30.12.12

Mind the steps

Mentres sigo enleado nos planos de estudo das leis educativas españolas tamén estou a limpar e ordenar o arquivo dixital que fun acumulando este primeiro trimestre. Isto inclúe tanto os arquivos do ordenador como as ligazóns gardadas no google reader e no delicious. Aqueles que non acometesen esta tarefa quedarían abraiados coa cantidade de libros, vídeos, animacións, imaxes, artigos, blogues, ... que van quedando a un lado ata que se atopa o tempo axeitado para ocuparse deles.

Por se tivese pouco que facer, hoxe mesmo descubrín que estamos no remate dun estudo internacional da IEA (a mesma axencia que fai TIMSS e PIRLS) sobre a formación inicial dos profesores de Matemáticas, Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M). Estudo no que participamos cuha mostra de países realmente singular: Botswana, Canadá, Suiza (cantón alemán), Chile, Alemaña, Georgia, Malaysia, Noruega, Omán, Filipinas, Polonia, Rusia, Singapur, Tailandia, Taiwan, Estados Unidos.
O pdf co informe español pódese obter acó, onde polo visto aínda está oculto á proverbial capacidade de análise dos xornalistas. Cando cheguen a el veremos os titulares... eu recomendo con vehemencia unha frase para os xornalistas lacazáns (xa llela poño eu en vermello para que non teñan que buscar máis):

"Las puntuaciones medias obtenidas por los futuros profesores españoles en las pruebas sobre conocimientos están por debajo de la media internacional (500), tanto en conocimientos matemáticos como de didáctica de la matemática."

Eu polo momento quedo coa sensación de que os expertos educativos non teñen máis idea que calquera con sentido común e relación co ensino sobre cales son os factores de impacto na aprendizaxe dos alumnos, e mentres tanto van acumulando un historial de correlacións máis ou menos verosímiles. No documento cos marcos teóricos podemos ler como recoñecen a súa ignorancia sobre un aspecto que semella lóxico:

7. Teacher education is assumed to be linked to student achievement, but this relationship is poorly understood.


O que vén sendo, máis ou menos: 7.Cremos que a formación dos profesores debe de estar conectada co grao de aprendizaxe dos estudantes, pero esta conexión non é ben coñecida.



E nestas andamos, a piques de comezar outro ano do século XXI.


Co gallo de non rematarmos con mal sabor de boca o ano, traio un vídeo de animación que rapidamente veredes por que concorda cos temas habituais do blogue.  Do artista, István Orosz, souben grazas a Acertijos y más cosas. Advirto que a atmosfera creada pola animación e a súa música chega a resultar inquietante:

16.12.12

The third and the seventh

No número 71 da revista $suma^+$  da Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas hai varias cousas que me resultaron interesantes. A primeira, unha grande coincidencia: Fernando Tébar Cuesta asina un artigo titulado "Las matemáticas y el Bachillerato a lo largo del tiempo (1ª parte: desde 1953 hasta la LOGSE). É unha coincidencia porque, como xa comentei, estiven a fedellar na web do BOE co obxectivo de analizar a evolución do curriculum de Matemáticas desde a miña época de estudante ata a actualidade. O artigo de Fernando Tébar non se centra no curriculum, senón que comenta a estrutura dos estudos ademais do contexto no que se van desenvolvendo as novas leis. A bibliografía que apunta seguramente vai ser moi útil.

A segunda cousa interesante da revista é a entrevista que lle fan ao artista Cristóbal Vila, do que moitos lembraredes os dous traballos que comentei acó e acó. O momento máis revelador dáse cando o artista recoñece que nunca tivo un interese serio nas Matemáticas (co habitual comentario posterior sobre o escaso atractivo das clases e bla, bla, bla...), que o seu interese é máis que nada "visual". Creo que este momento é revelador porque evoca automaticamente a un dos aspectos da mente dos adolescentes que non podemos obviar cando traballamos en educación matemática: o feito de que as Matemáticas sexan útiles, que estean "debaixo" da realidade tanxible, e incluso que teñan atractivo estético... non é abondo para que un alumno se interese por elas. E máis cando as ferramentas tecnolóxicas que manexan tódolos días encubren totalmente calquera mostra da ciencia (e a tecnoloxía, tamén) que dá vida ás ferramentas. Isto non é casual: o obxectivo  dos que crean estas ferramentas é a facilidade de uso, o que leva á asimilación e ao espallamento da ferramenta. Un exemplo paradigmático témolo nos sistemas operativos que fan funcionar hoxe aos ordenadores, outro nos smartphones pensados para que calquera os saiba manexar.
Na entrevista Cristóbal Vila tamén o vemos: "... los programas de modelado y animación ya incorporan multitud de herramientas que hacen casi innecesario al usuario lidiar con cuestiones matemáticas. Aparte de unos básicos conocimientos de Geometría, poca cosa [...] aunque el usuario únicamente se limita a variar ciertos parámetros sin necesitar conocer los cálculos que tienen lugar internamente."
É esencial que os que deseñan os curricula teñan en conta esta realidade, para que non fagan outra xenialidade como a de meter notación binaria aos 7 anos porque os ordenadores traballan con ceros e uns...

Deixando a un lado as queixas debidas á miña condición de profesor de Matemáticas, imos ao terceiro achádego: Cristóbal Vila menciona a outro artista, Alex Román, do que salienta esta obra, The third and the seventh, na que nada é o que parece ser:




10.12.12

The Crevasse

A verdade é que desde que non fomento que os meus alumnos lean este blogue, e ademais sei que hai unha pequena cantidade de colegas matemáticos que se pasan por este recuncho da rede (ubicado alén do monte Ancos), este sitio évos un pouco máis serio do que adoitaba ser. Supoño que, en certo modo, estarei contaxiado desa solemnidade propia do oficio. Ese falar-para-un-eventual-examinador que levou a despropósitos como o daqueles autores dun libro de texto do antigo COU no que aparecía a integral Lebesgue. Ou que provocou que nunhas xornadas dirixidas a profesores de secundaria de tódalas disciplinas científico-tecnolóxicas, un conferenciante "lembrase para tódolos asistentes" o concepto de difeomorfismo $C^{\infty}$.

Así que é tempo de relaxar un pouco esta tensión matemática, máis tendo en conta que teño previsto comezar unha serie de comentarios sobre a evolución do curriculum de Matemáticas. Pois cadrou que acabo de ler un post de Futility Closet que trouxo de volta do proceloso mundo da rede a un artista do arte urbano, Edgar Mueller. De tódalas obras que hai na súa web, eu tamén alucinei co making -off de "The Crevasse", é dicir, "A Fenda" (ou como diríamos por Ferrol, "A Fendecha")




3.12.12

Olimpíadas, exames, ...

Xusto agora que chegan os exames da primeira avaliación aos nosos centros están a publicar os problemas de olimpíadas matemáticas de todo o mundo. Entre elas podemos atopar a Panafricana, o Baltic Way, o AMC 8 dos Estados Unidos, a Olimpíada Rexional da India e a Olimpíada do Cono Sur. Hai moitos problemas interesantes nestas competicións, pero para propoñer un axeitado para as aulas de secundaria eu escollería o seguinte, tirado da AMC 8:

Unha circunferencia de radio 2 é dividida en 4 arcos congruentes. Os 4 arcos son unidos para formar a estrela seguinte. Cal é a razón entre a área da estrela e a do círculo orixinal?

   

E da Olimpíada Rexional da India, unha ecuación diofántica, tema habitual nas olimpíadas daquelas terras:

Atopar tódolos números naturais x, y e z tales que:

$$\left(2^x-1\right)\left(2^y-1\right)=2^{2^z}+1$$

Aínda que a ecuación pode ser resolta utilizando unicamente ideas elementais, o tipo e a profundidade do razoamento necesario escapa do común traballado polos profesores de Matemáticas nas aulas de secundaria e bacharelato. Mais estaba obrigado a compartila por acó...

27.11.12

Darlle a volta a unha esfera

Tirado de The Optiverse

O ambiguo título do post non fai referencia a xirar arredor dunha esfera, senón ao coñecido actualmente como Paradoxo de Smale, en honor do grande matemático Stephen Smale, gañador da medalla Fields en 1966. Tal paradoxo consiste en que é posible darlle a volta, de dentro cara fóra, a unha esfera, o que se coñece como "evertir" a esfera. Nesta eversión é permisible que a esfera se autointerseque, mais non se permite que se corte (daquela sería sinxelo de máis) nin que se formen buratos ou pregamentos. Smale amosou que tal eversión existía de feito, mais, como adoita suceder en moitas demostracións matemáticas, non atopou de xeito explícito o camiño xeométrico para voltear a esfera. Para iso houbo que esperar a que avanzase o campo da animación dixital, e ao traballo de varios matemáticos, entre eles Bernard Morin, topólogo que quedou cego por causa dun glaucoma aos seis anos.

Por sorte temos dispoñible en youtube varios vídeos que mostran a eversión; o primeiro atopeino por casualidade revisando a listaxe de libros online dunha editorial (por se alguén estiver interesado, é esta). Non podería explicar que está a pasar exactamente no vídeo no momento de virar a esfera, pero évos igualmente hipnótico:



Se aínda tedes ganas de máis, aquí tedes o vídeo completo, Outside In, onde explican a eversión tendo en conta outras figuras que non poden ser evertidas e analizando polo miúdo o que sucede na viraxe:



E aínda máis!

The Optiverse amosa eversións que minimizan a enerxía de flexión elástica. Confeso que tiven que ler ben isto para entender de que vai. Como mostra mirade o que comentan na ligazón anterior:

"The elastic bending energy for a stiff wire is the integral of squared curvature. For a surface in space, at each point there are two principal curvatures, and their average, the mean curvature, shows how much the surface deviates from being minimal. The integral of squared mean curvature is thus a bending energy for surfaces, often called the Willmore energy"



Haivos todo un mundo de Matemáticas alucinantes aí fóra esperando por aqueles que busquen...

21.11.12

Unha idea de Timothy Gowers

No último post do seu blog, Timothy Gowers (gañador da Medalla Fields ao que xa teño mencionado por acó) comenta a conversa matemática que mantivo cun mozo de 17 anos que está no seu segundo ano do Math A-Level, curso que non ten equivalente no sistema educativo español e que constitúe a vía de acceso aos graos universitarios cun forte compoñente matemático.
Do post, que supón unha boa lección acelerada do cálculo infinitesimal esencial (ao nivel do instituto), querería salientar o último parágrafo:

"Another thing I discovered was that he was very shaky on the chain rule. When I asked him what the chain rule said, he didn’t know what I was talking about. Eventually I got a glimmer of recognition out of him by writing down $ \frac{dz}{dx}= \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$. But the idea that if you want to differentiate $ e^{x^3}$ you first pretend that $ x^3$ is a single variable with respect to which you are differentiating and then correct what you’ve just done by multiplying by the derivative of $ x^3$ was completely foreign to him. We looked at a few examples but they’ll need reinforcing at some point. It was yet another illustration of the general principle that if you forget about understanding what’s going on and concentrate on mechanical manipulations, you’ll forget how to do even the mechanical manipulations."

Que na miña barata tradución vén sendo:

"Outra cousa que atopei foi que el tiña moitas dúbidas respecto á regra da cadea. Cando lle preguntei que era o que afirmaba a regra da cadea, el non soubo de que estaba a falar. Ao final albisquei unha pinga de comprensión escribindo $ \frac{dz}{dx}= \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$. Pero a idea de que se queres derivar $ e^{x^3}$ primeiro tes que supoñer que $ x^3$ é unha variable respecto á cal estás a derivar e despois axustar o que fixeches multiplicando pola derivada de $ x^3$ era completamente descoñecida para el. Observamos un par de exemplos mais vai necesitar reforzo nalgún momento. Esta é outra ilustración máis do principio xeral de que, se evitas comprender o que está a suceder e concéntraste nas manipulacións mecánicas, esquecerás incluso como facer as manipulacións mecánicas."

Nesta preto-dunha-década que levo sendo profesor aínda non dou comprendido como alguén, antes de tentar entender calquera idea matemática, pode desistir e centrarse no aburrido do choio. E tampouco dou disimulado a miña reacción nas clases cando iso pasa. É un aspecto da dramatización propia do oficio que teño que mellorar.

17.11.12

Un problema para os moi bravos


_Hey, shouldn't you be out with your gangs, spray painting equations on the side of buildings?

No formidable libro de problemas de William Briggs Ants, Bikes&Clocks. Problem solving for undergraduates  (Formigas, bicicletas e reloxos. Resolución de problemas para estudantes universitarios) hai literalmente centos de bos problemas esperando polo afeccionado ás Matemáticas. Entre os temas dos problemas atopamos a Probabilidade, a Física, a Lóxica, a Xeometría, pero tamén unha chea de problemas netamente recreativos. Do capítulo 6, "A World of Change" quero salientar hoxe o problema nomeado "O sombreiro de Feynman":

Un home remaba contracorrente nun río que fluía a unha velocidade de 2 qm/h. Ás 12:00 o seu sombreiro saíu voando e quedou flotando río abaixo. Ata despois de remar 3 qm non achou que perdera o seu sombreiro, momento no cal deu a volta e comezou  a remar río abaixo ata coller o sombreiro. Se o home rema a unha velocidade constante de 6 qm/h con relación á auga, cando alcanzou o seu sombreiro?

Se sodes suficientemente bravos podedes tratar de roelo. 

7.11.12

A descifrar mensaxes!



Probablemente o meu primeiro contacto co mundo da criptografía, a un nivel moi elemental, fose a lectura do Escaravello de Ouro, relato curto de Edgar Allan Poe no que aparecía unha mensaxe cifrada. Aínda que no transcurso do relato o protagonista descifraba a mensaxe, a diversión víase incrementada se un mesmo era quen de descodificar a mensaxe. Tendo en conta que o código consistía nunha cifra de substitución, é dicir, cada letra da mensaxe orixinal era substituída por outro símbolo en tódalas súas aparicións, o choio non era excesivamente complicado.
O segundo contacto, máis escuro na memoria, sucedeu ao atopar mensaxes de compañeiras do colexio que se mandaban no medio das clases. Nestas cartas a cifra que utilizaban era o código de substitución máis simple, a cifra César, aínda que daquela nin elas nin e sabíamos tal cousa. A cifra César recibe tal nome porque Xulio César codificaba as mensaxes que enviaba aos seus xenerais. O mecanismo é o seguinte: fixamos un número natural N, e substituímos cada letra pola letra que está N lugares despois no alfabeto. En concreto as miñas compañeiras de clase fixaban N=1, é dicir, simplemente collían a letra seguinte no alfabeto, de tal xeito que a mensaxe:

"Non aturo ao profesor de Matemáticas"

transfórmase en

"Opo buvsp bp qspgftps ef Nbufnbuldbt"

máis aceptable se é interceptada polo devandito profesor.

En mensaxes curtas como a anterior, se un non sabe a priori cal é o código utilizado pode fracasar ao tentar  descifralo, pero se a mensaxe é suficientemente longa a "análise de frecuencias" case garante que o descifremos. Esta análise de frecuencias consiste en contar cantas veces aparece cada letra, e considerando que cada idioma ten unha xerarquía típica de frecuencias das súas letras, poderemos así adiviñar a que letra corresponde cada carácter cifrado. Ademais desta análise unha boa ferramenta é observar como son as palabras dunha ou dúas letras, pois as máis frecuentes son artigos, preposicións, conxuncións, pronomes, ...
Finalmente, ás veces tamén é útil observar se hai letras que aparecen duplicadas, en galego por exemplo podería haber dígrafos rr, ll, cc.

A criptografía como disciplina de estudo vai alén destes exemplos elementais. Cando un comeza o seu estudo (eu tiven a oportunidade de facelo na carreira nunha materia de libre configuración) acha ferramentas propias da Álxebra Linear, mais isto non avanza de xeito correcto o que atopamos despois: Teoría Alxébrica de Números, e incluso Xeometría Alxébrica.

Nada disto fai falta para xogar un pouco a descifrar mensaxes neste agradable xogo, Cryptograma:

Visto en aliciaramirez.com

O xogo presenta dous idiomas, castelán e inglés. Se xogades considerade as peculiaridades de cada lingua, diferenzas como por exemplo que en castelán a letra máis habitual é o e mais en inglés é o t.
Ademais de ser divertido o Cryptograma ten unha interface ben coidada. Veña, probádeo e descifrade un par de frases famosas.

4.11.12

A realidade e os polígonos


O título do post é voluntariamente rechamante. Para comprender de onde provén o seu significado teredes que ver esta curtametraxe, Dimensions, na que o protagonista debulla os elementos que son utilizados para crear a "realidade" que nos rodea. Esa realidade que todos, nalgunha fase da nosa infancia-adolescencia, temos cuestionado, dun xeito elemental, mais profundamente relacionado co solipsismo.

Nalgún momento da maduración a mente humana deixa de lado estas ideas, ou supéraas, ou aprende a vivir cos paradoxos da existencia, ou en terminoloxía de videoxogos, os "glitches" da realidade. Quen sabe.

O vídeo, unha gozada para os sentidos e máis para a mente. Parabéns para o artista, David Oldenburger, e a Kuriositas por presentalo.

30.10.12

A distancia máis curta, a liña recta?


A ferramenta 2.0 que máis utilizo é, sen dúbida, o Google Reader. Diariamente consulto as novidades que publican nos blogues aos que estou subscrito, agora mesmo 85. Algúns, como Continuities non actualizan máis que un par de veces ao ano. Outros, pola contra, actualizan varias veces ao día, o exemplo máis notorio é Neatorama, fonte de moitos dos meus posts. E tamén teño blogues que probablemente estean máis mortos que vivos, como Sweeney Math. Estes últimos mantéñoos coa esperanza de que algún día volva aparecer o aviso dunha actualización.

Chámame moito a atención que os lectores de feeds, algúns tan sinxelos como o Google Reader, non sexan utilizados de xeito máis xeralizado polos compañeiros de profesión. Imaxino que á maioría da xente gústalle navegar pola rede, dando choutos polo cíberespazo. Non o teño claro. Pola miña experiencia, eu non podería xestionar sen axuda tódalas fontes de información on line que manexo. E aínda que puidese dar feito, probablemente perdería de vista ligazóns interesantes como  Great Circle Mapper, que atopei en JD2718, o blogue dun profesor de Matemáticas do Bronx, en concreto no post Do Great Circles Wiggle?.

Despois de xogar nesa web, teño que propoñer aos colegas que utilicen Great Circle Mapper como apoio á docencia do contido de proxeccións da Terra (habitualmente dentro da unidade de Xeometría en tres dimensións de 3º de E.S.O.). Na web hai un applet que funciona deste xeito: escolledes dous aeroportos calquera do mundo, identificádelos mediante os seus códigos (para o cal podedes poñer o nome da cidade no campo de busca e darlle a "Search") e premedes o botón "Map". O applet calcula o círculo máximo (a xeodésica) que pasa polos dous aeroportos, é dicir, a ruta que faría un avión entre eles. E tamén dá sorpresas, como por exemplo ocorre cando seleccionades o aeroporto de Lavacolla e o de Ushuaia:



O applet tamén proporciona as coordenadas dos lugares, a distancia entre eles e incluso o tempo que levaría viaxar entre eles escollendo a velocidade en millas/hora, km/h, Mach, nós,...

Eu anímovos a experimentar co applet, é un puro divertimento para os profesores. Habería que ver se damos transmitido esa diversión aos alumnos en forma de coñecemento. Se polo menos chegasen a preguntarse: e por que a liña non é recta?

24.10.12

Outra sucesión máis


Para a vindeira ocasión na que o teu profesor de  Matemáticas diga que os símbolos  non teñen importancia per se
(De Math Fail)


Lendo unha reseña sobre un libro de Matemáticas atopei esta frase:

"Todo neste libro está conectado coa sucesión de números naturais que comeza 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432..."

Se o autor non mentía, cal era o tema do libro?
O venerable google dará a resposta a quen llo pregunte, o difícil está en atopala por un mesmo. Ademais fai ben pouco que falei de cuestións relacionadas...

18.10.12

O xogo da vida, versión continua (case)

Un dos "xogos" máis coñecidos dentro do mundo das Matemáticas é, sen dúbida algunha, o Xogo da Vida inventado por John Horton Conway. Poño entre aspas xogo porque en realidade non é tal, senón un autómata celular, é dicir, unha grella de celas nas que un algoritmo determina, mediante iteracións, os seguintes estados do sistema. No caso do Xogo da Vida a grella é plana e infinita, e cada cela ten dous estados posibles, viva ou morta (de aí o nome de Game of Life). Ademais cada cela ten 8 celas na súa veciñanza, as 4 coas que comparte un lado e as 4 coas que comparte unha esquina. Por outra banda, o algoritmo (as "regras") vai así:
  1. Toda cela viva con menos de 2 veciñas vivas morre na seguinte xeración (soidade)
  2. Toda cela viva con 2 ou 3 veciñas vivas sobrevive na seguinte xeración.
  3. Toda cela viva con máis de 3 veciñas vivas morre na seguinte xeración (sobre-poboación)
  4. Toda cela morta que teña exactamente 3 veciñas vivas volve á vida na seguinte xeración (reprodución)
Estas aparentemente inocentes regras dan lugar a estados terriblemente complicados. E ás veces non parece que o estado inicial seleccionado determine iteracións sinxelas, deixade que este vídeo vos convenza:



Resulta curioso que sexa inevitable ver movemento de obxectos onde só hai aparición e desaparición de celas. Algo semellante ao que sucede cos xogos de luces.

Se queredes observar máis exemplo, aquí tedes un applet feito en Java para que fedelledes e outro vídeo.

Tendo en conta que o xogo da vida é un dos temas recorrentes das Matemáticas recreativas e tamén da Computación, cal é a razón de que faga un post sobre el? Pois que ultimamente apareceron pola rede dúas actualizacións realmente interesantes:


De Math Recreation, un blogue alucinante

  • A 2ª, unha versión cunha grella, senón continua, polo menos baseada en aritmética de punto flotante, ao xeito que un ordenador poida implementar. O resultado chámase Smooth Life e temos outro vídeo hipnótico á nosa disposición:


Se despois desta malleira tedes ganas de aprender máis, hai unha morea de recursos on line sobre o tema. Xa na páxina da wikipedia que enlacei arriba tedes moitas ligazóns axeitadas. E tamén tedes dispoñible o documento da investigación sobre Smooth Life. Será por links...


13.10.12

Algo máis livián

Collido de Acertijos y más cosas

Creo que levo uns cantos posts serios de máis, así que é un bo momento para relaxarnos e compartir unhas das últimas ilusións que atopei.

A primeira, que tedes máis arriba, é un bo exemplo de falso movemento, dos que xa teño posto por aquí previamente.

Na segunda, collida do blogue de Richard Wiseman, vemos un cadrado (?) rotando cos vértices cubertos:



E a terceira, unha sorprendente ilusión de confusión de cores, coñecida como Munker Illusion:

Atopado en io9

En que consiste a ilusión? Pois en que os dous cadrados superiores teñen exactamente a mesma cor. E o mesmo sucede cos dous inferiores. Podedes comprobalo cubrindo a contorna dunha das faixas horizontais, de tal xeito que só vexades unha das tres faixas dun cadrado. Ou tamén podedes descargar a imaxe, abrila cun programa de manipulación de imaxes e comprobando que o código hexadecimal das cores é o mesmo...


9.10.12

A realidade está aí fóra

Math Fail, again

Supoñamos que un profesor de Matemáticas dá, entre outros cursos, 3º de E.S.O. Supoñamos que está a traballar o contido das porcentaxes, no que previamente xa relacionou estas coas fraccións. Tamén que os seus alumnos teñen dificultades para distinguir estas dúas situacións:

  • Tiña 400 €. Gastei o 20% nun monitor. Canto gastei?
  • Gastei o 20 % dos cartos que tiña nun xogo que custaba 45 €. Cantos cartos tiña?
Imaxinemos que o profesor, para tentar disipar as dúbidas, fai os seguintes diagramas (máis ou menos):


Supoñamos que o profesor fracasa lamentablemente no seu propósito.

Saiamos da aula e vaiamos a unha tenda de roupa.

Imaxinemos que o devandito profesor volve a esa tenda para reclamar que lle fixeron pagar os arranxos (7'5 €, por exemplo) nunhas prendas cando estaba exento deles por ser socio. Supoñamos que, para enlear o asunto, na factura orixinal o profesor pagara un 40% menos por ser socio, co cal nesa factura non pagara os 7'5 €  totais de arranxo, senón o 60%.

Imaxinemos a cara dos responsables da tenda cando o profesor afirma que entón teñen que devolverlle o restante 60% do prezo dos arranxos, xa que o outro 40% xa fora descontado. Pensemos agora cal é a solución a este dilema que buscan os dependentes, mentres manteñen a cara de estupefacción ante o profesor.

En efecto: "miremos que pon a máquina".

Curiosamente, a máquina dáballe a razón ao profesor, tiñan que devolverlle o 60% de 7'5 €, é dicir, 4'5 €.

Pensemos agora como todo o ambiente tenta minar a reflexión e o razoamento. Quizais o choio non sexa sinxelo.

1.10.12

3003?

Unha das anécdotas máis coñecidas do mundo dos matemáticos probablemente sexa a seguinte, na que os protagonistas son o matemático británico G.H. Hardy e o xenio matemático hindú Srinivasa Ramanujan:

Hardy foi visitar a Ramanujan no hospital no que levaba un tempo convalecente. Sen darlle importancia, Hardy comentou que o número do taxi no que fora ata o hospital, 1729, non tiña interese algún. Ao que Ramanujan contestou: Trabúcaste, Hardy, 1729 é o menor número natural que se pode expresar como suma de dous cubos de dous xeitos distintos.

En concreto, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³. (Isto dá lugar a sucesión dos números taxicab)

Todo isto veume á memoria cando vendo padecendo a publicidade televisiva vin a matrícula dun dos coches de alta gama dun dos anuncios, 3003.
Imaxino que o número estará escollido por algunha razón relacionada co logotipo da marca de coches. Pero desde un punto de vista matemático o número é ben interesante. Por que? Por unha cuestión oculta no triángulo de Pascal que observei nun artigo de David Singmaster, matemático inglés con sona polos seus puzzles e crebacabezas.
David Singmaster estudou os números naturais que aparecen varias veces no triángulo de Pascal. Obviamente deixou a un lado ao número 1, pois que este aparece infinitas veces non ten moito misterio. Na súa análise achou que o número 3003 (por fin!) aparece 8 veces no triángulo, e ademais é o primeiro de infinitos números que aparecen 6 veces ou máis. Isto está lonxe de ser trivial, pois o seguinte número que aparece polo menos 6 veces, 61218182743304701891431482520, non é precisamente pequeno, sesenta e un mil cuatrillóns, como para atopar os seus factores primos a man (para o realmente freak, é 2³·3·5·7·11·17·23·41·43·47·67·71·73·79·83·89·97·101·103).

O que me pareceu máis interesante do número 3003 é que, ademais do dito anteriormente, é o primeiro número que aparece en dúas ringleiras consecutivas do triángulo de Pascal (obviando de novo o ubicuo 1), en concreto na 14 e na 15 (a primeira ringleira leva o número 0)


Fai clic no triángulo para non quedar chosco

23.9.12

Teorema das alfombras

Hoxe traio outro teorema "con nome" do que non sabía nada ata esta semana.

Estaba a buscar anécdotas, teoremas, problemas,... para os meus alumnos deste ano que acaba de comezar cando, no libro Mathematical Olympiad Treasures, de Titu Andreescu e Bogdan Enescu, atopei este epígrafe, The "carpets" theorem.

Loxicamente tiña que ir ver de que trataba tal feito, pois hai toda unha tradición de teoremas "con nome" que non deixan de sorprender pola tradución que adoitan ter aos obxectos cotiás (por máis abstractos que poidan ser os enunciados reais): Teorema da bóla peluda, Teorema do bocadillo de xamón, Teorema da Galería de Arte,...

Así que aló fun, e isto é o que atopei:

Imaxinade un cadrado ABCD no que marcamos os puntos medios dos lados AB e BC, M e N. Unimos estes puntos medios cos vértices opostos, obtendo na intersección dos segmentos tres puntos que chamamos P, Q e R. É dicir (exemplo de que unha imaxe vale máis que 38 palabras):

Que sucede con esta figura? Pois que a área do anaco laranxa coincide coa suma das áreas dos anacos violetas. Formalmente, 
[PQRD]=[AMP]+[MBNQ]+[RNC]

A demostración non é complicada, chega con relacionar as áreas, indicadas polos corchetes, [], con anacos coñecidos (tapar co dedo o cacho que estás a calcular dá bo resultado):

[PQRD]=[DMC]―[MQP]―[DRC]=½[ABCD]―[MQP]―[DRC]=(*)

Vexamos como escribir as áreas deses dous triángulos:

[MQP]=[ABN]―[APM]―[MBNQ]=¼[ABCD]―[APM]―[MBNQ]
[DRC]=[DNC]―[RNC]=¼[ABCD]―[RNC]

Introducindo estes cálculos en (*):

(*)=½[ABCD]―{¼[ABCD]―[APM]―[MBNQ]}―{¼[ABCD]―[RNC]}=[APM]+[MBNQ]+[RNC]
despois de cancelarmos os valores iguais de signo contrario.
A demostración que dan no libro é intencionadamente máis complexa, para salientar o que vén despois.Porque ata este momento poderiamos dicir que este feito acada o grao de correcto. Que foi o que me chamou a atención unha vez lin o epígrafe mencionado? O que segue:

Sucede que o feito de que os puntos M e N sexan os puntos medios dos lados AB e BC é irrelevante. É dicir, a conclusión sobre as áreas sombreadas tamén é certa con calquera posición de M e N, por exemplo esta:


Aínda que a miña demostración anterior tamén funciona cun cambio mínimo para calquera posición dos puntos M e N nos lados AB e BC, teño que recoñecer que é moito mellor a solución que dan os autores do libro. Unha solución que descansa sobre unha idea sinxela de entender pero difícil de atopar, que é o que se denomina Teorema das Alfombras:

Se o chan du cuarto rectangular está completamente cuberto por alfombras que non se solapan (e non nos importa a súa forma), e movemos unha das alfombras, a área que fica solapada coincide coa área que fica sen cubrir. Enleado? Mira o debuxo  e pode que o vexas máis nítido, ao observares como se move a alfombra á dereita:


E cal é a relación deste feito co noso cadrado de antes? 
Pensemos que o cadrado ABCD é o cuarto do teorema, e os triángulos AND e DCM as alfombras. Eses triángulos teñen a mesma área, que coincide coa metade da área do cadrado, polo que, se non se solapasen, ocuparían xuntos o cadrado. Cando se solapan, a zona solapada (laranxa), en virtude do Teorema das Alfombras, ten que coincidir coa zona do cuarto que deixa de ser cuberta, é dicir, a zona violeta.

Unha marabilla. Tan sinxela, pero tan sumamente elegante.



11.9.12

Huebrix

Un nivel de exemplo

Había un bo tempo que non atopaba pola rede un xogo con certa dificultade e singularidade. Aínda que a idea non é aparentemente moi orixinal, Huebrix presenta algúns retos interesantes para a mente. Visualmente é outro xogo máis "tile-based", é dicir, cunha área de xogo dividida en celas ou rectángulos, e respecto á dinámica do xogo corresponde ao xénero de puzzles. Por último: matematicamente amosa certos problemas topolóxicos en dúas dimensións.
Probádeo, pois aínda que tarda un pouco en chegar a niveis que resulten retadores (o que se vén en chamar "cuva de aprendizaxe suave"), despois veredes fases realmente entretidas (ou desesperantes, depende de como afrontedes os xogos de pensar).

Pero se preferides algo máis académico, sempre podedes botarlle unha ollada ao último informe da OCDE  (eses que elaboran PISA), Education at a glance 2012 ou ás notas sobre España, que foron publicados onte, e onde atoparedes datos tan útiles  e valiosos para o traballo cotiá das nosas aulas como que a aula media de España ten 13'1 alumnos. Estamos en boas mans...

3.9.12

De volta outra vez máis

Tomado de The Math Kid
Para comezar o novo curso quería compartir un anaco do prefacio dun libro de 1944 que estou a ler:

"Popular interest in mathematics is unquestionably increasing. Perhaps this is because of the fact that mathematics is a tool without which the applied sciences would cease to be sciences. On the other hand, the abstract aspect of mathematics is beginning to attract a large following of people who,weary of the complexities of the human equation in everyday activities, turn in their leisure to the simplicities of the mathematical equation."

Que nunha tradución pobre e persoal quedaría:

"O interese popular nas Matemáticas está, sen dúbida, crecendo. Quizais porque as Matemáticas son unha ferramenta sen a cal as ciencias aplicadas deixarían de ser ciencias. Por outra banda, o seu carácter abstracto está a comezar a atraer un grande número de seguidores que,  fartos das complexidades da ecuación humana nas actividades cotiás, se entregan ás simplicidades da ecuación matemática."

O libro, Riddles in Mathematics. A Book of Paradoxes, de Eugene Northrop, contén unha plétora de paradoxos, máis ou menos serios e elaborados, moitos ben coñecidos polos matemáticos. Escollín un paradoxo xeométrico, breve e sinxelo, non moi complicado de desenlear. Vexámolo:

Desde un punto exterior a unha recta podemos trazar dúas perpendiculares.

Debuxemos dúas circunferencias que se intersecan en dous puntos, Q e R. Tracemos os diámetros QP e QS e chamemos P e S ás súas interseccións coas circunferencias.



Vemos rapidamente que os ángulos PNQ e SMQ son rectos por seren inscritos en semicircunferencias. Polo que tanto QM como QN son perpendiculares á recta determinada polos puntos P e S.

Cando un xa sabe onde está o erro na deducción parece que as liñas e os puntos saen da pantalla, pero cando aínda non o descubriu...

14.8.12

Para quen lle gusten os números

Xoguemos un pouco con números naturais.


Imos seguir un proceso que nos vai levar do conxunto dos primeiros 4 números naturais a un único número en tres pasos. En cada paso do proceso colleremos ao chou dous dos números, chamémoslles a e b, e substituirémolos polo número a + b + a·b. Como en cada paso temos un número menos, en 3 pasos chegaremos a ter un só número.

Fagámolo dúas veces, a ver que pasa.
  1. Comezamos con {1, 2, 3, 4}. Collemos, por exemplo, o 2 e o 4, calculamos 2 + 4 + 2·4= 14
  2. Temos agora o conxunto {1, 3, 14}. Collemos ao chou o 1 e o 3, calculamos 1 + 3 + 1·3= 7
  3. Chegamos ao conxunto de dous números {7,14}. Calculamos finalmente 7 + 14 + 7·14= 119, número de presenza inofensiva.
Outra vez:
  1. Volvamos a {1, 2, 3, 4}. Collemos agora o 1 e o 4, calculamos 1 + 4 + 1·4= 9
  2. Atopamos agora o conxunto {2, 3, 9}. Collemos o 3 e o 9, obtemos 3 + 9 + 3·9= 39
  3. Nesta ocasión chegamos ao conxunto {2, 39}. Calculamos outra vez 2 + 39 + 2·39= 119
Outra vez 119? Non pode ser casualidade. Haberá que facelo outra vez:

  1. De {1, 2, 3, 4} collemos o 2 e o 3, calculamos 2 + 3 + 2·3= 11.
  2. De {1, 4, 11} collemos 1 e 11 e obtemos 1 + 11 + 1·11= 23
  3. En {4, 23} calculamos 4 + 23 + 4·23= 119
Se alguén cre que é puro azar, pode probar os distintos 12 camiños (12? non son 24? pois non...) que hai para seguir o procedemento, e así convencerse de que sempre aparece o 119.

Diante dunha sorpresa así, nun algoritmo tan sinxelo, ocórrenseme varias preguntas:

Que terá de peculiar o número 119?
Por que chegamos sempre a el mediante este proceso, independentemente do camiño que sigamos?
Pasará o mesmo se comezamos co conxunto dos primeiros 10 naturais?
Podemos adiviñar o número final e a súa relación co conxunto de partida?

E finalmente... gústanche este tipo de xogos?

17.7.12

A suba do IVE

Nos puntos porcentuais non penso entrar...

Para entendermos de xeito cabal a competencia matemática e o nivel de esforzo que require acadala é sempre útil botar unha ollada ao tratamento que fan os xornalistas deste país das novas nas que aparecen números, proporcións, porcentaxes, gráficas,... e deste xeito compararmos o coñecemento e a destreza que teñen adultos "competentes" coa que queremos que obteñan os alumnos arredor de 3º de E.S.O. O tema é recorrente neste blogue, como pode ser comprobado aquí,  aquí ou aquí.

Hoxe é necesario revisar un concepto que adoitaba ser, senón sinxelo, polo menos non complicado: a porcentaxe. Con motivo dos recortes á calidade de vida da cidadanía e á suba de taxas, estamos a contemplar necedade tras necedade na explicación de todas aquelas medidas nas que hai que entender unha maldita porcentaxe. Eu vin varios "informativos" (destes que en verán amosan as praias e preguntan aos paisanos se vai calor, meten publicidade presentada polos propios locutores que un segundo antes anunciaban as novas, informan das vodas de futbolistas dentro da mal chamada sección  "Deportes"...) nos que, máis que informar das subas, meteron a zoca ao non entenderen as porcentaxes relativas. Vexamos o asunto:

Todos debemos de ser conscientes a estas alturas de que o I.V.E. (Imposto sobre o Valor Engadido) vai subir en España. Algúns terán descuberto agora que o I.V.E. non é único, senón que ten distintos tipos, segundo os produtos e servizos gravados. Respecto aos produtos, o tipo superreducido é aplicado a produtos de 1ª necesidade, como alimentos básicos (pan, leite, lácteos, ovos, froitas, verduras,...), xornais, libros (en papel), ... O tipo reducido corresponde a case todo o resto de alimentos (incluída a auga) se son de consumo habitual. E o tipo xeral para tódolos produtos non contemplados nos dous anteriores. 
E cales son eses tipos?

Pois ben, durante moitos anos (desde 1992 ata 2010) tiñamos asimilado que os tipos eran:


  • Xeral: 16%
  • Reducido: 7%
  • Superreducido: 4%
Os dous primeiros cambiaron en xullo de 2010, pasando a ser:

  • Xeral: 18%
  • Reducido: 8%
E agora queda a cousa así:

  • Xeral: 21%
  • Reducido: 10%
  • Superreducido: 4%

Cal é o problema con esta nova situación? Supoño que calquera adulto que fose á escola saberá que para coñecer o prezo final dun produto dentro do tipo xeral só ten que calcular o 21% do prezo sen IVE e posteriormente sumarllo. Pero que sucede cando non coñecemos o prezo sen IVE senón o prezo co IVE anterior do 18%?

Non, a resposta non é a que dan algúns xornalistas, que propoñen facerlle o 3% ao prezo anterior e sumarllo. A razón é obvia (tanto que en tódalas aulas que levo dadas de 1º de E.S.O. sempre hai alumnos que saben explicala): sucede que o 3% aplícase ao prezo sen IVE, non ao prezo co IVE previo. Vexamos cun exemplo como calcular o prezo novo dun produto que antes custaba 40 €:


  • Primeiro calculamos o prezo sen o IVE do 18%. Isto faise nos primeiros cursos da E.S.O. cunha regra de tres, a partir de 3º utilízanse os índices, que son máis eficientes: 40 : 1'18 = 33,898 €
  • E agora calculamos o prezo co novo IVE: 33,898 ·1'21 = 41,017 ≈ 41'02 €
Que pasa se un é un mangante e non quere botar estas contas cada vez que o necesite? Pois só ten que ollar con coidado a estrutura do proceso: 1º dividir entre 1'18, 2º multiplicar por 1'21. O resultado é o mesmo que se multiplicamos directamente o prezo vello co IVE do 18% por 1'21/1'18, que é aproximadamente 1,025, o que corresponde a unha suba do 2'5% (e non do 3% como dixeron algúns xornalistas)

Un proceso exactamente igual leva a que nos produtos dentro do tipo reducido a suba foi do 1'85%

Tan complicado era?

4.7.12

Problemas para xullo


Si ou non?


Como é probable que este blogue estea parado durante o verán, vou deixar uns problemas suficientemente difíciles para que queden ben na portada. As fontes e o estilo son variados, observade:


  • Coloquemos n puntos nunha circunferencia (si, outra vez) e unámolos todos mediante cordas, de tal xeito que non haxa tres desas cordas que pasen polo mesmo punto interior á circunferencia. Cantos triángulos formados pola intersección das cordas aparecen dentro do círculo? (é dicir, non serven os que teñen un dos vértices nos n puntos do inicio). Déixovos un debuxo para cando collemos n = 6  puntos, onde podemos comprobar que só hai un triángulo válido:

  • Imaxinemos tódolos números naturais do 1 ata 1 millón escritos diante de nós. Se collemos ao chou un número, que é máis probable: que teña un 1 entre as cifras ou que non?

  • Un máis "técnico": Dun triángulo sabemos que as súas alturas miden 3, 4, e 6 cm. Cal é o seu perímetro?


  • Que número é maior,


  • Tracemos os puntos medios dos lados AB e AC dun triángulo equilátero e chamémoslles E e D. Unamos E e D cun segmento, e prolonguémolo ata que corte á circunferencia circunscrita ao triángulo nos puntos F e G. Amosar que a razón entre o segmento DE e o segmento EG é a razón áureaφ:


Sorte cos problemas, só tede coidado, que hai un problema algo máis difícil que os outros 4...





25.6.12

Blade Runner

It's too bad she won't live! But then again, who does?

Continuando cos aniversarios, hoxe van 30 anos da estrea de Blade Runner. Película de culto geek por excelencia, pasou á historia na época na que a xente compartía películas en formato VHS e non nas redes P2P (eu non coñezo a ninguén que a vise na súa estrea nos cines). Aínda que non debe de quedar humano nin replicante sen sabelo, a película está baseada máis ou menos libremente no relato longo (ou novela curta, non estou seguro) de Philip K. Dick Do androids dream of electric sheep? (Soñan os androides con ovellas eléctricas?). Non é a única película baseada en relatos ou novelas de Dick, en realidade hai unha longa serie: Total Recall (Desafío Total) é unha versión cinematográfica de We can remember it for you wholesale, Minority report do relato do mesmo título, o mesmo sucede con Paycheck , Screamers (Asasinos cibernéticos, vaia título!) transcribe ao cine Second Variety,... e moitas outras, de resultado irregular.

Blade Runner pasou desapercibida nas salas de cine, circunstancia á que axudou que foi estreada só dúas semanas despois de E.T., que obviamente é ciencia ficción máis axeitada para o gran público. Ao mito creado arredor da película contribuíu que Philip K. Dick non chegou a vela estreada, e a montaxe final deu lugar a multiplicidade de historias que tentaban explicar baleiros ou trampas no guión. O propio director, Ridley Scott (que xa creara outra grandes obra do cine de ciencia ficción, Alien) levou a cabo un Director's cut en 1992, e aínda houbo un Final Cut en 2007.

Como coincidencia inquietante, observade este texto en forma xornalística que servía de introdución ao libro:


A TURTLE WHICH EXPLORER CAPTAIN COOK GAVE TO THE KING OF TONGA IN  
1777 DIED YESTERDAY. IT WAS NEARLY 200 YEARS OLD. 

(No relato de Dick a relación dos humanos cos animais e as súas emulacións cibernéticas cobra máis importancia que na película)

Comparade con esta nova da BBC de hoxe mesmo:

A dirección do Parque Nacional das Illas Galápagos informou de que O Solitario Xurxo, unha tartaruga xigante de arredor de 100 anos e que se pensa que é a derradeira da súa especie, acaba de morrer.

Lembro Blade Runner desde que a vin de neno na televisión. Probablemente o xénero de ciencia ficción e a estética, tanto no referente ao visual como á música, foi o que me chamou a atención, realmente non creo que entendese a historia a primeira vez. Anos despois volvín vela unha morea de veces. En canto tiven a oportunidade lin tamén o relato que lle deu orixe, que non é un dos meus preferidos de Dick, seguramente poría antes nunha listaxe as novelas Ubik e Our friends from Frolix 8 ou , en relatos breves, Second Variety. Estou certo de que a película en certo sentido transcendeu a súa orixe literaria, suceso non moi común, desde o meu punto de vista.

Se tedes a sorte de non ter visto a película, non esperedes máis, baixádea xa. E se dades co libro lédeo tamén, e non vos paredes aí, buscade as coleccións de relatos de Philip K. Dick. É un verdadeiro pracer. Crédeme.

Para rematar este revival, que sorte que teñamos un artista, Anders Ramsell (nacido un ano antes da estrea), que está a recrear a película mediante unha animación feita sobre... acuarelas!


23.6.12

Alan Turing, 1100100


Se entrades na páxina principal de Google, cousa que eu cada vez fago menos desde que navego co Chrome, veredes un doodle referido á famosa máquina de Turing, cun aquel steampunk. Isto non sería máis que outra homenaxe no ano de Alan Turing, en particular polo aniversario número 100 do seu nacemento, se non fose por un pequeno detalle: o símbolo que asociamos automaticamente co "Play" (polo menos desde a época dos cassettes). Isto indica que hai algo interactivo no doodle.
Se tedes algo de curiosidade, ide a Google e descifrade o funcionamento da máquina. Cada nova etapa pintará de cor o logo de Google. É unha pequena pinga no mar de agradecemento que lle debemos a Turing, lembremos que o Reino Unido non aceptou perdoar a Turing por grave indecencia.

Internet ferve neste aniversario, non é para menos:

Turing Round Up
Remembering Alan Turing
Google celebra el 100 cumpleaños de Alan Turing

Se o doodle non é difícil abondo, probade este reto do Science Museum de Londres:

Codebreaker Challenge

17.6.12

Ai! As funcións

Dan Piraro, Bizarro Comics
"...e aquí temos unha gráfica que amosa o que podes ver se miras
a unhas montañas a través dunha raqueta de tenis"

Escoitando as novas sobre o rescate dos bancos españois (ou como queiran chamarlle) e as repercusións sobre os servizos sociais, a deformación profesional fixo inevitable que me detivese no uso de termos matemáticos elementais implicados. Diante dunha frase máis ou menos así:

"En troques de ser linear, a suba das taxas farase en función da renda"
(quizais estou a confiar demasiado na memoria)

Todos recoñecemos este tipo de frases pronunciadas por xornalistas e políticos. O principal problema que presentan é que non teñen ningún significado concreto. Vexamos a razón:

Tódolos anos estudamos o bloque de funcións na E.S.O., bloque que comeza de xeito testimonial cunha única unidade e vai cobrando importancia desde 3º. E unha das primeiras cuestións que abordamos é a de como definir con rigor unha función. Con este obxectivo imos loitando coas dificultades  inherentes: o concepto de función é abstracto; os alumnos, loxicamente, tentan levalo ao concreto, de tal xeito que é habitual que confundan función con gráfica (por exemplo); diariamente nos medios utilízanse mal... Por último, pero tamén importante: como tódolos contidos suficientemente interesantes non ten aplicación directa na vida cotiá.
Unha teima dos profesores de Matemáticas radica na necesidade de que teñamos datos abondo para definir unha función particular, ademais dos distintos "formatos" nos que a función veña dada (táboas, gráficas, expresións alxébricas...), é dicir, que para coñecer cabalmente unha función temos que saber, ademais da relación entre os datos, os conxuntos nos que collemos eses datos. E o exemplo de antes erra precisamente neste punto:

"En troques de ser linear, a suba das taxas farase en función da renda"

Que unha función sexa linear quere dicir que a relación entre as variables vén sendo algo así como proporcional (o significado real de "linear" en máis dimensións éche máis complicado, pero cunha única variable dependendo doutra chega abondo co significado de proporcional; tamén hai o problema de considerar linear calquera función cunha gráfica con forma de liña recta). Por exemplo, se o valor da variable x é duplicado, tamén se duplica o valor da variable y. O problema do "titular" do xornalista é que entendemos que a suba das taxas é a variable y, que depende dunha variable x de xeito linear, pero non sabemos quen é x. Erro grave. Aínda que tentemos adiviñar quen é x non temos moitas perspectivas de éxito: se x é a renda per cápita, o que parece negado pola segunda frase, quere dicir que unha estudante universitario cunha renda de 10000 € vai pagar a metade que un cunha renda de 20000 €? Eu apostaría a que non, a que en realidade tamén habería umbrais mínimos, pero isto non é clarificado por ningures. E incluso pode suceder que a suba das taxas se faga en función das taxas previas, complicando máis o estudo (podemos chegar a entender o proceso como unha función composta: primeiro a taxa previa en función da renda e despois a suba en función da taxa previa)
E na segunda frase hai o erro "inverso": falan da variable x pero non da relación entre as variables. Porque a subas das taxas pode ser unha función cuadrática da renda ou ben unha linear, ou ben unha expoñencial... En conclusión, a frase do xornalista é un bodrio. Por desgraza, isto é máis a regra que a excepción.

Para rematar, outro exemplo humorístico deste tipo de erros:

Married to the Sea
"Non vexo cal é o problema... oh. "Mortes" É o gráfico das mortes.
 Perdoa, pensei que eran as cifras de ventas."

12.6.12

As cícadas e os números primos

Magicicada Septendecim, da Wikipedia

Estaba a revisar os últimos libros que baixei (que faría eu sen o P2P?) cando atopei The Math Book, de Clifford Pickover. Unha das historias que conta é a (ben coñecida?) relación entre as cícadas e os números primos. Non é a primeira vez que a vexo recollida nun libro: hai xa uns cantos anos que lin un libro dun científico galego, Xurxo Mariño, Os dados do reloxeiro (dispoñible para descarga na súa web), no que trataba o tema do ciclo de vida das cigarras.
Resumindo un pouco:
As cigarras do xénero Magicicada pasan a maior parte da súas vidas baixo terra alimentándose das raíces das plantas, ata que emerxen para reproducirse e morrer pouco despois. A súa emerxencia está sincronizada con períodos de anos que inclúen os números primos 13 e 17, é dicir, na primavera do seu decimoterceiro ou decimosétimo ano de vida saen de embaixo da terra.

A cuestión obvia é: cal é a razón de que os ciclos sexan de 13 ou 17 anos? A explicación común incide no feito de que, deste xeito, os depredadores das cícadas (uns fungos) teñen menos probabilidades de coincidir coa súa emerxencia. Por que? Porque o ciclo vital destes fungos é de 2, 4 ou 6 anos, así que se o ciclo de aparición das cícadas fose de 12 ou 18 anos, os fungos coincidirían con elas con maior frecuencia.

En realidade hai certas obxecións que podemos facer a este modelo matemático, e contestalas correspóndelle máis á Bioloxía que ás Matemáticas. Por exemplo: non sería máis eficiente para as cícadas un ciclo de 2 anos que estivese intercalado co dos fungos como os pares cos impares?

Se queredes fedellar cun modelo moi simple que compara a supervivencia de cícadas con distintos ciclos vitais, ide a Mathematical Locusts e comprobádeo vós mesmos.


6.6.12

Outro xogo na superficie dun cubo


Unha pequena referencia ao lema deste blogue

Hoxe traio un xogo, Sequester, que lembra automaticamente a outro, Cardboard Box Assembler, do que xa falara por acó hai máis dun ano. 
As coincidencias son obvias pois é, como aquel, un puzzle, e a dinámica do xogo transcorre na superficie dun cubo. O obxectivo de cada pantalla é chegar a unha porta de complicado acceso, e a dificultade reside na secuencia de pasos que hai que dar para activar resortes utilizando a xeometría (e a topoloxía) da superficie do cubo.
E a principal diferenza está en que Sequester presenta un leit motiv ou fío condutor para a pescuda do cativo protagonista. E esa historia está ben asistida pola atmosfera creada pola música e os gráficos.
Bo xogo, se vos gusta pensar mentres premedes as frechas do teclado. Unha mágoa que non deixe gardar o progreso, así que se comezades, tentade rematalo á primeira.

1.6.12

Viaxe pola criptografía

De Abstruse Goose, NUM63R5

Na Khan Academy hai publicado un curso chamado "Journey into Cryptography" no que desenvolven os conceptos matemáticos e computacionais máis básicos desta disciplina, tratando tamén aspectos históricos. Entre outros son comentados o Teorema fundamental da Aritmética, os espazos probabilísticos, a famosa cifra César, as máquinas de cifrado da 2ª guerra mundial, os xeradores de números pseudo-aleatorios... Un repaso máis que suficiente para coñecer o esencial.

Para que vexades o estilo, déixovos o vídeo da introdución (lembrade que premendo CC no reprodutor podemos ver a transcrición do audio, que aínda non funciona dun xeito satisfactorio)






Pode interesar a Criptografía a un adolescente actual? Hai que ter en conta que hoxe en día publicamos diariamente datos polos que hai non tanto tempo as axencias tiñan que investigar.
Aínda así, a resposta é afirmativa. Pode estar interesado pola seguridade da transmisión dos datos,  a un nivel moi elemental, simplemente para que os seus amigos non poidan facer comentarios sobre a súa orientación sexual se deixan aberta unha conta no tuenti. Que, por se non o sabedes, é o habitual nestes casos.