Catro problemas

 

Xa vai un tempo desde a última entrada na que compartín uns problemas, polo que veño a resolver esta eiva.

O primeiro, da 2º rolda da edición de 2020 do sempre fabuloso concurso Georg Mohr:

• Recortamos un cuadrilátero dun papel de agasallo decorado con faixas grises e brancas do mesmo ancho.

Que ninguén se pregunte por que facemos isto...

Se as faixas grises no cuadrilátero teñen en total unha área de 10 cm², determina a área do cuadrilátero.

(Se ben é sinxelo de adiviñar o valor da área, non é tan inmediato argallar un xeito de demostralo)

Cambiando totalmente de asunto, velaquí un problema de números da edición de 2019 da Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa:

• Prove que para todo n inteiro não nulo, existem infinitas triplas de inteiros não nulos a, b e c que satisfazem as condiçoes:

1. a+b+c=n
2. ax²+bx+c=0 tem raízes racionais

Veña, agora un de contar, que apareceu no Alma Math Challenge do 2018:

• Sendo n un número natural, consideremos o tetraedro regular con vértices O(0,0,0), A(4n,n,n), B(n,4n,n) e C(n,n,4n). Amosar que o número N de puntos (x,y,z) con coordenadas enteiras dentro ou no bordo do tetraedro OABC vén dado pola expresión

$$N=\frac{1}{2} (6n+1)(3n^2+n+2)$$

E para rematar por hoxe, un sinxelo problema xeométrico que apareceu na Olimpíada Finlandesa de 2005, no que a figura é abondo para adiviñar a pregunta:

• Na figura temos 4 cadrados e os seus puntos medios. Demostrar que os dous segmentos son perpendiculares.

Isto pode mellorarse

Non puiden subtraerme á necesidade de facer isto animado:

Así mellor

Dándolle unha volta a exercicios estándar

Collido do tristemente descontinuo matthen

Hai certas actividades tan habituais nas aulas/libros de texto de Matemáticas que estou convencido de que se pode hackear o sistema de avaliación empregado, chegando a obter cualificacións case excelentes sen entender nin unha das ideas matemáticas subxacentes. Hoxe vou modificar levemente algúns deses exercicios recorrentes para que sexa máis difícil obter a resposta correcta sen algo de reflexión.

Comecemos co consabido exercicio de "mínimo común múltiplo" que se fai en 1º de ESO, que pode ser resolto en canto os alumnos se decaten de que, se algo é repetido no tempo, a probabilidade de que haxa que facer o m.c.m. é case 1. O exercicio tipo pode ser algo así:

As eleccións presidenciais en Francia teñen lugar cada 7 anos, mentres que as lexislativas se celebran cada 4 anos. Se este ano coincidiron as dúas eleccións, cando volverán a coincidir?

A modificación que fixera nun exame da Rúa foi:

As últimas eleccións presidenciais en Francia tiveron lugar en 2006, mentres que as lexislativas se celebraron en 2004. Sabendo que as presidenciais se celebran cada 7 anos e as lexislativas cada 5 anos, cando coincidirán?

A modificación tampouco garante que alguén que resolva o problema entenda con certeza o fundamento do mecanismo, simplemente evita(ou demora) o automatismo.

Se somos especialmente maquiavélicos, poderíamos empeorar o problema, e poñer que as presidenciais se celebraron en 2006, as lexislativas en 2005, e que as presidenciais se celebran cada 4 anos e as lexislativas cada 6, por exemplo. Mágoa non dar este ano 1º de ESO, pois nunca fixen esa variación.

O seguinte exemplo supoño que moitos de vós argallastes algunha vez, e dá unha pequena volta ao típico exercicio sobre as raíces dunha ecuación de 2º grao. Este púxeno nun simulacro de exame de Álxebra de 3º de ESO, tamén na Rúa:

Vaia, volvín quedar durmido en clase de Matemáticas. Da ecuación que había no encerado só collín isto: 

$$x^2-12x+\square=0$$

Pero tamén puiden ver que unha das solucións é 9. Podes completar con estes datos a ecuación e dicir cal é a outra solución?

Obviamente, este exercicio supón un reto maior para grupos que non visen as relacións de Cardano-Vieta, pero aínda coñecéndoas non é tan rutineiro como o exercicio estándar no que, ou ben preguntamos pola suma e produto das raíces, ou ben hai que encontrar as raíces sen usar a fórmula xeral, etc. 

O que vén agora utiliceino como bonus (i.e., como cuestión final e voluntarias dun exame, que non conta dentro da cualificación do exame, senón para subir nota na avaliación) nun exame de 1º de ESO xa en Canido. Na miña opinión é un bo exercicio técnico para facer pensar dun xeito non estándar sobre as operacións con enteiros, xulgade vós mesmos:

Tres números enteiros distintos cumpren que se os sumamos obtemos 1, e se os multiplicamos, obtemos 36. Atópaos.

Agora un exercicio sobre decimais que incluíra nun exame de decimais en Cedeira, e que require certa reflexión: 

Observa a posición dos números P e Q e localiza aproximadamente os números P+Q , P·Q, Q-P e P:Q

Copiei a imaxe do pdf e chanteina aquí
 desde o portapapeis, first time ever

A verdade é que este exercicio tan sinxelo admite modificacións para cambiar o nivel, por exemplo podemos introducir a raíz cadrada ou as potencias. Téñoo usado máis cando introducimos a notación científica ou para pensar un chisco despois, como amosei nesta entrada. E serve para razoar sobre o tamaño dos números e as operacións aritméticas. Ademais, unha estratexia para cursos baixos pode ser escoller exemplos concretos para P e Q. Para cursos superiores, poderíamos preguntar sobre condicións precisas que cumpran as operacións con P e Q, e que algunhas dependan da localización exacta de P e Q, p.e.x  0<P·Q<0,5? 

E para rematar, outro que tiveron que facer os meus alumnos de 1º de ESO de Cedeira nunha proba rápida de fraccións, e que practica operacións pero hai que pensar cales:

O ano pasado en Cedeira houbo $\frac{2}{3}$ de días ventosos e $\frac{2}{5}$ de días chuviosos.

É posible que ningún día ventoso fose chuvioso?

É posible que algún día non fixese vento nin chovese?

Tamén podemos cambiar as cuestións escollidas e preguntar directamente por cantos días ventosos como mínimo tivo que chover, ou preguntar pola posibilidade de situacións concretas (p.ex., se puido chover e facer vento só 10 días) ou se podemos asegurar que unhas situacións se van dar/cales son dubidosas, etc.

E vós, como facedes para escapar do previsible?