Aproveitando un problema estándar

 

Creo que xa comentei que este ano dou dúas aulas de 1º de ESO, que por tanto segue a ser o curso que máis veces dei nos case vinte anos que levo no choio(isto lembra a un problema clásico de TIMSS, a ver se o atopo¹). E aínda que a LOMLOE viña coa pretensión de reducir o número de contidos, o certo é que aínda temos máis cousas que dar, ao incluír o pensamento computacional no sentido alxébrico. Cousa que, non é por botar flores, xa vaticinara eu hai tres anos:

, na práctica, leve a ENGADIR CONTIDOS. E a proposta que acabo de ler que conecta as Matemáticas e a Informática, https://t.co/FhY372Pfu1, é un caso claro. Case todo soa ben(hai moito que roer no que din sobre modelización) pero, alguén cre que a Administración adoptaría unha 2/5

— J.J. Rodríguez (@jjcanido) June 10, 2020

Isto, sumado a outros factores, leva a que en maio estea aínda no sentido alxébrico, botando contas de cantas cousas importantes non van ver. E iso que, sendo rigoroso, non estou a cumprir co espírito da avaliación LOMLOE, porque como xa expliquei en varias ocasións, é unha trangallada que non permite determinar o que sabe facer un alumno.

E hoxe tocou resolver problemas co método alxébrico, para o que usei o libro de texto que tiven que escoller eu, cando a miña opción era non ter libro de texto. Cousas da vida. 

O anódino problema do libro dicía algo así como:

Atopa dous números cuxa suma é 241 e cuxa diferenza é 27.

Expliqueilles eu como resolvelo de varios xeitos. Os dous evidentes a este nivel:

• Utilizando a diferenza para determinar as incógnitas, a e a+27, e logo usando a condición sobre a suma para establecer a ecuación
• Utilizando a suma para determinar as incógnitas, b e  245-b, e logo usando a condición sobre a diferenza para establecer a ecuación.

Como todos saberedes, o segundo xeito é máis complicado, pola tendencia a crer que a condición "Suman 241" se traduce como b e b-241.

Mirando para as solucións, pregunteilles se querían saber algo máis deste problema, varios querían, así que avisei de que en 2º ían ver sistemas de ecuacións que ían resolver automaticamente estes problemas, pero que se podía facer doutro xeito. E o que fixen foi chantar unha táboa no encerado:

 

1º número	2º número	Suma	Diferenza
134	107	241	27
		10	4
		43	13
		26	26
		16	6

E pedín que completasen eles as outras. E para moitos non foi, nin de lonxe, inmediato. Agás un cativo, que resolvera o problema orixinal sen álxebra, que o fixo rapidísimo.

1º número	2º número	Suma	Diferenza
134	107	241	27
7	3	10	4
28	15	43	13
26	0	26	26
11	5	16	6

En realidade había máis ringleiras, pero con estas xa facedes unha idea. 

E pedín que mirasen para cada ringleira, a ver se vían algo. E despois de respostas como "Si restas el 1º y el 2º, te da la diferencia" (a resposta é ben parva, pero deixa claro o nivel de implicación na actividade que tiñan algúns), tardou en decatarse unha rapaza do que estaba pasando, explicou o asunto dun xeito críptico, pero a idea estaba aí: o 1º número é a semisuma da suma e a diferenza (a media da suma e a diferenza), o 2º número é a semidiferenza da suma e a diferenza. E todo o mundo entendeu o xeito de calcular os dos números, pero non entendeu por que funcionaba. Polo que tiven que facer o seguinte:

 

                Figura non feita a escala, bla, bla, bla...

Como só estaba a usar xiz branco, non se viu a mestura de cores. Pero iso non foi o problema, o problema foi que moitos seguían sen ver por que funcionaba o que vira aquel alumno ao principio e a alumna agora.

Preguntei explicitamente como poderíamos ver con estas barras que o 1º número coincidía con esa semisuma e o 1º con esa semidiferenza, e custou, vaia se custou... E observade que coa colocación da parte amarela e a verde, que son iguais, o da semidiferenza é case obvio, non si?

Pois houbo que facer algo semellante a isto:

    

Agora si?

E tamén algo como isto:

   

Onde collín o cacho azul de abaixo da 1ª figura e leveino a continuación da parte de arriba, co cal temos dúas veces seguidas o 1º número. 

Este segmento de clase levou ben vinte minutos, perfectamente. E tampouco teño claro que conseguise gran cousa co alumnado, pero tiven que improvisalo, sentín a obriga. En realidade estou convencido de que este tipo de actividades son máis propias de Primaria que de Secundaria, onde chegan moitos alumnos con escasa familiaridade cos números e con aínda menor capacidade para relacionar números e figuras. Deixádeme pontificar por unha vez: non insistiría moito nas divisións longas e nas multiplicacións en caixa e si máis en actividades variadas. Deixo de pontificar e aclaro: amigos mestres, xa sei que os alumnos que teñen dificultades coa reprodución de algoritmos aínda ían ter(ou teñen xa) máis dificultades coas actividades desta índole. E igual insistir nisto é unha perda total de tempo con ese alumnado, só serviría para sentirnos ben nós.

---

1 Ah, atopei o ítem de TIMSS, é este do grao 8 de 1995:

P5. Tres quintos dos estudantes dunha clase son rapazas. Se 5 rapazas e 5 rapaces son engadidos á clase, cal das seguintes afirmacións é certa?

1. Hai máis rapazas que rapaces
2. Hai o mesmo número de rapazas que de rapaces
3. Hai máis rapaces que rapazas
4. Non podes afirmar se hai máis rapazas ou rapaces coa información proporcionada.

Se estades interesados, podedes atopar aquí os ítems daquel ano, o que comparto está na páxina 92 coa súa numeración(101 do pdf)

^↩

Un problema do TIMSS 1999 Study Video

Despois de ver o vídeo do profesor Pedro Ramos no Congreso Las nuevas metodologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas da Consejería de Educación de Castilla y León, debido ás súas mencións ao TIMSS pensei en buscar a web do TIMSS 1999 Study Video. Aló fun, e escollín ao chou uns cantos vídeos da sección de Matemáticas. Tras pasar por algún soporífero dos USA e de Suiza, acabei vendo unha clase de Xeometría de 8º grao(~2º de ESO) de Xapón. A clase pode ser atopada na seguinte ligazón:

JP2 Changing Shape without Changing Area

(Perdoade o pandemonium de hipertexto)

O vídeo está dispoñible na canle de youtube de TIMSS Video, porén eu recomendaría ir á devandita web porque alí tamén podemos atopar comentarios do profesor sobre o que pasa en cada momento.

O certo é que me gustaría ter accesible a lección previa, que debe de ser máis expositiva ca esta, na que o profesor propón un problema de fronteiras no que traballan os primeiros vintepico minutos e outro (relacionado) dun cuadrilátero no que, xunto con certos desenvolvementos, pasan o resto do tempo. E que problemas! Sinceramente creo que son aplicacións idóneas para as ideas traballadas previamente. Xulgade vós mesmos o primeiro:

Imaxinade dous países que tivesen como fronteira algo semellante a isto:

    

Por cuestións non aclaradas, queremos que esa fronteira formada por dous segmentos sexa transformada nunha fronteira rectilínea; pero sen trocar as superficies dos dous países. Como teremos que actuar?

Unha das cousas que me chamou a atención é que o profesor comeza por preguntarlles aos alumnos por posibles ubicacións da fronteira rectilínea que ocultan totalmente a solución esperada en virtude da lección anterior:

   

Neste caso habería que escoller o segmento de tal xeito que a área do triángulo malva fose igual á suma das áreas dos dous triángulos verdes. Pódese facer tamén deste xeito, mais os obstáculos que acharíamos serían moito maiores. E ademais, esa non é a finalidade da lección, senón aplicar conceptos previos.

O segundo problema, intimamente relacionado co anterior, consiste en transformar un cuadrilátero nun triángulo que teña a mesma área. Permite unha morea de respostas, que van ir aparecendo no vídeo polo traballo dun alumno, traballo duro e sistemático.

Unha das 8 posibles solucións é a seguinte:

Ilusión óptica: O vértice superior do triángulo semella
máis baixo que o superior esquerdo do cuadrilátero.

Repito: boto en falla ver a lección anterior, saber como é o enfoque de leccións máis expositivas. Por outra banda, creo que é evidente que o estilo da aula (a disposición dos alumnos, a organización do espazo) xunto co feito de ter dous profesores nela, e quizais o propio carisma/talento do profesor, non permiten extrapolar o observado a, poñamos por caso, unha das miñas aulas. Pero o que si que é inevitable é gardar certa admiración. Iso teño que recoñecelo.