31.12.17

Nadal 2017- Problema 9


Imos co derradeiro problema deste ano, un lugar xeométrico que apareceu nunha competición Putnam cando comecei eu a carreira:


Temos dúas circunferencias, $C_1$ e $C_2$ de radios 1 e 3, respectivamente, con centros a 10 unidades de distancia. Atopar o lugar xeométrico dos puntos M do plano para os que existe un punto $X\in C_1$ e un punto $Y\in C_2$ tales que M é o punto medio do segmento XY.

Non inclúo applet por razóns obvias.   


Remato aquí a serie  de problemas. A actividade do blog volverá no seu estado actual intermitente o ano que vén, despois do 30 de xuño pode que recupere certa afouteza do pasado. Veremos.

30.12.17

Nadal 2017- Problema 8


Cando este blogueiro tiña que preparar as oposicións a profesor de secundaria, en troques de resolver os exercicios de oposicións anteriores ou o que é o mesmo, os exercicios dos libros da editorial Deimos dos ínclitos Braulio de Diego e Elías Gordillo, concentrei o miolo en resolver problemas de olimpíadas matemáticas do mundo. Nun xiro de guión, na oposición que pasei, no 2004, caeron polo menos dous problemas de olimpíada, que aínda que non resolvera ningún previamente, fun quen de resolvelos naquel corredor no que fixen o exame.

Como non tiña mellor cousa que facer, os problemas que me resultaban interesantes quedaban recollidos nun arquivo en papel, xunto coa solución ou solucións que dera atopado. O oitavo problema vén dese arquivo, orixinalmente da olimpíada británica:


A sucesión real $x_1,x_2, x_3, \dots$ é definida mediante $x_0=1$, $$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}$$

Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.


29.12.17

Nadal 2017- Problema 7


Atopei este problema nunha olimpíada matemática da India, onde o habitual é ver grandes problemas de números. Sorte con el:

Os lados dun triángulo ABC miden a, b e c. Consideramos outro triángulo $A_1B_1C_1$ de lados $a+\frac{b}{2},b+\frac{c}{2},c+\frac{a}{2}$. Amosar que

$$[A_1B_1C_1] \geq \frac{9}{4}[ABC]$$

onde $[XYZ]$ denota a área do triángulo XYZ.


Coido que neste blog nunca aparecera unha desigualdade xeométrica, talvez algún lector da lexión de seguidores teña mellor memoria ca min...

28.12.17

Nadal 2017- Problema 6


Un rápido para a media ducia:

Amosar que o número natural inmediatamente superior a $(\sqrt{3}+1)^{2n}$ é divisible entre $2^{n+1}$


Xa está. Sinxelo, non si?

Editado o 29/12/2017: o factor ten expoñente n+1. Non sei se o día que era me afectou...

27.12.17

Nadal 2017- Problema 5


Para o quinto problema, unha das construcións recorrentes neste blog: a dobradura de papeis.


Collamos un anaco calquera de papel rectangular. Dobrémolo por unha diagonal, e consideremos o anaco solapado e a súa área. Se calculamos a razón entre a área do solapamento e a área do rectángulo orixinal, cal é o valor máximo que podemos obter? E o mínimo? Que porcentaxes enteiras pode alcanzar esa razón?

    

26.12.17

Nadal 2017- Problema 4


Outro problema clásico para o cuarto da xeira:



Dividimos os lados dun triángulo calquera en 4 anacos iguais, e unimos cada vértice do triángulo co punto que marca a 1ª división do lado oposto. Os tres segmentos trazados determinan un triángulo interior.
Atopa a razón entre a área do triángulo interior e a área do triángulo orixinal.
E se en troques de 4 anacos, fixésemos a división dos lados en n anacos iguais?

    

25.12.17

Nadal 2017- Problema 3


Imos co 3º problema desta xeira. O de hoxe, xeométrico, é clásico e non lembro a primeira fonte onde o atopei, mais si a última: nunha colección compilada polo experto en educación matemática John Mason.

Unha cabra está amarrada no bordo dunha leira circular. Que lonxitude ten a corda se a cabra pode pastar a metade exacta da leira?

 
      

Só un...
AVISO
A solución non é elemental de todo como parece suxerir o enunciado. Se queredes buscar o problema pola rede, o nome tradicional é The Tethered Goat.

24.12.17

Nadal 2017- Problema 2


O problema de hoxe, tirado da Olimpíada Matemática Alemá de 1996, vai de pedras:


Comezando no punto (1,1), unha pedra é movida no plano seguindo estas regras:


  • Desde un punto (a,b), a pedra pode moverse aos puntos (2a,b) ou (a, 2b).
  • Desde un punto (a,b), a pedra pode moverse ao punto (a-b,b) se a>b ou ao punto (a,b-a) se b>a

Atopa todos os puntos (x,y) aos que pode chegar a nosa pedra.


23.12.17

Nadal 2017- Problema 1


Para compensar a última reflexión sobre educación matemática, velaquí o comezo dunha serie de problemas interesantes para as vacacións.

O primeiro, da Olimpíada Matemática de Colorado:


Un xastre con afección por cortar tecido ten dez pezas de material. Decide cortar algunhas destas pezas en dez pezas cada unha. Despois corta algunhas das pezas resultantes en dez pezas cada unha, continuando deste xeito ata que cansa e para. Procede a contar o número total de pezas de tecido que ten, despois duns minutos determina que o número é 1984.
Amosa que tivo que contar mal as pezas.



Só un comentario: o que máis me presta do enunciado é o uso de "algunhas". Xa veredes.

15.12.17

Ensinamos ben as Matemáticas?


... non sei se o fago ben eu, como para pronunciarme en xeral. Ten toda a razón no seu chío Pedro Ramos:


Para entender do que vou falar, tedes que ver antes este vídeo:





Vin este vídeo hoxe á mañá, antes de ir ao choio. Atopei a referencia en twitter, como tantas outras veces, entre as contas persoais e corporativas que sigo que se preocupan pola educación matemática. Case foi unha obriga velo.

Comencemos por presentar os participantes: o primeiro, Eduardo Sáenz de Cabezón, é profesor da Universidad de La Rioja e na súa canle, Derivando, fai vídeos lúdicos sobre temas relativamente alternativos; o outro, David Calle é enxeñeiro de telecomunicacións e mantén unha academia on line, unicoos, con máis dun millón de subscritores, que sen dúbida axudou a moitos alumnos de secundaria a pasar os seus exames. Teño visto algúns vídeos de Eduardo Sáenz de Cabezón e sempre tentan ser didácticos e divertidos. Iso queda garantido. Do outro profesor do vídeo, David Calle, oíra falar cando transcendeu o seu nomeamento no Global Teacher Prize, o mesmo premio no que participara César Bona dous anos antes; mais non atopara un oco para verlle un vídeo ata hoxe(e o que vin, sobre extracción de factores dun radical, certamente non me gustou, claro que o vídeo do mesmo procedemento de lasmatematicas.es tampouco, outro día talvez fale disto).


Hai que observar que o vídeo ten un ton agradable e desenfadado, o que é de agradecer despois de tantas críticas desaforadas á docencia das Matemáticas. Non esperaba outra cousa deles, tamén é certo.

Vaiamos debullando o que me resultou relevante do vídeo:

  • Basicamente comenza por dicir que hai consenso en que as Matemáticas non se ensinan ben. Mencionan o comentario de Conrad Wolfram sobre a inutilidade do 80% dos contidos traballados nas clases, obviamente coa intención de crear tensión narrativa.
  • Continúan dicindo que hai certos contidos que temos que estudar aínda que non lles vexamos utilidade inmediata. E que habería que introducir contidos máis lúdicos para motivar.
  • Despois Eduardo comenta que como a tecnoloxía xa inclúe algúns dos procedementos que se ensinan(derivadas, integrais, etc.), ten que ser unha ferramenta  útil para a ensinanza. Logo concreta David que o que hai que atopar é un termo medio entre insistir cos cálculos aburridos e utilizar a tecnoloxía para esquivar as operacións.
  • Tamén afirman que debemos incluír contidos máis motivadores, e de paso empatizar máis co alumnado. Eses contidos terían que ser como os que traballa Eduardo nos seus vídeos.
  • Conclúen culpando aos creadores do curriculum e descargando ao profesorado, que está obrigado polos contidos prescritos.
En conclusión, obvian o suposto tema do vídeo, seica o deixan por imposible, pois non falan en ningures de como ensinar as Matemáticas, senón de que ensinar. O problema principal que lle vexo a este enfoque vén da miña propia experiencia: cando introduzo un tema algo alternativo non mellora a motivación posterior, cando teño que traballar contidos máis estándar, nin por suposto a comprensión. O alternativo funciona... mentres dura.

Acho de menos, e é unha teima desde que comecei na profesión, que digan como ensinar os contidos máis áridos. David Calle xa fai vídeos deses contidos, na miña opinión pouco fundamentada totalmente tradicionais. A Eduardo Sáenz non lle vin nunca explicar un contido estándar, con procedementos, só divulgar curiosidades(non o digo de xeito despectivo). Eu non son moi afeccionado ás operacións e procedementos longos e complicados porque si, porén asumo que hai que acadar certa familiaridade con eses contidos, pois gran parte da comprensión dos conceptos se constrúe ao mancharmos as mans cos cálculos previos. Se por exemplo non traballásemos en ningures a racionalización de expresións radicais(un dos cálculos que as calculadoras actuais executan), a resolución de certos problemas xeométricos e trigonométricos dependería dun número sen significado que aparecería nunha calculadora. E ben sei que moitos alumnos, aínda dominando os procedementos de racionalización, non serían quen de contestar preguntas elementais sobre as expresións radicais.

Cando a Xunta aínda ofrecía algúns cursos relacionados coa didáctica das Matemáticas, chamábame a atención que case ningún se cinguise ao curricular: trataban de contidos alternativos, lúdicos, etc. que usualmente xa coñecía de lecturas paralelas ao transcurso da carreira. E sempre pensei: "se non houbese un curriculum, iso tamén o faría eu todos os días, mira que espelidos".
E sigo pensándoo.

10.12.17

O novo temario das oposicións


Os temarios oficiais das oposicións a profesor de secundaria datan de 1993, cando a LOXSE aínda non entrara nos institutos, A lista de Schindler gañou o Oscar á mellor película, Radiohead debutou con Pablo Honey, e moito máis importante, este blogueiro estudaba derivadas e raíces de números complexos en 3º de BUP.

Como unha teima recorrente neste blog vén sendo a formación dos profesores de Matemáticas de secundaria, fun botarlle unha ollada ao borrador de novos temarios que publicou o Ministerio de Educación, que podedes atopar aquí. Vexamos por riba que cambiou e que quedou igual:





Á esquerda tedes os temas do borrador do MECD: sombreados en verde os que son practicamente iguais a temas vixentes, en vermello os que introduciron novos e en amarelo os que ou ben son parte de temas previos ou ben inclúen varios temas previos. Nos temas vixentes, á dereita, veredes en fonte verde os que se manteñen (sexa íntegros, en cachos ou xunto con outros) e en fonte vermella os que desaparecen. Obviamente puiden cometer erros puntuais observando o borrador, porén non variará moito o que tiro de conclusión.

Globalmente vese que cada un dos bloques tradicionais de contidos, Aritmética e Álxebra, Análise, Xeometría, Estatística e Probabilidade, varía un chisco: engaden algunha unidade como a de 15-Autovalores e Autovectores, eliminan algunha como a vixente 15-Ecuacións Diofánticas(a miña preferida de todo o temario, curiosamente), xuntan algunhas unidades como as de Matrices(18) e Determinantes(19) nunha soa, e dividen algunha unidade como a vixente 49 nas propostas 40-Corpos de Revolución e 46-Cuádricas.

Con respecto ás unidades novas deses bloques:
  • A de Autovalores e Autovectores(15) é material de 1º curso de calquera grao de Ciencias e Enxeñerías, e non se ve/utiliza no bacharelato, non falemos da ESO.
  • As novas de Análise(20-Series numéricas, 29-Diferencial dunha función de varias variables reais, 30-Ecuacións diferenciais ordinarias e 33-Funcións de 2 variables reais) forman parte do curriculum de 1º ou 2º de calquera grao dos mencionados. E tampouco pertencen ao de bacharelato e secundaria.
  • As novas de Xeometría(47-Xeometría diferencial de curvas, 48-Xeometría diferencial de superficies, 51-Espazos topolóxicos) non son comúns a todos os graos de Ciencias e Enxeñerías, os espazos topolóxicos abstractos, por exemplo, só se estudan de xeito obrigatorio en Matemáticas e en Física(aínda que a noción conxuntista de topoloxía é habitual dentro do estudo da topoloxía da recta real). Utilidade en bacharelato e secundaria? $e^{\pi i}+1$
  • A única nova que vin no bloque de Estatística e Probabilidade, 56-Series temporais, é propia do grao de Matemáticas(especialidade Estatística e Investigación Operativa) e loxicamente do de Estatística. A mesma utilidade en bacharelato cás anteriores novidades. 

Ao final do temario lembraron actualizar con algún contido relacionado coa docencia das Matemáticas, o que non é mal síntoma a priori. Vexamos:
  • 69-A aprendizaxe matemática desde a neurociencia
  • 70-As Matemáticas no proceso de ensinanza das etapas de ESO e Bacharelato
  • 71-Do currículo básico á programación de aula en Matemáticas
  • 73-A demostración en Matemáticas
  • 74-Recursos e métodos para a aprendizaxe das Matemáticas

Agás a unidade 73, as demais non son exactamente contidos matemáticos, senón máis ben sobre a aprendizaxe das matemáticas. Na miña opinión, é axeitado que aparezan estas unidades na formación dos futuros profesores de Matemáticas, mais non estou seguro de se o lugar para incluílas é dentro dos temas do exame teórico. Quizais unha estrutura como a do proceso selectivo pre-2004, complementando a parte de lexislación educativa con didáctica da propia materia, sería a idónea. En calquera caso, xa vexo aos membros dos tribunais mirando temarios de editoriais para avaliar ese tema 69... e a probabilidade de incluír magufadas en troques das restricións da working memory está preto de 1.

Supón todo isto algún cambio importante? Pensando globalmente na preparación dos futuros profesores non, aínda que os opositores que xa prepararan algunha vez o temario van pensar o contrario, pois o cambio vailles supoñer non poucas tribulacións. Teño a sensación de que quen elaborase este borrador non tiña como principal obxectivo adecuar os temas ás necesidades do futuro profesor. Pode que pensase en incorporar novos temas á proba práctica da oposición, o cal é ridículo, pois problemas de xeometría diferencial, series, triangulación, ecuacións diferenciais, etc. xa teñen aparecido cos temas vixentes.

En conclusión, dá a impresión de que se actualizaron os temas polo mero feito de actualizalos. Unha perda de tempo e unha ocasión perdida máis.