26.3.12

Entre avaliacións...


Cando un estuda teoría elemental de números ten que pasar inexorablemente polas congruencias, ferramenta matemática deixada á posteridade polo gran matemático Carl Friedrich Gauss. As congruencias teñen unha peculiaridade: unha vez que dominas a súa linguaxe, pasas a pensar tódolos problemas numéricos e de divisibilidade en función das congruencias. Exactamente igual que coas ecuacións: tódolos problemas elementais tenden a ser tratados en forma de ecuación alxébrica, aínda que ás veces as solucións meramente aritméticas sexan máis naturais (as famosas e inxustamente denostadas "contas da vella"). Pero hoxe non vou falar polo miúdo das congruencias, o que requeriría unha serie (longa) de posts, senón de problemas elementais relacionados cos números.

Como exemplo do nocivo que pode ser pensar sempre en termos de ecuacións, vexamos un problema que propuxen en 1º de E.S.O. hai uns anos, cando traballaba en Oleiros:

Atopa un número de dúas cifras que cumpra as seguintes condicións: as dúas cifras suman 9 e se lle damos a volta ás cifras obtemos un número un 20% maior.

Calquera que coñeza as ecuacións tenderá a transformar o problema en álxebra do xeito usual: temos un número 10x+y, darlle a volta convírteo en 10y+x... Dominar as ecuacións é útil pero non necesario. Como non hai tantos números de dúas cifras coa restrición da suma das cifras, tamén poderiamos atacar o problema probando ao chou. Vexamos cal foi a resposta dun alumno daquela clase:

Como para obter o número ao revés temos que facerlle o 20% ao número orixinal e sumarllo, e facer o 20% é dividir entre 5, o número orixinal é múltiplo de 5. Entón ten que rematar en 5 ou en 0. Se rematase en 0 ao darlle a volta obteriamos un número menor, así que esa opción queda descartada. Por tanto remata en 5. E a outra cifra ten que ser 4, para sumar 9, polo que a solución é 45, que revirado é 54, un 20% maior.


Pois ben, cando un estuda teoría elemental de números, unha das aplicacións inmediatas das congruencias é o traballo con calendarios. E este problema que poño a continuación foi o que me lembrou todo o tema, aínda que a súa resolución sexa totalmente trivial (razón pola que creo que é axeitado para as aulas de secundaria):

Se durante un certo mes coinciden 3 luns en día par, en que día da semana caerá o día 13?


19.3.12

Comparando TIMSS e a avaliación de diagnóstico

Páxina da Xunta de Galicia


Digamos que un colle un ítem ao chou da Avaliación de Diagnóstico do 2009 de Galicia e outro do estudo TIMSS 2011 (Trends in International Mathematics and Science Study):



  1. Cal dos seguintes é igual a 2(x+y) (2xy)?
    • 3y
    • y
    • 4x+3y
    • 4x+2y


  2. Cada vez que baleiramos a piscina de 6 m x 4 m x 1,5 m, facémolo cunha motobomba que extrae 1,8 m³ por hora e aproveitamos a auga para regar a horta. Canto tempo tarda en baleirarse?
    • 24 horas.
    • 20 horas.
    • 12 horas.
    • 40 horas.




Deixando a un lado o contido e atendendo ao tempo dispoñible, cal dos dous items credes que é máis axeitado nun test de 20 preguntas dirixido a alumnos con 13-14 anos que van ter 60 minutos para facelo?

En efecto. Non é o que debería.

12.3.12

Unha ligazón de humor e Matemáticas

Hai pouco tempo que atopei esta web, Math Fail, mentres deambulaba por ligazóns dun sitio a outro. Nela podemos achar todo tipo de erros relacionados coas Matemáticas, usualmente imaxes cómicas, pero tamén crebacabezas, vídeos curiosos,... En conclusión, aos interesados nas Matemáticas vailles interesar. Poño a ligazón á dereita do blog, que xa leva tempo abondo inmutable.

Como exemplo de erro matemático, esta "demostración do Teorema de Pitágoras", na que podemos apreciar un cadrado un tanto contrafeito:


Ou esta "explicación" da suma de fraccións:



Por certo, esta imaxe faime pensar en cantos erros dos alumnos explicaría este método.

7.3.12

Quizais noutro exame

Mentres corrixía exercicios puramente mecánicos de polinomios veume unha idea para un problema para profundar sobre porcentaxes ao nivel de 2º de E.S.O. Un problema deses que un evita nos exames, como moito podería ter unha puntuación ridícula para que a puntuación perfecta estea algo máis lonxe do mero aprobado.
A idea esencial está recollida na seguinte pregunta:

Atopa dous números, a e b, de tal xeito que a sexa un 25% maior que b, e que b sexa un 20% menor que a. Podes atopar máis parellas de números que cumpran esas condicións?

O problema é sinxelo desde a perspectiva dalguén que domine o enfoque alxébrico, mais no nivel previsto os alumnos terían que buscar outra estratexia (acaban de comezar a andar no mundo da Álxebra). Recoñecer a relación entre porcentaxes e fraccións é un bo camiño (aínda que non inmediato para os alumnos), porén tratar as porcentaxes desde o punto de vista da proporcionalidade non semella levar a bo porto.

Quizais para asegurarmos que os alumnos cheguen á idea que queremos transmitir, e non probar ao chou cunha morea de números, sería axeitado propoñer unha modificación no problema:

Podes atopar dous números, a e b, de tal xeito que a sexa un 25% maior que b, e que b sexa un 25% menor que a?

E aínda poderiamos modificar a segunda porcentaxe do problema.


Volvendo ao choio, teño algunhas novidades sobre o valor de x·x, ademais do clásico x·x = 2x (coa súa contrapartida x + x = x²), acabo de ver varias veces isto:

x·x = x

Tantas que cheguei a pensar que nalgunha ocasión o diría mal...