30.10.12

A distancia máis curta, a liña recta?


A ferramenta 2.0 que máis utilizo é, sen dúbida, o Google Reader. Diariamente consulto as novidades que publican nos blogues aos que estou subscrito, agora mesmo 85. Algúns, como Continuities non actualizan máis que un par de veces ao ano. Outros, pola contra, actualizan varias veces ao día, o exemplo máis notorio é Neatorama, fonte de moitos dos meus posts. E tamén teño blogues que probablemente estean máis mortos que vivos, como Sweeney Math. Estes últimos mantéñoos coa esperanza de que algún día volva aparecer o aviso dunha actualización.

Chámame moito a atención que os lectores de feeds, algúns tan sinxelos como o Google Reader, non sexan utilizados de xeito máis xeralizado polos compañeiros de profesión. Imaxino que á maioría da xente gústalle navegar pola rede, dando choutos polo cíberespazo. Non o teño claro. Pola miña experiencia, eu non podería xestionar sen axuda tódalas fontes de información on line que manexo. E aínda que puidese dar feito, probablemente perdería de vista ligazóns interesantes como  Great Circle Mapper, que atopei en JD2718, o blogue dun profesor de Matemáticas do Bronx, en concreto no post Do Great Circles Wiggle?.

Despois de xogar nesa web, teño que propoñer aos colegas que utilicen Great Circle Mapper como apoio á docencia do contido de proxeccións da Terra (habitualmente dentro da unidade de Xeometría en tres dimensións de 3º de E.S.O.). Na web hai un applet que funciona deste xeito: escolledes dous aeroportos calquera do mundo, identificádelos mediante os seus códigos (para o cal podedes poñer o nome da cidade no campo de busca e darlle a "Search") e premedes o botón "Map". O applet calcula o círculo máximo (a xeodésica) que pasa polos dous aeroportos, é dicir, a ruta que faría un avión entre eles. E tamén dá sorpresas, como por exemplo ocorre cando seleccionades o aeroporto de Lavacolla e o de Ushuaia:



O applet tamén proporciona as coordenadas dos lugares, a distancia entre eles e incluso o tempo que levaría viaxar entre eles escollendo a velocidade en millas/hora, km/h, Mach, nós,...

Eu anímovos a experimentar co applet, é un puro divertimento para os profesores. Habería que ver se damos transmitido esa diversión aos alumnos en forma de coñecemento. Se polo menos chegasen a preguntarse: e por que a liña non é recta?

24.10.12

Outra sucesión máis


Para a vindeira ocasión na que o teu profesor de  Matemáticas diga que os símbolos  non teñen importancia per se
(De Math Fail)


Lendo unha reseña sobre un libro de Matemáticas atopei esta frase:

"Todo neste libro está conectado coa sucesión de números naturais que comeza 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432..."

Se o autor non mentía, cal era o tema do libro?
O venerable google dará a resposta a quen llo pregunte, o difícil está en atopala por un mesmo. Ademais fai ben pouco que falei de cuestións relacionadas...

18.10.12

O xogo da vida, versión continua (case)

Un dos "xogos" máis coñecidos dentro do mundo das Matemáticas é, sen dúbida algunha, o Xogo da Vida inventado por John Horton Conway. Poño entre aspas xogo porque en realidade non é tal, senón un autómata celular, é dicir, unha grella de celas nas que un algoritmo determina, mediante iteracións, os seguintes estados do sistema. No caso do Xogo da Vida a grella é plana e infinita, e cada cela ten dous estados posibles, viva ou morta (de aí o nome de Game of Life). Ademais cada cela ten 8 celas na súa veciñanza, as 4 coas que comparte un lado e as 4 coas que comparte unha esquina. Por outra banda, o algoritmo (as "regras") vai así:
  1. Toda cela viva con menos de 2 veciñas vivas morre na seguinte xeración (soidade)
  2. Toda cela viva con 2 ou 3 veciñas vivas sobrevive na seguinte xeración.
  3. Toda cela viva con máis de 3 veciñas vivas morre na seguinte xeración (sobre-poboación)
  4. Toda cela morta que teña exactamente 3 veciñas vivas volve á vida na seguinte xeración (reprodución)
Estas aparentemente inocentes regras dan lugar a estados terriblemente complicados. E ás veces non parece que o estado inicial seleccionado determine iteracións sinxelas, deixade que este vídeo vos convenza:



Resulta curioso que sexa inevitable ver movemento de obxectos onde só hai aparición e desaparición de celas. Algo semellante ao que sucede cos xogos de luces.

Se queredes observar máis exemplo, aquí tedes un applet feito en Java para que fedelledes e outro vídeo.

Tendo en conta que o xogo da vida é un dos temas recorrentes das Matemáticas recreativas e tamén da Computación, cal é a razón de que faga un post sobre el? Pois que ultimamente apareceron pola rede dúas actualizacións realmente interesantes:


De Math Recreation, un blogue alucinante

  • A 2ª, unha versión cunha grella, senón continua, polo menos baseada en aritmética de punto flotante, ao xeito que un ordenador poida implementar. O resultado chámase Smooth Life e temos outro vídeo hipnótico á nosa disposición:


Se despois desta malleira tedes ganas de aprender máis, hai unha morea de recursos on line sobre o tema. Xa na páxina da wikipedia que enlacei arriba tedes moitas ligazóns axeitadas. E tamén tedes dispoñible o documento da investigación sobre Smooth Life. Será por links...


13.10.12

Algo máis livián

Collido de Acertijos y más cosas

Creo que levo uns cantos posts serios de máis, así que é un bo momento para relaxarnos e compartir unhas das últimas ilusións que atopei.

A primeira, que tedes máis arriba, é un bo exemplo de falso movemento, dos que xa teño posto por aquí previamente.

Na segunda, collida do blogue de Richard Wiseman, vemos un cadrado (?) rotando cos vértices cubertos:



E a terceira, unha sorprendente ilusión de confusión de cores, coñecida como Munker Illusion:

Atopado en io9

En que consiste a ilusión? Pois en que os dous cadrados superiores teñen exactamente a mesma cor. E o mesmo sucede cos dous inferiores. Podedes comprobalo cubrindo a contorna dunha das faixas horizontais, de tal xeito que só vexades unha das tres faixas dun cadrado. Ou tamén podedes descargar a imaxe, abrila cun programa de manipulación de imaxes e comprobando que o código hexadecimal das cores é o mesmo...


9.10.12

A realidade está aí fóra

Math Fail, again

Supoñamos que un profesor de Matemáticas dá, entre outros cursos, 3º de E.S.O. Supoñamos que está a traballar o contido das porcentaxes, no que previamente xa relacionou estas coas fraccións. Tamén que os seus alumnos teñen dificultades para distinguir estas dúas situacións:

  • Tiña 400 €. Gastei o 20% nun monitor. Canto gastei?
  • Gastei o 20 % dos cartos que tiña nun xogo que custaba 45 €. Cantos cartos tiña?
Imaxinemos que o profesor, para tentar disipar as dúbidas, fai os seguintes diagramas (máis ou menos):


Supoñamos que o profesor fracasa lamentablemente no seu propósito.

Saiamos da aula e vaiamos a unha tenda de roupa.

Imaxinemos que o devandito profesor volve a esa tenda para reclamar que lle fixeron pagar os arranxos (7'5 €, por exemplo) nunhas prendas cando estaba exento deles por ser socio. Supoñamos que, para enlear o asunto, na factura orixinal o profesor pagara un 40% menos por ser socio, co cal nesa factura non pagara os 7'5 €  totais de arranxo, senón o 60%.

Imaxinemos a cara dos responsables da tenda cando o profesor afirma que entón teñen que devolverlle o restante 60% do prezo dos arranxos, xa que o outro 40% xa fora descontado. Pensemos agora cal é a solución a este dilema que buscan os dependentes, mentres manteñen a cara de estupefacción ante o profesor.

En efecto: "miremos que pon a máquina".

Curiosamente, a máquina dáballe a razón ao profesor, tiñan que devolverlle o 60% de 7'5 €, é dicir, 4'5 €.

Pensemos agora como todo o ambiente tenta minar a reflexión e o razoamento. Quizais o choio non sexa sinxelo.

1.10.12

3003?

Unha das anécdotas máis coñecidas do mundo dos matemáticos probablemente sexa a seguinte, na que os protagonistas son o matemático británico G.H. Hardy e o xenio matemático hindú Srinivasa Ramanujan:

Hardy foi visitar a Ramanujan no hospital no que levaba un tempo convalecente. Sen darlle importancia, Hardy comentou que o número do taxi no que fora ata o hospital, 1729, non tiña interese algún. Ao que Ramanujan contestou: Trabúcaste, Hardy, 1729 é o menor número natural que se pode expresar como suma de dous cubos de dous xeitos distintos.

En concreto, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³. (Isto dá lugar a sucesión dos números taxicab)

Todo isto veume á memoria cando vendo padecendo a publicidade televisiva vin a matrícula dun dos coches de alta gama dun dos anuncios, 3003.
Imaxino que o número estará escollido por algunha razón relacionada co logotipo da marca de coches. Pero desde un punto de vista matemático o número é ben interesante. Por que? Por unha cuestión oculta no triángulo de Pascal que observei nun artigo de David Singmaster, matemático inglés con sona polos seus puzzles e crebacabezas.
David Singmaster estudou os números naturais que aparecen varias veces no triángulo de Pascal. Obviamente deixou a un lado ao número 1, pois que este aparece infinitas veces non ten moito misterio. Na súa análise achou que o número 3003 (por fin!) aparece 8 veces no triángulo, e ademais é o primeiro de infinitos números que aparecen 6 veces ou máis. Isto está lonxe de ser trivial, pois o seguinte número que aparece polo menos 6 veces, 61218182743304701891431482520, non é precisamente pequeno, sesenta e un mil cuatrillóns, como para atopar os seus factores primos a man (para o realmente freak, é 2³·3·5·7·11·17·23·41·43·47·67·71·73·79·83·89·97·101·103).

O que me pareceu máis interesante do número 3003 é que, ademais do dito anteriormente, é o primeiro número que aparece en dúas ringleiras consecutivas do triángulo de Pascal (obviando de novo o ubicuo 1), en concreto na 14 e na 15 (a primeira ringleira leva o número 0)


Fai clic no triángulo para non quedar chosco