30.12.19

Outro problema de grellas


Hai un problema clásico das matemáticas recreativas polo que pasei rozando neste blog, e que volveu capturar a miña atención debido á alerta que me avisa do que se publica en math stack exchange. Soará estraño, mais o que viña nesa alerta non era a situación que é obxecto desta entrada, senón outra da que hei falar noutra ocasión, e que trata de saber analiticamente se un rectángulo cae dentro doutro rectángulo. E non sei moi ben a razón, mais esa cuestión e a que vou comentar nun intre están gardadas moi preto unha da outra na miña memoria.

Pois ben, consideremos o rectángulo que ten como vértices (0,0), (m,0), (m,n) e (0,n), e marquemos os m·n cadrados unitarios que contén. Se debuxamos a diagonal de (0,0) a (m,n), por cantos deses cadrados pasa, se falamos de pasar polo interior deles?

Rectángulo 8·6, cadrados resaltados
Se un fai un par de probas con diferentes dimensións, o primeiro que observará é que atopar ese número de cadrados se reduce a calcular por cantos puntos reticulares(i.e, coas dúas coordenadas enteiras, os vértices dos cadrados na nosa grella) pasa a diagonal, pois por cada punto reticular polo que pase a diagonal haberá que restar un cadrado do máximo teórico. Máximo que se alcanza no exemplo seguinte, por exemplo:

Ningún punto reticular na diagonal agás os extremos

Esta situación é ben frutífera, pois hai un feixe de cuestións a explorar, despois de atopar a expresión que nos dea o número de cadrados vía o número de puntos reticulares na diagonal:
  • Como é o patrón das secuencias horizontais de cadrados? No exemplo 8·5 é 2-3-2-3-2
  • Es quen de atopar un exemplo de rectángulo para cada un dos casos intermedios entre 0 cadrados e n+m-1 cadrados?
  • ...

Por outra banda, a situación tamén é modificable/xeneralizable, variando as figuras que aparecen:

  • Se en troques de trazar a diagonal, segmento rectilíneo entre os vértices, debuxamos outro camiño entre eses dous puntos?


Parábolas, unha delas función cuadrática de x e a outra, radical            
  • E se trocamos o rectángulo e os cadrados por paralelogramos? Triángulos? Outros polígonos?Nestes casos habería que refacer as normas do xogo; por exemplo cos paralelogramos, consideramos paralelogramos "unitarios" ou semellantes ao paralelogramo orixinal? As dúas situacións son ben diferentes...

Ocórresevos algunha outra modificación á situación de inicio? Please feel free to comment.


Sirva esta como última entrada do 2019. Matemáticas na Rúa volve en 2020, abofé que si.


24.12.19

Máis problemas da aula


Despois de ver esta entrada de Cibrán(lédea se non o fixestes aínda, mangantes), decidín compartir algún problema máis dos que utilicei en Matemáticas I. Estes problemas proceden da mesma xeira có anterior, mais tamén dunhas tarefas individualizadas que mandei porque, benévolo e magnánimo como son, accedín á petición dos alumnos de 1º de bacharelato de non poñer problemas no exame final (explicación alternativa: nun exame de 50 minutos+recreo non ía darlles tempo con toda seguridade).

Nestas tarefas, ao estilo dos traballos de 4º de ESO que compartín hai dous anos, puxen un exercicio máis ou menos técnico xunto ao que chamaríamos un problema estándar. Nalgúns casos, o exercicio técnico supón un problema maior có problema que o acompañaba, contra o que podería agardar alguén de fóra do ensino das Matemáticas.

Coido que nesta escolma non hai ningún problema orixinal meu, todos forman parte ou ben do folklore ou apareceron en competicións matemáticas, ou en máis ocasións, foron tirados de libros como o fabuloso Ants, Bikes and Clocks: Problem Solving for Undergraduates de William Briggs, no que non paro de atopar pequenas xoias da Matemática elemental.

Velaquí uns cantos:

  1. Dous ferris parten simultaneamente de beiras opostas dun río, navegando perpendicularmente ás beiras. Atópanse por primeira vez a 180 metros da beira máis cercana, e ao chegar á oposta, permanecen 10 minutos no pantalán antes de emprender o camiño de volta. Atópanse de novo a 100 metros da beira máis cercana. Cal é o ancho do río?
  1. Se x é un número real que cumpre $x^3+4x=8$, atopa o valor de $x^7+64x^2$
  1. Pablo e Cristina compiten nunha carreira de 100 metros, e Cristina gaña a Pablo por 5 metros de vantaxe. Deciden botar a revancha, con Cristina empezando 5 metros por detrás da liña de saída. Supoñendo que os dous corredores vaian ao mesmo ritmo que na primeira carreira, quen gañará a segunda? ¿Por canto? (Desta idea xa falei no blog aquí)
  1. Raúl pode chegar ao seu destino se conduce a unha media de 60 km/h. Se cando leva unha fracción 0 < p < 1 do traxecto total observa que só foi a unha velocidade media de r < 60 km/h, a que velocidade terá que ir para tardar o tempo habitual?
E para rematar:
  1. Considera este desafortunado incidente: Unha moza estaba cruzando a ponte do ferrocarril cando, a metade de camiño, viu un tren a 50 metros que ía cara ela. Inmediatamente xirouse e correu de tal xeito que saíu da ponte no momento exacto no que chegaba o tren. Se tentase cruzar a ponte, o tren colleríaa un metros antes de que lle dese tempo de saír da ponte. Cal é o largo da ponte? (situación xa aparecida tamén)

Se queredes evitar a infame televisión que podemos padecer esta noite, xa tedes algo no que pensar.

11.12.19

Outro dos meus problemas preferidos(one more time)


Esta semana estamos a resolver problemas variados en Matemáticas I, pois comezar outra unidade didáctica para traballala 3 días(que mañá hai folga do profesorado galego) sería absurdo. E claro, en 1º de bacharelato propoñer problemas de tradución directa da linguaxe natural á álxebra, como os que xa fixeron todos os cursos da ESO, suporía unha perda de tempo. Polo que remexendo por listas de problemas ocultas no pen drive do choio, argallei unha na que hai certa variedade, desde problemas que utilizan modelos exponenciais(lei de enfriamento newtoniano) ata problemas nos que só hai que entender ben a razón entre magnitudes(e non por iso son máis sinxelos). E introducín o problema que veño compartir, que xa teño utilizado nos primeiros cursos da ESO, e que serve perfectamente como exemplo de que, ás veces, saber moito é contraproducente, como na famosa anécdota sobre Von Neumann e o problema dos trens e a mosca, comentado por Presh Talwalkar na súa canle Mind your Decisions:




Vexamos o problema:

Antía, Beatriz e Carlota teñen certa cantidade de cartos. Antía dá a Beatriz tantos cartos como ten, e fai o mesmo con Carlota. Despois, Beatriz dá a Antía e Carlota tantos cartos como ten cada unha nese momento. Finalmente, Carlota dá ás outras dúas rapazas tantos cartos como teñen. Ao final deste proceso, todas rematan con 8 euros. Con cantos cartos comezaran o proceso?


Seguramente gústame este problema porque ademais de ter unha solución elemental, que non usa álxebra, a solución alxébrica ten interese tamén por si mesma. Xa o coñecíades? Dades atopado a solución elemental? Unha pista: un problema deste estilo adoita aparecer para ilustrar un heurístico dos recompilados por Polya en How to solve it.

Ah, e outros dos problemas desta listaxe xa apareceran por este blog, nesta década ou na anterior.