Outro problema de grellas

Hai un problema clásico das matemáticas recreativas polo que pasei rozando neste blog, e que volveu capturar a miña atención debido á alerta que me avisa do que se publica en math stack exchange. Soará estraño, mais o que viña nesa alerta non era a situación que é obxecto desta entrada, senón outra da que hei falar noutra ocasión, e que trata de saber analiticamente se un rectángulo cae dentro doutro rectángulo. E non sei moi ben a razón, mais esa cuestión e a que vou comentar nun intre están gardadas moi preto unha da outra na miña memoria.

Pois ben, consideremos o rectángulo que ten como vértices (0,0), (m,0), (m,n) e (0,n), e marquemos os m·n cadrados unitarios que contén. Se debuxamos a diagonal de (0,0) a (m,n), por cantos deses cadrados pasa, se falamos de pasar polo interior deles?

Rectángulo 8·6, cadrados resaltados

Se un fai un par de probas con diferentes dimensións, o primeiro que observará é que atopar ese número de cadrados se reduce a calcular por cantos puntos reticulares(i.e, coas dúas coordenadas enteiras, os vértices dos cadrados na nosa grella) pasa a diagonal, pois por cada punto reticular polo que pase a diagonal haberá que restar un cadrado do máximo teórico. Máximo que se alcanza no exemplo seguinte, por exemplo:

Ningún punto reticular na diagonal agás os extremos

Esta situación é ben frutífera, pois hai un feixe de cuestións a explorar, despois de atopar a expresión que nos dea o número de cadrados vía o número de puntos reticulares na diagonal:

• Como é o patrón das secuencias horizontais de cadrados? No exemplo 8·5 é 2-3-2-3-2
• Es quen de atopar un exemplo de rectángulo para cada un dos casos intermedios entre 0 cadrados e n+m-1 cadrados?
• ...

Por outra banda, a situación tamén é modificable/xeneralizable, variando as figuras que aparecen:

• Se en troques de trazar a diagonal, segmento rectilíneo entre os vértices, debuxamos outro camiño entre eses dous puntos?

Parábolas, unha delas función cuadrática de x e a outra, radical            

• E se trocamos o rectángulo e os cadrados por paralelogramos? Triángulos? Outros polígonos?Nestes casos habería que refacer as normas do xogo; por exemplo cos paralelogramos, consideramos paralelogramos "unitarios" ou semellantes ao paralelogramo orixinal? As dúas situacións son ben diferentes...

Ocórresevos algunha outra modificación á situación de inicio? Please feel free to comment.

Sirva esta como última entrada do 2019. Matemáticas na Rúa volve en 2020, abofé que si.

Máis problemas da aula

Despois de ver esta entrada de Cibrán(lédea se non o fixestes aínda, mangantes), decidín compartir algún problema máis dos que utilicei en Matemáticas I. Estes problemas proceden da mesma xeira có anterior, mais tamén dunhas tarefas individualizadas que mandei porque, benévolo e magnánimo como son, accedín á petición dos alumnos de 1º de bacharelato de non poñer problemas no exame final (explicación alternativa: nun exame de 50 minutos+recreo non ía darlles tempo con toda seguridade).

Nestas tarefas, ao estilo dos traballos de 4º de ESO que compartín hai dous anos, puxen un exercicio máis ou menos técnico xunto ao que chamaríamos un problema estándar. Nalgúns casos, o exercicio técnico supón un problema maior có problema que o acompañaba, contra o que podería agardar alguén de fóra do ensino das Matemáticas.

Coido que nesta escolma non hai ningún problema orixinal meu, todos forman parte ou ben do folklore ou apareceron en competicións matemáticas, ou en máis ocasións, foron tirados de libros como o fabuloso Ants, Bikes and Clocks: Problem Solving for Undergraduates de William Briggs, no que non paro de atopar pequenas xoias da Matemática elemental.

Velaquí uns cantos:

1. Dous ferris parten simultaneamente de beiras opostas dun río, navegando perpendicularmente ás beiras. Atópanse por primeira vez a 180 metros da beira máis cercana, e ao chegar á oposta, permanecen 10 minutos no pantalán antes de emprender o camiño de volta. Atópanse de novo a 100 metros da beira máis cercana. Cal é o ancho do río?

2. Se x é un número real que cumpre $x^3+4x=8$, atopa o valor de $x^7+64x^2$

3. Pablo e Cristina compiten nunha carreira de 100 metros, e Cristina gaña a Pablo por 5 metros de vantaxe. Deciden botar a revancha, con Cristina empezando 5 metros por detrás da liña de saída. Supoñendo que os dous corredores vaian ao mesmo ritmo que na primeira carreira, quen gañará a segunda? ¿Por canto? (Desta idea xa falei no blog aquí)

4. Raúl pode chegar ao seu destino se conduce a unha media de 60 km/h. Se cando leva unha fracción 0 < p < 1 do traxecto total observa que só foi a unha velocidade media de r < 60 km/h, a que velocidade terá que ir para tardar o tempo habitual?

E para rematar:

5. Considera este desafortunado incidente: Unha moza estaba cruzando a ponte do ferrocarril cando, a metade de camiño, viu un tren a 50 metros que ía cara ela. Inmediatamente xirouse e correu de tal xeito que saíu da ponte no momento exacto no que chegaba o tren. Se tentase cruzar a ponte, o tren colleríaa un metros antes de que lle dese tempo de saír da ponte. Cal é o largo da ponte? (situación xa aparecida tamén)

Se queredes evitar a infame televisión que podemos padecer esta noite, xa tedes algo no que pensar.

Outro dos meus problemas preferidos(one more time)

Esta semana estamos a resolver problemas variados en Matemáticas I, pois comezar outra unidade didáctica para traballala 3 días(que mañá hai folga do profesorado galego) sería absurdo. E claro, en 1º de bacharelato propoñer problemas de tradución directa da linguaxe natural á álxebra, como os que xa fixeron todos os cursos da ESO, suporía unha perda de tempo. Polo que remexendo por listas de problemas ocultas no pen drive do choio, argallei unha na que hai certa variedade, desde problemas que utilizan modelos exponenciais(lei de enfriamento newtoniano) ata problemas nos que só hai que entender ben a razón entre magnitudes(e non por iso son máis sinxelos). E introducín o problema que veño compartir, que xa teño utilizado nos primeiros cursos da ESO, e que serve perfectamente como exemplo de que, ás veces, saber moito é contraproducente, como na famosa anécdota sobre Von Neumann e o problema dos trens e a mosca, comentado por Presh Talwalkar na súa canle Mind your Decisions:

Vexamos o problema:

Antía, Beatriz e Carlota teñen certa cantidade de cartos. Antía dá a Beatriz tantos cartos como ten, e fai o mesmo con Carlota. Despois, Beatriz dá a Antía e Carlota tantos cartos como ten cada unha nese momento. Finalmente, Carlota dá ás outras dúas rapazas tantos cartos como teñen. Ao final deste proceso, todas rematan con 8 euros. Con cantos cartos comezaran o proceso?

Seguramente gústame este problema porque ademais de ter unha solución elemental, que non usa álxebra, a solución alxébrica ten interese tamén por si mesma. Xa o coñecíades? Dades atopado a solución elemental? Unha pista: un problema deste estilo adoita aparecer para ilustrar un heurístico dos recompilados por Polya en How to solve it.

Ah, e outros dos problemas desta listaxe xa apareceran por este blog, nesta década ou na anterior.

Máis dunha década metendo a zoca

Nas miñas aulas é habitual que haxa probas formativas case todas as semanas. Estas probas avalían poucas cousas, normalmente as traballadas esa mesma semana, e teñen dúas funcións: a real, que é ir sabendo que están a entender os alumnos, e a aparente, que é manter un halo de profesor maligno. Como o proceso de elaboración destas probas é moito máis breve có dos exames usuais, a probabilidade de que meta a zoca é consecuentemente máis grande.

Hoxe sucedeu unha cousa ben curiosa nunha proba de fraccións e decimais para 2º de ESO. Trabuquei ao poñer un dato na proba, felizmente vin o erro antes de pasarlle a proba aos alumnos, porén mantiven o erro. Déixovos por acó o documento, tradicional abondo por outra banda, por se queredes atopar o erro e, alén diso, adiviñar por que resultou útil para o meu obxectivo avaliador.

Ah, a cabeceira non está en Comic Sans, é Cooper Black

Que é unha demostración combinatoria?

Xa teño comentado por acó que un momento importante da miña formación tivo lugar cando na biblioteca da Facultade de Matemáticas da USC permitiron ao alumnado acceder aá totalidade do fondo, antes diso só se podía acceder a unha sala cos típicos libros para undergraduates. Agora isto ten que soar ridículo, daquela xa soaba a pouco que reparases, o que ocorría era que moitos estudantes nin eran conscientes da existencia da zona vedada. Para que vexades a magnitude do absurdo no que vivía aquela biblioteca de facultade, eu atopara no catálogo Diophantine Equations, de L.J. Mordell, e ninguén sabía onde estaba.

Como xa comentei, alén da magnitude do fondo bibliográfico, unha das primeiras sorpresas que levei foi o descubrimento da categoría 05-Combinatoria(aínda que na que máis estiven pescudando foi a 11-Teoría de Números). Na miña cabeza, a combinatoria non era máis que aquela parte das Matemáticas que dera na 2ª avaliación de 1º de BUP xusto antes da probabilidade, e que tiña como obxecto resolver problemas nos que o reconto directo dos casos posibles e favorables non era factible. E que volvera aparecer como special guest star no pouco de variables aleatorias que estudamos ao final de COU(=Binomial e Normal). Polo que ver unha categoría enteira dedicada a esa materia, a priori anódina, provocou que pasase un tempo mirando naqueles libros. E atopei cousas que me soaban daquela, como os grafos, e outras que non, como as matroides ou a fermosísima teoría de Ramsey.

Confeso que a combinatoria do instituto fora un tema que me gustara e que se me dera ben; como sempre, é complicado discernir en que sentido funciona a relación entre motivación e desempeño. E tamén confeso que non cheguei a entender a idea crucial por embaixo de toda a materia que dera ata moitos anos despois, lendo algún libro de resolución de problemas.

Comecemos por un chisco de choio de libro de texto, o cálculo efectivo de $\binom{n}{k}$, i.e., o cómputo do coeficiente combinatorio, a partir de operacións elementais, traballadas previamente na aula. E que é $\binom{n}{k}$ ? É o símbolo que denota o número de xeitos de escoller k elementos dentro dun conxunto de n elementos, cuxo nome tradicional é "combinacións de n elementos tomados de k en k". Collamos un caso sinxelo, o conxunto con 5 elementos {a,b,c,d,e} do que imos coller subconxuntos de 3 elementos, i.e., $\binom{5}{3}$. Moi grande non é :
{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e}{b,d,e}{c,d,e}
Vemos arriba que $\binom{5}{3}=10$.  A explicación xenérica das combinacións funciona deste xeito:
Calculamos cantos xeitos hai de asignar as 3 medallas no conxunto de 5 elementos, o que se coñece tradicionalmente como "variacións de 5 elementos collidos de 3 en 3", e denotamos $V_{5}^3$, e que só require entender a regra do produto:
Hai 5 opcións para asignar a medalla de ouro, para cada unha desas, hai 4 opcións para a medalla de prata, e finalmente hai 3 para a medalla de bronce, polo que $V_{5}^3$=5 cdot 4 cdot 3=60
Pero para chegar as combinacións hai que ter en conta que as variacións abc, acb, bac, bca, cab e cba corresponden á mesma combinación, {a,b,c} (en linguaxe de 1º de BUP, "a orde non importa nas combinacións"), polo que:
$\binom{5}{3}=\frac{V_{5}^3}{3!}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3!}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}$
O razoamento xeral troca 5 e 3 por n e k:
$\binom{n}{k}=\frac{V_{n}^k}{k!}=\frac{n \cdot (n-1) \dots (n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Isto é o que nos explicaron en 1º de BUP a todos, máis ou menos, e tamén actualmente nas Matemáticas Académicas de 4º de ESO(os afortunados que chegan).

Daquela(e agora tamén) había alumnos que aos 14 anos aínda non tiñan asimilada a regra do produto, na que se sostén toda esta estrutura de enumeración, e que vén culminar o pensamento multiplicativo desenvolvido durante a educación primaria. Por isto era pouco probable que un alumno chegase a albiscar a idea esencial: contar maneiras de agrupar elementos de xeito indirecto, mediante outros agrupamentos máis inmediatos, ou ben, atopar un número contando de dous xeitos distintos na mesma situación. Esta é unha das dúas posibles definicións de "demostración combinatoria"; a outra é unha proba que se fai atopando unha bixección entre dous conxuntos para amosar que teñen o mesmo cardinal(un dos recordos máis lisérxicos que gardo da carreira foi o día que en Álxebra non conmutativa unha demostración comezaba por amosar que certo ente matemático que non lembro estaba en bixección cun conxunto, co obxectivo de amosar que ese ente misterioso era efectivamente un conxunto)

Vexamos uns casos elementais que no instituto se adoitaban demostrar de xeito puramente alxébrico, a partir da expresión das combinacións atopada arriba.

• Demostrar que $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$

O lector observará aí a condición de recorrencia que define o Triángulo de Pascal, e unha das primeiras identidades que se demostraban nos libros de texto de 1º de BUP. Que representa o número combinatorio do membro da esquerda? O número de xeitos de escoller k persoas dun conxunto de n persoas. E a suma de números combinatorios do membro da dereita? Collamos a 1ª das persoas das n. Poden pasar dúas cousas: que estea na selección de k persoas ou que non estea. No 1º caso hai $\binom{n-1}{k-1}$ xeitos de completar a selección das k persoas(pois el xa está); no 2º caso hai $\binom{n-1}{k}$ xeitos, pois están aínda os k postos vacantes. Sinxelo, non si? Na miña opinión, ademais é fermoso.

• Demostrar que $k \binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$

Tradicionalmente esta identidade ilústrase do seguinte xeito: cantas maneiras hai de escoller un comité formado por k persoas, das cales unha actúa como presidenta, dentro dun conxunto de n persoas? O camiño obvio está no membro da esquerda, temos $\binom{n}{k}$ de escoller o comité de k persoas, e logo hai k opcións para o presidente. O membro da dereita pode interpretarse así: escollemos primeiro o presidente, que pode ser calquera das n persoas, e despois completamos o comité con k-1 persoas do resto de n-1 persoas do conxunto.

• A identidade anterior é o primeiro caso dunha identidade máis xeral, $\binom{n}{k} \binom{k}{l}=\binom{n}{l} \binom{n-l}{k-l}$, que Martin Erickson chama "identidade do subcomité", e que se deixa como exercicio ao amable lector.

• Achar unha fórmula para a o número de subconxuntos dun conxunto de cardinal n.

Para isto hai varios ataques posibles. Por unha banda hai $\binom{n}{0}$ subconxuntos con 0 elementos, $\binom{n}{1}$ subconxuntos cun elemento,... , $\binom{n}{n-1}$ subconxuntos con n-1 elementos, e $\binom{n}{n}$ subconxuntos con n elementos. Por outro, cada un dos n elementos do conxunto ten dúas opcións en cada subconxunto: pertencer ou non pertencer. Por tanto haberá $2 \cdot 2 \cdot \dots 2=2^n$ subconxuntos. Acabamos de demostrar que $\sum_{k=1}^{n} {\binom{n}{k}}=2^n$, identidade ben fermosa que se deduce automaticamente do binomio de Newton collendo x=1=y

• Atopar o valor de $\sum_{k=1}^{n}{k \binom{n}{k}}$

Observamos que a sucesión que sumamos é a que apareceu hai tres puntos, o cal dá unha pauta. Dun conxunto con n persoas, facemos comités con k persoas, unha delas facendo de presidenta, variando k desde 1 ata n. Pensemos agora en facer eses comités con presidente doutro xeito: temos n xeitos de escoller o presidente, e logo temos que completar os comités co resto de participantes, desde o caso extremo no que o presidente está só ata o extremo no que o comité é todo o conxunto(isto lémbrame que cando eu tiña ~7 anos, estaba nunha banda no colexio con 6 membros, denominados sucesivamente 1º xefe, 2º xefe, ... ata chegar ao moi digno 6º xefe); e hai $2^{n-1}$ maneiras de escoller eses "restos de comités", pois non son máis que os subconxuntos dun conxunto con n-1 elementos, tal e como vimos no apartado previo.

Por hoxe xa está ben de tolear contando, mais non quería rematar este voo sobre estes feitos básicos sen apuntar unha demostración fermosísima, que non entra exactamente na categoría de demostración combinatoria, xoga con estas mesmas ideas(e que xa apareceu por acó hai 6 anos):

• $$\sum_{k=0}^{n-1} {2^k}=1+2^1+2^2+2^3+ \dots + 2^{n-1}=2^n-1 $$

A suma do membro da esquerda non é máis que a suma dos números que se escriben con n bits  $0 \dots 1$, $0 \dots 01$, ..., $01 \dots 0$, $1 \dots 0$, suma que vale $11 \dots 11$. Que sucede se sumamos 1 a este número? Pois que obtemos o número $10 \dots 0$(n+1 bits), i.e., $2^n$

Simplemente amosando as ideas básicas das demostracións combinatorias coido que xa temos abondo por hoxe. Emprázovos a unha eventual entrada futura na que aparezan máis demostracións e tamén menos elementais.

Encubrindo as ideas

Unha das miñas queixas como alumno da antiga carreira de Matemáticas consistiu sempre en que as ideas quedaban encubertas no vórtice de demostracións e procedementos que víamos a fume de carozo. Mencionei esta teima en varias ocasións en twitter(1,2); precisamente aí lembrei unha das primeiras demostracións sen motivación que sufrín na carreira, tan cedo como na primeira semana de clase de Funcións dunha Variable Real I. Nesa primeira semana vimos como o corpo dos números racionais, cumprindo case todas as propiedades que cumpre o corpo dos números reais, fallaba nunha crucial, a da orde, que se chama tradicionalmente "Axioma do supremo". Explicarei brevemente de que vai o conto.

Unha cota superior dun conxunto é o que parece ser, un número maior que todos os dese conxunto (outra cousa non, pero en Matemáticas non enganamos cos nomes). Que é o supremo dun conxunto? Pois é a menor das cotas superiores. Así de simple. Se pasastes polas Matemáticas de BUP ou do bacharelato actual, teredes un coñecemento intuitivo de que todos os conxuntos limitados superiormente teñen supremo, pois a continuidade dos números reais impregna todo o que se fai despois, p.ex. o cálculo infinitesimal. O problema radica en que non todos os corpos numéricos teñen esta propiedade, e para ver que $\mathbb{Q}$ non cumpre o axioma, o exemplo estándar é $A=\{ x \in \mathbb{Q} / x^2 < 2 \} $

Como van 24 anos (e tres semanas) desde  que vin isto en Funcións I, pasei de xeito intermitente varias tardes tentando lembrar a demostración que nos fixeron. Contra todo prognóstico, tiven éxito.

Para ver que non hai supremo, supoñamos por redución ao absurdo que si que o hai, chamémolo $\alpha$. Poden suceder 2 cousas, ou ben $\alpha \in A$ ou ben $\alpha \notin A$

• Supoñamos primeiro que $\alpha \in A$. Collamos $\epsilon \in \mathbb{Q}$ tal que $0<\epsilon< min \bigg \{ 1,\frac{2-\alpha^2}{2 \alpha+1} \bigg \}$

Entón teremos que $$(\alpha+ \epsilon)^2=\alpha^2+\epsilon(2\alpha+\epsilon) \leq \alpha^2+\epsilon (2 \alpha+1) <  \alpha^2 +\frac{2-\alpha^2}{2 \alpha+1} (2 \alpha +1)= \alpha^2+ 2 -\alpha^2=2 $$

Polo que $\alpha$ non pode ser o supremo de A, pois nin sequera é unha cota superior de A, ao atoparmos outro número maior que $\alpha$ dentro de A.

• Supoñamos agora que $\alpha \notin A$. Hai dúas posibilidades, ou ben $\alpha^2=2$ ou ben $\alpha^2>2$.
• O primeiro caso fora demostrado en 1º de BUP, polo que o profesor non se parou, a demostración máis rápida debe de ser esta: Se $\alpha^2=2 \rightarrow \alpha=\sqrt{2}$. Supoñamos que $\alpha \in \mathbb{Q}$, entón $\exists p,q \in \mathbb{N}/ \sqrt{2}=\frac{p}{q} \rightarrow 2= \frac{p^2}{q^2}$, de onde $2q^2=p^2$, se observamos as descomposicións en factores primos dos dous membros, vemos que o membro da dereita terá un número par de factores 2(pode que 0), mentres que o da esquerda ten un número impar, q.e.d. (A demostración de 1º de BUP era moito más minuciosa, explicando polo miúdo como son os cadrados dos pares e dos impares, e caera como teoría no exame da 1ª avaliación)
• O segundo caso, $\alpha^2> 2 $, é semellante ao caso no que $\alpha$ estea en A. Agora collemos $\epsilon \in \mathbb{Q}$ tal que $0<\epsilon< \frac{\alpha^2-2}{2 \alpha} $. Entón teremos que $2 \alpha - \epsilon < 2 \alpha$, e $(\alpha - \epsilon)^2=\alpha^2- (2\alpha - \epsilon) \epsilon > \alpha^2 - 2 \alpha \epsilon > \alpha^2 - (\alpha^2 -2)=2$ Concluímos que $\alpha - \epsilon < \alpha$, $\alpha - \epsilon  \notin A$, e vemos que $\alpha$ non pode ser supremo, ao existir outro número racional menor que tamén é cota superior de A.

Se fixestes o esforzo de ir pelexando cos detalles da demostración, sabedes o que é case seguro que sucedeu? Que perdestes o sentido da demostración. De que vai esta demostración? É importante a escolla precisa dos valores de $\epsilon$?  En realidade é máis importante saber que podemos coller valores racionais que cumpran esas desigualdades que o valor concreto deses valores, pois esa posibilidade é un disfrace da propiedade arquimediana ¹ do corpo dos números racionais, que afirma que dado un número racional calquera, sempre hai un natural maior.

Como podería mellorar esta demostración? Proporcionando unha motivación ao lapote que supón a expresión do número auxiliar $\epsilon$. Observade só o esbozo do que podería ser, no primeiro caso da demostración, $\alpha \in A$:

Queremos un número racional maior que $\alpha$ que siga dentro de A, vexamos que pasa se lle sumamos a $\alpha$ un racional co aspecto $\frac{1}{n}$, sucesión ben coñecida que tende a 0, e impoñemos que o seu cadrado sexa menor que 2:

$ \left( \alpha + \frac{1}{n} \right)^2= \alpha^2 +\frac{2 \alpha} {n}+ \frac{1}{n^2} < 2 \rightarrow \alpha^2 n^2 + 2 \alpha n +1 < 2n^2 \rightarrow ( \alpha^2-2) n^2 +2 \alpha n + 1 < 0 $


Paro aquí. Observade os coeficientes do polinomio en n. Agora que xa temos a intuición da existencia do racional ε, podemos preocuparnos pola parte técnica. Agora. Non antes.

O caso no que $\alpha \notin A$ é semellante, só cambian detalles técnicos.

---

1 Pouco despois naquel curso utilizabamos o axioma do Supremo en $\mathbb{R}$ para demostrar a propiedade arquimediana.^↩

Unha curiosidade con porcentaxes

Nun test para avaliar o coñecemento dos alumnos de 4º sobre porcentaxes, con especial énfase no uso dos índices para os cálculos, incluín o seguinte ítem:

Unha ameba que mide 300 μm de largo lanza un pseudópodo que lle fai aumentar a súa lonxitude un 50%. Despois retráese para alimentarse, perdendo un 40% da súa lonxitude nese momento. Que porcentaxe de variación sufriu a súa lonxitude neste proceso?

1. -10%
2. -60%
3. +10%
4. -40%

Xa podedes intuír que os 300 μm non fan falta para nada, o cálculo a este nivel redúcese a:

$1,5 \cdot 0,6=0,9$, de onde a variación foi do 10% de mingua da lonxitude.

Que ten de interesante este exercicio? Pois que o erro máis inocente no cálculo da variación, a saber, 50%-40%=10% de suba é xusto o oposto do cálculo real, que acabamos de ver que é 10% de diminución.

A pregunta é obrigada:

Hai máis casos nos que unha suba do a% seguida dunha baixada do b% dea un resultado oposto a unha suba do (a-b)%, é dicir, unha baixada do (a-b)%?

Quédavos aí un problemiña de números para quen teña ganas.

A proxección estereográfica

Un dos temas elementais que aparecen en varias materias dos primeiros cursos da carreira de Matemáticas é a proxección estereográfica(outro é a desigualdade de Cauchy-Schwarz-etc.). Se non lembro mal, vina por primeira vez en Topoloxía dos Espazos Euclidianos, como exemplo de homeomorfismo entre a circunferencia agás o polo norte e a recta:

   

O mecanismo queda claro na imaxe: dado un punto P na circunferencia, unímolo co polo norte, N, e prolongamos a recta ata que corte ao eixe de abscisas nun punto P'. Vemos que deste xeito, todos os puntos da circunferencia agás o propio polo norte están asociados a un único punto do eixe. Isto resúmese elegantemente dicindo que a recta é unha circunferencia á que lle quitamos un punto.

Hai moito que roer nesta idea aparentemente sinxela, moitas puramente xeométricas e topolóxicas; porén, a miña preferida é a parametrización racional da circunferencia, que proporciona un xeito de atopar as ternas pitagóricas. Brevemente, se queremos atopar as ternas de números enteiros (a,b,c) que cumpren a ecuación diofántica $a^2+b^2=c^2$, dividindo entre $c^2$, o choio é equivalente a atopar os puntos con coordenadas racionais que cumpren $\left( \frac{a}{c} \right)^2+\left( \frac{b}{c} \right)^2=1$, i.e., os puntos racionais na circunferencia $x^2+y^2=1$ Se collemos un punto racional no eixe de abscisas, $\left(\frac{p}{q},0 \right)$, unímolo co polo norte e intersecamos coa circunferencia unidade:

$$\frac{x-0}{\frac{p}{q}-0}=\frac{y-1}{0-1} \rightarrow y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}}$$

$$ \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=1 - \frac{x}{\frac{p}{q}} \end {cases}$$

Where the magic happens...

$$(x,y)=\left( \frac{2pq}{p^2+q^2},\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2} \right)$$

E as ternas pitagóricas primitivas (a,b,c) teñen o aspecto $a=2pq, b=p^2-q^2, c=p^2+q^2$

Unha marabilla da que nunca fartarei.

Nota autobiográfica: a primeira vez que vin a expresión das ternas pitagóricas primitivas non apareceu no transcurso dun razoamento xeométrico como este, senón coa dedución aritmético-alxébrica estándar.  O que provocou unha sorpresa maior no mozo que eu era, ao ver que as expresións coincidían coas dun cambio de variable para o cálculo de integrais trigonométricas, o ubicuo $tan \frac{x}{2}=t$

Desde o punto de vista xeométrico, resulta aínda máis interesante analizar o que sucede se subimos a dimensión 3, identificando a esfera agás un punto co plano. Por exemplo, a dimensión extra permite xogar a adiviñar o efecto que ten a proxección estereográfica sobre curvas planas, i.e., cal é a imaxe dentro da esfera dunha familia uniparamétrica de puntos. O caso máis sinxelo é o das liñas rectas, que se non coñecedes, podedes adiviñar; nesta figura aparece a recta $y=1- \frac{5x}{2}$

   

Isto non é máis que o comezo. De que curva procede esta imaxe?

   Tede en conta que a imaxe está elaborada co trazo dun punto e o discreto en realidade é continuo

As posibilidades son innumerables, déixovos aquí un simple applet para que investiguedes. Se utilizades a caixa de entrada da xanela superior, só poderedes introducir funcións nunha variable; para introducir curvas que non sexa gráficas de funcións dunha variable teredes que machacar directamente a expresión da función f na xanela alxébrica(por iso está visible):

Todas as ferramentas que se poden incluír están ao servizo de que poidades mover e escalar ao voso gusto a figura. Así que veña, a fedellar.


Agardo ter contribuído un chisco a que a proxección estereográfica vos pareza tan fermosa como a min. Tanto como ao J dos 18 anos sería excesivo. 

Adiviña para comezar o curso

Metidos xa no comezo do curso cos seus claustros, reunións de departamento, consellos escolares, etc., comparto esta críptica imaxe para que adiviñedes de que se trata:

    

Por se fose necesario, achego unha pista:

SPOILER

Ten que ver cos anos completos que levo na docencia

Ideas simples mais difíciles

Simple pero difícil

Cando un dá clase na ESO e bacharelato acaba observando dificultades recorrentes, ano tras ano, nos alumnos. Non estou a falar do que poderíamos denominar, parafraseando o vocabulario de continuidade, dificultades "evitables", i.e., dúbidas comprensibles que agroman ao traballar un algoritmo, un procedemento de resolución ou ao presentar un concepto por primeira vez. Un exemplo destas dificultades evitables podería ser a confusión entre a frase "a terceira parte dun número é 15" e "canto é a terceira parte de 15?", tema do que xa falei hai (horreur!) 10 anos por acó. Calquera profesor que dese clase en 1º de ESO sabe que este obstáculo aparece todos os anos, postos a elucubrar, quizais sexa un exemplo do 1º dos dous sistemas de pensamento dos que fala Daniel Kahneman.

Hoxe quero reparar en ideas que sendo simples resultan difíciles de asimilar polos alumnos. Ás veces esas ideas son tan esenciais que nin sequera son explicitadas nas clases. Para que vaiades albiscando noutro contexto o tema que nos ocupa, pensade neste exemplo: imaxinade que tedes dous exames, ponderados nunha nota final de avaliación 40%/60%. Non é evidente que para facer a media ponderada a operación que hai que facer é $\frac{40}{100} \cdot a_1+\frac{60}{100} \cdot a_2$? A que é automático? Pero ese cálculo non é facerlle o 40% á primeira nota e o 60% á segunda nota? É igual de evidente que facer esas porcentaxes ás notas equivale a que cada nota teña ese peso sobre a nota final? Pensástelo deste xeito algunha vez?

Pero vaiamos ao tema da entrada. A seguinte é unha lista breve de certas ideas que, despois de escaravellar na aula preguntando aos alumnos, teño atopado no fondo dos seus obstáculos. Sen dúbida coñezo

• Se dous obxectos matemáticos son iguais(quizais habería que concretar ese "iguais"), podemos substituír un polo outro en calquera situación. Vou poñer un exemplo algo avanzado onde agroma esta dificultade. Observade o típico sistema de ecuacións que se traballa entre 4º de ESO e 1º de bacharelato, onde as ecuacións non son lineais: $$ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy} \\  xy=1 \end{cases}$$ Aínda que non é necesario para resolver o sistema, e de feito non é o xeito "estándar" que seguen os alumnos, un xeito cómodo é utilizar que xy=1 e substituílo cada vez que apareza. Fixestes isto na aula? Vivistes o pequeno motín posterior? Curioso que suceda no contexto precisamente onde hai un método chamado de "substitución" e outro de "igualación", non si? Os alumnos aceptan a substitución $y=\frac{1}{x}$, mais non $xy=1$

• Relacionado co anterior, previamente na ESO observamos atrancos no uso das variables, usualmente entre alumnado que quedou coa interpretación das variables exclusivamente como un xeito de incluír todos os números(sexa un número o que for). Daquela terán dificultades para cambiar a por 3a-2b en (a+b)² ou calquera troco semellante.

• (Este sorprenderá a quen nunca dese clase de Matemáticas) Resumindo, a regra do produto en combinatoria. Polo miúdo, un exemplo fará soar a campá: se teño 3 saias distintas e 4 blusas distintas, cantas combinacións distintas poderei vestir? Na solución utilizades sumas de sumandos iguais? Ese é o paso intermedio cara á idea do produto. E non admite xeralización automática a outros conxuntos de núneros que non están pensados para contar, de aí o obstáculo coas operacións con irracionais como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$

• Unha fracción é un número, non dous. Se preferides, unha fracción é unha cantidade, non dúas. Isto é tan evidente para quen o sabe que é moi habitual pasalo por alto. De feito é co tempo utilizado coas fraccións que os alumnos van afacéndose a esta idea, ratificando o aforismo de Von Neumann: "En Matemáticas non entendes as cousas, simplemente afaste a elas"

• De novo relacionado co previo: Para comparar o tamaño de dúas magnitudes, alén de saber cal delas é maior, o axeitado é dividilas, non restalas. Este mesmo ano, ao comezo da unidade de Proporcionalidade en 1º de ESO, houbo varios alumnos dos que seguían perfectamente o curso(e que viñan dun historial de éxito académico dos seus colexios) que discutiron varias veces esta idea. Houbo varios contextos nos que xurdiu a discusión, un deles foi ao comparar aulas con distinta proporción de alumnos varóns. Discutíronme de xeito vehemente que se nunha clase había 15 alumnos varóns dun total de 30, era a mesma situación que noutra na que había 35 alumnos varóns dun total de 50. Nos dous casos as mulleres eran 15, polo que viña ser o mesmo. Non caeron do guindo en contextos cercanos, comezaron a ver o conto ao levar o exemplo ao absurdo dunha clase con 1000 alumnos; finalmente tiven que poñer un exemplo con mililitros de pintura azul e amarela para que acordasen comigo que o verde resultante non era o mesmo. Será que o caso continuo é máis visual que o discreto?

Como conclusión, resolver como profesor dificultades deste tipo é moito máis afanoso que apuntar erros na execución dun algoritmo, seguramente debido ao carácter esencial daquelas. Ás veces resulta un traballo colosal tentar resolvelas no medio dunha aula con máis de vinte alumnos.

Vós tedes algún exemplo destas ideas simples enganosas?

Despois das JAEM: The State of the Art

Van pasando os anos, pero algo non cambia:
nin idea do que fago

En contra do que fixeron algúns compañeiros, que é comentar polo miúdo a súa participación nas JAEM a través das conferencias, comunicacións e obradoiros aos que asistiron, eu vou simplemente enumerar varios eixes nos que vin preferencias claras, explícitas ou implícitas, eses catro días. Se tentase facer o que fixeron os compañeiros, coñecéndome, estou seguro de que me levaría unha entrada cada obradoiro no que puiden participar. Por isto e porque se non o fago así íame proer, vou facer de avogado do demo, como tentei na quenda de preguntas da conferencia de Maite Navarro sobre a resolución de problemas ao mencionar o artigo de Kirschner, Sweller e Clark(aínda que sen moito éxito no meu propósito, segundo me dixeron despois)

Antes de debullar os diversos temas polémicos nos que me vou meter, haberá que deixar claro o que para min é obvio: as JAEM supoñen unha experiencia singular na vida dun profesor de Matemáticas. Ademais dos feixes de actividades, propostas, ideas, etc. expostas por compañeiros, o mero feito de entrar en contacto con outros individuos interesados na educación matemática xa é valioso. A única experiencia semellante á que asistira eu con anterioridade fora o congreso de Agapema do 2014, que xa supuxera un pulo importante na miña formación, que tendo en conta o desleixo da Consellería de Educación, Universidade e Formación Profesional para a que traballo, é por completo autodidacta. Por isto, non teño outras JAEM para comparar con estas, porén, coido que podo afirmar que a organización foi excelente. Só teño unha suxestión moi persoal, que farei ao final da enumeración de ideas.

Imos aló. Estades avisados de que isto é unha reflexión persoal, sen datos na maioría dos casos, pois moitos son datos que non se poden obter.

O primeiro que hai que entender ao analizarmos as ideas dunhas xornadas deste estilo é que a mostra de profesorado que asiste(~550) seguramente non sexa representativa do total do profesorado, a varios niveis(p.ex. un dato interesante que non se pode obter é a % de profesores de Matemáticas con twitter vs. % de asistentes ás JAEM con twitter). Aínda non habendo esoterismo pretendido ningún, pode notarse certa sensación de que os asistentes son "iniciados", o que resulta recorrente en comentarios de autoafirmación lanzados por relatores. Non lle dou máis importancia, ocupar 4 días do comezo de xullo en asistir todo o día a conferencias e obradoiros probablemente signifique algo. Pois ben, esta falta de representatividade da mostra provoca certa desviación nos temas seguintes, sempre baixo a miña opinión, e non necesariamente cohesionados nin coherentes:

• Traballo conceptual > Explicación de algoritmos
• Traballo manipulativo > Traballo puramente abstracto
• Resolución de problemas > Exercicios mecánicos
• Algoritmos baseados en números > Algoritmos baseados en cifras
• Introdución de multimedia > Libros de texto
• Aprendizade mediante descubrimento > Instrución directa
• Actividades matemáticas realistas > Actividades sen contexto
• Uso da calculadora > Cálculo con lapis e papel

Non quero que isto pareza unha caricatura, pois eu mesmo presento esas desviacións: é obvio que os membros das desigualdades son extremos, e que o habitual é que ninguén os entenda como estáticos ou excluíntes. Para comprender o que quero transmitir, as desigualdades amosan desviación cara á esquerda neses eixes. Deixei unha sen poñer porque non sei como simplificala deste xeito: tamén notei certa tendencia a identificar a beleza matemática como a utilidade das Matemáticas para ver a beleza noutros campos, usualmente na arte. Con isto estou especialmente en desacordo. Na miña opinión, quizais un pouco ao estilo de Hardy, as Matemáticas teñen unha beleza intrínseca, e o que as distingue (por desgraza, pode ser) da beleza en campos non científicos é que non podemos atopar un instrumentista que as interprete para nós. A miña reacción é comparable á que me producen as imaxes na rede que mostran un obxecto sólido(p.ex, unha montaña) coa gráfica dunha función modelando a súa pendente, pervertindo o significado de función.

Lendo o que escribo, estou empezando a pensar que igual son eu que son un pouco teso.

Velaquí a suxestión: sería útil para clarificar estes presupostos que nas xornadas houbese tempo para a discusión das ideas, xa sexa en mesas redondas ou en debates cun moderador. Porque haberá quen se mergulle de súpeto nun mundo tan alleo ás súas propias clases que deixe de ver a conexión que fai posible a transferencia das ideas das xornadas ás aulas. Algo como disonancia cognitiva, en termos de moda.

Son alucinacións miñas ou vós tamén vedes estes nesgos? Tédelos vós? Credes que son temas superados pero que non chegan ás aulas? Ou nalgún tema credes que hai marxe para a disensión?

Antes de ir ás JAEM...

Entre os trillóns de identidades máis ou menos coñecidas pasóuseme esta:

$$1=1$$

$$1-4=-(1+2)$$

$$1-4+9=1+2+3$$

$$1-4+9-16=-(1+2+3+4)$$

$$1-4+9-16+25=1+2+3+4+5$$

$$\cdots$$

Hai varias cuestións interesantes, dependendo de quen se poña diante da identidade:

• Como escribir en xeral a identidade? Que é un bo exercicio de uso do símbolo sumatorio con sumas alternadas
• Como demostrala? Exercicio estándar de inducción
• Como entender por que é certa?

En moitas ocasións un pode demostrar por inducción identidades aritméticas... e quedarse como estaba (previously neste blog), non experimentar o momento a-há que debería aparecer ao final dunha demostración ou cando se percibe o esencial nun problema. As demostracións visuais axudan a aprehender a razón pola que os feitos matemáticos son certos e non quedar só coa comprobación. Polo que tamén sería unha tarefa frutífera argallar unha visualización xeométrica.

Aposto que esta identidade é ben coñecida, pois fora incluída no 1º volume das Proofs without words de Roger B. Nelsen(Alternating Sums of Squares, 1). Seguramente pasaría por riba dela sen darlle máis crédito, hai demasiadas ideas fermosas no libro para non quedar saturado. Reparei nela esta semana botando un ollo ao tamén famoso The Stanford Mathematics Problems Book de Polya e Kilpatrick(problema 50.1).

Como apunta o título, a semana que vén asistirei ás JAEM(Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas) que se celebran na Coruña. É a primeira vez que vou, estou desexando traer ideas para as miñas aulas, e de paso coñecer en persoa a compañeiros cos que levo interactuando xa anos nas redes. Ah, e por fin son membro de Agapema! Non era sen tempo...

Un problema do Baccalauréat général

É ben sabido que o exame de Matemáticas II da ABAU é, e foi sempre, un exame tipo. Entre as dúas ocpións atopamos sempre un exercicio técnico de matrices cunha ecuación matricial, a discusión dun sistema lineal con 3 ecuacións e 3 incógnitas, o comportamento dunha función, o estudo da derivabilidade/continuidade dunha función, o cálculo da área baixo unha curva, un problema de optimización, un exercicio de puntos simétricos, planos e rectas perpendiculares, e coa LOMCE, un exercicio de cálculo aritmético de probabilidades (onde aparezan probabilidades condicionadas, intersección e unión de sucesos) e un de cálculo de distribución binomial/normal.

Cada vez que nun exercicio cae algo que se escapa minimamente do esperado, notamos unha perturbación na Forza. Sabedes por que? Porque, en contra do que din moitos, as Matemáticas son difíciles, e ensinar Matemáticas a grupos heteróxeneos, tamén. Se tentas ensinar aos alumnos as ideas que aparecen no curriculum de bacharelato e despois avalías esas ideas xunto aos procedementos, vas ter todo tipo de obstáculos. Para ter éxito nesa intención, vas ter que apoiarte nun traballo por parte dos alumnos que obvia que teñen, como mínimo, outras 9 materias en 1º de bacharelato e outras 7 en 2º.

Isto vén a conto de que hai moitos profesores, sobre todo de universidade, pedindo que cambie o tipo de cuestións que se avalían no exame de Matemáticas da ABAU. Por isto estiven a pescudar un chisco pola rede os equivalentes á nosa ABAU noutros países europeos. Salvando as distancias, pois non sei se o sistema segregador de Alemaña pode compararse co noso (segregador tamén, pero distinto: funciona de facto por clase social), fun buscar o Abitur alemán e o Baccalauréat francés, que aparecían xunto ao Maturitá italiano no único artigo español que vin sobre o tema, ¿Qué se pregunta en Europa en las matemáticas de selectividad?, na revista SUMA. E atopei varias cousas curiosas polo distintas que resultan. Observade esta xeira de cuestións do exercicio 3 do Baccalauréat deste mes:

1. No conxunto $\mathbb{C}$ dos números complexos, consideramos a ecuación $$(E):z^2-2 \sqrt{3}z+4=0$$
Chamemos A e B aos puntos do plano que son os afixos das raíces da ecuación (E)
Afirmación 1: O triángulo OAB é equilátero.

2. Chamemos u ao número complexo $u=\sqrt{3}+i$ e $\overline{u}$ o seu conxugado.
Afirmación 2: $u^{2019}+\overline{u}^{2019}=2^{2019}$

3. Sexa n un enteiro natural non nulo. Consideremos a función $f_n$ definida no intervalo $[0,+\infty)$ por $f_n(x)=x e^{-nx+1}$
Afirmación 3: Para todo enteiro natural $n \geq 1$, a función $f_n$ admite un máximo.

4. Chamemos C á gráfica da función f definida en $\mathbb{R}$ por $f(x)=cos(x) e^{-x}$
Afirmación 4: A curva C admite unha asíntota en $+\infty$

5. Sexa A un número real estrictamente positivo. Consideremos o algoritmo seguinte

$I \leftarrow 0 \\ Mentres\ 2^I \leq A \\ I  \leftarrow I+1  \\ Fin \ do \ bucle $
Afirmación 5: $15 ln2 \leq lnA \leq 16 ln 2$


A primeira vista, non é como ver a selectividade dunha civilización alieníxena?

Voronoi e a escola pública

Souben dos diagramas de Voronoi relativamente tarde. Non os descubrín ata anos despois de rematar a carreira de Matemáticas, cando xa levaba uns lustros dando clase. E xuraría que a primeira vez que lles prestei atención foi nun artigo de Clara Grima, pode que neste ou neste, que recomendo como todos os seus. Pouco despois lin o artigo Voronoi no Courel, que publicou o compañeiro Manuel na revista Gamma de Agapema. Alí veñen varios exemplos de utilización dos diagramas, o insinuado no título moi ben detallado, pero tamén varios referentes ao territorio galego.

Por se alguén pensa que Voronoi era un xogador de xadrez coetáneo a Fischer ou un membro do Politburo da URSS, expliquémolo: un diagrama de Voronoi determinado por puntos $P_1,P_2, \dots, P_n$ no plano é a descomposición en rexións $R_1,R_2, \dots, R_n$, onde $R_k$ a zona do plano composta polos puntos que están máis preto de $P_k$ que de calquera dos outros puntos $P_i$

Volveume á memoria o artigo de Manuel cando tiven que ocuparme, como xefe de estudos do meu instituto, das zonas de influencia dos centros educativos en Ferrol, pois outro exemplo no seu artigo estudaba as zonas escolares na cidade de Lugo. Pescudando na rede, i.e., chegando á segunda páxina de resultados en google, tamén vin este diagrama das zonas escolares de Melbourne(que tamén está na wikipedia, vaia)

No primeiro que pensei foi na distribución dos colexios públicos e dos concertados, que é un problema serio nas zonas urbanas. Observade no mapa de Ferrol os CEIP(públicos, en verde) e os CPR(privados concertados, en azul). A simple vista percibimos que agás 2 centros, o resto está amoreado en zona urbana. Mirando máis polo miúdo, vemos que no barrio de Ferrol Vello non hai ningún colexio público. 

Reparemos no diagrama de Voronoi determinado polos centros públicos:

Doniños, San Xurxo, Esmelle, Covas, Brión, O Pieiro, A Graña... O Oeste

Notades algo? Nas celas de Voronoi dos tres centros públicos no rural non atopamos ningún centro concertado. En troques, na cela do CEIP Cruceiro de Canido amoréanse ata 4 centros concertados, e na do CEIP Recimil outros 3 concertados. En Caranza hai dous centros concertados e un público, e na zona de Ultramar-ensanche B, un de cada. O único centro concertado que está no arrabaldo da zona urbana é o CPR Valle Inclán, na estrada de Xoane, non moi preto do CEIP San Xoán de Filgueira.

Liberdade de elección, non era? Para as familias da zona urbana, debe de ser. 

Deixo para unha entrada posterior a análise das zonas educativas dos institutos de secundaria, que é realmente sorprendente.

Un de bólas e urnas

Para esquecer un anaco as présas do fin de curso, que na materia de Matemáticas se incrementaron co hipertrofiadocurriculum imposto pola LOMCE, estiven a botar unha ollada a varios libros de problemas aos que non lles fixera moito caso. E atopei este de probabilidade no Jim Totten's Problems of the Week:

Unha urna contén p bólas brancas e q bólas negras, e hai unha morea de bólas negras ao lado da urna. Dúas bólas son escollidas ao chou e extraídas da urna. Se son da mesma cor, metemos na urna unha bóla negra da morea. Se son de distinta cor, metemos a bóla branca de novo na urna. O procedemento é repetido ata que as dúas últimas bólas son extraídas e unha última bóla é introducida. Cal é a probabilidade de que esta derradeira bóla sexa branca?

Daría un premio a quen resolvese este problema do xeito máis complicado posible.

Colle un DIN-A4

O problema de hoxe apareceu na rede polo 2015/16, seino porque teño o debuxo feito por min no cartafol Traballo 2015/16, mais non dou lembrado onde apareceu, nin dou atopado a pescuda que me faga atopala. Se alguén coñece a fonte, o meu non diagnosticado TOC agradecería que o puxese nos comentarios.

Velaquí o problema, que trata dun DIN-A4 mais non é o máis coñecido de dobrar á metade e dividir as dimensións:

Temos un DIN-A4, que ten dimensións en milímetros 210x297, apoiado sobre unha esquina nunha mesa, e de tal xeito que as dúas esquinas que comparten un lado co apoio están a alturas 10 e 12 centímetros. A que altura estará a cuarta esquina, que está oposta pola diagonal ao apoio?

Encántame este problema.

La reforma agraria va, de todas maneras va

Calquera profesor galego coñece o mecanismo: o curriculum dunha materia aparece no BOE, de aí vai ao DOG con poucos cambios, e nos institutos ou ben os xefes de departamento ou ben o departamento ao completo(estimo que isto último é máis raro) elabora a programación didáctica da materia. Cando o profesor ten que traballar unha unidade, consulta a programación, identifica contidos, criterios de avaliación, competencias e estándares de aprendizaxe de xeito máis ou menos rigoroso, e entón comeza o traballo onde cabe certa liberdade: deseñar a secuencia didáctica, decidindo actividades de aprendizaxe e de avaliación. En realidade, cando xa deches varios anos unha materia baixo unha lexislación, non tes que refacer todo, aínda que depende do tarado perfeccionista que sexas.

Supoñamos que é o momento de traballar a unidade de Proporcionalidade e Porcentaxes en 1º de ESO. Os contidos son os tradicionais: razón, proporción, magnitudes directamente proporcionais, regra de tres (ou non), redución á unidade (ou non), porcentaxes, e todos os procedementos asociados. O profesor decidirá que enfoque utiliza, se presenta os contidos de xeito máis ou menos expositivo, se deixa que os alumnos "descubran" parte dos contidos(coas limitacións que se autoimpoña, se coñece o que din os psicólogos que estudan a aprendizaxe), se propón problemas de introdución(que é o que adoito facer eu), etc. Por simplificarmos, imaxinemos que o profesor decide definir o concepto de razón de dous números a e b como $\frac{a}{b}$, pon exemplos sen contexto e con contexto, propón situacións sinxelas onde o relevante/interesante radica en calcular unha razón. Se na aula as preguntas/opinións/conversas son habituais, é probable que nalgún momento haxa un intercambio semellante a este:

- Se un xogador mete 16 de cada 30 tiros que intenta, e outro 23 de cada 45, a cal lle encargarías o lanzamento decisivo do partido?

- Ao primeiro, que só fallou 14 tiros.

Este intercambio é interesante por varias razóns: a primeira porque desvela o que se chama en inglés misunderstanding pero que en galego nin malentendido, nin confusión, nin equívoco, nin desde logo erro chegan a expresar por completo; a segunda porque o alumno escolleu a solución correcta pero por unha razón trabucada, o que ten que levar a unha discusión desta sutileza que certamente aparecerá en máis ocasións nas Matemáticas escolares.

En canto á primeira razón, o que está a suceder, se non é un erro por non estar concentrado, é unha mostra de pensamento aditivo mal utilizado, en troques do axeitado neste contexto, o multiplicativo. O primeiro recurso dun profesor pode ser amosar un caso esaxerado: se o segundo mete 978 de 1000 lanzamentos, é mellor ou peor que o outro xogador? O segundo recurso, situar a mesma idea matemática noutros contextos: mesturar cantidades de pintura azul e pintura amarela, ou café e leite; un caracol avanza 16 decímetros en 30 minutos e outro 23 en 45; etc. As posibilidades son infinitas.

Agora vén a confesión.

Un pode deseñar a secuencia do xeito máis coherente e cohesionado que poidades imaxinar, ter recursos para revelar os misunderstandings e remedialos ou emendalos, utilizar recursos "tradicionais" ou máis "modernos", lograr captar a atención dos alumnos para que todo isto teña repercusión nas súas mentes(se non comezamos por aí, o demais é superfluo), e aínda así, o momento no que o alumno do intercambio anterior por fin acepta e asimila que o axeitado é calcular a razón e non a diferenza é totalmente un misterio, polo menos para min. E non é un momento como o Ahá da inspiración ao resolver un problema, no que de súpeto atopas o interruptor do cuarto e os mobles cos que zoupaches agoran aparecen nítidos. Non, este rectificar unha confusión é máis paulatino, menos brusco, e desde logo, a impresión no alumno non é tan indiscutible. O momento Ahá, por poñer un exemplo trivial, sucede cando un dá atopado pola súa conta a solución a un enigma de pensamento lateral, e o que pensou con anterioridade deixa de ter sentido. Probade nesta ligazón algúns dos clásicos para vivir en tempo real a sensación á que me refiro.

No ensino das Matemáticas situacións semellantes abrollan continuamente. En que momento un alumno deixa de ver dous números independentes nunha fracción para entender globalmente o seu valor? Cando (se é que sucede) entende un alumno que unha ecuación é unha condición que cumpre a incógnita e non (só) unha secuencia de pasos predeterminada para chegar a un valor? Cando entende que se o 80% dun número vale 32, non hai que facer o 80% a 32? (vella teima miña) Cando asimila o concepto de función? Cando lle vai resultar evidente que $(\sqrt{x})^2=x$?  E que $\sqrt{x^2}=x$? (isto non é certo, pero vaia, dou clase na ESO) E a definición de logaritmo? E cando vai ver sen facer cálculo ningún que $\frac{3}{5}: \frac{3}{10}=2$?

Que sei a estas alturas do choio con respecto ás situacións anteriores? Que ás veces parece que o que fago como profesor ten reflexo no que aprenden os alumnos. Ás veces. Outras non. Vou abrir o champán.

O que teríades que facer os profesores de Matemáticas é...

A fin de semana pasada celebrouse a fase final da Olimpíada Matemática Española en Ourense(web oficial). Isto provocou que lle prestasen certa atención ao evento os medios folcloristas e provincianos, o que fixo que vise esta entrevista a un novo matemático galego, Óscar Rivero Salgado. No medio da entrevista aparece esta afirmación:

«Creo que o que falla é que nos institutos insístese moito en traballar con problemas mecánicos e rutinarios. Non se consegue entusiasmar moito aos alumnos. As matemáticas son moi útiles e moi atractivas se se plantexan ben. Non son unha serie de conceptos e fórmulas para memorizar»

Que logo continúa:

«A clave e saírse dos problemas tipo e enganchar a través do pensamento. O profesor tampouco pode deixar de facerse preguntas a si mesmo»

A que soa razoable? Calquera persoa que pense no ensino das Matemáticas en secundaria... e non se dedique ao ensino de Matemáticas en secundaria podería subscribir esa opinión. Case podería afirmar que eu, ao comezo da miña carreira docente, tiña unha opinión semellante, aínda que por sorte nunca a levei á práctica por completo. Por que afirmo "por sorte"? Porque co que sei agora, e cos estudos que hai, parece claro que as alternativas máis ou menos antigas á instrución explícita non son tan efectivas co groso do alumnado como aquela. E aínda que teño certa tendencia visceral cara o ensino baseado en problemas, tento controlala.

Pois ben, durante esta ~sesquidécada que levo na docencia, teño oído opinións máis ou menos estrambóticas, ridículas ou simplemente ignorantes sobre o que teríasmos que facer os profesores de Matemáticas de secundaria, probablemente debido a ser educado e aberto a discusións(agora xa son moito máis cortante, mencionando estudos para calar a boca, life is too short to waste on idiots). Agarrádevos, que veñen opinións case literais, tal e como as vou lembrando.

"O que tiñades que facer os profesores de Matemáticas é deixarvos de explicar tanto e dicir como se fan as cousas, que non son tan difíciles"

"Non sei que opinas ti, pero o que había que tentar é que lles gusten, que total as contas xa as fan as calculadoras"

"Eu non entendín as Matemáticas ata que, en Maxisterio, me ensinaron a relación das Matemáticas coa vida cotiá. Antes pensaba que eran abstractas, pero cando vin a conexión co concreto, xa lle vin sentido"

"Pero se só hai que practicar moito as contas e xa está!"

"Tes que machacalos a deberes para que entendan as Matemáticas, que mandas moi poucos"

"O que desmotiva á miña filla é que ela estuda e saca boas notas, pero os que non fan nada tamén van pasando de curso. Se suspendesen sería distinto"

"Pero que é o que non entenden? Letras para un lado, números para outro e xa está"

"Pois se algo non ten aplicación á vida diaria, non o deberíades dar"

"Fai falta que saiban as táboas de multiplicar? Se todos teñen calculadora no móbil"

"O mellor é explicar un só xeito de facer as cousas, para que non enleen"

"Non sei que facedes os profesores de Matemáticas, que logo saen sen entender unha hipoteca"

"Que máis dará que acaben a ESO sen saber Matemáticas, a min sempre se me deron mal e non pasou nada"

"Eu non entendo como un cativo pode suspender Matemáticas na ESO. Todos os cativos terían que aprobar ata 4º, sempre"

"Habería que facer todo co ordenador"

"En Matemáticas o importante é seguir os pasos"

"Eu xa lle digo: tes que estudar Matemáticas para pasar de curso"

En fin, cando todos sabemos por que hai que estudiar Matemáticas...

    

Paridade

Volvamos ao choio habitual deste blog, que como amosan as etiquetas, é principalmente traer problemas matemáticos. O de hoxe cae dentro da categoría "como vai ser certo iso... AH!", que non acae demasiado ben na nube de etiquetas lateral. Xulgade vós se teño razón e a categoría sería axeitada:

Temos un polígono P que cumpre dúas cousas:

• Todos os seus vértices teñen coordenadas enteiras
• Todos os seus lados teñen lonxitude enteira

Demostrar que o perímetro de P é un número par

Póñovos un exemplo non trivial de polígono nesas condicións, que un triángulo ou un cadrado non deixan ver a dificultade real do problema:

Se alguén está interesado, que comente se quere coñecer a fonte do problema.

A aparente desaparición das Humanidades

Na primeira páxina de resultados de google en 3 pescudas distintas

O outro día lin a enésima carta ao director dunha docente de Humanidades lamentando a desaparición destas disciplinas das aulas. E automaticamente tiven que ir mirar como están as cousas, comparándoas coa situación na que estudiei eu o instituto, aló pola primeira metade dos anos 90. E achei isto:

Eu estudei cando estaba vixente a Lei Xeral de Educación de 1970, coñecida como Lei Villar Palasí polo ministro franquista de educación que a impulsou. Para a rapazada que lea isto, daquela a educación obrigatoria remataba aos 13/14 anos, no décimo ano de escolaridade, co curso final da EXB(Educación Xeral Básica), que era 8º, e viría corresponder por idade co 2º de ESO actual. Ao final da EXB un recibía o graduado escolar en caso de que acadase os obxectivos da etapa, e o certificado de escolaridade en caso contrario. O ano seguinte un podía continuar facendo BUP ou FP, ambas as dúas opcións non eran xa obrigatorias, polo que os alumnos que obtivesen o certificado podían simplemente abandonar sen máis o sistema(non coñezo datos de cantos alumnos deixaban o sistema en cada caso, con e sen graduado, é de supoñer que o groso dos abandonos estaría formado polos que non o obtivesen)

Actualmente a educación é obrigatoria ata os 16 anos, que para un alumno que nunca repita curso significa rematar 4º de ESO, e para os casos habituais de saída do sistema, significa repetir 1º e 2º e liscar ou repetir un deses cursos e 3º e liscar. (Aviso a navegantes: os profesores non temos máis datos sobre o noso sistema educativo que os cidadáns, a nosa administración non fai estudos globais, nin sequera achega os resultados das avaliacións diagnóstico de xeito coherente, nin o famoso PISA cando toca nos nosos centros).

Expoño esta introdución para enfocar o asunto: de que están a falar cando apelan ao abandono das Humanidades? De educación obrigatoria? Do bacharelato? Da FP? Da educación primaria?

Polo visto nas recorrentes cartas, seica falan de ESO e bacharelato. Comparemos, pois, a situación anterior e a actual nesas etapas/idades.

• Entre 7º/8º de EXB e 1º e 2º de ESO as principais diferenzas están nas materias que introduciu a LOXSE: agora hai 2ª Lingua Estranxeira (usualmente Francés) en 1º e 2º e Música e Tecnoloxía en 2º. O resto de materias obrigatorias cambiaron pouco(Ciencias Naturais e Física e Química tiveron vicisitudes,p.ex.), agás no número de horas semanais. Ademais, agora hai unha hora semanal para unha materia de libre configuración, que pode ser das autonómicas ou de centro. Para que entendades, no meu centro ofertan Introdución á Linguaxe Audiovisual, Taller de Lectoescritura, Portugués I e II, Obradoiro de Música, Maquetismo e Programación. Non é moi relevante no número de horas, pero si talvez é síntoma da escora que, coido, ten o sistema.

• Vexamos 3º de ESO/1º de BUP. Daquela eu estudei Matemáticas-Ciencias Naturais(4h)- Galego-Inglés-Castelán-Historia- Música(era Historia da Música)-Educación Plástica-Ética-Educación Física. Hoxe os alumnos teñen 13 materias, Matemáticas-Bioloxía e Xeoloxía(2h)-Física e Química(2h)- Galego-Inglés-Castelán-Xeografía e Historia-Música-Tecnoloxía-Educación Plástica-Educación Física-Valores Éticos, e teñen que escoller entre 2ª Lingua Estranxeira e Cultura Clásica. 

Ata aquí como o ides vendo?

• 4º de ESO/2º de BUP. Eu non puiden escoller nada con 15 anos, agás a EATP(Ensinanzas e Actividades Técnico-Profesionais), entre Teatro/Informática/Deseño/Francés. As materias obrigatorias eran Matemáticas-Física e Química-Galego-Literatura Española-Inglés-Latín-Xeografía-Educación Física. En troques, 4º de ESO presenta unha optatividade enorme. Para empezar, os alumnos teñen que escoller entre dúas opcións, Ensinanzas Académicas e Ensinanzas Aplicadas. (Inciso: a idea do PP coa LOMCE era cortar o acceso ao bacharelato desde a opción de aplicadas, aínda que poñendo a escusa de que o que imposibilitaría acceder sería a reválida escollida, non a opción cursada. Loxicamente, un alumno de aplicadas faría a reválida de aplicadas, de facto ía ser a opción a chave. Como, por sorte, as reválidas non chegaron a entrar en vigor, o título de ESO é único). As materias comúns ás dúas opcións son Galego-Castelán-Inglés-Xeografía e Historia-Educación Física-Valores Éticos/Relixión. Hai unhas Matemáticas ad hoc en cada opción, co nome rimbombante Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas/aplicadas; e despois os alumnos teñen que optar en académicas por 2 das 4 materias troncais de opción Física e Química-Bioloxía e Xeoloxía-Economía-Latín e en aplicadas por 2 das 3 materias Ciencias Aplicadas-Iniciación á Actividade Emprendedora e Empresarial-Tecnoloxía. Finalmente as dúas opcións completan o horario con dúas materias específicas a escoller entre Artes Escénicas e Danza, Cultura Científica, Cultura Clásica, Educación Plástica, Visual e Audiovisual, Filosofía, Música, 2ª Lingua Estranxeira, TIC, ou unha materia troncal de opción non escollida entre as de arriba.(e que pode ser de calquera das opcións).

Diferenzas evidentes: o Latín xa non é obrigatorio, aínda que permanece como troncal de opción de académicas, e aparece un feixe de materias específicas, con 3 horas semanais, das que salientaría Filosofía, Cultura Clásica e Francés. Un alumno interesado polas Humanidades podería en principio cursar en 4º de ESO Latín, Economía, Filosofía e Cultura Clásica. Que materias tería de Ciencias? Matemáticas Académicas. Un alumno dese perfil en 2º de BUP tería efectivamente Latín, mais tamén Matemáticas e Física e Química.

Pasemos ao bacharelato, que lembremos que é unha etapa postobligatoria

• 1º de Bacharelato/3º de BUP. En 3º de BUP había que optar por Ciencias e Letras, con opcións intermedias Ciencias Mixtas/Letras Mixtas. Todas as opcións incluían Literatura Galega-Inglés-Historia de España-Filosofía-Ed. Física-Ética/Relixión. Se escollías Ciencias Puras, tiñas ademais Matemáticas I, Física e Química e Ciencias Naturais. En Letras Puras, Latín, Grego e Literatura Española. En Ciencias Mixtas, Matemáticas I, Ciencias Naturais e Literatura Española. En Letras Mixtas, Latín, Matemáticas II e Literatura Española. Actualmente hai dúas modalidades comúns, Ciencias e Humanidades e Ciencias Sociais, aínda que hai centros que tamén teñen o Bacharelato de Artes(Plásticas ou Escénicas, Música e Danza). Centrándonos nas dúas modalidades máis habituais, as materias obrigatorias son Galego-Castelán-Inglés-Filosofía-Ed. Física, en Ciencias teñen Matemáticas I e teñen que escoller 2 materias troncais de opción entre Física e Química-Bioloxía e Xeoloxía- Debuxo Técnico I. Na outra modalidade teñen dous itinerarios, un de Humanidades e outro de Ciencias Sociais(btw, estou moi en contra de que non sexan modalidades individuais, por razóns relacionadas, precisamente, coas materias de opción). En Humanidades teñen Latín I e en Ciencias Sociais Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais I, pero logo teñen que escoller 2 troncais de opción entre as 4 materias Historia do Mundo Contemporáneo-Economía-Grego I-Literatura Universal. En calquera modalidade teñen que completar horario cursando 2 ou 3 específicas, das cales unha pode ser troncal de opción non cursada(de calquera modalidade), entre TIC-Cultura Científica-Linguaxe e Práctica Musical-Debuxo Artístico-Análise Musical-2ª Lingua Estranxeira-Tecnoloxía Industrial I-Volume-Anatomía Aplicada.

• 2º de Bacharelato/COU. En COU o núcleo común estaba formado por Castelán-Galego-Inglés-Historia da Filosofía, e logo tiñas 4 opcións para escoller: A) Científico-Tecnolóxica, B) Biosanitaria, C) Ciencias Sociais e D) Humanística. Había dúas materias vinculadas a cada opción, respectivamente, Matemáticas I e Física, Química e Bioloxía, Matemáticas II e Historia do Mundo Contemporáneo, Latín e Literatura Española/Literatura Galega. Ademais das vinculadas, había que coller dúas materias optativas entre as vinculadas non escollidas e Xeoloxía nas opcións A e B, e Historia da Arte e Grego nas opcións C e D. No 2º de bac actual, seguen as modalidades de 1º, as materias obrigatorias son Galego-Castelán-Inglés-Historia de España, e as troncais de modalidade continúan as de 1º: Matemáticas II, Latín II e Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II. Tamén hai que escoller 2 troncais de opción, en Ciencias son Física-Bioloxía-Xeoloxía-Química-Debuxo Técnico II, en Humanidades e Ciencias Sociais son Economía da Empresa-Grego II-Historia da Arte-Xeografía- Historia da Filosofía, aínda que este ano hai unha novidade legalmente algo dubidosa, que consiste en que a troncal de opción Historia da Filosofía é obrigatoria de facto en Humanidades e Ciencias Sociais e de oferta obrigatoria para os centros en Ciencias. De novo, hai que completar horario con 2 materias específicas entre TIC II-Fundamentos da Administración e a Xestión-Psicoloxía-Análise Musical-Ciencias da Terra e o Medioambiente-Francés II-Historia da Música e da Danza-Debuxo Artístico-Tecnoloxía Industrial II e as materias de libre configuración autonómica ou centro, cuxa escolla está limitada por non constar como específicas na lexislación e que haxa que cursar un mínimo de 2 específicas.

Resumindo, nas opcións actuais hai máis materias de humanidades e artes que cando estudei eu. Por outra banda, un alumno de Ciencias terá como moito a metade das materias de ciencias, mentres que un alumno de Humanidades poderá non ter ningunha materia de ciencias, o que vén reproducir o que sucedía no meu antigo COU.

A que se debe, entón, o reiterado salaio dos profesores de Humanidades? Para empezar, o lamento adoita proceder do profesorado de Filosofía e Clásicas, non do profesorado de Historia. Ao comezo da LOXSE o profesorado de Latín viu como a súa materia deixou de ser obrigatoria, daquela houbo protestas, que parece que se esvaeceron a estas alturas(non me fagades pensar mal e intuír a razón). O profesorado de Filosofía protestou fortemente contra a LOMCE pola baixada de rango da Historia da Filosofía de obrigatoria a troncal de opción, a nivel galego obtiveron o que comentei en 2º de bacharelato. Inflúe isto na formación do alumnado español? Inflúe, si, entre o alumnado que cursa 2º de bacharelato, etapa non obrigatoria. Inflúe, como din de xeito pretencioso, na escaseza de pensamento filosófico da sociedade, a perda de valores, a decadencia de occidente, etc...? Eu son moi escéptico. A Historia da Filosofía foi unha das miñas materias favoritas de COU, mais non deixaba de ser unha materia de estudo de 7 filósofos e as súas obras(Platón-Santo Tomé-Descartes-Kant-Marx-Nietzsche-Marcuse). Habería que preguntarlles aos meus compañeiros de COU que opinaban do fomento do espírito crítico e do pensamento filosófico nesa materia. Basicamente era un varrido da historia da filosofía occidental con saltos máis ou menos suaves, dirixido ao exame de selectividade, en formato comentario de texto-cuestións teóricas curtas-pregunta teórica longa.

Os que chegastes ata aquí(lendo en diagonal, adiviño), que opinades, desaparecen as Humanidades?