Un xogo 3D de verdade

 

Unha das miñas vellas teimas consiste en anoxarme cando alguén fala de visión espacial cando realmente o único implicado na situación é a visión plana. Sendo consciente de que espacial pode referirse tamén ao plano, isto é algo superior a min. E esta teima esténdese ao ensino cando en actividades que supostamente avalían a visión espacial, o único razoamento imprescindible ten lugar no plano. E por último, tamén é habitual que no ámbito dos videoxogos tenten coar por xenuinamente 3D mecánicas que só utilizan vistas 3D, pero nas que o esencial, unha vez máis, é 2D.

Por iso levei unha grata sorpresa ao coñecer este xoguiño, Which Way Round?, no que a captura xa vos dará unha boa intuición da mecánica:

   

A figura superior é xirada no plano paralelo ao chan, é introducida na caixa de tal xeito que deixa de verse, a caixa xira no espazo, e o xogador ten que escoller cal das opcións inferiores corresponde á nova orientación da figura. O xogo comeza sendo ben sinxelo, pero despois, ao compoñer varios xiros, estou certo de que vai poñer a proba a vosa memoria operativa, e, neste caso si que se cumpre, a vosa visión espacial. Probádeo e veredes.

Dúas diseccións

 

3-4-5

Unha das igualdades numéricas non triviais máis coñecidas é

$$3^2+4^2=5^2$$

, que aparece de xeito natural no contexto do Teorema de Pitágoras, no primeiro triángulo rectángulo con lonxitudes naturais que se ve nas aulas.

A estas alturas todo o mundo saberá que o devandito teorema alude tanto a lonxitudes como a áreas, como vemos na imaxe máis icónica do triángulo, na cabeceira da entrada.

A disección sinxela que propoño hoxe consiste no seguinte:

Divide os dous cadrados pequenos utilizando as liñas da grella no menor número posible de pezas de tal xeito que poidas recompoñer tales pezas no cadrado grande.

Nota: pódese facer con 4 pezas. Con 25 sería sinxelo, non?

E agora a disección difícil, en 3D, parte tamén dunha coñecida igualdade numérica:

$$3^3+4^3+5^3=6^3$$

Divide os cubos de arestas 3, 4 e 5 utilizando as liñas da grella no menor número posible de pezas de tal xeito que poidas recompoñer tales pezas para formar o cubo de aresta 6. 

Como axuda, póñovos os 3 cubos pequenos coa grella xa trazada:

Unha axuda fake...

Como axuda de verdade, pódese facer rompendo só en 8 pezas, e aínda máis, non é necesario romper o cubo de aresta 3. Curiosamente, a disección sinxela pode executarse deixando tranquilo o cadrado de lado 4, e partindo o cadrado de ladro 3 en 3 pezas, sumando un total de 4 pezas, i.e., a metade que na disección difícil.

Se alguén tivese 216 cubiños unitarios...

A proxección estereográfica

Un dos temas elementais que aparecen en varias materias dos primeiros cursos da carreira de Matemáticas é a proxección estereográfica(outro é a desigualdade de Cauchy-Schwarz-etc.). Se non lembro mal, vina por primeira vez en Topoloxía dos Espazos Euclidianos, como exemplo de homeomorfismo entre a circunferencia agás o polo norte e a recta:

   

O mecanismo queda claro na imaxe: dado un punto P na circunferencia, unímolo co polo norte, N, e prolongamos a recta ata que corte ao eixe de abscisas nun punto P'. Vemos que deste xeito, todos os puntos da circunferencia agás o propio polo norte están asociados a un único punto do eixe. Isto resúmese elegantemente dicindo que a recta é unha circunferencia á que lle quitamos un punto.

Hai moito que roer nesta idea aparentemente sinxela, moitas puramente xeométricas e topolóxicas; porén, a miña preferida é a parametrización racional da circunferencia, que proporciona un xeito de atopar as ternas pitagóricas. Brevemente, se queremos atopar as ternas de números enteiros (a,b,c) que cumpren a ecuación diofántica $a^2+b^2=c^2$, dividindo entre $c^2$, o choio é equivalente a atopar os puntos con coordenadas racionais que cumpren $\left( \frac{a}{c} \right)^2+\left( \frac{b}{c} \right)^2=1$, i.e., os puntos racionais na circunferencia $x^2+y^2=1$ Se collemos un punto racional no eixe de abscisas, $\left(\frac{p}{q},0 \right)$, unímolo co polo norte e intersecamos coa circunferencia unidade:

$$\frac{x-0}{\frac{p}{q}-0}=\frac{y-1}{0-1} \rightarrow y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}}$$

$$ \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}} \end {cases}$$

Where the magic happens...

$$(x,y)=\left( \frac{2pq}{p^2+q^2},\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2} \right)$$

E as ternas pitagóricas primitivas (a,b,c) teñen o aspecto $a=2pq, b=p^2-q^2, c=p^2+q^2$

Unha marabilla da que nunca fartarei.

Nota autobiográfica: a primeira vez que vin a expresión das ternas pitagóricas primitivas non apareceu no transcurso dun razoamento xeométrico como este, senón coa dedución aritmético-alxébrica estándar.  O que provocou unha sorpresa maior no mozo que eu era, ao ver que as expresións coincidían coas dun cambio de variable para o cálculo de integrais trigonométricas, o ubicuo $tan \frac{x}{2}=t$

Desde o punto de vista xeométrico, resulta aínda máis interesante analizar o que sucede se subimos a dimensión 3, identificando a esfera agás un punto co plano. Por exemplo, a dimensión extra permite xogar a adiviñar o efecto que ten a proxección estereográfica sobre curvas planas, i.e., cal é a imaxe dentro da esfera dunha familia uniparamétrica de puntos. O caso máis sinxelo é o das liñas rectas, que se non coñecedes, podedes adiviñar; nesta figura aparece a recta $y=1- \frac{5x}{2}$

   

Isto non é máis que o comezo. De que curva procede esta imaxe?

   Tede en conta que a imaxe está elaborada co trazo dun punto e o discreto en realidade é continuo

As posibilidades son innumerables, déixovos aquí un simple applet para que investiguedes. Se utilizades a caixa de entrada da xanela superior, só poderedes introducir funcións nunha variable; para introducir curvas que non sexa gráficas de funcións dunha variable teredes que machacar directamente a expresión da función f na xanela alxébrica(por iso está visible):

Todas as ferramentas que se poden incluír están ao servizo de que poidades mover e escalar ao voso gusto a figura. Así que veña, a fedellar.


Agardo ter contribuído un chisco a que a proxección estereográfica vos pareza tan fermosa como a min. Tanto como ao J dos 18 anos sería excesivo. 

Outra idea para un xogo

...que non hei facer por falta de tempo. Aínda que, para sermos rigorosos, o seu contido non se axusta a ningún curso da ESO nin Bacharelato: para que se dean coordenadas en 3 dimensións temos que esperar a 2º de Bacharelato, pero nese curso non se chega a ver nada que non sexan puntos, rectas e planos. En realidade, un alumno pode aprobar a parte de Alxebra Linear e Xeometría en 2º de bacharelato sen imaxinar nin un só plano.

Un xogo de seccións

Deixando a un lado as Matemáticas máis técnicas (non era sen tempo), veño compartir un xogo de dar cortes. O interesante é que os cortes hai que dárllelos a corpos tridimensionais, cando o habitual neste tipo de xogos vén sendo dar cortes a figuras planas. O xogo chámase Cut 3D, nome obrigado:

Un papaventos!

A mágoa é que os niveis sexan un pouco repetitivos e as figuras relativamente sinxelas. Con corpos non convexos a variedade podería ser moito maior. A ver se hai sorte e fan segunda parte máis movida.

De 2D a 3D-2

Retomo a idea de hai dúas entradas: de que xeito levar un problema de dúas a tres dimensións pode axudar a entendelo mellor e aínda a resolvelo?

O seguinte exemplo está tirado dun estupendo artigo de Alexander Shen, Three-dimensional solution for two-dimensional problems, que apareceu en The Mathematical Intelligencer no 1997.

Collamos tres circunferencias calquera que se intersecan dúas a dúas. Se trazamos os 3 segmentos que unen os puntos de intersección, veremos que son concorrentes. É dicir:

   

Imaxinades como "elevar" este problema?

Pois trazando esferas que teñan ás circunferencias orixinais como "ecuador", tomando o plano no que están as circunferencias e erguendo un hemisferio por riba e outro por embaixo.

   

Se miramos estas esferas desde arriba, temos a situación orixinal:

   

Ben, e que achega esta nova figura ao problema orixinal? En realidade, todo o necesario. Por un momento, centremos a atención en dúas das esferas. Se consideramos a súa intersección, obtemos unha circunferencia perpendicular ao plano orixinal, e que corta a ese plano precisamente na corda verde, de tal xeito que se mirarmos desde arriba, a circunferencia e a corda non se distinguen:

    

   

Agora xa está claro:

   

Pensemos agora no punto no que se intersecan as tres esferas, ou o que é o mesmo, o punto no que a circunferencia ortogonal vermella (que é a intersección de dúas esferas) interseca á outra esfera. Que vemos desde arriba? O punto de corte das tres cordas, q.e.d.

Nota: imaxino que veríades unha incorrección no razoamento, pois non hai un só punto de intersección senón dous. O que ocorreu é que seguín o razoamento de Shen, que traballa todo o tempo con semiesferas (as superiores), cousa que non dei feito co Geogebra. Aínda así non hai problema, pois coa vista cenital non vemos o punto inferior, que é tapado polo superior.

Nota mental: Geogebra 5 fai interseccións de superficies

   

De 2D a 3D

Cando traballamos a xeometría en tres dimensións nas aulas de 2º e 3º de ESO adoita suceder un fenómeno curioso: calquera problema orixinalmente proposto en tres dimensións tende a ser resolto levando as dificultades ao plano. A ubicua triangulación da xeometría produce que, collendo calquera tres puntos na figura orixinal, rematemos cun triángulo, por tanto nun plano. Exemplos obvios son os cálculos métricos en poliedros, cilindros e conos; o máis típico e que apareza máis cedo quizais sexa o cálculo da diagonal espacial dun cubo ou dun ortoedro calquera:

Pitágoras a tutiplén

Quizais esta situación recorrente de buscar as dúas dimensións estea relacionada coa nosa capacidade "binaria", que podemos detectar observano como facemos operacións nas que interveñen varios números.

Hoxe quérovos falar de exemplos nos que a viaxe se fai no sentido contrario, problemas en dúas dimensións que se entenden mellor ou  se resolven máis facilmente en tres dimensións. O primeiro exemplo atopeino no fantástico The Mathematical Experience, de Philip Davis e Reuben Hersh, aínda que a fonte orixinal é o previo Mathematical Discovery do grande matemático George Pólya, co que dei posteriormente:

Tres circunferencias k, l e m teñen o mesmo radio, r, e pasan polo mesmo punto O. Ademais, l e m intersécanse no punto A, m e k en B e l e k en C. Entón a circunferencia que pasa polos puntos A, B e C tamén ten radio r.

A simple vista temos moito que roer: cal é o centro desa nova circunferencia? Tendo en conta a variabilidade dos puntos A, B e C, poderemos calcular o radio sen coñecer o centro?

Como G. Polya ten o obxectivo de estudar a aprendizaxe e o ensino da resolución de problemas, segue detalladamente o proceso creativo de resolución. Resumindo, se consideramos os centros das circunferencias orixinais e os radios ata os puntos de intersección, obtemos unha figura ben interesante e estrañamente recoñecible:

Semella que chouta do plano

Quedemos con ese cubo imposible de obviar:

   

O problema orixinal pode ser resolto demostrando que "se as lonxitudes KO, KC, KB, LO, LC, LA, MO, MA, MB son iguais a r, existe un punto E tal que as lonxitudes EA, EB, EC son tamén iguais a r"

Doutro xeito: os cuadriláteros KBOM, OMAL e OLCK son rombos, polo que os lados que vemos paralelos son en efecto paralelos. A figura pode ser interpretada como a proxección dun paralelepípedo do que só vemos 7 vértices, 3 caras e 9 arestas.

Se incluímos o punto E, centro da circunferencia da que queremos determinar o radio, veremos o vértice restante xunto coas outras 3 caras e arestas:

   

Como as arestas que víamos orixinalmente son iguais a r baixo esta proxección, as 3 arestas que apareceron agora teñen tamén que ser iguais a r. Finalmente podemos escribir q.e.d.

Como esta entrada xa é algo longa, emprázovos para o vindeiro capítulo, no que veremos un exemplo máis curvo.