Pero hai máis, e non tan inmediatas:

• Por que 57 está riscado só unha vez? 81? 64? 91?

• Que números están riscados en laranxa(horizontal), azul(vertical) e verde (slash)?

• Parade a mirar os múltiplos de 5. Cada cantos hai un riscado en vertical(azul)? Por que? Funciona se cambiamos aos múltiplos de 2?

• Isto é sinxelo, pero hai que decodificalo: mira os múltiplos de 17. Por que está riscado cada un , desde 34 ata 85?

• Cal é o número que está riscado máis veces? Cantas veces está riscado? Hai máis números nesa situación?

• Por que dixen antes o do 91?

• Observa agora todos os múltiplos de 3. Detectas algo na súa disposición? Será algo exclusivo do 3? Pasa co 2 e co 5? E co 7? Por que será?

• Colle calquera ringleira. Cantos números son múltiplos de 3? Como van aparecendo?

• Neste momento non sería adecuado, pero cando xa coñezan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo podemos facer preguntas máis afinadas.

Seguro que o amable lector ten máis cuestións axeitadas para esta, na miña opinión, fermosa actividade. E mellores cás miñas.